LEGGE DI AMPÈRE

e applicazioni

Legge di AmpèreFornisce il legame tra le correnti e il campo magnetico da esse prodotto:

B∫ ⋅ds

= µoi

B

C

D

∫ ⋅ds=µoi2π

θ

! = #$%2'(

C

i θds

BD

Consideriamo un filo rettilineo indefinito:

r

)*( = )+

dq

→ ! - )*⃗ = #$%2' )+

ic = somma delle correnti concatenate: la corrente totale trasportata dai conduttori che attraversano unaqualunque superficie che abbia per perimetro la linea chiusa scelta.

Segno + o – a seconda che vedano circolare la linea orientata in verso antiorario / orario

• Per un qualunque percorso CD: qpµ2i

sdB oD

C

=×ò

C

D

12

θiq

pµ2i

sdB oC

D

-=×-= ò

0=×ò sdBse non ci sono correnti concatenate

isdB 0µ=×òse la linea concatena la corrente i

Validità generale, qualunque siano la linea chiusa e il circuito percorso da corrente

B∫ ⋅ds

= µoiC

!#⃗ = !#⃗% + !#⃗'

Bds

correnti concatenate

icorrente concatenata:

i = i1 – i2

N.B. al campo magnetico B in qualsiasi punto concorrono le correnti passanti in tutti i fili. Tuttavia alla circuitazione di B lungo una linea chiusaconcorrono solo le correnti concatenate

i = i1 – i3

esempio

i1 = 1 Ai2 = 2 A

Calcolare la circuitazione di Blungo la linea l.

Soluzione: ∮" # $&⃗ = () −+, + 2+/ = 37.7 # 105678

Applicazioni: filo rettilineo indefinito

r ≥ R :r ≤ R :

rRiB 20

2pµ

=

B

R r

µoi/2pR

Esempio:Calcolare il campo magnetico B a 20 cm di distanza da un filo rettilineo molto lungo percorso da una corrente i = 5 A. (B = 5 .10-6 T)

Esempio:Raggio filo R = 1.5 mm, i = 32 A.Calcolare B per r = 1.5 mm e r = 1.2 mm

(B = 4.3 .10-3 T, B = 3.4 .10-3 T)

B = µoi2πr

ic =i

πR2πr2

j densità di corrente

!" # $&⃗ = "2)* = +,-.

-. = /()*1)

!" # $&⃗ = "2)* = +,- →

Applicazioni: solenoide rettilineo indefinitoDa considerazioni di simmetria (sistema indefinito, densità delle spire costante)si deduce che il campo magnetico B sull’asse è parallelo all’asse, uniformee nullo all’esterno: utilizzato per generare un campo B intenso e uniforme al suo interno.

niBNiBhsdB oo µµ =Þ==×ò

Risultato che non cambia se il tratto ab non coincide con l’asse

è il campo magnetico all’interno di un solenoide indefinito è ovunque uniforme,parallelo all’asse del solenoide e orientato rispetto al verso della corrente secondola regola della vite.

n = N / h numero di spire per unità di lunghezza

solenoide ideale:B = 0

Applicazioni: solenoide toroidale

rNi

BNirBsdB oo p

µµp2

2 =Þ==×ò

Per motivi di simmetria:

• le linee di campo di B formanocirconferenze con centro sull’assedel toroide• il modulo di B dipende soltanto da r

NB. All’esterno e nella cavità centrale del toroide B = 0

Esercizio 1Cavo coassiale di raggi a, b, c.Corrente i uniforme e in versi

opposti in ciascuno dei due conduttori.

Determinare il campo B(r).

ab

c

r

! " = $%&2()* "" ≤ ) :

) ≤ " ≤ , : ! " = $%&2("

, ≤ " ≤ - :

.! / 02⃗ = ! 2(" = $%&3

&3 = & − 5 ("* − (,*

! = $%&2("

-* − "*-* − ,*

5 = &((-*−,*)

" ≥ - ∶ ! = 0

Esercizio 2

Un conduttore cilindrico infinitamente lungo di raggio a è percorso da corrente; la densità di corrente varia linearmente con il raggio: j = jor/a.

Determinare il campo magnetico B(r) all’interno del filo, esprimendolo in funzione della corrente i.

Soluzione: !(#) = &'()*+,-.