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Capıtulo VIYa en el siglo XX

1. Principio de Equivalencia

La naturaleza no distingue entre masas inerciales y gravitacionales. Tan-

to es ası que Ohanian, practicamente al comienzo de su obra acerca de gravi- H.C. Ohanian“Gravitation andSpacetime”W.W Norton and Co,pagina 41.

tacion relativista, dice: “basaremos nuestro desarrollo de la teorıa gravitacional

en la muy precisa e inequıvoca igualdad mi = mg. Esta igualdad es necesa-

ria —y en gran medida suficiente— para construir una teorıa relativista de la

gravitacion.”

Al estudiar la aceleracion de una partıcula de masa inercial mi en un

campo gravitatorio, escribimos

mi~a =−GMmg

R3~R

Si a sangre frıa cancelamos la masa inercial que aparece a la izquierda,

con la masa gravitacional que aparece a la derecha, estamos procediendo bien,

pues desde los tiempos de Galileo sabemos que todas las partıculas, indepen-

dientemente de sus masas, caen con la misma aceleracion ~a = (−GM/R3)~R . A

esto se lo llama principio de equivalencia de Galileo, pues implıca que en los

sistemas de referencia acelerados, las llamadas fuerzas inerciales se comportan

igual que las gravitacionales.

Quien haya leıdo algun libro de divulgacion sobre relatividad, segura-

mente se ha encontrado con la historia del ascensor que cae libremente porque

110 Capıtulo VI

se le corto el cable y con la consecuente discusion acerca de la fısica dentro

de ese elevador, repentinamente convertido en bajador. La principal moraleja

que se intenta transmitir con esta historia es que, en sus efectos, los campos

gravitacionales son indistinguibles de los efectos de una aceleracion del sistema

de referencia. El ejemplo del elevador tiene su origen en don Alberto Einstein,

quien, en su primer trabajo acerca de relatividad general, lo explica ası:

Sea K un sistema de referencia tal que, con respecto a el, cualquierA. EinsteinAnn. der Physik

49, 769, (1916) masa suficientemente alejada de otras, tenga un movimiento acelerado y que

tanto el tamano como la direccion de sus aceleraciones sean independientes de

su composicion material y de su estado fısico.

¿Permite esto (a un observador en reposo respecto a K) llegar a la

conclusion que el esta en un sistema de referencia “realmente acelerado”? La

respuesta es negativa, porque el comportamiento recien descrito para las masas

que se pueden mover libremente, respecto a K, igualmente bien puede interpre-

tarse de la siguiente manera: el sistema de referencia K no esta acelerado, pero

la region de espacio-tiempo que consideramos, esta bajo el influjo de un campo

gravitatorio que provoca la aceleracion de los cuerpos respecto a K.

a

F

Laboratorio aceleradoLaboratorio en un campo uniforme

Figura 1 – Principio de equivalencia.

Veamos un ejemplo concreto: el laboratorio de la izquierda esta (magi-

camente) en reposo, pero alla, mas hacia su izquierda, hay una gran masa (una

estrella, digamos), que atrae todo lo que encuentra a su paso. Todo esto es

para describir a un laboratorio en reposo, pero sumergido en un campo gravi-

tatorio. Si el laboratorio no es demasiado grande, es decir, si sus dimensiones

son despreciables comparadas con la distancia a la estrella, entonces todas las

Dario Moreno Osorio, 4 de octubre de 2011.

1. Principio de Equivalencia 111

partıculas que esten en este laboratorio tendran la misma aceleracion. La ace-

leracion sera la misma por dos razones: i) como el laboratorio es de pequenas

dimensiones, en su interior el campo es uniforme; y ii) las masas inerciales son

iguales a las gravitacionales.

Por el contrario, en el caso del laboratorio de la derecha, supondremos

que esta en una region en donde no existe campo gravitatorio alguno, pero todo

el laboratorio esta siendo acelerado por algun ocioso que le aplica una fuerza

horizontal hacia la derecha.

La gran pregunta es: ¿existe algun experimento que a los fısicos que

trabajan dentro del laboratorio sin ventanas, les permita descubrir si estan en

la situacion del lado izquierdo o en la del lado derecho?

La respuesta de Einstein es negativa:

Ein in einem Kasten eingeschlossener Beobachter, kann auf keine Wei-se entscheiden ob der Kasten sich ruhend in einem Gravitationsfeldebefindet, oder ob sich der Kasten in einem von Gravitationsfeldernfreien Raume in beschleunigter Bewegung ist, die durch Kr’afte ander Kasten aufrecht erhalten wird.

O dicho en cristiano:

Un observador encerrado en una caja, no puede, de ninguna maneradistinguir si la caja se encuentra en reposo en un campo gravitacional,o si la caja se encuentra en una region libre de campo gravitacional,pero esta siendo acelerada por alguien que le aplica una fuerza

Imaginemos una gran caja sin ventanas que se mueve hacia la derecha,

con aceleracion constante respecto a un sistema de referencia inercial y pensemos

en algunos experimentos que un “observador” encerrado en ella podrıa hacer

para saber si esta sumergido en un campo gravitacional uniforme (hacia la

izquierda) o si esta moviendose junto con un sistema de referencia acelerado

hacia la derecha.

Consideremos algunos experimentos posibles:

• Tomar una canica y soltarla.

Verıa que la canica acelera hacia la izquierda, con aceleracion de tamano

|~a|.


112 Capıtulo VI

• Tomar otra canica de mayor masa y soltarla.

Verıa que esta canica tambien acelera hacia la izquierda, con la misma

aceleracion de tamano |~a|.

• Colocar una canica en el piso del laboratorio y ponerla a rodar.

• Hacer experimentos con un giroscopo para detectar su precesion.

• Lanzar un rayo de luz en direccion ortogonal con ~a.

En todos estos experimentos se obtienen los mismos resultados, asi que

los efectos de un campo gravitatorio homogeneo y de una aceleracion constante

son equivalentes. A este famoso enunciado se lo llama principio de equivalencia

de Galileo–Einstein.

Aunque lo dijo don Alberto, de todos modos nos preguntamos: ¿es cierto

todo esto? Ya sabemos que sı, al menos para “cajas” pequenas y campos gravi-

tacionales uniformes. Ası lo consideramos al discutir los sistemas de referencia

acelerados y las famosas fuerzas que en ellos tenemos que agregar si persistimos

en utilizar las leyes de Newton.

Consideremos un par de casos especiales. Un laboratorio bastante largo

cae hacia la Tierra. Si en ambos extremos del laboratorio se sueltan canicas, se

vera que durante la caıda las canicas aceleran una hacia la otra.

Una interpretacion: las canicas se atraen. Pero ciertamente no se tra-

ta de la fuerza Gmm/(l)2, sino de otra, que nosotros, mirando desde afuera,

dirıamos que es una componente de la fuerza de atraccion entre Tierra y canica

F =GMm

(R+ h)2sen θ

F ≈ GMm

r3

l

2; con r = R+ h. (1)

Notese la aparicion del cubo de r.

Vamos a generalizar un poco a este ejemplo. Un malabarista que viaja

en un satelite terrestre, ha colocado ocho canicas en los vertices de un octagono.



Laboratorio cayendo hacia la Tierra

l

R + h

q

Figura 2 – Un laboratorio que cae. La distancia de cada canica al centro de laTierra es igual a R+ h.

inscrito en una circunferencia. Todas estas partıculas se mueven junto con la

nave espacial, pero notemos que las distancias de estas partıculas al centro de

la Tierra en general no son iguales. Por ejemplo, la partıcula 1 esta mas alejada

que la partıcula 5, de modo que las fuerzas que actuan sobre ellas no son iguales.

Desde el centro de la circunferencia veremos alejarse a ambas, como si el centro

las repeliese. Si la nave espacial se encuentra a la distancia R del centro de la

Tierra, entonces el campo en el centro del octagono es

F =GMm

R2

y el cambio de este valor, cuando nos alejamos o acercamos en dR = dz es

dF = −2GMm

R3dz.

Esta fuerza aparece en la explicacion de las mareas, de aquı el nombre de fuerza

mareal. Notese que el origen de esta fuerza esta en que, dentro de la nave, el

campo gravitacional no es uniforme.


114 Capıtulo VI

1

8

7

6

5

4

3

2

Figura 3 – Configuracion de las canicas en orbita. Se han dibujado las componentesde la fuerza radial sobre cada canica de manera esquematica.

No es esta la unica fuerza mareal. Tambien existen fuerzas laterales,

como la que aparece al analizar el caso de las dos canicas colocadas en los

extremos de un largo laboratorio.

Debido a estas fuerzas, las canicas colocadas sobre una circunferencia

ya no estaran en ella, si no que habran adoptado una posicion como la que

aparece en la figura siguiente.

5

4 32

1

876

Figura 4 – Deformacion debida a fuerzas mareales.

Aparentemente, el principio de equivalencia asegura que no hay experi-

mentos que distingan entre un campo gravitacional uniforme y una aceleracion.



En el caso de la capsula espacial en orbita cercana a la Tierra, ella se mueve en

un campo no–uniforme y las fuerzas mareales indican, inequıvocamente, que no

se trata de una aceleracion sino de un campo gravitacional. El campo mareal

puede medirse localmente, es decir, puede detectarse sin mirar por la ventana.

Estarıamos entonces ante un contra–ejemplo, una situacion particular en donde,

sin mirar por la ventana, podemos distinguir entre un campo gravitatorio y una

aceleracion.

La manera convencional de analizar el problema del ascensor en caıda,

es como sigue: no es posible “cancelar” cualquier campo gravitacional, en to-

da su extension y durante todo el tiempo. En primera aproximacion —si nos

olvidamos de las fuerzas mareales— podemos pensar que, en el interior del as-

censor, el campo es nulo. Pero si pensamos que nuestro sistema de coordenadas

se extiende hasta el otro lado de la Tierra, verıamos que nuestros colegas de las

antıpodas aceleran hacia nosotros, de modo que solamente habrıamos consegui-

do una cancelacion local del campo gravitatorio. El observador, en el ascensor

que cae, ha conseguido hacer desaparecer el campo dentro de su laboratorio,

pero solamente a costa de apilarlo en otro lado. Parece entonces que la gravi-

tacion es removible localmente, pero las aceleraciones son removibles en todas

partes. El ejemplo mas comun serıa el de la fuerza centrıfuga: si estamos sobre

la Tierra girando junto a ella, a todo el espacio tenemos que atribuirle un campo

centrıfugo; si nos bajamos de este sistema de referencia y adoptamos uno que no

gira, entonces el campo centrıfugo desaparece en todas partes, simultaneamente

(!).

Eddington no estaba de acuerdo con esta interpretacion, que presupo-

ne que gravitacion y fuerza centrıfuga puedan distinguirse experimentalmente,

idea que no compartıa. Como solamente es observable la suma de la fuerza de

gravitacion y la centrıfuga, ningun observador puede cancelar la totalidad de la

fuerza en todas partes y todos tendrıan que contentarse con dejar algun residuo.

Es cierto que la separacion entre fuerza centrıfuga y gravitacion es conveniente

cuando llega el momento de calcular; pero es solamente eso, una conveniencia.

Arthur EddingtonSpace, time andGravitation, pagina 123DoverDario Moreno Osorio, 4 de octubre de 2011.

116 Capıtulo VI

2. Las Mareas

Uno de los grandes exitos de Newton fue que dio una primera explicacion

a un fenomeno proximo a todos nosotros, las mareas. Todo el mundo ha oıdo

hablar de que los culpables de las mareas son, en primer lugar la Luna, y, en

segundo lugar, a gran distancia del primero, el Sol. Si quien lee esto es un

beduino que ha vivido siempre lejos del mar, comienzo explicando que son las

mareas.

Lo mejor es imaginar que estamos de vacaciones, acampados en una

playa. Lo que observarıamos, ya desde el primer dıa, es que la distancia entre

el borde del agua y el lugar donde tenemos instalada nuestra tienda, no es

constante. El agua sube de nivel dos veces al dıa.

Si uno preguntara por ahı, quizas nos digan que el agua sube porque es

atraıda por la Luna. Si en ese momento ocurre que la marea esta alta y, tambien,

que la Luna esta visible, arriba en el cielo, uno se puede quedar tranquilo y quizas

no pregunte mas. Pero luego debemos empezar a dudar de la explicacion, porque

no servira cuando la marea vuelva a subir —dentro de 12 horas— y la Luna ya

no jale en la direccion esperada. Veamos como es posible aclarar este lıo.

Imaginemos estar en una capsula espacial, orbitando en torno a la Tie-

rra. Como ya sabemos, dentro de esta nave todo ocurre como si estuviesemos

en un campo gravitacional nulo.

¿Todo? La verdad es que no. Aquı no podemos usar el principio de

equivalencia tal como lo explicamos al comienzo, pues dentro de la capsula

el campo gravitatorio no es uniforme. Esto hace que sı podamos inferir que

estamos dentro de un campo gravitacional.

Para empezar, si nos fuesemos a los extremos de la nave y allı dejasemos

flotando en el aire a dos objetos, estos terminarıan por chocar, pues las fuerzas

gravitacionales sobre ellos no son exactamente paralelas; las componentes Fθ no

son compensadas por ninguna otra fuerza y las partıculas aceleran, una hacia

la otra.

Otra consecuencia de la desuniformidad del campo dentro de la capsula


2. Las Mareas 117

Dentro de la naveel campo no es uniforme

Figura 5 – Experimentando dentro de un campo gravitacional inhomogeneo.

serıa que, si el astronauta deja “flotar” una gota de lıquido, la gota no toma

una forma perfectamente esferica sino la de un elipsoide, levemente achatado.

Veamos la razon de este achatamiento.

Ya sabemos que debemos esperar fuerzas “horizontales” no compensa-

das (fuerzas ortogonales con los radios), ya que las lıneas de campo convergen en

el centro de la Tierra. Dicho de otro modo, debemos esperar fuerzas que actuen

sobre la gota, apretandole la cintura. Estas fuerzas son siempre hacia el centro

de la gota. Pero tambien hay fuerzas radiales importantes, cuyo origen no es tan

intuitivamente claro como en el caso de las fuerzas laterales.

Supongamos que justo en el centro de la gota instalamos un sistema de

coordenadas XYZ, con el eje OZ apuntado hacia afuera, en la direccion radial.

Supongamos, ademas, que el centro de la Tierra esta en el punto (0, 0,−R) .

Si en el origen de este sistema de referencia que se va moviendo junto

con la gota —y, por lo tanto, se ve moviendose junto con la capsula— hay

una partıcula de masa m, entonces la fuerza gravitacional sobre ella serıa Fo =

K/R2, en donde naturalmente K = GMm, siendo M la masa de la Tierra, m

la masa de la partıcula y R la distancia del centro de la gota, al centro de la

Tierra.

Pero una partıcula que no este en el centro mismo de la gota, sino en


118 Capıtulo VI

el punto (0, 0, z), experimentara una fuerza levemente distinta:

F1 = K/(R+ z)2. (2)

Teniendo presente que ambas fuerzas estan dirigidas hacia el centro de la Tierra,

la diferencia entre ellas la podemos escribir

− K

(R+ z)2− −K

R2= 2z

K

R3= 2z

K

R3

Lo anterior muestra que, en la direccion radial, respecto al origen del

sistema de coordenadas instalado en la gota, hay una fuerza de tipo repulsivo,

ya que actua desde el origen hacia afuera:

Fz = +2zK

R3(3)

La gota se encuentra sometida a fuerzas que la estiran, en la direccion

del campo gravitatorio terrestre. Esto se debe a que este campo no es uniforme.

Por razones que seran evidentes dentro de poco, a este tipo de fuerzas se las llama

fuerzas mareales. Este es tambien el tipo de fuerzas que experimentarıa el que

se acerque a un “hoyo negro”. Mientras que no sentimos nada especial cuando

caemos en un campo uniforme, en un campo no–uniforme experimentarıamos

tensiones.

Ası como el resultado (3) pudimos haberlo encontrado diferenciando a

la fuerza F = −K/(R + z)2, respecto a z, del mismo modo podemos encontrar

las fuerzas que aparecen si, desde el centro de la gota, nos desplazamos cortas

distancias, ya sea en las direcciones X o Y. Los resultados son

Fx = −x KR3

y Fy = −y KR3

(4)

Estas fuerzas son las culpables del “acinturamiento” de la gota.

Ası como hay tempestades en un vaso de agua, hay mareas en una

lagrima; la deformacion de esta gota es justamente una marea a pequena escala.


2. Las Mareas 119

Nosotros los terrıcolas, viajamos en una nave espacial llamada Tierra

y, aunque estamos acostumbrados a pensar que la Luna nos rinde homenaje

girando en torno a nosotros, la rotacion es recıproca. Nosotros tambien giramos

en torno a ella, sumergidos en su campo gravitatorio, campo que para nosotros

no es uniforme. Por lo tanto, todo lo que hemos dicho respecto al achatamiento

de la gota de agua, en la capsula espacial, es aplicable a las gotas de agua que

nosotros nos fabriquemos aquı en la Tierra.

Si hemos visto muchas gotas de agua en nuestra vida y nunca hemos

percibido su achatamiento, las razones son varias. En primer lugar, nuestras

lagrimas son fuertemente deformadas por la friccion con el aire y toman la

forma caracterıstica de las lagrimas.

Una gota de aceite, sumergida en un lıquido de igual densidad y con el

cual no se mezcle, toma una forma que es —pensamos— una esfera perfecta,

porque aquı lo que domina es la tension superficial y ella determina la forma

de equilibrio de la gota. Aun con gotas de aceite suspendidas en otro lıquido el

achatamiento esperado no se observa, porque las gotas de que disponemos son

muy pequenas.

Sin embargo, como la Tierra esta casi completamente cubierta de agua,

con poco esfuerzo podemos imaginar una gran gota de agua del tamano de la

Tierra y sacar unas pocas cuentas, para tener una mejor idea de la forma de

esta supergota.

Si la Tierra no girase sobre su eje ni hubiese planetas o soles vecinos

que la perturbasen, esta capa de agua tendrıa una superficie totalmente esferica.

La superficie del agua contenida en un vaso es plana y horizontal, porque, si no

fuese plana, no estarıa en equilibrio. La superficie del agua es una superficie

equipotencial: si estuviera mas levantada de un lado, todo el mundo sabe lo que

pasarıa.

En primera aproximacion, en las vecindades de la Tierra las superficies

equipotenciales son planos horizontales; pero, si el campo no es uniforme, las

superficies equipotenciales deben tener otra forma.

Aprovechando estas ideas, vamos a tratar de deducir la forma de la


120 Capıtulo VI

gran capa de agua que practicamente cubre toda la Tierra. Nuestra estrategia

de calculo sera la siguiente: reconociendo que nuestra supergota esta sumergida

en el campo no–uniforme producido por la Luna, calcularemos el potencial de

nuestros mares en cada punto. Una vez hecho esto reconoceremos que, para que

haya equilibrio, la superficie de la gota debe ser una superficie equipotencial.

Esto nos dara una idea de la forma que tienen los mares.G.M. KapoulitsasEur. J. Phys.

6, 201-207, (1985) Conviene observar, desde la partida, que esta teorıa de las mareas que

estamos construyendo sera apenas una aproximacion, ya que tratamos al asunto

como si fuera un problema de estatica: no tomamos en cuenta el hecho de que

la Tierra esta girando y de que en el oceano hay depresiones mas o menos

profundas de tal manera que, el agua en ellas, puede oscilar como el agua en un

plato de caldo, ası es que podrıa haber resonancias, etc. Quien desee mayores

detalles puede encontrarlos en el trabajo de G.M. Kapoulitsas.

R

R0

q

Figura 6 – Gota enorme girando en torno a la Luna.

Entonces, la situacion es como en la figura 6: tenemos una gran gota de

agua de radio R, donde R es el radio de la Tierra. Esta gota de agua esta en una

orbita circular de radio Ro en torno al centro de masa Tierra-Luna y el origen

del sistema de coordenadas esta en el mero centro de la gota (que es tambien el

centro de la Tierra).


2. Las Mareas 121

Si tomamos la expresion (3) y (4), basta calcular algunas derivadas para

reencontrar las fuerzas mareales, ası que el potencial U corresponde a las fuerzas

mareales (Fx, Fy, Fz) que estamos estudiando.

U = −GMm

R3o

(z2 − 1

2x2 − 1

2y2)

en que ahora M debe ser la masa de la Luna y m la masa de un elemento de

volumen de agua localizado en (x, y, z).

En primera aproximacion, la superficie del agua no difiere mucho de la

superficie de una esfera de radio R, de modo que, siendo R2 = x2 + y2 + z2, la

expresion anterior se puede escribir como

U = −GMm

R3o

(3

2z2 − 1

2R2

)= −GMmR2

2R3o

(3( zR

)2

− 1

)= −GMmR2

2R3o

(3 cos2 θ − 1

)en donde θ es el angulo que se indica en el dibujo.

La experiencia nos indica que las variaciones de altura del agua debido

a las mareas no son muy grandes, de modo que la parte de la energıa potencial

del agua, debido al campo terrestre, se puede aproximar mediante la conocida

relacion mgh. Entonces, el potencial total es

U = mgh− GMmR2

2R3o

(3 cos2 θ − 1) (5)

Suponiendo que la superficie del agua corresponde a una equipotencial,

podemos poner

gh− GMR2

2R3o

(3 cos2 θ − 1) = C (6)

en que C es una constante.

Esta relacion nos da la altura h del agua, respecto a una esfera de radio


122 Capıtulo VI

R, en funcion de la posicion, el angulo θ.

Ahora, el primer y sorprendente resultado: en todo instante hay dos

lugares de marea alta, los que corresponden a θ = 0 y θ = π. Decimos que

esto es sorprendente porque, aun los que repiten que las mareas se deben a la

atraccion lunar, piensan que debido a esa atraccion, el agua de los mares toma

la forma de una esfera con un “chichon” en la direccion de la Luna. Y acabamosEn Mexico: chipote

de descubrir que los chichones son dos: uno, dirigido hacia la Luna; el otro, en

sentido contrario.

Newton se dio cuenta de estas dos protuberancias porque Londres es

un puerto muy cercano al mar.Este es un resultadosorprendente. Durante anospense que Newton se habıa

dado cuenta de esto porque,quizas mas de una vez,

habrıa acampado cerca delmar. Pero acabo de leer una

de sus biografıas, la queafirma –entre otras cosas

curiosas– que Newton jamasestuvo en playa alguna.

Este es el principal resultado de nuestra tosca teorıa de las mareas, pero

podemos dar un paso mas. Como la marea alta corresponde a θ = 0, mientras

que la baja ocurre en θ = π/2, podemos calcular la diferencia entre las alturas

extremas. Se encuentra que

hmax − hmın =3GMR2

2gR3o

= 53 centımetros

El que resulten 53 centımetros y no 53 kilometros, es tranquilizador;

pero, debido a las numerosas simplificaciones hechas, no debemos tomar dema-

siado en serio a estos 53 centımetros. Son producto, principalmente, de nuestra

buena suerte. El problema de las mareas es un problema dinamico mucho mas

complicado, pero lo expuesto basta como primer encuentro con el tema.


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