1

( )S

E E dS

Campo di una sfera, di raggio a e carica totale Q ,

dq

dV dq dV

Q dV

da

per motivi di simmetria, il campo potra’ soltanto essere radiale

assumiamo come superficie gaussiana quella di una sfera

24E r

34

3

Q

a

e avra’ modulo uguale in tutti i punti ad una distanza rgenerica dal centro della sfera

di raggio r concentrica alla distribuzione sferica di carica

distribuita uniformemente nel volume della sfera

SE dS

34

3a dV

2

2( ) 4E E r

a) r > a

dalla definizione di flusso

dal teorema di Gauss int

0

( )q

E

uguagliando : 20

1

4

QEr

della sfera

dobbiamo distinguere due casi:

all’ esterno della distribuzione sferica di carica tutto vacome se l’intera carica Q fosse concentrata nel centro quindi all’ esterno il campo e’ coulombiano,

r > a

campo all’esterno della distribuzione di carica

in questo caso intq Q

r

r > a r < a

e r < a

3

b) r < a2( ) 4E E r

dalla definizione di flusso

dal teorema di Gauss

int

0 0

( )q V r

dunque3

23

0

4Q r

E ra

int

0

( )q

E

304

Q rE

a

campo all’interno della distribuzione di carica

3

304

3

4

3

1 Qr

a

3

30

Q r

a

4

l’andamento del modulo del campo prodotto da

distanza radiale

in sintesi :

una sfera uniformemente carica in funzione della

20

1

4

QE

r

della sfera e coulombiano all’ esterno della sfera

304

Q rE

a

e’ lineare crescente all’ interno

E

5

Campo del guscio sferico cavo di raggio a caricato con carica totale Q uniformemente distribuita sulla superficie

dobbiamo distinguere due casi : r > a e r < a

20

1

4

QE

r

all’esterno della distribuzione di cariche, ossia per r > a

il calcolo procede esattamente come nel caso della sfera carica e il risultato e’

campo coulombiano come se tutta la carica Q fosse concentrata nel centro della sfera

6

int

0

( ) 0q

E

all’ interno della distribuzione di cariche r < a

2( ) 4E E r

dalla definizione di flusso

dal teorema di Gauss

uguagliando i due riesce 0E

7

E = 0

mentre il campo all’ internointerno della sfera e’ molto diverso

all’interno del volume della sfera

sia stata distribuita uniformemente sulla superficie della sfera

sia che la carica sia stata distribuita uniformemente

nei due casi

il campo elettrostatico all’ esternoesterno di una distribuzione

uniforme e’ lo stesso sia che la caricadi carica - sferica -- sferica -

20

1

4

QE

r

E

a r

20

1

4

QE

r

E

a r

8

il potenziale del guscio sferico sara’ costante all’interno e

0

1( ) cost

4

QV r a

a

sulla superficie del guscio e per motivi di continuita’ pari al

valore che il potenziale assume sulla superficie del guscio

Potenziale del guscio sferico

all’esterno del guscio il potenziale avra’ l’andamento del

0

1( )

4

QV r cost

r

Nota Bene: il campo subisce una discontinuita in r = a ,

dato che il campo elettrico all’interno del guscio e’ nullo

potenziale Coulombiano di una carica Q puntiforme

ma il potenziale deve essere continuo ovunque

stesso, a meno di una costante

9

la carica e’ distribuita in una zona finita di spazio quindi

0

1( )

4

QV r

a

possiamo assumere che cost = 0 e asserire che il

potenziale potenziale all’internoall’interno e e sulla superficie sulla superficie del guscio sferico del guscio sferico e’: