Elettrostatica(Flusso e legge di Gauss)

Superfici equipotenziali

Dipolo elettrico

ˆp qaj

ˆru

p r

1r

2r

P

q

q

a

u

2 1r r i

j

2 1

1 2 1 2

1 1( ) ( )

r rV P kq kq

r r r r

22 1 1 2 ; r a r r a cos r r r

2 2 2

ˆ ( ) ra cos p cos p uV P kq k k

r r r

2 3

2 3

( ) 2

( ) sin

r

V P k p cos k p cosE

r r r rV P k p cos k p

Er r r

3

ˆ ˆ ˆ ˆ(2 sin )r r r

k pE E u E u cos u u

r

j

i

3

3

2 '

k pE lungo l asse

r

k pE nel piano mediano

r

Linee di campo in un qualsiasi piano contenente l’asse del dipolo

Se si tracciano delle curve determinate, a partire da una generica posizione per spostamenti infinitesimi ortogonali alle superfici equipotenziali e paralleli e concordi al campo elettrico si ottengono le linee di campo

Le linee di campo per una carica puntiforme sono:1. Radiali2. Dense maggiormente dove il campo e più

inteso.

1. Non si incrociano2. Partono da cariche positive e terminano

all’infinito o su cariche negative3. Per cariche uguali le linee partono da + e

si chiudono tutte su -

Nel caso di campo uniforme e superfici pianesi definisce flusso:

( )E EA

ˆ( ) cosE E nA E A

ˆ( )

cosi i i

i i i

E E n A

E A

ˆ( )A

E E ndA

ˆ( )A

E E ndA

1A

2A

3A

int0

ˆ( )

1( )

A

ii

E E ndA

q

11

1 3

0

ˆ( )A A

q qE E ndA

33

ˆ( ) 0A AE E ndA

2

2

2

0

ˆ( )A A

qE E ndA

Legge di Gauss

0

ˆ( )

1A

E E ndA

dq

1 1

1

20

22 2

0 0 0

ˆ ˆ ˆ( )4

44 4

A A

A

qE E ndA r ndA

r

q q qdA r

r r

n

Essendo il flusso attraversole tre superfici lo stesso si ha:

3

2

10

ˆ

ˆ

ˆ

S

S

S

E ndA

E ndA

qE ndA

1 2

1 2 1 21 2

0 0 0 0

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ

A A

A A

E ndA E E ndA

q q q q qE ndA E ndA

Tutte le linee di campo che entranoescono dalla superficie considerata

Supponiamo la carica distribuita in superficie con densità uniforme

2

20 0

ˆ ( ) ( )4

( )4

S SE ndA E r dA E r r

q qE r

r

' '

2ˆ ( ) ( )4

0 ( ) 0

S SE ndA E r dA E r r

E r

Supponiamo la carica distribuita nel volume con densità uniforme

2

20 0

ˆ ( ) ( )4

( )4

S SE ndA E r dA E r r

q qE r

r

2

3

2 20 0 0 0

ˆ ( ) ( )4

' ' 4( )

4 3 4 3

S SE ndA E r dA E r r

q q r rE r

r r

0

0

( ) 4

( ) 4

qV r r R

r

qV r r R

R

2 2

0 0

22 2 2 2

0 0 0

( ) ( )

( )3 6

( ) ( ) (3 )6 3 6

R

r

R

r

r R V r V R Edr

rdr R r

RV r R r R r

0 0 0

ˆ ( ) ( )2

'( )

2

S SE ndA E r dA E r r h

q hE r

r

r

2

11 2

2

0 0 1

( ) ( )

ln2 2

r

r

R

r

V r V r Edr

rdrr r r

0 0 0

ˆ 2

2

S SE ndA EdA EA

q AE

02E

0E

0

E

0E

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

F x y z m G x y z

F x y z qE x y z

Una volta calcolato il campo in funzione della posizione

( , , )

( , , )

G x y z

E x y z

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

in

in

m a F x y z m G x y z

m a F x y z qE x y z

Se si sceglie la stessa unità di misura per la massa inerziale e per quella gravitazionale

( , , )

( , , )

a G x y z

qa E x y z

m

0E

0

E

0E

qiv q

uv

d

0

ˆq qa E i

m m

2 2

0

2 2u i

qv v ad d

m

0

E

0v

q

q

0

20

1

2 y

x v t

y y a t

0

ˆ ˆy

q qa E j a j

m m

0

20

1

2

u u

y u

x v t

y y a t

Noti xu ed y0 bisogna assegnare

assegnare v0 oppure ay