Energia e Lavoro

1.  Che cos’è l’energia 2.  Energia Cinetica 3.  Lavoro di una forza costante 4.  Lavoro di un forza variabile 5.  Il teorema dell’energia cinetica 6.  Esempio: il lavoro compiuto dalla forza peso 7.  Esempio: il lavoro compiuto per sollevare ed

abbassare un peso 8.  Esempio: lavoro compiuto dalla forza elastica 9.  Esempio: il lavoro compiuto dalla forza di attrito

Ø Dal punto di vista fisico: L’energia è una grandezza fisica scalare associata allo stato di un corpo o di un sistema di corpi .

Ø Se una forza interviene a cambiare lo stato di un corpo il valore numerico dell’energia che lo rappresenta si modifica.

Ø La proprietà più importante del nostro Universo è che in esso l’energia si conserva, si può trasformare , passare da un corpo ad un altro, ma l’energia totale si deve conservare.

Ø Mediante lo studio dell’energia è possibile risolvere dei problemi di dinamica anche senza l’utilizzo delle leggi di newton e questo approccio è molto conveniente soprattutto quando si ha a che fare con forze variabili, cioè quando l’accelerazione non è costante e le equazioni del moto possono risulta molto complicate.

Ø Definizione di Sistema: Ø  Un sistema è un modello semplificato di una piccola porzione di Universo che viene presa in considerazione. Ø Un sistema può essere composto da: una sola particella, un insieme di particelle, una regione di spazio.. Ø Un sistema può cambiare di forma e dimensione ( pallina di gomma ..)

Che cos’è l’energia- definizione di sistema Il termine energia è un parola comunemente usata nel nostro colloquiare quotidiano. Conosciamo molti tipi di energia e gli innumerevoli campi in cui essa può essere utilizzata, sappiamo che qualsiasi movimento richiede energia, che il controllo di alcune “fonti di energia” è stato ed è tuttora una delle cause di guerre tra stati… MA…. Cosa significa in realtà energia?

Energia Cinetica

Energia cinetica di un corpo : energia associata allo stato di moto del corpo

2

21 mvK =

Se ad un certo istante un corpo si muove con una velocità v, sufficientemente inferiore alla velocità della luce, l’energia cinetica del corpo in quell’istante é

Energia Cinetica

Ø L’energia cinetica aumenta quadraticamente all’aumentare del modulo della velocità e se un corpo è fermo la sua energia cinetica è nulla

Ø L’energia cinetica dipende linearmente dalla massa del corpo

Ø L’unità di misura dell’energia è il Joule e si ha che:

Ø Vedremo che la variazione di energia cinetica si collega strettamente ad un nuovo concetto fisico detto Lavoro ( in fisica la parola Lavoro ha un significato diverso da quello comunemente usato).

221 smKgJ ⋅=

Lavoro svolto da una forza costante Consideriamo una forza costante che agisca su un punto materiale e supponiamo per semplicità che il moto avvenga nella direzione della forza. Sia Δr lo spostamento. Definiamo Lavoro della forza il prodotto: Più in generale se il moto avviene in una direzione diversa rispetto alla forza il lavoro è definito come il prodotto scalare della forza per lo spostamento : Dove θ è l’angolo tra la direzione della forza e quella dello spostamento. Siccome L è uno scalare esso può essere positivo, negativo o nullo: Ø Se θ<π/2 ( cioè cos θ >0)la forza ha una componente positiva nella direzione del moto → L>0 ed il lavoro e’ detto lavoro motore

Ø Se π/2<θ<π ( cioè cos θ <0) la forza ha una componente negativa nella direzione del moto allora L<0 ed e’ detto lavoro resistente.

Ø Se θ=π/2 ( cioè cos θ =0)la forza non ha una componente nella direzione del moto → L=0 Ø Se θ=0 ( cioè cos θ =1)la forza e lo spostamento sono paralleli nella direzione del moto → L=F·Δr

rFL Δ⋅=

θcosrFrFL Δ=Δ⋅=!

θ rΔF!

F!

F!

θ rΔ

90°

F!

rΔF! rΔ

Lavoro ( grandezza scalare)

Alcune considerazioni sul lavoro di una forza

θcosrFrFL Δ=Δ⋅=!

Poiché Fcosθ può essere vista come la proiezione della forza sulla direzione dello spostamento Δr, quando forza e spostamento hanno direzioni diverse, il lavoro è compiuto solo dalla componente di nella direzione di Δr. Se quindi la Forza agente su un corpo è perpendicolare allo spostamento la sua componente lungo Δr è nulla e quindi non compie lavoro.

F!

F!

Ø Se la forza agente non è costante ma la traiettoria è lineare (particella che si muove lungo l’asse x ma con forza che varia in funzione della posizione) allora possiamo scomporre la traiettoria stessa in intervalli dx sufficientemente piccoli da poter considerare in essi che la forza sia costante

Ø Possiamo esprimere il lavoro effettuato dalla forza lungo la traiettoria come la somma dei lavori eseguiti nei singoli segmenti di traiettoria: L = Fx1 Δx + Fx2 Δx+ Fx3 Δx+ …. +FxN Δx Cioè:

Se le dimensioni degli intervalli tendono a zero il numero degli intervalli cresce fino ad infinito e la somma tende all’integrale:

Lavoro svolto da una forza variabile(1)

∑∑==

Δ==N

nx

N

nn xFLL

n11

∫∑ =Δ==

→Δ

f

i

n

x

xx

N

nxx

dxFxFL10

lim

NB: Se la forza fosse costante, Fx potrebbe essere estratto dall’integrale e si otterrebbe di nuovo L=Fx·Δx

Il lavoro è pari all’integrale definito di F(x) calcolato tra xi ed xf , cioè è pari all’area sottesa

dalla curva Fx(x) nell’intervallo Δx = xf-xi

Lavoro svolto da una forza variabile(2)

Consideriamo ora un caso più generale, di una particella che si muove lungo una traiettoria tridimensionale mentre è soggetta ad una forza risultante . Il lavoro, che è una grandezza scalare sarà dato dall’integrale del prodotto scalare tra ed il percorso infinitesimo :

∑F!

∑F!

rd!

∫∑ ⋅= rdFL !!

Se in un sistema costituito da una particella su cui agiscono più forze, il lavoro totale compiuto sul sistema è dato dalla somma dei lavori effettuati dalle singole forze:

( )∫ ∑∑ ==f

i

x

xxtot dxFLL

( )∫ ∑∑ ∫ =f

i

f

i

x

xx

x

xx dxFdxF

NB la somma di integrali di funzioni è uguale all’integrale della somma delle funzioni

L’integrale è calcolato lungo il percorso della traiettoria ( integrale di linea)

NB: In ogni caso il lavoro è una grandezza scalare e le sue dimensioni fisiche sono: [M][L]2[T]-2

L’unita’ di misura del lavoro è la stessa dell’energia : il Joule 221 smKgmNJ ⋅=⋅=

Esplicitiamo: Consideriamo una particella sulla quale agisca una forza : dove Fx, Fy, Fz, dipendono da x, y, z rispettivamente (semplificazione) Supponiamo che la particella compia uno spostamento infinitesimo Il lavoro infinitesimo dL, svolto dalla forza F mentre la particella si sposta di sarà: Il lavoro L svolto da F durante lo spostamento dalla posizione iniziale alla posizione finale sarà quindi:

Analisi tridimensionale

∫∫ ⋅== rdFdLL !!

kFjFiFF zyxˆˆˆ ++=

!

( ) ( ) ( )kdzjdyidxrd ˆˆˆ ++=!

rd!

dzFdyFdxFrdFdL zyx ++=⋅=!!

( )iiii zyxr ,,=!

( )ffff zyxr ,,=!

( ) ∫∫∫∫∫ ++=++==f

i

f

i

f

i

z

zz

y

yy

x

xx

f

izyx

f

i

dzFdyFdxFdzFdyFdxFdLL

Teorema dell’energia cinetica

Se si può calcolare il lavoro compiuto dalla forza risultante agente su una particella per effettuare un dato spostamento, sarà possibile calcolare in maniera molto semplice anche la sua variazione di velocità.

Consideriamo una particella che si muove lungo una traiettoria e scomponiamo la sua accelerazione nelle componenti tangente at e radiale ar rispetto alla traiettoria stessa. Definiamo forza tangenziale Ft la componente della forza nella direzione della traiettoria. Il lavoro della forza si può scrivere in termini di tale componente: Ricordiamo che: E sostituendo nell’espressione del lavoro:

tt maF = Forza tangenziale

∫=f

itdrFL

dtdvat = dt

dvmmaF tt ==

∫∫ ==f

i

f

it dr

dtdvmdrFL f

i

f

i

v

v

v

v

f

i

vmvdvmdvdtdrm 2

21

∫∫ ===22

21

21

if mvmvL −=

Dove vi e vf sono le velocità della particella nel punto iniziale e finale dello spostamento

dtdr v

Ricordiamo che per definizione l’energia cinetica di una particella che possiede una velocità v è pari a: Avremo quindi che

Teorema dell’energia cinetica

Quando è svolto lavoro sul sistema e la sola variazione nel sistema è la variazione del modulo della velocità, il lavoro compiuto dalla forza risultante che agisce sul sistema è pari alla variazione dell’energia cinetica della particella che avviene nello spostamento.

2

21 mvK =

Kmvmv if Δ=− 22

21

21 Variazione dell’energia

cinetica della particella

Possiamo quindi enunciare il TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA:

22

21

21

if mvmvKL −=Δ=

Se L>0 ΔK>0 l’energia cinetica aumenta andando dal punto iniziale i al punto finale f

Se L<0 ΔK<0 l’energia cinetica diminuisce nello spostamento da i ad f

Se L=0 ΔK=0 l’energia cinetica non varia

Lavoro compiuto dalla forza gravitazionale

Ø Consideriamo una pallina di massa m che viene gettata in aria verticalmente con una velocità iniziale v0 Ø La pallina è soggetta alla forza gravitazione Ø A causa della presenza di tale forza la velocità della pallina, diminuisce e quindi anche l’energia cinetica Ø Il lavoro che la forza gravitazionale fa sulla pallina durante lo spostamento Δy è:

0v

v

0=vgF!

gF!

gF!

y

202

1 mvKi =

2

21 mvK =

0=K202

1 mvKi =

gmFg!!

−=

Energia cinetica iniziale

θcosyFL gΔ=⎪⎩

⎪⎨

⎧

Δ+

Δ−

=

ymg

ymg Mentre la pallina sale ( θ=180° perche la forza e lo spostamento hanno versi opposti)

Mentre la pallina scende ( θ=0° perche la forza e lo spostamento sono equiversi)

Il segno positivo sta ad indicare che la forza gravitazionale trasferisce energia mgΔy alla particella sotto forma di energia cinetica

Esempio di applicazione del teorema dell’energia cinetica(1)

Consideriamo due punti A e B posti uno sopra all’altro a distanza h ed un corpo di massa m che si muove da A a B con velocità iniziale . Tale corpo è soggetto alla sola forza peso . Determinare la distanza h se B è la posizione di massima altezza che il corpo può raggiungere

B

y

Av!

gmFg!!

= gmFg!!

=

A

h

Av!

Bv!

Possiamo risolverlo da un punto di vista puramente energetico (invece che da un punto di vista dinamico)

Il lavoro sarà sicuramente negativo in quanto lo spostamento da A a B ha verso opposto alla forza peso :

ymgrFL g Δ−=Δ⋅=!

L’unica forza che agisce è la forza peso

mghL −=

Per il teorema dell’energia cinetica si ha: ( ) !2

0

2

21

21

ABAB mvvmTTTmghL −=−=Δ=−=

2

21

Amvmgh −=−gvh A

2

2

= Risultato già visto nello studio della caduta del grave

Supponiamo di sollevare una cassa di massa m dal pavimento ad un’altezza h e poi poggiarlo a terra di nuovo Ø Durante il sollevamento agiscono due forze

Ø Mentre la cassa viene posata di nuovo a terra ( spostamento verso il basso) ancora agiscono due forze

Lavoro compiuto per sollevare ed abbassare un peso

gF!

F!

Forza applicata alla cassa per sollevarla (stesso verso dello spostamento) La

Forza gravitazionale (verso opposto a quello dello spostamento) Lg= -mgh

mghLLLKKK agaiftosollevamen −=+=−=Δ

gF!

F!

Forza applicata alla cassa per non lasciarla cadere ( verso opposto allo spostamento) La=-Fh

Forza gravitazionale (stesso verso verso dello spostamento) Lg= mgh

mghLLLKKK agaiftoabbassamen +=+=−=Δ

Lavoro compiuto per sollevare ed abbassare un peso

mghLLLKKK agaiftosollevamen −=+=−=Δ

mghLLLKKK agaiftoabbassamen +=+=−=Δ

§  La forza applicata trasferisce energia alla cassa (La >0) §  La forza gravitazionale sottrae energia alla cassa (Lg <0)

§  La forza applicata sottrae energia alla cassa (La <0) §  La forza gravitazionale trasferisce energia alla cassa (Lg >0)

NB: Nel caso in cui la cassa parta da ferma (Ki=0) e arrivi alla fine dello spostamento ferma (Kf=0), o nel caso più generale in cui Kf e Ki siano uguali le due relazioni si riducono a:

0=+ ga LL )(cosθmghLL ga −=−=Il lavoro compiuto dalla forza applicata è uguale ed opposto al lavoro compiuto dalla forza gravitazionale

NB: Il lavoro per spostare un qualsiasi corpo dal pavimento ad un’altezza h ( con velocità iniziali e finali nulle) e riabbassarlo sul pavimento ( sempre con velocità iniziali e finali nulle) è NULLO ( non confondete il lavoro con la fatica … ☺)

Per completezza

Lavoro svolto da una molla(1)

Consideriamo una forza elastica agente in una dimensione: Il segno negativo significa che la forza è sempre rivolta in senso contrario a quello dello spostamento dalla posizione di equilibrio x=0. La forza tende quindi sempre a riportare la molla alla posizione di equilibrio e per questo viene chiamata Forza di Richiamo Se x>0 la forza è negativa, Se x<0 la forza è positiva, Quando x=0 la molla non è deformata e la forza è nulla. Quindi se agganciamo un corpo poggiato su un piano orizzontale ad una molla e lo spostiamo di una distanza xmax esso comincerà ad oscillare tra +xmax e –xmax passando per x=0 Il lavoro compiuto da una molla sarà quindi dato dall’integrale ( poiché F varia in funzione di x):

kxF −=

222

21

21

21 )( fi

x

x

x

x

x

x

kxkxkxdxkxdxxFLf

i

f

i

f

i

−=−=−== ∫∫ 22

21

21

fi kxkxL −=

Lavoro svolto da una molla(2) 22

21

21

fi kxkxL −=

Se xi = 0 ed xf = xmax

021 2

max <−= kx

Se xi = - xmax ed xf = 0

021 2

max >= kx

Forza e spostamento sono entrambi rivolti verso il centro di equilibrio, sono quindi equiversi

spostamento

F!

spostamento

F!

Forza e spostamento sono in verso opposto

Il lavoro compiuto dalla molla per andare da –xmax a +xmax è quindi nullo!

∫−=f

i

x

x

dxkxL

∫−

− −=0

0

max

max

xx dxkxL

∫−=max

max

00

x

x dxkxL

=−= ∫−

max

max

x

x

dxkxL 021

21 2

max2max =+− kxkx

Lavoro svolto da una molla(3)

Grafico di F=-kx in funzione di x L’area in giallino è il lavoro della forza di richiamo F della molla durante lo spostamento da –xmax a +xmax. È evidente che le due aree triangolari ( quella corrispondente al lavoro da –xmax a 0 e quella da 0 a +xmax ) si annullano a vicenda, essendo state ottenute moltiplicando la base pari a xmax una volta per kx ed un’altra per –kx Poiché il lavoro è proprio la somma di queste due aree (tenendo conto dei segni ) il lavoro è nullo

=−= ∫f

i

x

x

dxkxL 22

21

21

fi kxkx +−

Il lavoro svolto dalla forza d richiamo della molla è nullo quando lo spostamento iniziale rispetto all’equilibrio e quello finale coincidano

Se xi = xf 021

21 22 =+−= ff kxkxL

Lavoro svolto da una forza applicata alla molla Supponiamo di spostare il blocco collegato alla molla lungo l’asse della molla applicando una forza . Ø Durante lo spostamento : compie un lavoro La , mentre la forza di richiamo della molla compie il lavoro Lm

Ø La variazione di energia cinetica del blocco sarà data dalla somma dei due lavori:

Ø Se il blocco attaccato alla molla è fermo prima e dopo lo spostamento la variazione di energia cinetica è nulla e quindi è nullo anche il lavoro svolto.

Questo si può spiegare tenendo conto del fatto che la forza applicata e la forza di richiamo hanno segno opposti e quindi anche i lavori effettuati dalle due forze.

aF!

aF!

mF!

maif LLKKK +=−=Δ

ma LL −=

Lavoro della forza d’attrito

Ø Consideriamo il caso dell’azione della forza di attrito dinamica su un corpo in moto lungo una certa traiettoria C che effettua uno spostamento d lungo tale traiettoria.

Ø La forza d’attrito è sempre opposta allo spostamento ed il lavoro svolto da tale forza sarà quindi sempre negativo

Ø Il lavoro è dato da:

Ø Se la componenete Normale alla superficie è costane ( non dipende dalla posizione) Si potrà scrivere:

dove d è lo spostamento effettuato dalla posizione iniziale i alla posizione finale f lungo la traiettoria ( attenzione NON è la differenze tra la posizione iniziale e la posizione finale poiché questo integrale è un integrale di linea e dipende dal percorso effettuato NB: Il lavoro è sempre lavoro resistente e dipende dalla traiettoria effettiva del punto materiale. A parità di µd ed N il lavoro dipende dal percorso e non è esprimibile come differenza dei valori di una funzione nei due punti di partenza ed arrivo.

df!

∫∫ −== NdrrdfL ddatt µ!!

∫−= drNL datt µ NdL datt µ−=

Traiettoria C

ddr =∫

Potenza Se vi chiedessero cosa differenzia il motore di una Ferrari da quello di una 500 cosa vi verrebbe spontaneo rispondere? Sicuramente ( SPERO ) una delle risposte sarebbe i cavalli motore… o la Potenza! Ma che cos’è la potenza? Ø  La Potenza è la RAPIDITÀ con cui viene sviluppata una certa quantità di lavoro:

Ø  La potenza si misura in watt (W) dove 1W=J/s ( spesso si trova espressa in termini

di cavallo-vapore (CV) dove 1CV=735,5W

NB: Nel caso particolare in cui una particella si sposta lungo una direzione rettilinea sotto l’azione di una forza costante F che forma un angolo θ con la direzione dello spostamento si potrà scrivere la potenza in termini della forza e della velocità v della particella stessa:

Se θ<π/2 P>0 Se π/2 <θ< π P<0 la forza esegue un lavoro resistente

tLPΔ

= Potenza media dtdLP = Potenza Istantanea

dtdLP = θθ

θ coscoscos FvdtdxF

dtdxF

dtdLP ==== vFP !!

⋅=

Energia Potenziale Ø Un altro tipo generico di energia è l’ENERGIA POTENZIALE che rappresenta l’energia associata allo stato di un sistema di corpi che interagiscono reciprocamente per mezzo di un campo di forze. ES: sistema pallina-Terra che interagiscono mediante la forza gravitazionale. Ø L’energia Potenziale è energia immagazzinata, pronta ad essere trasformata in una qualche altra forma di energia come ad esempio energia cinetica Esempi: La molla compressa (Energia potenziale elastica), un oggetto sospeso nel vuoto ad una certa distanza dal suolo (Energia potenziale gravitazionale) … Ø Il lavoro può essere espresso oltre che mediante la variazione di energia cinetica anche mediante la variazione di energia potenziale Consideriamo il sistema pallina-terra che interagisce attraverso la forza gravitazionale, se applichiamo una forza esterna al sistema per sollevare lentamente la pallina dalla quota ya alla quota yb ( spostamento Δy= yb – ya ) compiamo sul sistema un certo lavoro che, se la pallina risulta a riposo prima e dopo lo spostamento, non può trasformarsi in energia cinetica ( che rimane nulla). Non c’è neanche variazione di energia interna, in quanto non c’è motivo che l’energia della pallina aumenti => L’energia fornita dall’esterno viene “immagazzinata” pronta ad essere trasformata in energia cinetica non appena la pallina viene lasciata cadere . Questa energia è proprio “Energia Potenziale”

Energia potenziale (2)

Consideriamo ora di lanciare in aria la pallina, sappiamo che la forza gravitazionale svolge un lavoro Lg negativo sulla pallina che sta salendo, questo perché la forza gravitazionale “sottrae” energia all’energia cinetica della pallina Questa energia sottratta viene “immagazzinata” sotto forma di energia potenziale gravitazionale del sistema pallina-terra La pallina rallenta fino a fermarsi e poi comincia a ricadere, a causa della forza di gravità Mentre la pallina cade la forza gravitazionale questa volta svolge un lavoro positivo sulla pallina, l’energia immagazzinata ( energia gravitazionale del sistema pallina- terra) viene ora convertita in energia cinetica della pallina. Si può schematizza re questo processo dicendo che la variazione di energia potenziale gravitazionale è pari all’opposto del lavoro svolto sulla pallina dalla forza gravitazionale:

gLU −=ΔStesso ragionamento può essere fatto sul sistema blocco-molla visto pocanzi.

mLU −=Δ

Forze conservative Affinché si possa parlare di energia potenziale di un sistema, il sistema e le forze che agiscono su di esso devono avere determinate proprietà. Ø Il sistema deve consistere di due o più oggetti ed il corpo ed il resto del sistema devono interagire mediante una forza

Ø Quando la configurazione del sistema cambia (es: cambiamenti di posizione o cambiamento di stato di una molla…) la forza compie lavoro (L1) sul corpo con trasferimento dell’energia cinetica in un’altra forma di energia

Ø Quando si cambia il senso della variazione della configurazione la forza inverte il trasferimento di energia svolgendo lavoro (L2)

Ø Se e solo se L1=-L2, cioè se solo se il trasferimento di energia può essere invertito, si può parlare di energia potenziale

Ø Forze che presentano tali proprietà vengono dette FORZE CONSERVATIVE

Ø La forza gravitazionale e la forza elastica sono forze conservative

Ø Le forze di attrito non sono forze conservative ( l’energia cinetica viene trasformata in energia termica ed il processo non è invertibile) e l’energia termica non è un’energia potenziale

Come facciamo a capire se una forza è conservativa? Ø Il lavoro compiuto da una forza conservativa su una particella che si muove tra due punti qualsiasi non dipende dal percorso eseguito ma solo dalle posizioni iniziale e finale Ø Per calcolare del lavoro eseguito è quindi possibile utilizzare qualsiasi percorso colleghi il punto iniziale a con quello finale b.

Ø Il lavoro è esprimibile come differenza dei valori di una funzione nei punti finale ed iniziale della traiettoria.

Ø Nel caso in cui si invertano il punto iniziale e finale, ovvero si inverte la direzione di percorrenza della traiettoria, cambia solo il segno del lavoro eseguito.

Ø Un qualunque percorso chiuso può essere pensato come la somma di un percorso di andata tra due punti qualunque della traiettoria ed un percorso di ritorno tra gli stessi punti. Si ha quindi che il lavoro di una forza conservativa che agisce su una particella che si muove lungo un percorso chiuso è nullo

Forze Conservative

ababab LLLL === 21

baab LLL −==

021 =+= baab LLL

Determinazione dell’energia potenziale (1)

Consideriamo un corpo che fa parte di un sistema sul quale agisca una forza conservativa F. Quando la Forza compie lavoro la variazione dell’energia potenziale è pari all’opposto del lavoro svolto. Nel caso generale in cui la forza conservativa varia durante lo spostamento:

ΔU = (Uf−U

i) = −L

∫−=−=Δf

i

x

x

dxxFLU )(

Ø Non esiste una forma generale per l’energia potenziale, ma dipende dalla forza conservativa a cui si riferisce. Ø L’energia potenziale di una forza conservativa permette di calcolare rapidamente il lavoro eseguito su qualunque traiettoria. Ø Da una forza conservativa non si può ricavare lavoro se il percorso è chiuso, ovvero, come si dice, se il processo è ciclico.

∫−=−=Δf

i

rdFLU !!

Energia potenziale e Lavoro

Abbiamo visto che la variazione di energia potenziale è pari all’opposto del lavoro svolto dalla forza conservativa agente sulla particella facente parte del sistema in studio A partire dalla definizione si può osservare che: Ø Se l’energia potenziale aumenta, il lavoro eseguito è negativo ( il lavoro viene fatto dall’esterno sul sistema) Ciò significa che non si può estrarre lavoro dalla forza durante un processo in cui l’energia potenziale aumenta, ma sarà necessario fornire lavoro dall’ esterno perché il processo sia possibile. Ø Se l’energia potenziale diminuisce, il lavoro eseguito e’ positivo e si può utilizzare durante il processo.

L’energia potenziale indica la capacità della forza di fornire lavoro. Ø L’energia potenziale è definita a meno di una costante, infatti: se aggiungiamo (o sottraiamo) una costante c all’energia potenziale:

la nuova espressione per l’energia potenziale soddisfa ancora la relazione:

LU −=Δ

cUU +='LU −=Δ

LUcAUcBUAUBUU −=Δ=−−+=−=Δ )()()(')(''

0 0 <>Δ LU

0 0 ><Δ LU

Energia potenziale gravitazionale

Consideriamo una particella di massa m che si muove verticalmente lungo l’asse y da un punto yi ad un punto yf. Tale particella subisce il lavoro svolto dalla forza gravitazionale . La variazione di energia potenziale sarà data da:

∫−=−=Δf

i

y

yg dyyFLU )( ( ) ymgymgdymg f

i

f

i

y

y

y

y

Δ==−−= ∫

ymgU Δ=Δ

Energia potenziale gravitazionale

In fisica sono importanti solo le variazioni ΔU di energia potenziali ( l’energia potenziale è sempre definita a meno di una costante) A volte però per semplificare i calcoli conviene associare un particolare valore di U ad una certo stato del sistema in cui la particella si trova in una determinata posizione y. Se quindi associamo un valore Ui =0 all’energia potenziale del sistema nella configurazione iniziale ( o di riferimento) yi=0 , possiamo scrivere:

mgyU =L’energia potenziale gravitazionale associata ad un sistema particella-Terra dipende dalla posizione verticale y della particella rispetto alla posizione di riferimento y=0

if yyy −=Δ

yyyy i =−=Δ

Energia Meccanica e conservazione dell’Energia Meccanica

Consideriamo un corpo che si muove dal punto A al punto B sotto l’azione della sola forza gravitazionale, il lavoro compiuto sul corpo è quindi pari sia alla variazione dell’energia potenziale gravitazionale cambiata di segno, sia alla variazione di energia cinetica del corpo :

y

UA=mgy

A

KA=12mv

A2

UB=mgy

B

KB=12mv

B2

LAB= −mgh = −ΔU =U

A−U

B=mgy

A−mgy

B

LAB= ΔT =T

B−T

A=

12mv

B2 −

12mv

A2

mgyA−mgy

B=

12mv

B2 −

12mv

A2

12mv

A2 +mgy

A=

12mv

B2 +mgy

B

TA+U

A=T

B+U

B

12mv2 +mgy =T +U = costante

A

B

yA

yB

h=

y B-y

A

Energia Meccanica e conservazione dell’Energia Meccanica

L’energia meccanica E di un sistema è l’energia totale data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale relativa ai corpi che compongono il sistema stesso.

E = U+T Per il lavoro delle forze conservative valgono allora due relazioni: 1)   Teorema dell’energia cinetica ( questo teorema vale per tutte le forze, conservative e non):

2) Definizione di energia potenziale ( questa vale solo per le forze conservative):

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA: Quando in un sistema isolato agiscono solo forze conservative l’energia potenziale e quella cinetica posso variare singolarmente, ma la loro somma, l’energia meccanica E del sistema, deve rimanere costante

L =12mv

f2 −12mv

i2 =T

f−T

i= ΔT

UUUL fi Δ−=−=

L =Tf−T

i= ΔT = −ΔU =U

i−U

fUi+T

i=U

f+T

f

E =U +T = cost conservazione dell’energia meccanica

Principio di conservazione dell’Energia Meccanica- Applicazione

ΔE = ΔU +ΔT = 0E =U +T = costIl principio di conservazione dell’energia meccanica ci permette di risolvere in

maniera molto semplice problemi che dal punto di vista dinamico sarebbero molto complessi

Energia totale e forza peso

Abbiamo visto che l’energia potenziale gravitazionale può essere espressa come:

U=mgy Sappiamo che, nel caso della caduta di un grave, si conserva l’energia totale data da:

E =T+U= ½m v2 + mgy = costante

Consideriamo quindi un corpo che scivola su un piano inclinato privo di attrito. La reazione vincolare è sempre perpendicolare alla traiettoria e non compie lavoro. Se il corpo parte da fermo da un’altezza h, arriverà alla fine del piano con velocità tale che:

E = Ui +Ti = mgh + 0 = Uf +Tf = 0 + ½ m v2

Da cui: La velocità è quindi indipendente dalla massa del corpo (come già sapevamo) e dall’inclinazione del piano. Nel moto l’energia potenziale si e’ trasformata in energia cinetica.

ghv 2=

Esempio Consideriamo un camion che scendendo da una discesa incontra poi una salita che ha una pendenza di 15°. Quando arriva alla salita ha una velocità di 130 km/h. Calcolare la distanza minima L dall’inizio della salita che il camion deve percorre prima di fermarsi ( non c’è attrito ed il pilota toglie la marcia).

Ti=

12mv

i2 U

i= 0

Tf= 0 U

f=mgh =mgLsin 15°( )

E = cost =Ti+U

i=T

f+U

f

E =12mv

i2 =mgLsin 15°( )

L =mv

i2

2mg sin 15°( )=

vi2

2g sin 15°( )=

36.1m s( )2

2 ⋅9.81 ⋅0.258= 258m

Stato iniziale ( camion che affronta la salita):

Stato finale ( camion che si ferma):

Conservazione dell’energia meccanica:

( )°= 15sinLh

h

Energia potenziale elastica

Consideriamo un sistema blocco-molla con il blocco attaccato ad una delle estremità della molla di costante elastica k. Durante lo spostamento del blocco dalla posizione xi alla posizione xf la forza di richiamo F=-kx compie del lavoro sul blocco. La variazione di energia potenziale sarà data da:

ΔU = −L = − Fm(x)dx

xi

xf

∫ = − −kx( )dx =yi

yf

∫ 12kx2

xi

xf=

12k Δx2

ΔU =12k x2

f− x

i2( )

Analogamente a quanto fatto per l’energia potenziale gravitazionale, associamo un valore di U ad una posizione di riferimento. Poniamo U=0 quando x=0 (cioè quando il blocco passa per la posizione di equilibrio della molla)

2

21 kxU =

Energia potenziale

elastica

x = xmax

T = 0 ed U =Umax

= E

Nel caso di una forza elastica si conserva l’energia meccanica data dalla somma: Ø Quando la molla viene compressa oppure dilatata aumenta lo spostamento x e quindi l’energia potenziale. Ø Affinché l’energia meccanica del sistema si conservi, l’energia cinetica (e la velocità del corpo) deve diminuire, fino al limite di massima compressione o dilatazione in cui si ha :

Ø Durante il processo di allungamento o compressione della molla, la molla compie lavoro resistente

Ø Quando la molla torna verso la sua posizione di riposo l’energia potenziale si trasforma in energia cinetica: U diminuisce e T aumenta finché nella posizione x=0 si ha:

Ø Durante il processo di “scaricamento della molla” la molla compie lavoro motore Quando la molla passa per il punto di equilibrio la velocità raggiunge il valore massimo (in modulo). NB: Il lavoro totale compiuto durante una oscillazione completa è NULLO .

Energia totale e forza elastica

E = cost =T +U =12mv2 +

12kx2

x = 0 U = 0 e T =Tmax

= E

Esempio: il pendolo

Pendolo: Un corpo di massa m è fissato ad un punto tramite un filo inestensibile di lunghezza L (oppure ad un’asticella di massa trascurabile) sottoposto alla forza peso.

Il corpo è, ogni istante, sottoposto sia alla forza peso P, sia alla tensione del filo T , che lo mantiene a distanza costante L dal punto fisso, ed è diretto come il filo. L o s p o s t a m e n t o è s e m p r e perpendicolare alla tensione del filo, lungo una traiettoria circolare

Esempio: il Pendolo (2)

• Le forze che agiscono sul pendolo sono la tensione del filo T e la forza peso P. Lo spostamento è sempre lungo la tangente alla traiettoria circolare che compie la massa m durante la sua oscillazione • La tensione del filo quindi non compie lavoro in quanto istante per istante è perpendicolare allo spostamento. • Il lavoro è svolto solo dalla forza peso. La variazione di energia potenziale sarà quindi : L

P= −ΔU = −mgy

f+mgy

i

Dato un pendolo costituito da un filo inestensibile di lunghezza L e da una massa m attaccato ad esso, determinare la velocità del pendolo nel punto più basso di oscillazione se l’angolo massimo di oscillazione è θmax

Scegliamo come riferimento per le quote la quota minima. Durante l’oscillazione si conserva l’energia totale data da: E = T+U=½m v2

+ mgy = costante

Nella posizione di massima altezza avremo: E = U= mgymax = mgL (1 - cosθmax) (K=0) Nella posizione di minima quota avremo invece: E = K = 1/2 m v2

(U=0) 1/2 m v2 = mgL(1 - cosθmax)

v = 2gL 1− cosθmax( )

ymax

θmax

L L

cosθm

ax

L-L cosθmax =L(1- cosθmax )

Lavoro svolto su un sistema da una forza esterna

Consideriamo una forza esterna che agisce su un sistema. Il lavoro è l’energia trasferita a o da il sistema per mezzo della forza esterna che agisce su di esso

Sistema Sistema

L>0 Energia trasferita al sistema

L<0 Energia sottratta al sistema

Ø Se il sistema è costituito da un’unica particella puntiforme il trasferimento di energia avviene solo attraverso la variazione di energia cinetica Ø Se il sistema è più complesso la variazione di energia può avvenire anche attraverso altre forme (es: energia potenziale)

Lavoro delle forze non conservative

Ø Nel caso in cui agiscano forze non conservative, quali la forza d’attrito, non si può definire una energia potenziale. Ø Il lavoro dipende dalla traiettoria Ø È sempre valido il teorema dell’energia cinetica: Ø Se agiscono contemporaneamente forze conservative e forze non conservative il lavoro compiuto sul sistema sarà dato dalla somma del lavoro compiuto dalle forze conservative e da quello compiuto dalle forze non conservative:

Ma è vero anche che: si può quindi scrivere: Il lavoro delle forze non conservative è pari alla variazione di energia meccanica

L = Ftdr

i

f

∫ =12mv

f2 −12mv

i2

ncc LLL +=

!22

21

21

ifUUcnc mvmvULcicf

−+Δ=−

ELnc Δ=

!"#!"#percorso dal dip.percorso dal dip.non

∫∫ +=f

inc

f

ic drFdrF

tt= −ΔU

c+L

nc

= Ucf+T

f( )− Uci+T

i( ) = Ef−E

i= ΔE

L =12mv2

f−

12mv2

i

Lnc= ΔU

c+L©

v

jiij FF −=

iP

jP

jiF!

ijF!

Sistemi di punti materiali -Forze interne ed esterne

Ø Consideriamo un sistema di n punti materiali, interagenti tra loro e con il resto dell’universo. Ø In generale sul punto j agiranno forze esercitate dagli altri n-1 punti materiali dette forze interne e le forze esercitate da agenti esterni al sistema, dette forze esterne . Ø La forza agente sul singolo punto j e’ data dalla risultante di tutte le forze agenti:

Ø Per le forze interne vale il principio di azione e reazione: per ogni forza interna esiste un’altra forza interna tale che Fij =- Fji .

IF!

EF!

ijF!

jiF!

∑∑ +=k

Ek

n

Injj FFF

!!!

Sistemi di punti materiali -Forze interne ed esterne

Ø Consideriamo la risultante di tutte le forze agenti su tutti i punti di un sistema:

Ø Le forze interne si annullano a coppie quindi:

Si ha che: La risultante delle forze agenti su un sistema è pari alla risultante delle sole forze esterne

∑∑ +=k

Ek

nnjj FFF

!!!

EI

j k

Ek

nnj

jj RRFFFR

!!!!!!+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+== ∑ ∑∑∑

∑∑ ∑ ==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

jnnj

j nnj

I FFR 0!!!

E

j k

Ek RFR

!!!=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=∑ ∑

Somma di tutte le forze ESTERNE

agenti sul j-simo punto del

sistema

Risultante delle forze agenti sul j-simo puntodel sistema

Somma di tutte le forze ESTERNE agenti sul j-simo

punto del sistema

Somma di tutte le forze

INTERNE agenti sul sistema

Somma di tutte le forze

INTERNE agenti sul sistema

Quantità di moto(1)

Nuova grandezza : la quantità di moto Ø La quantità di moto di un corpo di massa m è un vettore pari al prodotto della vettore velocità moltiplicato per la massa del corpo stesso

Ø La quantità di moto ha stessa direzione e verso del vettore velocità Ø Questa grandezza racchiude in sé sia le proprietà di moto del corpo che di resistenza alla modifica di tale moto . Ø La quantità di moto ha un significato più generale della massa o della velocità prese singolarmente, e distingue tra corpi di masse diverse che si muovono con stessa velocità. Ø Le dimensioni della quantità di moto sono [M][L][T]-1 e l’unità di misura è kg·m/s Ø La quantità di moto di un corpo spesso è chiamata “momento del corpo” Ø Se il corpo si muove in una direzione qualsiasi dello spazio, si può descrivere mediante le sue tre componenti lungo x,y e z:

dove:

!p =mv

!p

p!

!p = p

xi + p

yj + p

zk

px=mv

x

py=mv

y

pz=mv

z

!

"##

$##

La quantità di moto permette di definire la seconda legge di Newton in una forma generalizzata. La forma che abbiamo visto : vale infatti solo nel caso in cui m rimanga costante. Riformulando questa legge mediante la quantità di moto, si includono anche i casi un cui m varia. Legge di Newton generalizzata: La rapidità di variazione della quantità di moto ( la sua derivata ) di un corpo è proporzionale alla risultante delle forze che agisce sul corpo ed ha la stessa direzione Naturalmente se m è costante le due formule coincidono:

Quantità di moto(2)

!F =

d!pdt

∑ Forma generalizzata della 2° legge di Newton

!F∑ =m

!a

!F =

d!pdt

∑ =d m

!v( )

dt=dmdt0!

!v +m

d!vdt

=md!vdt

=m!a

La quantità di moto di una particella varia se su di essa è applicata una forza risultante non nulla

jiij FF −=

iP

jP

jiF!

ijF!

Sistemi di punti materiali -Forze interne ed esterne

Ø Consideriamo un sistema di n punti materiali, interagenti tra loro e con il resto dell’universo. Ø In generale sul punto j agiranno forze esercitate dagli altri n-1 punti materiali dette forze interne e le forze esercitate da agenti esterni al sistema, dette forze esterne . Ø La forza agente sul singolo punto j e’ data dalla risultante di tutte le forze agenti:

Ø Per le forze interne vale il principio di azione e reazione: per ogni forza interna esiste un’altra forza interna tale che Fij =- Fji .

IF!

EF!

ijF!

jiF!

∑∑ +=k

Ek

n

Injj FFF

!!!

Sistemi di punti materiali -Forze interne ed esterne

Ø Consideriamo la risultante di tutte le forze agenti su tutti i punti di un sistema:

Ø Le forze interne si annullano a coppie quindi:

Si ha che: La risultante delle forze agenti su un sistema è pari alla risultante delle sole forze esterne

∑∑ +=k

Ek

nnjj FFF

!!!

EI

j k

Ek

nnj

jj RRFFFR

!!!!!!+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+== ∑ ∑∑∑

∑∑ ∑ ==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

jnnj

j nnj

I FFR 0!!!

!R =

!FkE

k

∑"

#$

%

&'

j

∑ =!RE

Somma di tutte le forze ESTERNE

agenti sul j-simo punto del

sistema

Risultante delle forze agenti sul j-simo puntodel sistema

Somma di tutte le forze ESTERNE agenti sul j-simo

punto del sistema

Somma di tutte le forze

INTERNE agenti sul sistema

Somma di tutte le forze

INTERNE agenti sul sistema

Un sistema per il quale risulta che la risultante delle forze esterne agenti su di esso è nulla si dice ISOLATO Un sistema che non scambia massa con l’esterno si dice CHIUSO

Se la massa delle due particelle rimane costante nel tempo si può trasformare la somma di derivate in una derivata della somma: Ma: Si trova quindi che:

= la quantità di moto totale del sistema isolato

Quantità di moto di un sistema isolato Se consideriamo un sistema isolato (RE=0) , costituito da due o più particelle la quantità di moto totale di tale sistema, dato dalla somma delle quantità di moto delle particelle che lo compongono ( ) , si conserva Per semplicità consideriamo un sistema costituito da due particelle di massa m1 ed m2 che interagiscono tra di loro. L’interazione tra le due palline per il terzo principio della dinamica avviene mediante una coppia di forze e tali che: 12F

!21F!

!F12= −!F21

Per il secondo principio della dinamica questa relazione si può riscrivere:

m1

!a1+m

2

!a2= 0

!F21+!F12= 0

d m1

!v1+m

2

!v2( )

dt= 0

m1

d!v1

dt+m

2

d!v2

dt= 0

d m1

!v1( )

dt+d m

2

!v2( )

dt= 0

d m1

!v1+m

2

!v2( )

dt=d!p1+!p2( )

dt=d!Pdt

= 0

!P

0=dtPd!

costante=P!

!P !

P = pi

i

∑

in un sistema isolato la variazione della quantità di moto totale del

sistema è nulla e rimane costante P!

Un arciere di massa mA= 60kg è fermo su un blocco di ghiaccio ( assenza di attrito) e tira una freccia di massa mF= 0.50 kg orizzontalmente a 50m/s. L’arciere comincerà a muoversi immediatamente dopo il lancio? Se sì, con quale velocità ?

Esempio dell’arciere

Questo esercizio non può essere svolto solo utilizzando la conservazione della quantità di moto del sistema ARCIERE-FRECCIA Il sistema in realtà non è isolato in quanto sia sulla freccia che sull’arciere agisce la forza gravitazionale e la normale . Queste forze però sono perpendicolari al moto del sistema. Non esistono quindi forze esterne che agiscono lungo l’asse orizzontale e possiamo considerare il sistema isolato lungo tale direzione.

La quantità di moto totale del sistema lungo la direzione orizzontale si deve conservare: Poiché prima del lancio la quantità di moto del sistema era nulla anche dopo il lancio essa dovrà risultare nulla, quindi poiché la freccia si muove anche l’arciere si dovrà muovere in modo da compensare con la sua quantità di moto la quantità di moto della freccia:

mAvAx+m

FvFx=m

AvAi+m

FvFi=m

AvAf+m

FvFf= costante

mAvAi+m

FvFi= 0 v

Af= −m

F

mA

vFf= −0.42m sm

AvAf+m

FvFf= 0

Impulso e quantità di moto

Abbiamo visto che la quantità di moto di una particella varia se su di essa agisce una forza risultante non nulla: !

F =d!pdt

∑Riscriviamo questa relazione esplicitando dp e quindi integriamo per ottenere la variazione della quantità di moto nell’intervallo di tempo Δt=tf -ti:

d!p =

!Fdt∑ d

!p

i

f

∫ =!pf−!pi= Δ!p =

!Fdt∑

ti

tf

∫

Questo integrale della forza rispetto al tempo è definito IMPULSO DELLA FORZA L’impulso è un vettore che ha stessa direzione della variazione della quantità di moto e le dimensioni della quantità di moto

∫∑ Δ==f

i

t

t

pdtFI !!!I!

Quando la forza applicata è costante (nel tempo) l’impulso è dato semplicemente dal prodotto della forza per l’intervallo di tempo in cui essa è applicata !

I =!FΔt = Δ

!p

Introducendo il concetto media temporale della forza risultante media si può esprimere il teorema dell’impulso tramite la relazione equivalente:

Impulso per un sistema di corpi

Nel caso di un sistema di particelle sul quale agisce una forza risultante esterna che produce quindi una variazione della quantità di moto totale del sistema si ha: dove ∫ Δ==

f

i

t

t

PdtRI!!!

∑= estFR!!

L’impulso passato ad un sistema è pari alla variazione della quantità di moto totale del sistema nell’intervallo di tempo Δt Quindi, quando viene dato ad un sistema un impulso, significa che una certa quantità di moto viene fornita al sistema dall’esterno

NB: per come è definito l’impulso, graficamente esso è uguale all’area sottesa alla curva F(t) in funzione di t, nell’intervallo di tempo compreso tra ti e tf .

∫∑=f

i

t

t

FdtI

Nel caso particolare che la forza risultante sia costante nel tempo l’impulso può essere riscritto nella forma:

tRPI Δ=Δ=!!!

∫Δ=

it

dtRt

R!! 1

tRPI Δ=Δ=!!!

risultante media

costante=R!

mediaFR =!

Approssimazione dell’Impulso: Ø In molte situazioni si può assumere che una delle forze agenti su una particella agisca per un breve intervallo di tempo, ma che in tale intervallo sia molto più intensa delle altre. Ø In questa approssimazione si può trascurare il contributo all’impulso da parte delle altre forze agenti e la variazione di quantità di moto della particella sarà determinata dall’impulso della sola forza dominante. Ø Negli urti tra particelle si assume che la mutua interazione tra le particelle nell’urto sia molto più intensa di tutte le forze esterne. Ø L’urto può essere dovuto ad un contatto fisico tra due corpi (valido solo a livello macroscopico) o ad un’interazione molto intensa che non prevede il “contatto fisico” ( urto a livello microscopico) Ø Quando due particelle di massa m1 ed m2 si urtano e consideriamo queste due particelle come un sistema isolato, la loro quantità di moto totale si conserva infatti:

dove

Forze impulsive ed urti

∫=Δf

i

dtFp 121

!!∫=Δf

i

dtFp 212

!!2112 FF!!

−= 21 pp !!Δ−=Δ

021 =Δ+Δ pp !! 02211 =−+− ff ppppii

!!!!!"!#$%%

!"!#$%%

%%fi

ii

P

ff

P

pppp 2121 +=+

cost== fi PP!!

Urti

Abbiamo appena visto che negli urti si conserva la quantità di moto del sistema, in generale però NON si conserva l’energia cinetica. Proprio in funzione del comportamento dell’energia cinetica gli urti vengono differenziati in tre categorie: Ø Urti elastici nei quali si conserva anche l’energia cinetica del sistema ΔK=0

Ø Urti anelastici nei quali NON si conserva l’energia cinetica del sistema ΔK≠0

Ø Urti perfettamente anelastici nei quali NON si conserva l’energia cinetica del sistema (ΔK≠0) ed i corpi dopo l’urto risultano uniti l’uno all’altro e si comportano come un singolo corpo di massa m1+m2

Mentre la quantità di moto si conserva in tutti i tipi di urti, l’energia cinetica si conserva solo negli urti elastici

Consideriamo due particelle di massa m1 ed m2, che si muovono lungo una retta con velocità iniziali Nell’ urto elastico valgono le relazioni: da cui (nel caso di moto in una dimensione) si può ricavare che:

(dimostrazione alla lavagna)

Urti elastici (non c’è dissipazione di energia cinetica)

m1

!v1i+m

2

!v2i=m

1

!v1f+m

2

!v2f

12m1v1i2 +12m2v2i2 =

12m1v1f2 +

12m2v2 f2

!

"#

$#

v1f=m1−m

2

m1+m

2

"

#$$

%

&''v1i

+2m

2

m1+m

2

"

#$$

%

&''v2i

v2f=

2m1

m1+m

2

!

"##

$

%&&v1i

+m2−m

1

m1+m

2

!

"##

$

%&&v2i

!v

1i e !v

2i

Conservazione della quantità di moto

Conservazione dell’energia cinetica

m1v1i+m

2v2i=m

1v1f+m

2v2f

NB: le velocità possono essere positive negative o nulle

Urti elastici- qualche caso particolare

Ø Se m1=m2 Cioè in un urto frontale tra due particelle uguali queste si scambiano la velocità

Ø Se la particella 2 è inizialmente in quiete ( )

Ø Se m1>>m2 e Cioè se una massa molto pesante urta una massa leggera inizialmente ferma, la pallina molto più pesante prosegue indisturbata il suo moto mentre la massa più piccola rimbalza con velocità doppia rispetto a quella iniziale della particella pesante Ø Se m2>>m1 e Cioè se una massa molto leggera urta una massa molto pesante inizialmente ferma, la pallina leggera inverte la sua direzione mantenendo

costante la sua velocità mentre quella pesante rimane ferma

v1f=m1−m

2

m1+m

2

"

#$$

%

&''v1i +

2m2

m1+m

2

"

#$$

%

&''v2i v2 f =

2m1

m1+m

2

!

"##

$

%&&v1i +

m2−m

1

m1+m

2

!

"##

$

%&&v2i

v1f= +v

2iv2 f= v

1i

v2i= 0

v1f=m1−m

2

m1+m

2

"

#$$

%

&''v1i

v2 f=

2m1

m1+m

2

!

"##

$

%&&v1i

v2i= 0 v

1f≅ v

1i

v2 f≅ 2v

if

v2i= 0 v

1f≅ −v

1i

v2 f≅ 0

Urto perfettamente anelastico

Consideriamo due particelle di massa m1 ed m2, che si muovono lungo una retta con velocità iniziali Dopo un urto perfettamente anelastico tra le due particelle esse risultano “ fuse insieme” e si muovono con una stessa velocità finale La quantità totale del sistema si conserva:

ii vv 21 e !!

fv!

m1v1i+m

1v2i= m

1+m

2( )vf

vf=m1v1i+m

1v2i

m1+m

2

Conoscendo quindi le velocità iniziali delle due particelle è possibile calcolare la velocità finale comune

Sistema di punti In generale, per determinare completamente il moto di un sistema costituito da n punti materiali, si deve risolvere un sistema di 3n equazioni. Abbiamo infatti che: Il moto del sistema verrà descritto da n equazioni vettoriali (una per ciascun punto):

con j=1,n Ed ognuna di queste equazioni vettoriali può essere riscritta come tre equazioni lungo x,y,z: Definiamo allora per ciascun punto i-simo le seguenti grandezze:

Posizione: velocità

Accelerazione: quantità di moto

Momento Angolare: energia cinetica

Per il sistema complessivo di punti definiamo inoltre:

Quantità di moto totale del sistema

Momento angolare totale del sistema

Energia cinetica totale del sistema

mj

!aj=!Fj

mjajx= F

jx m

jajy= F

jy m

jajz= F

jz j =1,n

!ri!ai=!Fimi

!vi!pi=m

i

!vi

Ti=1 2m

ivi2

!Li=!ri×m

i

!vi

∑∑ ==i

iii

i vmpP !!!

∑∑ ×==i

iiii

i vmrLL !!!!

T = Ti

i

∑ = 1 2mivi2

i

∑

Descrivere il moto di un corpo esteso o di un sistema di punti può risultare molto complicato dato che ogni punto del corpo si muove in maniera differente dagli altri seguendo traiettorie differenti Consideriamo per esempio una mazza da baseball che viene lanciata roteando in aria. Benché il moto sia complicato e differente per ciascuna parte della mazza, esiste un punto della mazza che si muove come se in esso fosse contenuta tutta la massa della mazza e come se tutte le forze esterne agissero su di lui => moto parabolico Centro di Massa: di un corpo o di un sistema di corpi è il punto che si muove come se tutta la massa fosse contenuta in esso e come se tutte le forze esterne agissero su di esso Permette quindi di descrivere il moto complessivo del sistema Dal punto di vista matematico, si definisce centro di massa di un sistema di punti materiali il punto geometrico la cui posizione è individuata dal raggio vettore:

Centro di massa di un sistema

n

nn

ii

iii

m.......mmmmrm.......rmrmrmrm

m

rm

cmR ++++++++++=

∑

∑=

4321

44332211!!!!!

!! Posizione media, pesata in funzione

delle masse

Centro di Massa

n

nn

ii

iii

m.......mmmmrm.......rmrmrmrm

m

rm

cmR ++++++++++=

∑

∑=

4321

44332211!!!!!

!!

Esempio: Centro di massa di due particelle di massa m1 ed m2 Poste entrambe sull’asse x

21

2211mmxmxm

m

xm

cmi

i

iii

x ++=

∑

∑=

Se m2 > m1, xcm si troverà più vicino alla posizione x2

kzjyixr iiiiˆˆˆ ++=

!

dove kzjyixR cmcmcmcmˆˆˆ ++=

!cmR!

Centro di massa

Esempio: Centro di massa di tre particelle di massa m1 ed m2 ed m3 come mostrate in figura .

321

332211mmmrmrmrm

m

rm

cmi

i

iii

R ++++=

∑

∑=

!!!!!

bdx mmbmd

mmmbdmbdmmd

mmmxmxmxm

cm 75

757

42)(4)(2

321

332211 +==== +++

++++++++

hy mmh

mmmymymym

cm 74

7400

321

332211 === ++++++

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

→

mmy

dxr

20

1

1

1

1!

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

+=

→

mmy

bdxr

2

2

2

2 0!

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

+=

→

mmhybdx

r43

3

3

3!

jbibdjyixR cmcmcmˆ

74ˆ

75ˆˆ +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+=!

Moto di un sistema di particelle Consideriamo un sistema costituito da n punti materiali.

Assumendo che la massa totale del sistema rimanga costante possiamo

determinare la velocità del centro di massa integrando il vettore posizione del CM:

Ricordando la definizione di quantità di moto totale del sistema: Possiamo scrivere: La quantità di moto totale del sistema è pari al prodotto della massa totale del sistema per la velocità del suo centro di massa=> cioè è uguale alla quantità di moto di una particella di massa M che si muove con velocità

∑=∑

∑==

iiim

dtrdm

dtRd

cm vmM

vi

i

i

ii

cm!!

!! 1

∑=i

imM

∑ ==i

iii vmpP !!!

PM

vcm!! 1

= Velocità del centro di massa

cmvMP !!=

Quantità di moto totale del

sistema

cmv!

Moto di un sistema di particelle (2) Analogamente a quanto fatto per la velocità si può ricavare l’accelerazione del centro di massa: Se il sistema di riferimento è inerziale: Ricordando che la risultante delle forze interne è nulla:

∑=∑

∑==

iiim

dtvdm

dtvd

cm amM

ai

i

i

ii

cm!!

!

! 1

extii

j

extji

jjiii FFFFam

!!!!!+=+= ∑∑ intint

MRF

Mam

Ma

iest

iiicm

!!!!

∑ ==∑=11

cmest aMR !!=

Teorema del centro di massa: Ø il centro di massa si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema ed a cui sia applicata la risultante delle forze esterne, oppure,

Ø la risultante delle forze esterne agenti sul sistema di particelle è uguale alla massa totale del sistema moltiplicata per l’accelerazione del centro di massa