1

3.3 INTEGRALES DE LINEA Y DE SUPERFICIE(33_CV_T_v13; 2005.w21.5; 5/8 C25)

1. Integrales de línea

Sea F un campo vectorial

Consideremos

Fgdrr1

r2∫ = Fgdr1

2

∫ ≡lim

n → ∞F r

i( )gdri

i =1

n

∑

Si F es una fuerza

Fgdrr1

r2∫ = w es el trabajo (escalar) que hace la fuerza al moverse de r1 a

r2.Para resolver la integral es necesario parametrizar el caminoEj.

c :

x = t

y = t2

0 ≤ t ≤ 1

Sea

F = xyi + 3xj Fgdr

r1

r2∫ = t3i + 3t j( )g i + 2t j( ) dt0

1

∫ = t3 + 3t2( ) dt0

1

∫ =t4

4+ 2t3

0

1

=1

4+ 2 =

9

4

r = xi + y j = t i + t2 j

dr = dxi + dy j = dti + 2tdt j = i + 2t j( ) dt

w = Fgdr

r1

r2∫ ⇒ f (t)dt =9

4t1

t2∫ al parametrizar la integral se convierte en una integral

con respecto al parámetro.

Si t es el tiempo, Fg

dr

dt es la potencia y

Fg

dr

dtt1

t2∫ dt es el trabajo.

Si consideramos otro camino

r = xi + y j = x i + j( ) dr = i + j( ) dx

Fgdr

r1

r2∫ = x2i + 3x j( )g i + j( ) dx = x2 + 3x( ) dx0

1

∫0

1

∫

=x3

3+

3x2

20

1

=1

3+

3

2=

11

6

r2= (1, 1)

r1= (0, 0)

y= x2y

x

r2= (1, 1)

r1= (0, 0)

y= xy

x

F(ri)

r1

r2

2

Diferente camino ⇒ diferente resultado

Si escogemos otra parametrización: x = y = et −∞ < t ≤ ln1 ln1 ≡ 0( ) e0 = 1( )

F = e2t i + 3et j r = et i + j( ) dr = et i + j( ) dt

Fgdr

r1

r2∫ = e2t i + 3et j( )get i + j( ) dx = e3t + 3e2t( ) dt−∞

ln1

∫−∞

ln1

∫

=e3t

3+

3e2t

20

1

=1

3+

3

2=

11

6

De hecho, se puede probar que la parametrización no cambia el resultado. (Escogemos la

más fácil y no algo comox = y = sen t2( )0 ≤ t ≤ sen−11

)

Sin embargo, nos podemos preguntar para que tipo de fuerzas

Fgdrr1

r2∫ no depende del

camino.

⇒ Para F conservativa (esto es si F = ∇φ para alguna φ).

[Nos adelantamos y decimos que ∇φ =

∂φ∂x

i +∂φ∂y

j

∇φgdr =

∂φ∂x

i +∂φ∂y

j

g dxi + dyj( ) =

∂φ∂x

dx +∂φ∂y

dy = dφ

Fgdr

r1

r2∫ = ∇φgdrr1

r2∫ = dφr1

r2∫ = φr1

r2 = φ r2( ) − φ r

1( ) es independiente del camino.]

Definimos una fuerza conservativa como aquella para la cual

Fgdrr1

r2∫ no depende del

camino sino sólo de r1& r

2.

Nótese que si el camino es cerrado

Fgdr = 0—∫Puesto que

FgdrC1

∫ = Fgdrr1

r2∫C1

= Fgdr = Fgdrr1

r2∫C2

C2∫ = − Fgdr

r2

r1∫C2

⇒ Fgdr

C1∫ + Fgdr

−C2∫ = Fgdr = 0—∫

(Nótese que

Fgdr = 0—∫ para algunos caminos aunque F no sea

conservativa)r1

r2

C1

C2

3

2. Integrales de superficie

Consideremos partículas con velocidad vx& densidad de ρ partículas/volumen.

La densidad de corriente j = ρv = ρvxi ≡ j

xi

Flujo Φ = ρv

xA = jgA =

masa

tiempo que cruzó el área A masa

A = An

Si consideramos un área oblicua A =

A

cosθn

jgA = ρv

x

A

cosθcosθ

obtenemos el mismo resultado

Si B es el campo magnético BgA es el flujo magnético.Notas sobre el vector área (A):

1) Si la superficie es abierta se utiliza la regla de lamano derecha para definir un circuito en el bordedel área y la normal.

2) Si la superficie es cerrada la normal es hacia afuera.

Podemos pensar en una integral de un campo vectorial sobre una superficie S

wgds

S∫ =

lim

n → ∞w r

i( )i =1

n

∑ gdsi

vx

n

área A

θn

n

área A; A=An

dsi=dsiniwi

4

Ejemplo: Si w = x3 yi + y2xj + zk

wgdsCuboUnitario

∫ = ??

Puesto que el cubo tiene seis caras, tendremos seis integralesz

wgds = 6 integrales∫

s

1: x =

1

2; ds

1= dydzi wgds

1s1∫ = w

x1 2, y, z( ) dydz

−1 2

1 2

∫−1 2

1 2

∫

= 1 2( )3

ydydz =−1 2

1 2

∫−1 2

1 2

∫ 1 8( ) ydy−1 2

1 2

∫0

dz−1 2

1 2

∫ = 0

s

2: x = −

1

2; ds

2= dydz − i( ) wgds

2s2∫ = 0

s

3: y =

1

2; ds

3= dxdz j wgds

3s3∫ = w

yx, 1 2, z( ) dxdz

−1 2

1 2

∫−1 2

1 2

∫

= 1 2( )2

xdxdz =−1 2

1 2

∫−1 2

1 2

∫ 1 4( ) xdx−1 2

1 2

∫0

dz−1 2

1 2

∫ = 0 \

s

4: y = −

1

2; ds

4= dydz − j( ) wgds

4s4∫ = 0

s

5: z =

1

2; ds

5= dxdyk wgds

5s5∫ = w

zx, y, 1 2( ) dxdy

−1 2

1 2

∫−1 2

1 2

∫ = 1 2 A5

1=

1

2

s

6: z = −

1

2; ds

6= dxdy − k( ) wgds

6s6∫ =

1

2dxdy

−1 2

1 2

∫−1 2

1 2

∫ =1

2

wgdsCuboUnitario

∫ = 0 + 0 + 0 + 0 +1

2+

1

2= 1

Ejemplo 2: campo eléctrico de una carga en el origen (en coordinadas esféricas)

E =

q

4πε0r 2

er

flujo que sale de la esfera Φ = Egds

esfera∫

ds = dser

Φ =

q

4πεr 2dse

rge

r∫∫ =q

4πε0

1

r 2ds∫∫

ds = r 2dΩ Ω: ángulo sólido

Φ =

q

4πε0

r 2

r 2dΩ∫∫ =

q

4πε0

dΩ∫∫ =q

ε0

x

z

y