Geometria analitica: curve e superfici - Politecnico di...

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Geometria analitica: curve e superfici Superfici e curve nello spazio ©2006 Politecnico di Torino 1 Geometria analitica: curve e superfici 2 Superfici e curve nello spazio Quadriche Quadriche in forma canonica Quadriche in generale Coni e cilindri Curve nello spazio Coniche nello spazio Coni e cilindri in forma canonica e parametrica Superfici di rotazione

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Geometria analitica: curve e superfici Superfici e curve nello spazio

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Geometria analitica: curve e superfici

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Superfici e curve nello spazio

QuadricheQuadriche in forma canonicaQuadriche in generale Coni e cilindri Curve nello spazioConiche nello spazioConi e cilindri in forma canonica e parametricaSuperfici di rotazione

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Superfici e curve nello spazio

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Equazione di una quadrica

Una quadrica (algebrica) Q è una superficie di definita in forma cartesiana come luogo di zeri di un polinomio p (x, y, z ) di grado 2 in tre variabili a coefficienti reali. Quindi Q ha equazione del tipo

con i coefficienti ai, j non tutti nulli.

2 2 21,1 2,2 3,3

1,2 1,3 2,3

1 2 3

2 2 2

2 2 2 0

+ + +

+ + + +

+ + + + =

a x a y a za xy a xz a yzb x b y b z c

3

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Equazione matriciale

L’equazione in forma matriciale di Q è

dove la matrice simmetrica non nulla A ∈ M3, il vettore B ∈ e lo scalare c ∈ definiscono rispettivamente la parte quadratica, la parte lineare e il termine noto.

: 2 0,+ + =t tQ XAX BX c

3

6

Matrice associata

La matrice associata a Q è

1,1 1,2 1,3 1

1,2 2,2 2,3 2

1,3 2,3 3,3 3

1 2 3

.

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Q

a a a ba a a b

Ma a a bb b b c

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Esempio

Se

3 3 0 13 1 1 2

.0 1 5 2

1 2 2 1

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜− −⎝ ⎠

QM

2 2 2: 3 5 6 2 2

4 2 2 1 0,

− + + + − +

+ − + =

Q x y z xy yz x

y z

8

Considerazioni generali

Si possono studiare le quadriche con le stesse tecniche di algebra lineare utilizzate per le coniche nel piano ottenendo sia superfici in forma cartesiana (compresi i piani) sia insiemi di altro tipo (il ∅, punti, rette, piani, coppie di rette o di piani). Non approfondiremo tale teoria, che risulta notevolmente più complessa di quella delle coniche, ma studieremo alcuni casi importanti.

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Superfici e curve nello spazio

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Ellissoidi (1/2)

Se a, b, c > 0, le quadriche

si dicono ellissoidi in forma canonica con semiassi a, b, c. Osserviamo che per a = b = c abbiamo le sfere di centro O e raggio a.

2 2 2

2 2 21,+ + =

x y za b c

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Ellissoidi (2/2)

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Iperboloidi (1/2)

Se a, b, c > 0, le quadriche

si dicono iperboloidi, rispettivamente a una falda e a due falde, in forma canonica con semiassi a, b, c.

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 21, 1, + − = − − =

x y z x y za b c a b c

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Iperboloidi (2/2)

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Paraboloidi (1/2)

Se a, b > 0, le quadriche

si dicono paraboloidi, rispettivamente ellittici e iperbolici, in forma canonica con semiassi a, b.

2 2 2 2

2 2 2 22 0, 2 0,+ − = − − =

x y x yz za b a b

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Paraboloidi (2/2)

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Osservazioni

Gli ellissoidi e gli iperboloidi in forma canonica hanno l’origine come centro di simmetria e gli assi e i piani coordinati come assi e piani di simmetria.

I paraboloidi in forma canonica hanno l’asse delle z come asse di simmetria e i piani coordinati x = 0 e y = 0 come piani di simmetria.

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Superfici e curve nello spazio

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Quadriche traslate

Se è una quadrica, Q è una quadrica traslata se A è diagonale.Quindi abbiamo

In particolare, se a1 = a2 = a3, Q è una sfera, un punto o il vuoto.

: 2 0t tQ XAX BX c+ + =

2 2 21 2 3 1 2 3: 2 2 2 0.+ + + + + + =Q a x a y a z b x b y b z c

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Esempi (1/3)

Seabbiamo

da cui

2 2 2: 2 4 2 1 0,+ + + − − =Q x y z x z

( ) ( )2 22: 2 1 1 4.Q x y z+ + + − =

( )( )222 4 2 1 1 ,+ = + −x x x

( )22 2 1 1− = − −z z z

20

Esempi (2/3)

Se f è la traslazione di (-1, 0,1), e

allora f (Q’ ) = Q. Quindi Q è un ellissoide con semiassi e centro (-1, 0, 1).

2 2 2

' : 1,2 4 4

+ + =x y zQ

2 , 2= = =a b c

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Esempi (3/3)

Se abbiamo

Se f è la traslazione di (-1, 0, -1) e

abbiamo f (Q’ ) = Q. Quindi Q è un paraboloide iperbolico con semiassi

2 2: 2 2 4 3 0− + − − =Q x y x z

2 , 1.= =a b

( ) ( )2 2: 1 2 4 1 0.+ − − + =Q x y z

22' : 2 0,

2− − =

xQ y z

22

Quadriche e isometrie (1/2)

Se ora è una quadrica qualsiasi, sappiamo per il Teorema Spettrale che esiste una matrice ortogonale N di ordine 3 tale che A’ =t NAN è diagonale.

Sia f (X ) = NX l’applicazione ortogonale associata a N : f è una isometria e valgono le stesse formule di trasformazione delle coniche.

: 2 0+ + =t tQ XAX BX c

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Quadriche e isometrie (2/2)

Se , allora f (Q’ ) = Q . Poiché Q’ è una quadrica traslata, possiamo studiarla con metodi di completamento dei quadrati e di raccoglimento dei coefficienti per determinare una opportuna traslazione che la riduca a una delle forme canoniche o a una superficie riconoscibile.

' : ' 2 0+ + =t tQ XA X NBX c

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Esempio (1/3)

Sia Q la quadrica con

3 0 1 | 20 3 0 | 0

.1 0 3 | 2

2 0 2 | 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠

QM

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Esempio (2/3)

Se

1 10

2 20 1 0 ,1 1

02 2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

N2 0 00 3 0 e0 0 4

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

tN AN20 .0

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

t NB

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Esempio (3/3)

Allora

Q è un ellissoide di semiassi

e centro (-1, 0, 0).

2 2 2' : 2 3 4 4 1 0, da cui + + + − =Q x y z x( )2 2 2' : 2 1 3 4 3 0.+ + + − =Q x y z

32

=a3

1, 2

= =b c

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Superfici e curve nello spazio

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Definizione di cono

Una superficie S dello spazio è un cono di vertice P0 se P0 ∈ S e se per ogni P ∈ S con P ≠ P0 la retta per P e P0 è contenuta in S.

Quindi S è unione di rette passanti per P0. Tali rette sono dette generatrici di S.

Una curva γ ⊂ S non passante per P0 è una direttrice di S se γ interseca ogni generatrice.

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Definizione di cilindro

Una superficie S è un cilindro di direzione A se per ogni P ∈ S la retta per P di direzione A ècontenuta in S.

Quindi S è unione di rette parallele di direzione A. Tali rette sono dette generatrici di S.

Una curva γ ⊂ S è una direttrice di S se γinterseca ogni generatrice.

30

Coni di vertice l’origine

Una funzione con èomogenea di grado d > 0 seper ogni t ∈ .

Se f : è omogenea e se S = Z (f ) è una superficie in forma cartesiana, allora S è un cono di vertice O.

Infatti, P ∈ S equivale a f (P ) = 0, quindi f (tP ) = t df (P ) = 0 per ogni t ∈ e la retta per O e P è contenuta in S.

: →nf = nfD( ) ( )= df tX t f X

3 →

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Esempi

La quadrica

è un cono di vertice O, in quanto p è omogeneo di grado 2.

La superficie

è un cono di vertice O, in quanto f è omogenea di grado 3.

( ) 2 2 2: , , 4 3 0= + − + − + =Q p x y z x y z xy xz yz

( ) 2 3: , , 0= − =S f x y z xy z

32

Cilindri in direzione canonica (1/2)

Sia S = Z (f ) una superficie in forma cartesiana. Se f non dipende da una delle variabili, per esempio dalla z, possiamo porre f (x, y, z ) = f (x, y ). Se P = (x0, y0, z0) ∈ S, si ha f (x0, y0, t + z0) = f (x0, y0) = 0 per ogni t ∈ , quindi la retta per P di direzione e3 è contenuta in S e S è un cilindro di direzione e3.

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Cilindri di direzione canonica (2/2)

In generale, per i = 1, 2, 3, chiamiamo un cilindro di questo tipo cilindro di direzione canonica ei .

La quadrica

è un cilindro di direzione canonica e1.

La superficie

è un cilindro di direzione canonica e2.

2 2: 4 2 1 0+ + + − =Q y z yz y

3 2: 0− =S x z

Superfici e curve nello spazio

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Curve in forme cartesiane

Una curva γ ⊂ in forma cartesiana è il luogo di zeri di una applicazione Se f = (f1, f2), le equazioni di γ sono

Possiamo vedere γ come intersezione delle superfici S1 = Z (f1) e S2 = Z (f2). Per esempio le rette sono intersezioni di due piani e le circonferenze di un piano e di una sfera.

3

3 2: .f →

( )( )

1

2

, , 0:

, , 0

⎧⎪ =⎪⎨⎪ =⎪⎩

f x y z

f x y zγ

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Curve piane

Una curva γ nello spazio si dice piana se esiste un piano Π che contiene γ.Se γ non è un segmento di retta (o una retta), allora Π è unico: infatti se γ ⊂ Π e γ ⊂ Π’ con Π ≠ Π’, abbiamo che γ è contenuta nella retta Π ∩ Π’.

Rette e circonferenze sono curve piane.

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Eliche (1/2)

La curva in forma parametrica

non è piana. Infatti i punti P (0) = (1, 0, 0),

P (1) = (1, 0, 1),

non sono allineati e l’unico piano per essi è y = 0,che non contiene γ.

1 11,0,

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

P

( )cos2

: sen2 ,

⎧ =⎪⎪⎪⎪= = ∈⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩

x tP t y t t

z t

πγ π

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Eliche (2/2)

Se a, b, c > 0, le curve parametriche del tipo

si dicono eliche cilindriche. Tali curve non sono piane ma sono contenute nei cilindri

di equazione2 2

2 21.+ =

x ya b

( )cos2

: sen2 ,

⎧ =⎪⎪⎪⎪= = ∈⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩

x a tP t y b t t

z ct

πγ π

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Esempio

In generale le intersezioni di quadriche non sono curve piane: per esempio

contiene i punti

che non sono complanari.

( ) ( )2 2 ,0,0 , 2 2 ,0,0 ,−

2 2 2 8 0:

0

⎧⎪ + + − =⎪⎨⎪ − =⎪⎩

x y zxy z

γ

( ) ( )0,2 2 ,0 e 2 , 2 ,2

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Sezione cilindrica (1/3)

Sia Π : ax + by + cz + d = 0 un piano e sia γ una curva piana di equazioni:

Se c ≠ 0, z = Ax + By + C, con A = -a /c, B = -b /c, C = -d /c.

( ), , 0

0

⎧⎪ =⎪⎨⎪ + + + =⎪⎩

f x y z

ax by cz d

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Sezione cilindrica (2/3)

Posto f0(x, y ) = f (x, y, Ax + By + C ), abbiamo

Quindi γ = Z (f0) ∩ Π, dove Z (f0 ) è un cilindro di direzione canonica e3.

Se a ≠ 0 o b ≠ 0, potremo avere cilindri con direzione canoniche e1 e e2 rispettivamente.

( )0 , 0:

0

⎧⎪ =⎪⎨⎪ + + + =⎪⎩

f x y

ax by cz dγ

42

Sezione cilindrica (3/3)

Un piano con direzione ortogonale A è parallelo a un vettore B ≠ O se A . B = 0.

Se γ = S ∩ Π con S cilindro in direzione canonica ei e Π piano non parallelo a ei , diciamo che γ èin sezione cilindrica.

Osserviamo che γ è una direttrice di S. In particolare, se Π è il piano coordinato ortogonale a ei chiamiamo γ la direttrice principale di S.

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Esempio (1/2)

Se

ponendo z = y si ottiene la sezione cilindrica

2 2 22 3 3 1 0:

0

⎧⎪ − + − + − =⎪⎨⎪ − =⎪⎩

x y z y zy z

γ

2 2 1 0:

0

⎧⎪ + − =⎪⎨⎪ − =⎪⎩

x yy z

γ

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Esempio (2/2)

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Osservazione

Osserviamo che la direttrice principale del cilindro nell’esempio precedente, cioè

si può identificare con la circonferenza unitaria nel piano.

In generale la direttrice principale di un cilindro Sdi direzione canonica può essere identificata con la curva nel piano definita dall’equazione del cilindro S.

2 2

01 0

:0

⎧⎪ + − =⎪⎨⎪ =⎪⎩

x yz

γ

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Sezioni piane

Possiamo studiare e descrivere una superficie Sper mezzo delle curve piane ottenute intersecando S con un fascio di piani paralleli (sezioni piane).

Per esempio, le figure delle quadriche in forma canonica si possono ottenere con sezioni con i piani paralleli a uno dei piani coordinati.

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Esempio

Intersecando l’ellissoide con semiassi 2, 1, 1 con i piani z = k otteniamo:

Per |k | < 1 la famiglia di ellissi

con semiassi decrescenti al crescere di |k |;

Per k = ± 1 i punti (0, 0, ± 1);

Per |k | > 1 il ∅.

( )2 2

221

14 1

⎧⎪⎪ + =⎪⎪ −−⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

x ykk

z k

Superfici e curve nello spazio

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Esempio (1/2)

Consideriamo la famiglia di quadriche Qk : k (k – 1)x 2 + z 2 + 2xz + 2ky + 1 = 0.Se Π : z = 0, allora Ck = Qk ∩ Π si rappresenta in sezione cilindrica come

( ) 21 2 1 0:

0

⎧⎪ − + + =⎪⎨⎪ =⎪⎩k

k k x kyC

z

50

Esempio (2/2)

C0 = ∅ e C1 è la retta

Per k ≠ 0, 1, Ck è una parabola nel piano Πidentificato con il piano con sistema di riferimento Oxy.

12

0

⎧⎪⎪ =−⎪⎨⎪⎪ =⎪⎩

y

z

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Coniche come sezioni cilindriche (1/3)

Se Q è una quadrica e se Π è un piano non contenuto in Q, l’intersezione C = Q ∩ Π è una conica nello spazio. Infatti, se Oxyz è un sistema di riferimento in cui Π : z = 0 e se Q : p (x, y, z ) = 0 in Oxyz, posto p0(x, y ) = p (x, y, 0), abbiamo C come sezione cilindrica:

( )0 , 0:

0

⎧⎪ =⎪⎨⎪ =⎪⎩

p x yC

z

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Coniche come sezioni cilindriche (2/3)

Il polinomio p0 è non nullo e ha grado ≤ 2 in x, y.Quindi nel piano Π : z = 0 identificato con il piano con sistema di riferimento Oxy, l’insieme C : p0(x, y ) = 0 è una conica, una retta o il vuoto a seconda che il grado di p0 sia 2, 1 o 0. Pertanto possiamo riconoscere C come conica nel piano.

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Coniche come sezioni cilindriche (3/3)

Sia Q : p (x, y, z ) = 0 una quadrica. Se Q è un cilindro di direzione A, allora per ogni piano Π non parallelo a A la conica Q ∩ Π è dello stesso tipo. In particolare diremo che Q è ellittico, iperbolico o parabolico se Q ∩ Π è una ellisse, iperbole o parabola rispettivamente.

Possiamo usare queste proprietà per studiare le coniche nello spazio.

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Cono circolare

La quadrica Q0 : x 2 + y 2 – z 2 = 0 si dice cono circolare retto. Per ogni k ≠ 0, Q ∩ {z = k } è una circonferenza di centro (0, 0, k ), raggio k nel piano z = k.

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55

Esempi (1/2)

Sia Π : x – y – 2z + 1 = 0. Allora la conica C = Q0 ∩ Π in sezione cilindrica si rappresenta come

La superficie Q : 3x 2 + 3y 2 + 2xy – 2x + 2y – 1 = 0 è un cilindro di direzione canonica e3 con direttrice principale un’ellisse, quindi C è una ellisse.

2 23 3 2 2 2 1 0:

2 1 0

⎧⎪ + + − + − =⎪⎨⎪ − − + =⎪⎩

x y xy x yCx y z

56

Esempi (2/2)

In modo analogo si verifica che:

Se Π1 : x + y + z – 1 = 0, Q0 ∩ Π1 è una iperbole;

Se Π2 : x – z – 1 = 0, Q0 ∩ Π2 è una parabola.

Intersecando Q0 con un piano Π per O otteniamo coniche degeneri: un punto (Π : z = 0), una retta (Π : x = z ) o una coppia di rette incidenti (Π : y = 0).

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57

Sezioni coniche (1/2)

Quindi tutti i tipi di coniche non degeneri possono essere ottenuti come intersezioni di Q0 con un piano non passante per l’origine.

Le coniche sono state in origine introdotte in questo modo e il loro nome deriva da sezioni coniche.

58

Sezioni coniche (2/2)

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59

Parametrizzazione (1/3)

Come applicazione, parametrizziamo la conica

Sostituendo z = x + y abbiamo la sezione cilindrica

2 2 2 1 0:

0

⎧⎪ + + − − − =⎪⎨⎪ + − =⎪⎩

x y z xy xzCx y z

2 22 1 0:

0

⎧⎪ + − =⎪⎨⎪ + − =⎪⎩

x yCx y z

60

Parametrizzazione (2/3)

Il cilindro ellittico S : x 2 + 2y 2 – 1 = 0 ha direttrice principale

che si parametrizza con

2 22 1 0:

0

⎧⎪ + − =⎪⎨⎪ =⎪⎩

x yCz

( ) 1cos , sen ,0 , 0 2 .

2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎡ ⎤= ∈⎟⎜ ⎣ ⎦⎟⎟⎜⎝ ⎠Q θ θ θ θ π

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61

Parametrizzazione (3/3)

Quindi una parametrizzazione di C è

( )

cos

1: sen 0 2

21

cos sen2

⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎡ ⎤= ∈⎨ ⎣ ⎦⎪⎪⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎩

x

P y

z

θ

θ θ θ π

θ θ

Superfici e curve nello spazio

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63

Coni e cilindri con assegnata direttrice

Sia γ una curva piana contenuta nel piano Π. Se P ∉ Π e A ≠ O non è parallelo a Π, allora esistono un unico cono K (γ, P ) di vertice Pe un unico cilindro H (γ, A ) di direzione Acon direttrice γ.

Illustriamo con un esempio come ottenere coni e cilindri in forma canonica e parametrica con vertice e direttrice assegnati.

64

Direttrice assegnata

Se γ è una curva piana, in generale conviene rappresentare γ in sezione cilindrica.Sia

2 22 1 0:

0

⎧⎪ − − =⎪⎨⎪ + − =⎪⎩

x yx y z

γ

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65

Cono in forma cartesiana (1/3)

Se P = (1, 0, 0) e se K = K (γ, P ), X = (x, y, z )∈Kse e solo se X giace in una retta per P e un punto di γ, cioè se e solo se esistono X’ = (x’, y’, z’ )∈ γ e t ∈ tali che X = t (X’ – P ) + P.

66

Cono in forma cartesiana (2/3)

Abbiamo il sistema

Dalle prime 3 equazioni ricaviamo (per t ≠ 0):

( )

2 2

' 1 1

''

' 2 ' 1 0' ' ' 0

⎧⎪ = − +⎪⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ − − =⎪⎪⎪ + − =⎪⎪⎩

x t x

y tyz tz

x yx y z

( )1' , ' e ' .

− += = =

x t y zx y zt t t

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67

Cono in forma cartesiana (3/3)

Sostituendo nelle ultime 2 equazioni abbiamo:

Ricavando t dalla seconda e sostituendo nella prima otteniamo:

( )2 2 21 2 0

1 0

⎧⎪ − + − − =⎪⎨⎪ + − + − =⎪⎩

x t y t

x y z t

2 2: 2 2 2 2 2 2 1 0.+ + − − − + − =K x y xy xz x y z

68

Cilindro in forma cartesiana (1/3)

Se A = (1, 0, -1) e se H = H (γ, A ), X = (x, y, z ) ∈ H se e solo X giace in una retta di direzione A per un punto di γ, cioè se e solo se esistono X’ = (x’, y’, z’ ) ∈ γ e t ∈ tali che X = tA + X’.

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69

Cilindro in forma cartesiana (2/3)

Abbiamo il sistema

2 2

''

'

' 2 ' 1 0' ' ' 0

⎧ = +⎪⎪⎪⎪ =⎪⎪⎪ =− +⎨⎪⎪⎪ − − =⎪⎪⎪ + − =⎪⎩

x t xy yz t z

x yx y z

70

Cilindro in forma cartesiana (3/3)

Sostituendo nelle ultime 2 equazioni x’ = x – t,y’ = y e z’ = z + t abbiamo:

Ricavando t dalla seconda e sostituendo nella prima otteniamo:

( )2 22 1 0.

2 0

⎧⎪ − − − =⎪⎨⎪ + − − =⎪⎩

x t y

x y z t

2 2 2: 7 2 2 2 4 0.− + − + − − =H x y z xy xz yz

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71

Direttrice in forma parametrica

Se γ è in forma parametrica, per esempio

possiamo parametrizzare le superfici K e H.

( )

( )

( ) ( )

cosh

1: senh ,

21

cosh senh2

⎧⎪⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪ = ∈⎨⎪⎪⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎩

x t

y t t

z t t

γ

72

Cono in forma parametrica

( )( )

( )

( ) ( )

( ) 2

cosh 1 1

1: senh , ,

21

cosh senh2

⎧⎪⎪⎪⎪ = − +⎪⎪⎪⎪⎪ = ∈⎨⎪⎪⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ = + ⎟⎜⎪ ⎟⎟⎜⎪ ⎝ ⎠⎪⎩

x t u

K y t u t u

z t t u

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73

Cilindro in forma parametrica

( )

( )

( ) ( )

( ) 2

cosh

1: senh , ,

21

cosh senh2

⎧⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = ∈⎨⎪⎪⎪⎪⎪ =− + +⎪⎪⎪⎩

x u t

H y t t u

z u t t

74

Parametrizzazione del cono

Se γ : P (t ) = (x (t ), y (t ), z (t )), t ∈ D e se P0 = (x0, y0, z0), allora

con t ∈ D e u ∈ .

( )

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

0 0

0 0 0

0 0

,

, : ,

,

⎧⎪ = − +⎪⎪⎪⎪ = − +⎨⎪⎪⎪ = − +⎪⎪⎩

x t u x t x u x

K P y t u y t y u y

z t u z t z u z

γ

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75

Parametrizzazione del cilindro

Se γ : P (t ) = (x (t ), y (t ), z (t )), t ∈ D e se A = (a, b, c ) ≠ O, allora

con t ∈ D e u ∈ .

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

,

, : ,

,

⎧⎪ = +⎪⎪⎪ = +⎨⎪⎪⎪ = +⎪⎩

x t u au x t

H A y t u bu y t

z t u cu z t

γ

Superfici e curve nello spazio

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77

Definizione di superficie di rotazione

Siano r una retta e γ una curva nello spazio. Se P ∈ γ, sia ΠP il piano per P ortogonale a r e sia CP la circonferenza di centro r ∩ Πp e raggio d (P, r ) in ΠP (se P ∈ r , sia CP = P ).

Allora l’unione delle CP per P ∈ γ è una superficie S detta superficie di rotazione di asse r generata da γ.

78

Meridiani e paralleli

Una superficie S di rotazione di asse r ètrasformata in sè da tutte le rotazioni di asse r. Se e se γθ è l’immagine di γtramite la rotazione di asse r e angolo θ, allora Sè unione delle curve γθ per 0 ≤ θ < 2π.

Le circonferenze CP si dicono paralleli, mentre le curve γθ si dicono i meridiani di S. Osserviamo che i meridiani sono le intersezioni di S con i piani del fascio per r.

)0 2⎡∈ ⎣θ π

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79

Superfici di rotazione di asse z

Studiamo le superfici di rotazione nel caso in cui l’asse r è l’asse z e γ è una curva piana in y = 0. Indicheremo con Sγ la superficie di rotazione attorno all’asse z generata da tale γ.

Se γ è piana possiamo sempre ricondurci a questo caso con un cambiamento di riferimento.

80

Esempio (1/2)

Consideriamo la circonferenza

Se P0 ∈ (x0, 0, z0) ∈ γ, (x, y, z ) ∈ se e solo se

z = z0 e

( )2 22 1 0:

0

⎧⎪ − + − =⎪⎨⎪ =⎪⎩

x z

0PC2 2

0 .+ =x y x

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81

Esempio (2/2)

Sostituendo nella prima equazione abbiamo la forma cartesiana

( ) ( )( )

22 2 4 2 2 2

2 2 2

: 2

10 6 9 0.

+ + + + −

− + + + =

S x y z x y z

x y z

γ

82

Coordinate cilindriche

Per studiare una superficie di rotazione si può utilizzare il seguente cambiamento di coordinate in :

con

Il cilindro x 2 + y 2 = in coordinate cilindriche ha equazione ρ = R.

cossen

⎧ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩

xyz t

ρ θρ θ

3

0, e 0 2 .> ∈ ≤ ≤tρ θ π2R

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83

Esempio

Una parametrizzazione di γ è

Passando alle coordinate cilindriche e sostituendo ρ = cosϕ + 2 e t = senϕ, otteniamo la parametrizzazione

( ) ( )cos 2,0,sen , 0 2 .⎡ ⎤= + ∈ ⎣ ⎦P ϕ ϕ ϕ ϕ π

( )( )cos 2 cos

: cos 2 sen , , 0, 2 .

sen

⎧⎪ = +⎪⎪⎪ ⎡ ⎤= + ∈⎨ ⎣ ⎦⎪⎪⎪ =⎪⎩

x

S y

ϕ θ

ϕ θ ϕ θ π

ϕ

84

Toro

Una superficie di rotazione con generatrice una circonferenza γ e con un asse una retta complanare e esterna a γ si dice toro.

x

z

yO

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85

Forma cartesiana

Se

allora

( )

( ) ( )2 2

, 0: ,

0

e se , , , ,

⎧⎪ =⎪⎨⎪ =⎪⎩

= +

f x z

y

F x y z f x y z

γ

( ): , , 0.=S F x y zγ

86

Forma parametrica

Se

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, cos

: , sen , , 0 2 .

,

⎧⎪ =⎪⎪⎪ ⎡ ⎤= ∈ ∈⎨ ⎣ ⎦⎪⎪⎪ =⎪⎩

x t x t

S y t y t t D

z t z tγ

θ θ

θ θ θ π

θ

( ) ( ) ( )( ): ,0, , ,= ∈P t x t z t t Dγ

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87

Esempi (1/2)

Se

allora è il cono circolare retto. Poiché abbiamo

cos: sen

⎧ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩

x tS y t

z tγ

θθ

0:

0

⎧ − =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

x zy

γ

2 2 2: 0+ − =S x y zγ

( ): ,0, ,t tγ

88

Esempi (2/2)

Se(semicirconferenza di centro O ), allora

è la sfera di centro O e raggio R.

sen cos: sen sen , 0 , 0 2

cos

⎧ =⎪⎪⎪⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∈ ∈⎨ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪ =⎪⎪⎩

x RS y R

z Rγ

ϕ θϕ θ ϕ π θ πϕ

( ) ( ): cos ,0, sen , 0⎡ ⎤= ∈ ⎣ ⎦P R Rγ ϕ ϕ ϕ ϕ π