Integrale Definito. (1) - Mozzanica Dispense SBIO/2017... · 2018. 6. 3. · Integrale Definito di...
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1
Integrale Definito. (1)
Il problema del calcolo delle aree
Suddivisione dell’intervallo [a,b] in
sottointervalli che ne costituiscono una
partizione
Def. Partizione
Si chiama partizione P dell’intervallo [a,b]
un insieme di (n+1) punti x0=a<x1<..<xn=b ,
comunque scelti tra a e b.
Si pone: ,..,nixxx iii 1 1
1 iii xxh
Def. Raffinamento
Una partizione P1 è detta essere un
raffinamento (o più fine) della partizione P
se:
PP 1
0xa 1x 2x bx 3
2
Integrale Definito: Plurirettangoli
Assumiamo che la funzione f sia limitata nell’intervallo [a,b].
Data una determinata partizione P di [a,b] consideriamo per ogni intervallino Δxi :
• mi = l’estremo inferiore assunto dalla funzione in Δxi
• Mi = l’estremo superiore assunto dalla funzione in Δxi
0xa 1x 2x bx 3
Costruiamo il rettangolo inscritto:
di base Δxi ed altezza mi
Ed associamo ad esso l’ ”area” (che può anche
essere negativa se lo è la funzione) data da:
(Δxi mi).
L’insieme dei rettangoli inscritti costituirà il
plurirettangolo (o scaloide) inscritto.
Costruiamo il rettangolo circoscritto:
di base Δxi ed altezza Mi
Ed associamo ad esso l’ ”area” (che può anche
essere negativa se lo è la funzione) data da:
(Δxi Mi).
L’insieme dei rettangoli inscritti costituirà il
plurirettangolo (o scaloide) circoscritto.
3
Integrale Definito: Somme Superiori ed Inferiori (1)
0xa 1x 2x bx 3
Def. Somme Superiori i
ii xMfPS ),(
Costituiscono un’approssimazione “per eccesso”
dell’area
Def. Somme Inferiori i
ii xmfPs ),(
Costituiscono un’approssimazione “per difetto”
dell’area
E’ evidente che con più “raffiniamo” la partizione dell’insieme [a,b] , con più riusciremo
ad avere una valutazione precisa dell’area.
Precisamente, passando da una partizione P ad una partizione più fine P1 notiamo che
le somme inferiori aumentano mentre quelle superiori diminuiscono rispettando sempre
la relazione (1). Quindi:
Abbiamo che: (1) ),(),( fPSfPs
(2) ),(),(
),(),( se
1
1
1
fPSfPS
fPsfPsPP ),(),(con 11 fPSfPs
4
Integrale Definito: Somme Superiori ed Inferiori (2)
Aumentando il numero di punti le somme inferiori aumentano
Aumentando il numero di punti le somme superiori diminuiscono
5
Integrale Definito di Riemann: Costruzione
0xa 1x 2x bx 3
Poiché le somme inferiori sono sempre minori od
uguali alle somme superiori, abbiamo che:
Def. Funzione Integrabile (secondo Riemann)
La funzione f è integrabile (secondo Riemann, o
R-integrabile) se (e solo se):
Nota. La classe delle somme inferiori e delle somme superiori sono due classi di numeri
reali una minore dell’altra dunque sono classi separate. Esse possono avere un
elemento separatore (l’unico numero compreso tra le somme inferiori e quelle superiori).
Se tale numero esiste la funzione è detta Riemann-Integrabile (o R-Integrabile) su [a,b]
e tale numero è, per definizione , l’integrale di Riemann della funzione data su [a,b].
SInfsSupPP
SInfsSupPP
Def. Integrale Definito (di Riemann)
Il numero reale precedentemente trovato rappresenta l’integrale definito della
funzione f sull’intervallo [a,b] e si scrive:
b
a
dxxf )(
6
Integrale Definito di Riemann: Osservazioni
a e b sono detti “estremi di integrazione”
a è detto “estremo inferiore” di integrazione
b è detto “estremo superiore” di integrazione
f è detta funzione integranda
Nota. La variabile di integrazione è una variabile “muta”. Per cui le seguenti espressioni
indicano sempre lo stesso numero:
ε ,f)S(P,f)-s(P 0
Teorema 1
Una funzione f limitata su [a,b] è R-integrabile se esiste una partizione P di [a,b] tale
che:
b
a
dxxf )(
b
a
dxxf )( b
a
dttf )( b
a
dyyf )(
Nota. Il teorema precedente afferma che le somme inferiori e superiori, per funzioni R-
integrabili, sono due classi separate ma indefinitamente ravvicinate (o contigue).
7
Funzione non R-Integrabile
Nota. Non tutte le funzioni limitate sono R-integrabili. Daremo più avanti delle condizioni
sufficienti affinché una funzione sia R-Integrabile. Occupiamoci di un esempio di
funzione che NON è R-integrabile:
R\Qx
Qxxf
se 1
se 0)(
i i
iii xxMfPS 11),(
Si consideri l’intervallo [0,1].
Essa è una funzioni limitata.
Per essa, considerato il fatto che qualunque sia la partizione P, nell’intervallino Δxi
compaiono infiniti numeri irrazionali ed infiniti razionali, avremo:
La Funzione di Dirichlet
i i
iii xxmfPs 00),(
Siccome: 1),( fPSInf 0),( fPsSup
La funzione non risulta R-integrabile.
NB La funzione di Dirichlet presenta una discontinuità per ogni numero razionale tra 0 e 1. Notiamo che tali
discontinuità sono infinite e sono numerabili (poiché tali sono i numeri razionali):
8
Integrale Definito: le somme di Riemann
Nota. Considerando funzioni limitate non possiamo affermare che i valori mi ed Mi sono
valori assunti dalla funzioni nell’intervallino Δxi .
Se la funzione f è continua il teorema di Weierstrass assicura il fatto che la funzione
assume in Δxi tali valori, che coincidono con il minimo ed il massimo della funzione
stessa (in Δxi).
Al posto delle somme inferiori e superiori è allora possibile considerare le seguenti
somme di Riemann:
ii
i
ii xtxtffP con )(),(
Teorema 2
Per esse vale il seguente teorema:
Def.
)( ixMaxP
finitofPf
),(lim eintegrabil-R é 0P||
σ(P,f)f(x)dx|P|
b
a0
lim
E vale
9
Integrale Definito: Significato Geometrico. (1) Se la funzione integranda è positiva su [a,b] (a<b) allora
b
a
dxxf )(Rappresenta l’area della regione di piano delimitata
dall’asse delle x , dal grafico della funzione e dalle
rette verticali x=a ed x=b. E risulta:
0)( b
a
dxxf
Se la funzione integranda è negativa su [a,b] (a<b) allora
b
a
dxxf )(Rappresenta l’area della regione di piano in senso
algebrico (in quanto negativa) delimitata dall’asse
delle x , dal grafico della funzione e dalle rette
verticali x=a ed x=b. E risulta:
0)( b
a
dxxf
10
Integrale Definito: Significato Geometrico. (2)
Se la funzione integranda non ha segno fisso su
[a,b] (a<b) allora l’integrale definito può essere
positivo, negativo o nullo.
b
a
dxxf )( ? )(b
a
dxxf
2
0
0)( dxxsen
0
0)cos( dxx
11
Integrale Definito: Significato Geometrico. (3)
Può essere pensato come area della regione di
piano compresa tra le due funzioni f e g.
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
)2()( xxxf
2)( xxg
3
1..)()(
1
0
1
0
dxxgdxxf
12
Integrale Definito: Condizioni Sufficienti
per la R-Integrabilità. (1)
Teorema 3. Se la funzione f è continua su [a,b] allora f è R-Integrabile.
Dim.
Per il teorema di Weierstrass f ammette massimo Mi e minimo mi in ogni
intervallino Δxi .
Esistono quindi in Δxi due punti ti e t*i tali che f(ti)=mi e f(t*i)=Mi . Poiché f è
continua, dalla definizione di limite abbiamo che:
i
iii
i
iii xtftfxmMfPsfPS )()(),(),( *
abtftfttse iiii
)()( : **
Facciamo in modo che |P|<δ allora:
)()()( * abab
xab
xtftfi
i
i
iii
Per il teorema 1 la funzione è R-Integrabile.
Scelto: ab
13
Integrale Definito: Condizioni Sufficienti
per la R-Integrabilità. (2)
Teorema 4. Se la funzione f è limitata su [a,b] e possiede un numero finito di
discontinuità allora f è R-Integrabile.
Es. Il teorema precedente permette di
affermare che funzioni come:
0per x 0
1x0per 1
sin)( xxf
Sono R-integrabili (sull’intervallo [0,1]).
Quanto scritto afferma la Riemann integrabilità della funzione e quindi l’esistenza
dell’area, non il suo valore, evidentemente.
In realtà una funzione R-integrabile può presentare anche un numero infinito (purché al
più numerabile) di discontinuità, tuttavia questa proprietà non può essere generica ma
legata alla proprietà di monotonia della funzione. Vale infatti il seguente teorema:
14
Integrale Definito: Condizioni Sufficienti
per la R-Integrabilità. (3)
Teorema 5. Se la funzione f è monotona (crescente o decrescente) su [a,b] allora f è
R-Integrabile.
Allora la seguente funzione:
0per x 0
1
11x
1
1per
1
)(x
floornnn
xf
presenta un’infinità numerabile di discontinuità .
Risulta però R-integrabile, per il precedente
teorema, proprio perché è monotona crescente
15
Integrale Definito: Condizione necessaria e sufficiente per la R-Integrabilità.
Teorema 6 (di Vitali - Lebesgue).
Sia f : R → R una funzione limitata e nulla al di fuori di un insieme limitato. Allora si equivalgono le
condizioni seguenti:
1) f e integrabile secondo Riemann;
2) l'insieme dei punti di discontinuità di f é trascurabile (nullo) per la misura di Lebesgue.
Se valgono le condizioni, allora f e misurabile e integrabile anche secondo Lebesgue e gli integrali
secondo Riemann e secondo Lebesgue coincidono.
Infine il seguente teorema enuncia una condizione necessaria e sufficiente per essere
R-integrabili, legando l’integrale di Riemann al più generale integrale di Lebesgue (tale
teoria viene formulato nei corsi avanzati di analisi matematica).
16
Integrale Definito: Proprietà (1)
Convenzione 0)(
a
a
dxxf
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
Proprietà
di
additività
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Proprietà di
omogeneità Rkdxxfkdxxkf
b
a
b
a
)()(
Proprietà
di linearità
abdx
b
a
17
Integrale Definito: Proprietà (2)
ba se )()( b
a
b
a
dxxfdxxf
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Proprietà di
additività rispetto
all’intervallo di
integrazione
Proprietà di
monotonia b][a,in )()( 21 xfxfse
b
a
b
a
dxxfdxxf )()( 21
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
18
Integrale Definito: Teorema della media integrale
Teorema 6 (della Media Integrale o di Lagrange). Si consideri la funzione f continua in [a,b]. Allora esiste almeno un punto c
in [a,b] tale che:
))(()( abcfdxxf
b
a
Siccome f è continua è R-integrabile.
Per il teorema di Weierstrass se m ed M sono il minimo ed il massimo
della funzione in [a,b] abbiamo m≤f(x) ≤ M valida per ogni x in [a,b]. Dalla
proprietà di monotonia dell’integrale segue::
Dim.
b
a
b
a
b
a
Mdxdxxfmdx )( )()()( abMdxxfabm
b
a
Mab
dxxf
m
b
a
)(
)(
Mkmkab
dxxf
b
a
con
)(
)(Il teorema di Darboux
assicura che esiste c in
[a,b] tale che f(c)=k
)()(
)(
cfab
dxxf
b
a
c.v.d.
Def. Media Integrale
)(
)(
ab
dxxf
b
a
19
Integrale Definito: Funzione Integrale
Def. Funzione Integrale
Si consideri la funzione f, R-integrabile su [a,b]. Consideriamo due punti di
[a,b] : x0 ed x. Costruiamo il seguente integrale definito:
x
x
dttf
0
)(
Consideriamo la funzione che ad ogni numero x (in [a,b]) associa il numero
reale definito dalla relazione precedente: tale funzione è la funzione
Integrale di f in [a,b].
Sia f una funzione R-integrabile su [a,b] si definisce funzione integrale F di f su [a,b]
(con origine in x0)
x
x
dttfxF
0
)()(
20
Integrale Definito: Teorema di Torricelli-Barrow
Teorema 7 (di Torricelli - Barrow)
Sia f una funzione continua su [a,b]. Allora la funzione integrale F di f su [a,b] (con
origine x0) è (continua e) derivabile in per ogni x di [a,b] e vale F’(x)=f(x)
Dim.
Si consideri: )()( xFhxFF x
x
hx
x
dttfdttf
00
)()( 0
0
)()(
x
x
hx
x
dttfdttf
hx,xchcfdttf
hx
x
con )()( Applicando il teorema 6 della media integrale.
)()(lim)(
limlim)('000
xfcfh
hcf
h
FxF
hhh
Per la continuità di f
c.v.d.
In generale si può dimostrare che:
Teorema 8 (teorema Generalizzato di Torricelli-Barrow )
Se f è R-integrabile allora F è continua
Se f è continua allora F è derivabile
Se f è derivabile allora F è derivabile con derivata continua
La funzione integrale F risulta nelle ipotesi del teorema (continuità di f) una primitiva di f.
21
Integrale Definito: Teorema fondamentale del calcolo (1)
Teorema 9 (Fondamentale del Calcolo)
Sia f una funzione continua su [a,b]. Sia F una sua primitiva , allora:
Dim.
Si consideri:
b
x
b
a
x
a
dxxfdxxfdxxf
0
0
)()()(
c.v.d.
)()()( aFbFdxxf
b
a
b
x
a
x
dxxfdxxf
00
)()(
)()( aFbF )()( bFaF
)()(:)()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
Convenzione
22
Integrale Definito: Valori Medi
Es. Valore medio di f(x)=x, x2,x3,xn nell’intervallo [0,1]
2
1
1
1
0]1,0[ xdx
x3
1
1
1
0
2
]1,0[
2 dxx
x4
1
1
1
0
3
]1,0[
3 dxx
x
1
1
1
1
0]1,0[
n
dxx
x
n
n
Es. Valore medio di f(x)=sen(x)
nell’intervallo [0,2π]
Es. Valore medio di f(x)=sen2(x)
nell’intervallo [0,2π]
02
)(
)(
2
0]2,0[
dxxsen
xsen
2
)(
)(
2
0
2
]2,0[
2
dxxsen
xsen
2
1
2
1
2
)cos()sin(
2
12
0
xxx
23
Integrale Definito e funzioni primitive
)()(:)()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
Nota.
Gli integrali delle funzioni continue possono essere calcolati con le funzioni primitive
(se queste si possono esprimere per via elementare).
Se la funzione integranda non è continua ma solo R-integrabile, la primitiva potrebbe
non esistere perché, ad esempio, non esistono funzioni derivabili che hanno derivate
con discontinuità a salto. Tuttavia può esistere l’integrale.
Es.
3x2per 3
2x1per 2
1x0per 1
)(xf
6321)(
3
0
dxxf
Non esiste tuttavia una funzione derivabile in
tutto [0,3] che abbia f(x) come funzione derivata
24
Integrale Definito: Integrazione per parti
Teorema 10
b
a
b
a
b
a
dxxgxfxgxfdxxgxf )(')()()()()('
Es. Calcolare l’area compresa tra l’asse delle x e il grafico della funzione ln(x) tra
i punti di ascissa 1 e 2
2
1
2
1
2
1
1)ln()ln( dx
xxxxdxx
386.0~1)2ln(2)2ln(2
2
1
dx
25
Integrazione per sostituzione 1/
dttsendttgdx
ttgx
)()('
)cos()(
40
2
2
2
)cos()( 2
0
ttsent
Area quarto di cerchio di raggio 1
1
0
21 dxx
)1arccos(
)0arccos(
2 ))(()(cos1 dttsent
0)1arccos(
2)0arccos(
2 )()(cos1
dttsent
2
0
22
0
2 )())(()(cos1
dttsendttsent
26
Integrazione per sostituzione 2/
Teorema 11
)(
)(
)('))(()(
b
a
b
a
dttgtgfdxxf
Siano f:[a,b]R continua, Φ :[a,b]R continua,derivabile,con derivata continua e
con Φ’(x) ≠0 in [a,b]. Allora se g è la funzione inversa di Φ, abbiamo
)1(
)0(
2
1
0
2 )cos()(11
arcsen
arcsen
dtttsendxx
)()()()( xarcsenxtsentg
40
2
2
2
)cos()()(cos
2
0
2)1(
0)0(
2
ttsentdtt
arcsen
arcsen
Area quarto di cerchio di raggio 1
Es.
27
Integrale Definito: Area tra grafici di funzioni
)(xf
)(xg
a
b
b
a
dxxgxfA )()(
d
c
a
d
c
b
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfA )()()()( 4321
a b cd
)(1 xf)(2 xf
)(3 xf)(4 xf
a
b
b
a
dxxgdxxfA )()(
28
Integrali impropri di 1° specie (1) Abbiamo sinora parlato di integrali di funzioni limitate (in particolare continue) su
intervalli limitati [a,b]. Esistono delle estensioni sia per funzioni non limitate che per
intervalli non limitati.
Integrazione Funzioni non limitate su intervalli limitati
Integrali IMPROPRI di 1° SPECIE
Si consideri f: (a,b]R non limitata (ad es 1/x in (0,1] ) tale
che f sia R-integrabile su ogni intervallo della forma [a+ε,b]
e tale che :
)(lim xfax
Definiamo allora:
(*) )(lim)(0
b
a
b
a
dxxfdxxf
Se il limite (*) esiste finito allora f si dice integrabile in [a,b] e che l’integrale
IMPROPRIO di 1° SPECIE è convergente
Se il limite (*) è ±∞ allora si dice che l’integrale IMPROPRIO di 1° SPECIE è
divergente
Se il limite (*) non esiste allora si dice che l’integrale IMPROPRIO di 1° SPECIE non
esiste
29
Integrali impropri di 1° specie (2)
Es. Si calcoli: dx
x
1
0
1
x
1
x
1
2 22lim 2lim1
lim0
1
0
1
0
xdx
x
Es. Si calcoli: dx
x
1
0
1
1
0
1
0 lnlim
1lim
xdx
x
Es. Si calcoli: dxxk
1
0
1
11
0
1
0 1lim
1lim
k
xdx
x
k
k
11
1lim
1
0 kk
k
101 se
101 se 1
1
kk
kkk
Per k≠1
Per k=1 vedi es. precedente.
Globalmente:
dxxk
1
0
1
101 se
101 se 1
1
kk
kkk
30
Integrali impropri di 1° specie (3)
Ad es. 1/(x-1)2 in [0,1)
Teorema 12
1k se 1
)( econvergent
1k se a divergente
é )(
11
k
abdxax
k
b
a
k
Vale un risultato perfettamente analogo per: )(
1
b
a
kdx
xb
L’integrale converge se la funzione è infinita di ordine k<1 altrimenti diverge.
(*) )(lim)(0
b
a
b
a
dxxfdxxf
31
Integrali impropri di 1° specie (3)
Analogamente nel caso in cui si abbia:
)(lim xfbx
(**) )(lim)(0
b
a
b
a
dxxfdxxfSi definisce:
Ad es. 1/(x-1)2 in [0,1)
Vale un risultato perfettamente analogo a quello
enunciato nel teorema 12 :
L’integrale converge se la funzione è infinita di ordine k<1 altrimenti diverge.
1k se 1
)( econvergent
1k se a divergente
é )(
11
k
abdxxb
k
b
a
k
Teorema 12-bis
32
Integrale Definito: Integrali impropri di 2° specie (1)
Integrazione Funzioni su intervalli illimitati
Integrali IMPROPRI di 2° SPECIE
Si consideri f: [a,+∞)R continua. Poniamo:
)(lim:)(
k
ak
a
dxxfdxxf
Analogamente, se f:(-∞,a]R continua. Poniamo: )(lim:)(
a
kk
a
dxxfdxxf
Se f:(-∞,+∞) R continua. Poniamo:
h
ah
a
kk
a
a
R
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf )(lim )(lim)()(:)()(
h
khk
R
dxxfdxxfdxxf )(limlim:)()(Ma anche :
33
Integrale Definito: Integrali impropri di 2° specie (2)
Es. Si calcoli:
dxx1
1 22lim 2lim
1lim 1
1
kxdxx k
k
k
k
k
Es. Si calcoli:
dxx
1
1 )ln(lim lnlim
1lim 1
1
kxdxx k
k
k
k
k
Es. Si calcoli:
dxx
1
2
1 111
lim1
lim1
lim11
2
kxdx
x k
k
k
k
k
Es. Si calcoli (per n≠1):
dxxn
1
1
nn
k
n
xdx
x
n
k
kn
k
k
nk 1
1
1lim
1lim
1lim
1
1
1
1
101 se
1
1
101 se
nnn
nn
dxxn
1
1
1 se 1
1
1 se
nn
nPer n=1 vedi es.
precedente.
Globalmente:
L’integrale converge se la funzione è infinitesima di ordine n>1 altrimenti diverge.
34
Integrale Definito: Integrali impropri di 2° specie (3)
Es. Andamento grafico
2
1
x
x
1
35
Integrale Definito: Integrali impropri di 2° specie (4)
Es. Si calcoli:
dxx21
1
h
khk
h
khk
xdxxf )arctan(limlim )(limlim
22)arctan()arctan(limlim kh
hk
36
Integrale Definito: Integrali impropri di 2° specie «particolari»
20
2
dxe x
Ecco infine alcuni integrali impropri riguardanti funzioni di cui la primitiva non è
esprimibile con funzioni «elementari»
2
)sin(
0
dxx
x
2/3
0
2
2)sin(
dxx
37
Integrali impropri di 2° specie «particolari»
2
0
2 dxe x
dxe x2
Per la simmetria pari della funzione integranda
?2
2
dxex
2
xy dydx 2
2222
2
2
dyedxe y
x
?2
1 2
2
2
)(
dxe
x
xz dzdx
dzedxezx
22
)( 2
2
2
2
1
2
11
2
12
2
dzez
38
Integrale Definito: Lunghezza di una curva (1)
Consideriamo una funzione y=f(x). Sia f una funzione continua con derivata
continua in [a,b]. Vogliamo calcolare la lunghezza della curva rappresentata dal
grafico della funzione tra i punti di ascissa a e b.
Per incrementi infinitesimi della variabile x ( da x a x+dx) la variabile y ha un
incremento dy che possiamo approssimare con dy=f’(x)dx (differenziale). Allora la
lunghezza infinitesima della curva dl può essere scritta attraverso il teorema di
Pitagora:
22222
)('1)(' xfdxdxxfdxdydxdl
Ne segue:
b
a
dxxflunghezza2
)('1
dx
dydl)( dxxf
)(xf
x dxx
dxxfdl2' )(1
39
Integrale Definito: Lunghezza di una curva (2) Es. Lunghezza Circonferenza ( di raggio R)
La lunghezza della circonferenza
( di raggio R) vale:
22)( xRxf
RR
dxxR
xdxxfl
0
22
2
0
214)('14
22)('
xR
xxf
R
dxxR
R
022
4
RRarcsenarcsenRtarcsenR
22
4)0()1(4)(41
0
Es. Lunghezza Arco di Parabola 2)( xxf xxf 2)('
2
0
2
1
0
2
1
0
21
2
141)('1 dyydxxdxxfl
478943.1~4
)52ln(52
2
)(1
2
12
0
2
ySettShyy
RR
dtt
Rdx
R
xR
R0
20
2 1
14
1
14
40
Integrale Definito: Lunghezza di una curva (3) Es. Lunghezza Catenaria ( curva lungo la quale si dispone una fune pesante omogenea,
nel campo di gravità, fissata agli estremi).
)()( xChxf )()(' xShxf
aa eeaShaShaSh )(2)()(
a
a
a
a
dxxChdxxShl )()(1 2
41
Integrale Definito: Superficie solidi di rotazione (1)
)( rRaSlat
La superficie del solido di rotazione viene
calcolata come somma (integrale) delle
superfici laterali dei tronchi di cono infinitesimi
di altezza dx.
La superficie laterale di un tronco di cono vale:
Essendo a l’apotema ed R, r i raggi delle basi.
Il primo teorema di Pappo-Guldino assicura che il calcolo della superficie di rotazione
può essere attuato moltiplicando la lunghezza del segmento dl (che genera la superficie
di rotazione) per la lunghezza della circonferenza che il baricentro del segmento
percorre durante la rotazione. Perciò: dlxfdSlat )(2
b
a
b
a
lat dxxfxfdlxfS2' )(1)(2)(2
a b
dx
)(xf
dl
x
42
Integrale Definito: Superficie solidi di rotazione (2)
Es. Superficie Sfera
R
R
sfera dxxR
RxRS
022
2222
22)( xRxfy 22
' )(xR
xxf
22
2' )(1xR
Rxf
2
0
44 RdxRS
R
sfera
43
Integrale Definito: Volumi solidi di rotazione (1/2)
b
a
dxxfV2
)(
a b
dx
)(xf
dxxfdV2
)(
Es. Volume Cono
h
),( RhP
xf(x)rettah
Ry :
hRx
h
Rdxx
h
RV
hh
2
0
3
2
2
0
2
2
3
1
3
hRV 2
3
1
Il volume del solido viene costruito come
somma (integrale) di cilindretti infinitesimi si
“spessore” (altezza) dx e superficie di base
π [f(x)]2.
44
Integrale Definito: Volumi solidi di rotazione (2/2)
Es. Volume Sfera
R
RR
sfera dxR
xRdxxRV
0
2
2
0
22 122
dxR
dy
R
xy
1
33
1
0
33
1
0
23
3
4
3
22
3212 RR
yyRdyyR
22)( xRxfy
45
Integrale Definito:
Volumi solidi di rotazione – asse y (1/2)
c
d
dy
)(1 yfx
2
( )dV g y dy
2
( )
d
c
V g y dy
Volume del solido ottenuto per rotazione del grafico di g(y) attorno all’asse
delle y tra i valori c e d
46
Integrale Definito:
Volumi solidi di rotazione – asse y (2/2)
)(1 yfx
dyyfdV21 )(
d
c
dyyfV21 )(
Cambiamento di
variabile:
f(x)y (y)f 1x
)(
)(
'221
1
1
)()(
df
cf
d
c
dxxfxdyyfV
1
1
( )
2 ' 2 '
( )
( ) ( )
f d b
af c
V x f x dx x f x dx
c
da b
dy
dx
Funzione f invertibile:
Studio Funzione f1
1
)(2
3
x
xxfy
Fare il grafico qualitativo della funzione e calcolare il valore dell’integrale nel tratto
323 x
22
22
)1(
3'
x
xxy
Asintoti verticale : x=-1 e x=1 Asintoti Obliquo : y=x
32
2
)1(
32''
x
xxy
dxx
xxdxdx
x
x
11 22
3
cxx
1ln2
1
2
22
32
3 2
3
1dx
x
x
35,52
11ln
2
9)]2ln()11[ln(
2
1
2
3121ln
2
1
2
32
3
2
32
3
2
x
x
Studio Funzione g1
1 xey
Fare il grafico qualitativo della funzione seguente e calcolare il valore dell’integrale
nel tratto 0≤x ≤ 1
12'
x
x
e
ey
1)1(2
)2(
4
1''
xx
xx
ee
eey Flesso per x=ln(2)
Punto a tangente verticale nell’origine
dxex 1
dxt
tdx
t
edt
et
x
x
2
1
2
1
2
dtt
tdt
t
ttdxex
1
2
1
21
2
2
2
cee xx )1arctan(212
cttdt
tdtdt
t
t)arctan(22
1
122
1
112
22
2
Studio Funzione g1
1 xey
Fare il grafico qualitativo della funzione seguente e calcolare il valore dell’integrale
nel tratto 0≤x ≤ 1
1
01dxex 1
0
1
0 )1arctan(2 12 xx ee
0,78 )1arctan(2 12 11 ee