Flusso del campo elettrico e teorema di Gauss

Flusso di un campo vettoriale uniforme

Problema (idrodinamico)Calcolare il flusso di acqua (portata in volume) che attraversa una conduttura; cioè il volume di acqua che attraversa una sezione S di una conduttura nell’unità di tempo.

Hp: Per semplicità supporremo che 1- il vettore velocità V(x,y,z,t) dell’acqua sia costante in ogni punto di S (campo vettoriale uniforme) 2- e sia costante nel tempo (campo stazionario)

x = Vt

Caso A

Il vettore velocità è perpendicolare alla sezione S della conduttura V S

nel tempo t = t – t0 la sezione S è attraversata dal cilindro di acqua di altezza x = V t, cioè da un volume di acqua

tvSxSxsezioneAreaVolume

sec)(

3mVS

t

tvS

t

xS

t

VolumeS

S

per cui il flusso sarà

x = Vt

H

K

Caso B

Il vettore velocità NON è perpendicolare alla sezione S della conduttura V S

coscos tVSxSHKSVolume

seccos

cos)(

3mVS

t

tvS

t

VolumeS

VxSVSVS cos),(

Def Si dice flusso di un campo vettoriale A uniforme attraverso una superficie piana S il prodotto scalare:

cos)( ASAxSA

Def Ogni superficie piana può essere rappresentata mediante un vettore S che ha:

1. Intensità = Area della superficie

2. Direzione perpendicolare alla superficie

3. Verso, diretto all’esterno se la superficie è chiusa, arbitrario se è aperta

AS

Esaminiamo il caso più semplice:

 1° Caso

Hp: 1- Il campo elettrico è uniforme (uguale in ogni punto dello spazio)

2- La superficie è piana (il vettore superficie è definito in modo unico)

cos)( ESExSES

Flusso del campo elettrico

Il flusso del campo elettrico si misura in Nm2/C

S

E

Hp: 1- Il campo elettrico NON è uniforme (in generale varia da punto a punto)

2- La superficie NON è piana (il vettore superficie Non è definito in modo unico)

n

iinS ΦΦΦΦΦ(E)Φ

1321 .....

n

ii

nS Φ(E)Φ

1lim

S2

S1

S4 S3

E4

E3

E2

E1

2° Caso

Consideriamo un “elementino” di superficie Si Ei

Ob Calcolare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi..

il flusso del campo elettrico E attraverso Si è:

i = Si x Ei = Si Ei cos 0° = Si Ei

allora il flusso totale attraverso la sfera sarà

Teorema di Gauss

+Q

Consideriamo anzitutto una superficie sferica nel cui centro è posta una carica elettrica positiva Q

+Q

Ei

Si

2

111

4)( limlimlim rESupsferaESEESEn

ii

n

n

ii

n

n

ii

nSfera

e poiché il campo elettrico generato da una carica puntiforme è

2r

QkE

QQkQr

r

QkrEES

4

14444)( 2

22

Q

ES

avremo che

Quindi: il flusso del campo elettrico generato dalla carica puntiforme attraverso la superficie sferica è uguale alla carica diviso la costante dielettrica del mezzo.

+Q

+Q

Questo risultato è generalizzabile ad una superficie chiusa qualsiasi

Q

ES

e ad una distribuzione qualsiasi di carica.

2121 QQQQES

Q3

Q1

ES

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi S, è uguale alla somma algebrica di tutte e sole le cariche contenute all’interno della superficie diviso la costante dielettrica del mezzo:

S E

Qi

n

ii

nS Q

QQQE

1

21 1....

Teorema di GAUSS

Osservazione 1

 Il flusso del campo elettrico non dipende dalla particolare superficie considerata e quindi non dipende dalla sua forma.

S2

S SE EQ Q Q Q

1 2

1 2 3 4

S1

Q4Q3

Q2

Q1

Osservazione 2

Il flusso del campo elettrico è dovuto esclusivamente alle cariche interne, le cariche esterne non danno alcun contributo al flusso.

Q1

Q2

S EQ Q

1 2

Q3

 Dati

Corpo sferico carico uniformemente con una carica totale +Q

Obiettivo

Calcolare il campo elettrico E ad una distanza d dal centro del corpo sferico

+Q

Applicazioni Del Teorema Di Gauss

 Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica

Osserviamo che il campo elettrico generato dalla sfera carica è un campo radiale (la distribuzione di carica ha una simmetria centrale), uscente (la carica è positiva).

E

2

11

4limlim

0cos

dESESEs

SESESxEsn

iin

n

iin

+Q

S

E

 Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica

applicando invece il teorema di Gauss avremo:

0

24

QdE

2200

2 4

1

4

1

d

Qk

d

QQ

dE

e poiché i due flussi devono essere uguali avremo:

Q

ES

Oss. Il campo elettrico è lo stesso che si avrebbe se tutta la carica Q fosse concentrata nel centro del corpo sferico carico.

 Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica

 Dati Piano infinito carico uniformemente (e positivamente)Densità superficiale di carica C/m2

Problema Calcolare il campo elettrico in un punto P a distanza d dal piano infinito di carica.

costante S

Q

Campo Elettrico generato da una distribuzione piana infinita di carica

  Il campo elettrico è perpendicolare al piano in ogni suo punto

La distribuzione di carica è simmetrica rispetto a qualunque perpendicolare al piano, oppure un osservatore che si muove parallelamente al piano vede sempre la stessa distribuzione di carica.

  Il campo elettrico è uscente (perché la carica è +)

E

E

E

P

d

B2

B1 E

E

E

S

Campo Elettrico generato da una distribuzione piana infinita di carica

cil base base laterale 1 2 sup

090cos

0cos

0cos

11sup

2222

1111

n

iii

n

iiilaterale

base

base

SESxE

EBEBExB

EBEBExB

quindi il flusso totale è dato da

cil B E B E B Ebase base laterale 1 2 0 2sup

P

d’altronde per il Teor. di Gauss

cil Q Bii

1 1

21

B E B

quindi il campo elettrico è uniforme ed ha direzione verso e intensità costanti (in ogni punto dello spazio).

E 2

e i due flussi devono essere uguali, quindi

allora

Campo Elettrico generato da una distribuzione lineare infinita di carica

Dato un filo infinitamente lungo carico positivamente e in modo uniforme costante C/m lineare densità

l

Q

E kr

2il campo elettrico generato dal

filo infinito è uguale a:

Teorema di CoulombIl campo elettrico sulla superficie di un conduttore è sempre perpendicolare alla

superficie del conduttore ed ha intensità uguale alla densità superficiale di carica

diviso la costante dielettrica del mezzo nel quale si trova il conduttore

Campo elettrico in prossimità della superficie di un conduttore

E

Il teorema è un’immediata conseguenza del teorema di Gauss

+

+

++

E

E

E E

E

E

++ +

++

+

Per calcolare il campo nelle immediate vicinanze del conduttore consideriamo un

cilindro (non serve che sia reale) che racchiude un elementino di superficie S = B del

conduttore

Se il cilindro è sufficientemente piccolo

• Il campo elettrico E sulla base superiore

B1 del cilindro è perpendicolare alla base e

uniforme

• Il campo elettrico sulla base inferiore B2 è

zero (il campo all’interno del conduttore è

nullo)

• Il campo elettrico è tangente alla superficie

laterale esterna del cilindro

Teorema di Coulomb

+

+

++

E

E

E E

E

E

Calcoliamo ora il flusso del campo elettrico attraverso il cilindro nei due modi studiati:

mediante la definizione di flusso e mediante il teor. di Gauss.

Calcolo il flusso secondo la definizione:

+

+

++

E

E

E E

E

E

cil base base laterale 1 2 sup

090cos

00

0cos

11sup

222

1111

n

iii

n

iiilaterale

base

base

SESxE

BExB

EBEBExB

Teorema di Coulomb

Quindi il flusso totale attraverso il cilindro sarà il prodotto dell’area di base B per il

campo E:

+

+

++

E

E

E E

E

E

EBEBcil lateralebasebase 00sup21

Calcolo il flusso mediante il teorema di Gauss:

cil Q Bii

1 1

Il flusso è uguale alla carica totale B

contenuta nel cilindretto diviso la costante

dielettrica

Teorema di Coulomb

Uguagliando i due flussi avremo:

+

+

++

E

E

E E

E

E

Da cui

BEB 1

E

Teorema di Coulomb