Lezione n. 3 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

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Flusso

Flusso del campo elettrico

E EdS S Ecos

S dS

Flusso del campo E attraverso una superficie S

finita

Superficie aperta

Superficie chiusa

E E dS S E cos

S dS

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Il teorema di Gauss

Il flusso del vettore E campo elettrico attraverso una superficie chiusa S vale:  

Dove Q = somma di tutte le cariche interne alla superficie chiusa S.

NB: le cariche esterne NON contribuiscono al flusso

E Q 0

EdS Q0

S

Q q ii •qi

•

•• •

•

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Analogie tra legge di Gauss e di Coulomb

Sono due modi diversi per enunciare lo stesso fenomeno fisico. I due punti fondamentali sono: 1) La dipendenza della forza di Coulomb da 1/r2

 2) L’additività dei campi (E, F)

• La legge di Coulomb permette di ottenere il campo E una volta nota la carica Q, mentre con il teorema di Gauss, noto il campo E, si ottiene la carica presente in una certa regione dello spazio.

• Mentre la legge di Coulomb cessa di valere per cariche in moto, il teorema di Gauss si può applicare sia a cariche in quiete sia a cariche in moto. Il teorema di Gauss è quindi più generale della legge di Coulomb.

 

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Esempio: campo elettrico di una caricaCome esempio, vogliamo calcolare il campo elettrico generato

da una carica q usando il teorema di Gauss

Superficie gaussiana = sfera di raggio r centrata in q

Il flusso vale:

Il teorema di Gauss dice che:

Quindi:

E E dSS E 4 r 2 E 4 r 2 q

0

E q

40r2

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Conseguenze del teorema di Gauss In un conduttore carico, in equilibrio elettrostatico, la carica è distribuita sulla sua superficie

Infatti, in un conduttore carico in equilibrio elettrostatico, le cariche sono in quiete Inoltre, E = 0 (nei punti interni del conduttore)

Attraverso S (superficie gaussiana) E = 0

Q = 0 (all’interno del conduttore)

aaa

++

+

+

S

+

+++

+

+

+

+

aaaa

S+

++

+

+

+

+++

+

+

+•

E

P

E = 0

Invece, vicino alla superficie di un conduttore carico, la carica elettrica all’interno della superficie gaussiana (cilindro) vale S (dove = densità superficiale di carica locale e S è l’area delle due superfici di base del cilindro). Per il teorema di Gauss:

E E S E SS0

E0

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Induzione elettrostatica

Carica inducente = +q  E = 0 (nei punti interni del conduttore)

Attraverso S (superficie gaussiana)

E = 0

Q = 0 (all’interno di S)

Carica indotta sulla superficie interna = -q 

Carica indotta sulla superficie esterna = +q

NB: il risultato è INDIPENDENTE dalla posizione della carica interna!!!

Ad esempio, se all’interno la somma delle cariche è ZERO, il flusso è ZERO

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La gabbia di FaradayDa quanto detto, risulta possibile creare uno schermo elettrostatico in un campo elettrico uniforme (detto gabbia di Faraday) utilizzando come schermo un involucro metallico (schermo elettrostatico)

Sono presenti cariche elettriche indotte sulla superficie esterna dello schermo(La carica totale è nulla)

 Il campo elettrico all’interno dello schermo è nullo

(Le linee di campo all’esterno sono modificate)

Lo schermo elettrostatico protegge dalle scariche elettriche

a

++++

+++

+

---

----

-

E = 0

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Sistemi a simmetria cilindrica Superficie gaussiana = cilindro di raggio r alto h centrato sulla bacchetta

Il flusso vale:

Il teorema di Gauss dice che:

Quindi, usando la densità lineare di corrente, si ha:

)2( rhEEdSS

E

0

)2(

QrhE

rrh

QE

00 22

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9

Sistemi a simmetria piana: lastra caricaSuperficie gaussiana = cilindro retto chiuso di base A perpendicolare alla lastra

Il flusso vale:

Il teorema di Gauss dice che:

Quindi, usando la densità superficiale di corrente, si ha:

EAEdSS

E 2

0

2Q

EA

02

E

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Doppia piastra

Come nel caso precedente, si sceglie come superficie gaussiana un cilindro retto chiuso di base A perpendicolare alla lastra. All’interno del cilindro la carica totale è nulla (essendo le due densità di carica uguali ed opposte) per cui esternamente al doppio strato E=0. Tra le due piastre, invece, si ha un contributo di campo elettrico E=/20 diretto da sinistra a destra (perché uscente) dovuto alla piastra carica positivamente ed un contributo di campo elettrico E=/20 diretto ancora da sinistra a destra (perché entrante) dovuto alla piastra carica negativamente. Per cui, il campo totale vale E=/20 + /20 = /0

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Sistemi a simmetria sferica

).

Per ogni superficie gaussiana esterna alla distribuzione sferica, la carica totale racchiusa al suo interno è q e pertanto il campo elettrico esterno risulta indistinguibile da quello generato da una carica puntiforme.

Per quanto riguarda il campo elettrico interno, è importante sapere le caratteristichedella distribuzione. Ad esempio, se essa è metallica, poiché le cariche in un conduttore metallico sono distribuite soltanto sulla superficie, al suo interno non ci sono cariche libere e quindi il campo elettrico è nullo. Nel caso di una sfera isolante, invece, se la carica è distribuita al suo interno in maniera uniforme (densità di carica =dq/dV), è possibile valutare dapprima la carica contenuta entro la superficie gaussiana (sfera di raggio r<R):

E quindi, essendo il flusso pari a:

Si ottiene:

ErrEAdAEEdAdrArArA

E2

)()()(

4)( AE

3

0

3

0 3

4)()(

R

rq

rrVdVdVrq

rr

304 R

rqE