1

Integrale Definito. (1)

Il problema del calcolo delle aree

Suddivisione dell’intervallo [a,b] in

sottointervalli che ne costituiscono una

partizione

Def. Partizione

Si chiama partizione P dell’intervallo [a,b]

un insieme di (n+1) punti x0=a<x1<..<xn=b ,

comunque scelti tra a e b.

Si pone: ,..,nixxx iii 1 1

1 iii xxh

Def. Raffinamento

Una partizione P1 è detta essere un

raffinamento (o più fine) della partizione P

se:

PP 1

0xa 1x 2x bx 3

2

Integrale Definito: Plurirettangoli

Assumiamo che la funzione f sia limitata nell’intervallo [a,b].

Data una determinata partizione P di [a,b] consideriamo per ogni intervallino Δxi :

• mi = l’estremo inferiore assunto dalla funzione in Δxi

• Mi = l’estremo superiore assunto dalla funzione in Δxi

0xa 1x 2x bx 3

Costruiamo il rettangolo inscritto:

di base Δxi ed altezza mi

Ed associamo ad esso l’ ”area” (che può anche

essere negativa se lo è la funzione) data da:

(Δxi mi).

L’insieme dei rettangoli inscritti costituirà il

plurirettangolo (o scaloide) inscritto.

Costruiamo il rettangolo circoscritto:

di base Δxi ed altezza Mi

Ed associamo ad esso l’ ”area” (che può anche

essere negativa se lo è la funzione) data da:

(Δxi Mi).

L’insieme dei rettangoli inscritti costituirà il

plurirettangolo (o scaloide) circoscritto.

3

Integrale Definito: Somme Superiori ed Inferiori (1)

0xa 1x 2x bx 3

Def. Somme Superiori i

ii xMfPS ),(

Costituiscono un’approssimazione “per eccesso”

dell’area

Def. Somme Inferiori i

ii xmfPs ),(

Costituiscono un’approssimazione “per difetto”

dell’area

E’ evidente che con più “raffiniamo” la partizione dell’insieme [a,b] , con più riusciremo

ad avere una valutazione precisa dell’area.

Precisamente, passando da una partizione P ad una partizione più fine P1 notiamo che

le somme inferiori aumentano mentre quelle superiori diminuiscono rispettando sempre

la relazione (1). Quindi:

Abbiamo che: (1) ),(),( fPSfPs

(2) ),(),(

),(),( se

1

1

1

fPSfPS

fPsfPsPP ),(),(con 11 fPSfPs

4

Integrale Definito: Somme Superiori ed Inferiori (2)

Aumentando il numero di punti le somme inferiori aumentano

Aumentando il numero di punti le somme superiori diminuiscono

5

Integrale Definito di Riemann: Costruzione

0xa 1x 2x bx 3

Poiché le somme inferiori sono sempre minori od

uguali alle somme superiori, abbiamo che:

Def. Funzione Integrabile (secondo Riemann)

La funzione f è integrabile (secondo Riemann, o

R-integrabile) se (e solo se):

Nota. La classe delle somme inferiori e delle somme superiori sono due classi di numeri

reali una minore dell’altra dunque sono classi separate. Esse possono avere un

elemento separatore (l’unico numero compreso tra le somme inferiori e quelle superiori).

Se tale numero esiste la funzione è detta Riemann-Integrabile (o R-Integrabile) su [a,b]

e tale numero è, per definizione , l’integrale di Riemann della funzione data su [a,b].

SInfsSupPP

SInfsSupPP

Def. Integrale Definito (di Riemann)

Il numero reale precedentemente trovato rappresenta l’integrale definito della

funzione f sull’intervallo [a,b] e si scrive:

b

a

dxxf )(

6

Integrale Definito di Riemann: Osservazioni

a e b sono detti “estremi di integrazione”

a è detto “estremo inferiore” di integrazione

b è detto “estremo superiore” di integrazione

f è detta funzione integranda

Nota. La variabile di integrazione è una variabile “muta”. Per cui le seguenti espressioni

indicano sempre lo stesso numero:

ε ,f)S(P,f)-s(P 0

Teorema 1

Una funzione f limitata su [a,b] è R-integrabile se esiste una partizione P di [a,b] tale

che:

b

a

dxxf )(

b

a

dxxf )( b

a

dttf )( b

a

dyyf )(

Nota. Il teorema precedente afferma che le somme inferiori e superiori, per funzioni R-

integrabili, sono due classi separate ma indefinitamente ravvicinate (o contigue).

7

Funzione non R-Integrabile

Nota. Non tutte le funzioni limitate sono R-integrabili. Daremo più avanti delle condizioni

sufficienti affinché una funzione sia R-Integrabile. Occupiamoci di un esempio di

funzione che NON è R-integrabile:

R\Qx

Qxxf

se 1

se 0)(

i i

iii xxMfPS 11),(

Si consideri l’intervallo [0,1].

Essa è una funzioni limitata.

Per essa, considerato il fatto che qualunque sia la partizione P, nell’intervallino Δxi

compaiono infiniti numeri irrazionali ed infiniti razionali, avremo:

La Funzione di Dirichlet

i i

iii xxmfPs 00),(

Siccome: 1),( fPSInf 0),( fPsSup

La funzione non risulta R-integrabile.

NB La funzione di Dirichlet presenta una discontinuità per ogni numero razionale tra 0 e 1. Notiamo che tali

discontinuità sono infinite e sono numerabili (poiché tali sono i numeri razionali):

8

Integrale Definito: le somme di Riemann

Nota. Considerando funzioni limitate non possiamo affermare che i valori mi ed Mi sono

valori assunti dalla funzioni nell’intervallino Δxi .

Se la funzione f è continua il teorema di Weierstrass assicura il fatto che la funzione

assume in Δxi tali valori, che coincidono con il minimo ed il massimo della funzione

stessa (in Δxi).

Al posto delle somme inferiori e superiori è allora possibile considerare le seguenti

somme di Riemann:

ii

i

ii xtxtffP con )(),(

Teorema 2

Per esse vale il seguente teorema:

Def.

)( ixMaxP

finitofPf

),(lim eintegrabil-R é 0P||

σ(P,f)f(x)dx|P|

b

a0

lim

E vale

9

Integrale Definito: Significato Geometrico. (1) Se la funzione integranda è positiva su [a,b] (a<b) allora

b

a

dxxf )(Rappresenta l’area della regione di piano delimitata

dall’asse delle x , dal grafico della funzione e dalle

rette verticali x=a ed x=b. E risulta:

0)( b

a

dxxf

Se la funzione integranda è negativa su [a,b] (a<b) allora

b

a

dxxf )(Rappresenta l’area della regione di piano in senso

algebrico (in quanto negativa) delimitata dall’asse

delle x , dal grafico della funzione e dalle rette

verticali x=a ed x=b. E risulta:

0)( b

a

dxxf

10

Integrale Definito: Significato Geometrico. (2)

Se la funzione integranda non ha segno fisso su

[a,b] (a<b) allora l’integrale definito può essere

positivo, negativo o nullo.

b

a

dxxf )( ? )(b

a

dxxf

2

0

0)( dxxsen

0

0)cos( dxx

11

Integrale Definito: Significato Geometrico. (3)

Può essere pensato come area della regione di

piano compresa tra le due funzioni f e g.

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

)2()( xxxf

2)( xxg

3

1..)()(

1

0

1

0

dxxgdxxf

12

Integrale Definito: Condizioni Sufficienti

per la R-Integrabilità. (1)

Teorema 3. Se la funzione f è continua su [a,b] allora f è R-Integrabile.

Dim.

Per il teorema di Weierstrass f ammette massimo Mi e minimo mi in ogni

intervallino Δxi .

Esistono quindi in Δxi due punti ti e t*i tali che f(ti)=mi e f(t*i)=Mi . Poiché f è

continua, dalla definizione di limite abbiamo che:

i

iii

i

iii xtftfxmMfPsfPS )()(),(),( *

abtftfttse iiii

)()( : **

Facciamo in modo che |P|<δ allora:

)()()( * abab

xab

xtftfi

i

i

iii

Per il teorema 1 la funzione è R-Integrabile.

Scelto: ab

13

Integrale Definito: Condizioni Sufficienti

per la R-Integrabilità. (2)

Teorema 4. Se la funzione f è limitata su [a,b] e possiede un numero finito di

discontinuità allora f è R-Integrabile.

Es. Il teorema precedente permette di

affermare che funzioni come:

0per x 0

1x0per 1

sin)( xxf

Sono R-integrabili (sull’intervallo [0,1]).

Quanto scritto afferma la Riemann integrabilità della funzione e quindi l’esistenza

dell’area, non il suo valore, evidentemente.

In realtà una funzione R-integrabile può presentare anche un numero infinito (purché al

più numerabile) di discontinuità, tuttavia questa proprietà non può essere generica ma

legata alla proprietà di monotonia della funzione. Vale infatti il seguente teorema:

14

Integrale Definito: Condizioni Sufficienti

per la R-Integrabilità. (3)

Teorema 5. Se la funzione f è monotona (crescente o decrescente) su [a,b] allora f è

R-Integrabile.

Allora la seguente funzione:

0per x 0

1

11x

1

1per

1

)(x

floornnn

xf

presenta un’infinità numerabile di discontinuità .

Risulta però R-integrabile, per il precedente

teorema, proprio perché è monotona crescente

15

Integrale Definito: Condizione necessaria e sufficiente per la R-Integrabilità.

Teorema 6 (di Vitali - Lebesgue).

Sia f : R → R una funzione limitata e nulla al di fuori di un insieme limitato. Allora si equivalgono le

condizioni seguenti:

1) f e integrabile secondo Riemann;

2) l'insieme dei punti di discontinuità di f é trascurabile (nullo) per la misura di Lebesgue.

Se valgono le condizioni, allora f e misurabile e integrabile anche secondo Lebesgue e gli integrali

secondo Riemann e secondo Lebesgue coincidono.

Infine il seguente teorema enuncia una condizione necessaria e sufficiente per essere

R-integrabili, legando l’integrale di Riemann al più generale integrale di Lebesgue (tale

teoria viene formulato nei corsi avanzati di analisi matematica).

16

Integrale Definito: Proprietà (1)

Convenzione 0)(

a

a

dxxf

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

Proprietà

di

additività

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Proprietà di

omogeneità Rkdxxfkdxxkf

b

a

b

a

)()(

Proprietà

di linearità

abdx

b

a

17

Integrale Definito: Proprietà (2)

ba se )()( b

a

b

a

dxxfdxxf

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Proprietà di

additività rispetto

all’intervallo di

integrazione

Proprietà di

monotonia b][a,in )()( 21 xfxfse

b

a

b

a

dxxfdxxf )()( 21

b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

18

Integrale Definito: Teorema della media integrale

Teorema 6 (della Media Integrale o di Lagrange). Si consideri la funzione f continua in [a,b]. Allora esiste almeno un punto c

in [a,b] tale che:

))(()( abcfdxxf

b

a

Siccome f è continua è R-integrabile.

Per il teorema di Weierstrass se m ed M sono il minimo ed il massimo

della funzione in [a,b] abbiamo m≤f(x) ≤ M valida per ogni x in [a,b]. Dalla

proprietà di monotonia dell’integrale segue::

Dim.

b

a

b

a

b

a

Mdxdxxfmdx )( )()()( abMdxxfabm

b

a

Mab

dxxf

m

b

a

)(

)(

Mkmkab

dxxf

b

a

con

)(

)(Il teorema di Darboux

assicura che esiste c in

[a,b] tale che f(c)=k

)()(

)(

cfab

dxxf

b

a

c.v.d.

Def. Media Integrale

)(

)(

ab

dxxf

b

a

19

Integrale Definito: Funzione Integrale

Def. Funzione Integrale

Si consideri la funzione f, R-integrabile su [a,b]. Consideriamo due punti di

[a,b] : x0 ed x. Costruiamo il seguente integrale definito:

x

x

dttf

0

)(

Consideriamo la funzione che ad ogni numero x (in [a,b]) associa il numero

reale definito dalla relazione precedente: tale funzione è la funzione

Integrale di f in [a,b].

Sia f una funzione R-integrabile su [a,b] si definisce funzione integrale F di f su [a,b]

(con origine in x0)

x

x

dttfxF

0

)()(

20

Integrale Definito: Teorema di Torricelli-Barrow

Teorema 7 (di Torricelli - Barrow)

Sia f una funzione continua su [a,b]. Allora la funzione integrale F di f su [a,b] (con

origine x0) è (continua e) derivabile in per ogni x di [a,b] e vale F’(x)=f(x)

Dim.

Si consideri: )()( xFhxFF x

x

hx

x

dttfdttf

00

)()( 0

0

)()(

x

x

hx

x

dttfdttf

hx,xchcfdttf

hx

x

con )()( Applicando il teorema 6 della media integrale.

)()(lim)(

limlim)('000

xfcfh

hcf

h

FxF

hhh

Per la continuità di f

c.v.d.

In generale si può dimostrare che:

Teorema 8 (teorema Generalizzato di Torricelli-Barrow )

Se f è R-integrabile allora F è continua

Se f è continua allora F è derivabile

Se f è derivabile allora F è derivabile con derivata continua

La funzione integrale F risulta nelle ipotesi del teorema (continuità di f) una primitiva di f.

21

Integrale Definito: Teorema fondamentale del calcolo (1)

Teorema 9 (Fondamentale del Calcolo)

Sia f una funzione continua su [a,b]. Sia F una sua primitiva , allora:

Dim.

Si consideri:

b

x

b

a

x

a

dxxfdxxfdxxf

0

0

)()()(

c.v.d.

)()()( aFbFdxxf

b

a

b

x

a

x

dxxfdxxf

00

)()(

)()( aFbF )()( bFaF

)()(:)()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

Convenzione

22

Integrale Definito: Valori Medi

Es. Valore medio di f(x)=x, x2,x3,xn nell’intervallo [0,1]

2

1

1

1

0]1,0[ xdx

x3

1

1

1

0

2

]1,0[

2 dxx

x4

1

1

1

0

3

]1,0[

3 dxx

x

1

1

1

1

0]1,0[

n

dxx

x

n

n

Es. Valore medio di f(x)=sen(x)

nell’intervallo [0,2π]

Es. Valore medio di f(x)=sen2(x)

nell’intervallo [0,2π]

02

)(

)(

2

0]2,0[

dxxsen

xsen

2

)(

)(

2

0

2

]2,0[

2

dxxsen

xsen

2

1

2

1

2

)cos()sin(

2

12

0

xxx

23

Integrale Definito e funzioni primitive

)()(:)()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

Nota.

Gli integrali delle funzioni continue possono essere calcolati con le funzioni primitive

(se queste si possono esprimere per via elementare).

Se la funzione integranda non è continua ma solo R-integrabile, la primitiva potrebbe

non esistere perché, ad esempio, non esistono funzioni derivabili che hanno derivate

con discontinuità a salto. Tuttavia può esistere l’integrale.

Es.

3x2per 3

2x1per 2

1x0per 1

)(xf

6321)(

3

0

dxxf

Non esiste tuttavia una funzione derivabile in

tutto [0,3] che abbia f(x) come funzione derivata

24

Integrale Definito: Integrazione per parti

Teorema 10

b

a

b

a

b

a

dxxgxfxgxfdxxgxf )(')()()()()('

Es. Calcolare l’area compresa tra l’asse delle x e il grafico della funzione ln(x) tra

i punti di ascissa 1 e 2

2

1

2

1

2

1

1)ln()ln( dx

xxxxdxx

386.0~1)2ln(2)2ln(2

2

1

dx

25

Integrazione per sostituzione 1/

dttsendttgdx

ttgx

)()('

)cos()(

40

2

2

2

)cos()( 2

0

ttsent

Area quarto di cerchio di raggio 1

1

0

21 dxx

)1arccos(

)0arccos(

2 ))(()(cos1 dttsent

0)1arccos(

2)0arccos(

2 )()(cos1

dttsent

2

0

22

0

2 )())(()(cos1

dttsendttsent

26

Integrazione per sostituzione 2/

Teorema 11

)(

)(

)('))(()(

b

a

b

a

dttgtgfdxxf

Siano f:[a,b]R continua, Φ :[a,b]R continua,derivabile,con derivata continua e

con Φ’(x) ≠0 in [a,b]. Allora se g è la funzione inversa di Φ, abbiamo

)1(

)0(

2

1

0

2 )cos()(11

arcsen

arcsen

dtttsendxx

)()()()( xarcsenxtsentg

40

2

2

2

)cos()()(cos

2

0

2)1(

0)0(

2

ttsentdtt

arcsen

arcsen

Area quarto di cerchio di raggio 1

Es.

27

Integrale Definito: Area tra grafici di funzioni

)(xf

)(xg

a

b

b

a

dxxgxfA )()(

d

c

a

d

c

b

b

a

dxxfdxxfdxxfdxxfA )()()()( 4321

a b cd

)(1 xf)(2 xf

)(3 xf)(4 xf

a

b

b

a

dxxgdxxfA )()(

28

Integrali impropri di 1° specie (1) Abbiamo sinora parlato di integrali di funzioni limitate (in particolare continue) su

intervalli limitati [a,b]. Esistono delle estensioni sia per funzioni non limitate che per

intervalli non limitati.

Integrazione Funzioni non limitate su intervalli limitati

Integrali IMPROPRI di 1° SPECIE

Si consideri f: (a,b]R non limitata (ad es 1/x in (0,1] ) tale

che f sia R-integrabile su ogni intervallo della forma [a+ε,b]

e tale che :

)(lim xfax

Definiamo allora:

(*) )(lim)(0

b

a

b

a

dxxfdxxf

Se il limite (*) esiste finito allora f si dice integrabile in [a,b] e che l’integrale

IMPROPRIO di 1° SPECIE è convergente

Se il limite (*) è ±∞ allora si dice che l’integrale IMPROPRIO di 1° SPECIE è

divergente

Se il limite (*) non esiste allora si dice che l’integrale IMPROPRIO di 1° SPECIE non

esiste

29

Integrali impropri di 1° specie (2)

Es. Si calcoli: dx

x

1

0

1

x

1

x

1

2 22lim 2lim1

lim0

1

0

1

0

xdx

x

Es. Si calcoli: dx

x

1

0

1

1

0

1

0 lnlim

1lim

xdx

x

Es. Si calcoli: dxxk

1

0

1

11

0

1

0 1lim

1lim

k

xdx

x

k

k

11

1lim

1

0 kk

k

101 se

101 se 1

1

kk

kkk

Per k≠1

Per k=1 vedi es. precedente.

Globalmente:

dxxk

1

0

1

101 se

101 se 1

1

kk

kkk

30

Integrali impropri di 1° specie (3)

Ad es. 1/(x-1)2 in [0,1)

Teorema 12

1k se 1

)( econvergent

1k se a divergente

é )(

11

k

abdxax

k

b

a

k

Vale un risultato perfettamente analogo per: )(

1

b

a

kdx

xb

L’integrale converge se la funzione è infinita di ordine k<1 altrimenti diverge.

(*) )(lim)(0

b

a

b

a

dxxfdxxf

31

Integrali impropri di 1° specie (3)

Analogamente nel caso in cui si abbia:

)(lim xfbx

(**) )(lim)(0

b

a

b

a

dxxfdxxfSi definisce:

Ad es. 1/(x-1)2 in [0,1)

Vale un risultato perfettamente analogo a quello

enunciato nel teorema 12 :

L’integrale converge se la funzione è infinita di ordine k<1 altrimenti diverge.

1k se 1

)( econvergent

1k se a divergente

é )(

11

k

abdxxb

k

b

a

k

Teorema 12-bis

32

Integrale Definito: Integrali impropri di 2° specie (1)

Integrazione Funzioni su intervalli illimitati

Integrali IMPROPRI di 2° SPECIE

Si consideri f: [a,+∞)R continua. Poniamo:

)(lim:)(

k

ak

a

dxxfdxxf

Analogamente, se f:(-∞,a]R continua. Poniamo: )(lim:)(

a

kk

a

dxxfdxxf

Se f:(-∞,+∞) R continua. Poniamo:

h

ah

a

kk

a

a

R

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf )(lim )(lim)()(:)()(

h

khk

R

dxxfdxxfdxxf )(limlim:)()(Ma anche :

33

Integrale Definito: Integrali impropri di 2° specie (2)

Es. Si calcoli:

dxx1

1 22lim 2lim

1lim 1

1

kxdxx k

k

k

k

k

Es. Si calcoli:

dxx

1

1 )ln(lim lnlim

1lim 1

1

kxdxx k

k

k

k

k

Es. Si calcoli:

dxx

1

2

1 111

lim1

lim1

lim11

2

kxdx

x k

k

k

k

k

Es. Si calcoli (per n≠1):

dxxn

1

1

nn

k

n

xdx

x

n

k

kn

k

k

nk 1

1

1lim

1lim

1lim

1

1

1

1

101 se

1

1

101 se

nnn

nn

dxxn

1

1

1 se 1

1

1 se

nn

nPer n=1 vedi es.

precedente.

Globalmente:

L’integrale converge se la funzione è infinitesima di ordine n>1 altrimenti diverge.

34

Integrale Definito: Integrali impropri di 2° specie (3)

Es. Andamento grafico

2

1

x

x

1

35

Integrale Definito: Integrali impropri di 2° specie (4)

Es. Si calcoli:

dxx21

1

h

khk

h

khk

xdxxf )arctan(limlim )(limlim

22)arctan()arctan(limlim kh

hk

36

Integrale Definito: Integrali impropri di 2° specie «particolari»

20

2

dxe x

Ecco infine alcuni integrali impropri riguardanti funzioni di cui la primitiva non è

esprimibile con funzioni «elementari»

2

)sin(

0

dxx

x

2/3

0

2

2)sin(

dxx

37

Integrali impropri di 2° specie «particolari»

2

0

2 dxe x

dxe x2

Per la simmetria pari della funzione integranda

?2

2

dxex

2

xy dydx 2

2222

2

2

dyedxe y

x

?2

1 2

2

2

)(

dxe

x

xz dzdx

dzedxezx

22

)( 2

2

2

2

1

2

11

2

12

2

dzez

38

Integrale Definito: Lunghezza di una curva (1)

Consideriamo una funzione y=f(x). Sia f una funzione continua con derivata

continua in [a,b]. Vogliamo calcolare la lunghezza della curva rappresentata dal

grafico della funzione tra i punti di ascissa a e b.

Per incrementi infinitesimi della variabile x ( da x a x+dx) la variabile y ha un

incremento dy che possiamo approssimare con dy=f’(x)dx (differenziale). Allora la

lunghezza infinitesima della curva dl può essere scritta attraverso il teorema di

Pitagora:

22222

)('1)(' xfdxdxxfdxdydxdl

Ne segue:

b

a

dxxflunghezza2

)('1

dx

dydl)( dxxf

)(xf

x dxx

dxxfdl2' )(1

39

Integrale Definito: Lunghezza di una curva (2) Es. Lunghezza Circonferenza ( di raggio R)

La lunghezza della circonferenza

( di raggio R) vale:

22)( xRxf

RR

dxxR

xdxxfl

0

22

2

0

214)('14

22)('

xR

xxf

R

dxxR

R

022

4

RRarcsenarcsenRtarcsenR

22

4)0()1(4)(41

0

Es. Lunghezza Arco di Parabola 2)( xxf xxf 2)('

2

0

2

1

0

2

1

0

21

2

141)('1 dyydxxdxxfl

478943.1~4

)52ln(52

2

)(1

2

12

0

2

ySettShyy

RR

dtt

Rdx

R

xR

R0

20

2 1

14

1

14

40

Integrale Definito: Lunghezza di una curva (3) Es. Lunghezza Catenaria ( curva lungo la quale si dispone una fune pesante omogenea,

nel campo di gravità, fissata agli estremi).

)()( xChxf )()(' xShxf

aa eeaShaShaSh )(2)()(

a

a

a

a

dxxChdxxShl )()(1 2

41

Integrale Definito: Superficie solidi di rotazione (1)

)( rRaSlat

La superficie del solido di rotazione viene

calcolata come somma (integrale) delle

superfici laterali dei tronchi di cono infinitesimi

di altezza dx.

La superficie laterale di un tronco di cono vale:

Essendo a l’apotema ed R, r i raggi delle basi.

Il primo teorema di Pappo-Guldino assicura che il calcolo della superficie di rotazione

può essere attuato moltiplicando la lunghezza del segmento dl (che genera la superficie

di rotazione) per la lunghezza della circonferenza che il baricentro del segmento

percorre durante la rotazione. Perciò: dlxfdSlat )(2

b

a

b

a

lat dxxfxfdlxfS2' )(1)(2)(2

a b

dx

)(xf

dl

x

42

Integrale Definito: Superficie solidi di rotazione (2)

Es. Superficie Sfera

R

R

sfera dxxR

RxRS

022

2222

22)( xRxfy 22

' )(xR

xxf

22

2' )(1xR

Rxf

2

0

44 RdxRS

R

sfera

43

Integrale Definito: Volumi solidi di rotazione (1/2)

b

a

dxxfV2

)(

a b

dx

)(xf

dxxfdV2

)(

Es. Volume Cono

h

),( RhP

xf(x)rettah

Ry :

hRx

h

Rdxx

h

RV

hh

2

0

3

2

2

0

2

2

3

1

3

hRV 2

3

1

Il volume del solido viene costruito come

somma (integrale) di cilindretti infinitesimi si

“spessore” (altezza) dx e superficie di base

π [f(x)]2.

44

Integrale Definito: Volumi solidi di rotazione (2/2)

Es. Volume Sfera

R

RR

sfera dxR

xRdxxRV

0

2

2

0

22 122

dxR

dy

R

xy

1

33

1

0

33

1

0

23

3

4

3

22

3212 RR

yyRdyyR

22)( xRxfy

45

Integrale Definito:

Volumi solidi di rotazione – asse y (1/2)

c

d

dy

)(1 yfx

2

( )dV g y dy

2

( )

d

c

V g y dy

Volume del solido ottenuto per rotazione del grafico di g(y) attorno all’asse

delle y tra i valori c e d

46

Integrale Definito:

Volumi solidi di rotazione – asse y (2/2)

)(1 yfx

dyyfdV21 )(

d

c

dyyfV21 )(

Cambiamento di

variabile:

f(x)y (y)f 1x

)(

)(

'221

1

1

)()(

df

cf

d

c

dxxfxdyyfV

1

1

( )

2 ' 2 '

( )

( ) ( )

f d b

af c

V x f x dx x f x dx

c

da b

dy

dx

Funzione f invertibile:

Studio Funzione f1

1

)(2

3

x

xxfy

Fare il grafico qualitativo della funzione e calcolare il valore dell’integrale nel tratto

323 x

22

22

)1(

3'

x

xxy

Asintoti verticale : x=-1 e x=1 Asintoti Obliquo : y=x

32

2

)1(

32''

x

xxy

dxx

xxdxdx

x

x

11 22

3

cxx

1ln2

1

2

22

32

3 2

3

1dx

x

x

35,52

11ln

2

9)]2ln()11[ln(

2

1

2

3121ln

2

1

2

32

3

2

32

3

2

x

x

Studio Funzione g1

1 xey

Fare il grafico qualitativo della funzione seguente e calcolare il valore dell’integrale

nel tratto 0≤x ≤ 1

12'

x

x

e

ey

1)1(2

)2(

4

1''

xx

xx

ee

eey Flesso per x=ln(2)

Punto a tangente verticale nell’origine

dxex 1

dxt

tdx

t

edt

et

x

x

2

1

2

1

2

dtt

tdt

t

ttdxex

1

2

1

21

2

2

2

cee xx )1arctan(212

cttdt

tdtdt

t

t)arctan(22

1

122

1

112

22

2

Studio Funzione g1

1 xey

Fare il grafico qualitativo della funzione seguente e calcolare il valore dell’integrale

nel tratto 0≤x ≤ 1

1

01dxex 1

0

1

0 )1arctan(2 12 xx ee

0,78 )1arctan(2 12 11 ee