Relazione: Campo magnetico mappatura

Relazione di laboratorio 30/05/2007 e 06/06/2007

del corso di Fisica generale IIprof. Trigiante

MAPPATURA DI UN

CAMPO MAGNETICO

1. Relazione di G. Signorile, C. Stefanucci, P. Tonelli, B. M. Toukam, N. Yadini

OBIETTIVI DELL’ESPERIENZA IN LABORATORIO

MATERIALE UTILLIZZATO- Magnete permanente: un magnete a forma di disco fissato su una torretta.

- Sonda ad effetto Hall: strumento usato per calcolare il modulo del campo magnetico

- Supporto per la sonda: apparato dotato di slitte e viti che permettevano di orientare

nello spazio la sonda e in particolare di traslarla lungo un piano xy.

- Rilevatore: un rivelatore elettronico che elaborava i dati della sonda e forniva il

valore del campo rilevato in gauss (G = 10-4 T).


Le due esperienze di laboratorio si proponevano di misurare i valori del campo magnetico

per mezzo di una sonda Hall in modo da raggiungere i seguenti obiettivi:

-Disegnare una mappa del campo magnetico di un magnete permanente fatto a disco

tracciando alcune linee di flusso.

- Individuare l'asse di simmetria del magnete.

-Determinare il momento magnetico del magnete.

magneti

sonda adeffetto Hallsistema di

movimentazionein piano

DESCRIZIONE DELL’ESPERIENZAL’esperienza di laboratorio consisteva nel rilevare con la sonda Hall, collegata al

dispositivo elettronico, il modulo dell'induzione magnetica del magnete fisso su un

piano xy. Per prima cosa si è dovuto determinare tale piano per cui si è orientata la

sonda in modo tale che nel punto (0,0) (assunta come posizione centrale del magnete)

si avesse esattamente il massimo valore di B in verticale. Fissata la sonda su questo

piano (l'operazione è tutt'altro che facile! Da notare che una minima variazione della

posizione, specialmente in vicinanza del magnete, causa una variazione sensibile dei

dati raccolti) si è orientata in modo tale da sfruttare l'effetto Hall causato da tale

magnete (vedesi pagina 20 per i dettagli a riguardo) procedendo alle misurazioni. Tali

misurazioni sono state effettuate posizionando la sonda in modo parallelo dapprima

all'asse y (seguendo le opportune tacche su una scala che ci assicuravano

l'angolazione) in modo da calcolare la componente Bx in quanto per effetto Hall tale

dispositivo è sensibile unicamente alla componente del campo che è ad esso

perpendicolare. Il valore rilevato dell'induzione magnetica veniva visualizzato dal

display del rilevatore elettronico e così facendo si è potuto, senza ulteriori calcoli,

procedere nel “mappare” il campo ossia nello spostare la sonda lungo gli assi x e y

per registrare passo per passo i valori misurati. Tale misurazione è stata fatta per un

numero fisso di punti precisamente per 357 punti del piano descritti da coordinate

(x,y) equispaziate e rispettate seguendo le indicazioni delle scale graduate del

supporto che avevano una precisione di mezzo centimetro. L'asse x è stato suddiviso

in 17 parti e l'asse y in 21 separate di 5 mm l'una dall'altra per ottenere un piano del

tipo mostrato a pag 4. Successivamente la sonda è stata ruotata di 90° in modo da

risultare parallela all'asse x e da rilevare la componente By per ogni singolo punto del

piano. Concludendo l'esperienza con ben 714 misurazioni tutti i dati di Bx e By sono

stati riportati nelle tabelle di pag 5-6 e da questi si è proceduti nel fare i calcoli per

determinare i valori che erano obiettivo dell'esperienza. Per confrontare l'esattezza di

tali valori è stato necessario misurare anche il diametro del magnete per mezzo di un

calibro con la precisione di 0,05 mm.


RACCOLTA E RIELABORAZIONE DEI DATINelle tabelle delle pagine seguenti sono riportati i valori di Bx e By calcolati con la

sonda Hall. Sapendo che queste due componenti del campo sono perpendicolari tra

loro è possibile applicare il teorema di Pitagora per ricavare il modulo del vettore di

induzione magnetica. In ogni punto tale modulo è stato riportato nella terza tabella.

Nella quarta sono invece riportati i valori della tangente dell'angolo che

tale vettore forma con l'asse x del piano di riferimento:

Come si nota, le ultime due tabelle sono in effetti matrici di dati che

sono state ricavate grazie all'utilizzo del software di calcolo Matlab che, come si vede

a pag. 10, ci ha permesso anche di rappresentare vettorialmente il campo magnetico

calcolato rappresentando su un grafico punto per punto un tratto tangente al campo di

intensità proporzionale ai dati sperimentali il cui verso è denotato dalla freccia.

Su tale grafico è però rappresentato anche l'asse del magnete. Si tratta dell'asse

effettivo e non di quello teorico y = 0. Se infatti x fosse il vero asse di simmetria le

componenti y del campo nei suoi punti dovrebbero essere nulle mentre in punti

simmetrici dovrebbero essere antiparalleli. Dalle tabelle precedenti si nota subito che

ciò non è verificato e questo può essere stato causato da motivi di costruzione e di

fissaggio della calamita per cui l'asse effettivo è l'asse x' rototraslato rispetto al nostro

sistema di riferimento. Prima di andare oltre indichiamo con la seguente figura il

piano xy sperimentale con i punti presi in considerazione nelle rilevazioni:


Componente Bx dell'induzione magnetica8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 Cm

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 003 005 -5,0000 000 -001 -001 -001 -001 -001 -001 -001 -001 -001 000 000 000 001 004 006 -4,5000 000 000 -001 -001 -001 -001 -001 -001 -001 -001 000 000 000 002 005 009 -4,0-001 -001 -001 -001 -002 -002 -002 -003 -003 -003 -003 -003 -002 000 001 006 013 -3,5-001 -001 -001 -002 -002 -003 -003 -004 -004 -005 -006 -005 -004 -002 000 006 017 -3,0-001 -001 -002 -002 -003 -003 -004 -005 -006 -007 -001 -010 -011 -010 -005 002 021 -2,5-001 -001 -002 -002 -003 -004 -005 -006 -008 -010 -013 -016 -019 -021 -020 -010 016 -2,0-001 -001 -002 -003 -004 -005 -006 -008 -010 -013 -017 -023 -030 -040 -050 -054 -028 -1,5-001 -002 -002 -003 -004 -005 -007 -009 -012 -016 -022 -030 -043 -063 -093 -139 -194 -1,0-002 -002 -003 -003 -004 -006 -007 -010 -013 -018 -025 -036 -055 -086 -139 -251 -503 -0,5-001 -002 -003 -004 -005 -006 -008 -011 -014 -019 -027 -039 -059 -096 -169 -321 -677 0,0-001 -002 -002 -003 -004 -005 -006 -008 -010 -014 -019 -027 -039 -058 -158 -303 -634 0,5-001 -002 -002 -003 -004 -005 -007 -010 -013 -017 -024 -035 -050 -077 -123 -206 -366 1,0-001 -001 -002 -002 -003 -004 -005 -007 -009 -011 -020 -028 -039 -052 -073 -096 -097 1,5-001 -002 -002 -003 -004 -005 -006 -008 -010 -013 -016 -021 -027 -034 -040 -037 -007 2,0-001 -001 -002 -002 -003 -004 -005 -006 -008 -010 -012 -015 -017 -019 -017 -008 012 2,5-001 -001 -002 -002 -003 -003 -004 -005 -006 -007 -008 -009 -009 -008 -004 001 015 3,0-1 -001 -001 -001 -002 -002 -003 -003 -004 -005 -005 -005 -004 -002 000 003 012 3,5

-001 -001 -001 -001 -001 -002 -002 -002 -003 -003 -003 -002 -001 000 000 004 009 4,0-001 -001 -001 -001 -001 -002 -002 -002 -002 -001 -002 -001 000 000 001 003 006 4,5000 000 000 -001 -001 -002 -001 -001 -001 -001 000 000 000 000 001 003 005 5,0


Componente By dell'induzione magnetica


8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 Cm0 000 000 000 000 000 001 001 002 003 003 004 005 005 005 004 003 -5,00 000 000 000 000 000 001 002 003 003 004 005 006 007 007 007 005 -4,5

000 000 000 000 000 001 001 002 003 005 006 008 009 011 012 012 010 -4,0000 000 000 000 000 001 002 003 004 006 008 010 013 016 019 020 018 -3,5000 000 000 000 000 001 002 003 005 007 009 013 017 022 028 032 031 -3,0000 000 000 000 000 001 002 003 005 007 011 015 022 031 042 055 062 -2,5000 000 000 000 000 001 002 003 005 007 011 017 025 038 056 081 105 -2,0000 000 000 000 000 000 001 002 004 007 010 017 027 044 074 126 212 -1,5000 000 000 000 000 000 000 001 003 005 008 015 024 043 079 158 330 -1,0000 000 000 000 000 000 000 000 001 002 005 009 017 032 062 138 318 -0,5000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 002 004 009 019 043 105 0,0000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 -002 -005 -011 -025 -062 -161 0,5000 000 000 000 000 000 000 000 -001 -002 -004 -008 -015 -028 -059 -124 -309 1,0000 000 000 000 000 000 -001 -002 -003 -005 -008 -013 -022 -038 -069 -131 -256 1,5000 000 000 000 000 -001 -001 -002 -004 -006 -009 -015 -024 -037 -058 -094 -138 2,0000 000 000 000 -001 -001 -002 -003 -005 -007 -010 -015 -022 -033 -046 -063 -076 2,5000 000 000 -001 -001 -002 -002 -003 -005 -007 -010 -013 -018 -025 -032 -039 -040 3,00 000 000 -001 -001 -002 -002 -003 -005 -006 -009 -011 -015 -018 -022 -024 -023 3,5

000 000 000 -001 -001 -002 -002 -003 -004 -006 -007 -009 -011 -014 -015 -016 -014 4,0000 000 000 -001 -001 -001 -002 -003 -004 -005 -006 -007 -009 -010 -010 -010 -008 4,5000 000 000 -001 -001 -001 -002 -002 -003 -004 -005 -006 -006 -007 -007 -006 -005 5,0

Modulo di B dell'induzione magnetica (assi xy) 7.0711 6.7082 7.0711 7.0000 6.0000 6.0000 5.0000 4.1231 3.1623 2.2361 2.2361 2.2361 1.4142 1.4142 0 0 0

10.0000 10.4403 10.0499 10.0000 9.0000 7.0711 6.3246 5.0990 4.4721 3.6056 2.8284 2.2361 1.4142 1.4142 1.0000 1.0000 1.0000

16.6433 16.4924 15.0000 14.0000 11.0454 9.2195 7.6158 6.7082 5.0000 3.6056 2.8284 2.8284 1.4142 1.4142 1.0000 1.0000 1.0000

25.9422 24.1868 22.0000 18.1108 15.5242 12.0830 10.2956 7.8102 6.4031 4.2426 3.6056 2.8284 2.2361 1.4142 1.0000 1.0000 1.0000

42.7200 39.0128 32.2490 26.2488 20.1246 15.8114 12.8062 9.8995 7.8102 5.8310 4.4721 3.6056 3.1623 2.2361 2.0000 1.0000 1.0000

76.9415 63.5059 49.0408 38.0789 27.8029 21.2132 15.6205 12.2066 9.4340 6.7082 5.3852 4.1231 3.1623 2.0000 2.0000 1.0000 1.0000

138.1774 101.0198 70.4557 50.2494 36.1248 25.8070 18.3576 14.3178 10.7703 8.2462 6.0828 5.0990 4.0000 3.0000 2.0000 2.0000 1.0000

273.7608 162.4100 100.4490 64.4050 44.7772 30.8707 21.5407 12.0830 9.4868 7.2801 5.0990 4.0000 3.0000 2.0000 2.0000 1.0000 1.0000

478.9958 240.4413 136.4185 81.9329 52.2015 35.9026 24.3311 17.1172 13.0384 10.0000 7.0000 5.0000 4.0000 3.0000 2.0000 2.0000 1.0000

654.1231 309.2782 159.9656 59.0339 39.3192 27.0740 19.0000 14.0000 10.0000 8.0000 6.0000 5.0000 4.0000 3.0000 2.0000 2.0000 1.0000

685.0942 323.8673 170.0647 96.4210 59.1354 39.0512 27.0000 19.0000 14.0000 11.0000 8.0000 6.0000 5.0000 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000

595.0907 286.4350 152.2005 91.7606 57.5674 37.1080 25.4951 18.1108 13.0384 10.0000 7.0000 6.0000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 2.0000

382.8002 210.4400 122.0246 76.2758 49.2443 33.5410 23.4094 16.7631 12.3693 9.0554 7.0000 5.0000 4.0000 3.0000 2.0000 2.0000 1.0000

213.8411 137.0839 89.3085 59.4643 40.3609 28.6007 19.7231 14.7648 10.7703 8.2462 6.0828 5.0000 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000 1.0000

106.2121 81.6149 59.4643 43.4166 31.4006 23.3452 17.0294 12.2066 9.4340 6.7082 5.3852 4.1231 3.0000 2.0000 2.0000 1.0000 1.0000

65.4599 55.0364 42.2966 32.5730 24.5967 18.0278 11.0454 9.8995 7.8102 5.8310 4.4721 3.1623 3.0000 2.0000 2.0000 1.0000 1.0000

35.3553 32.5576 28.0000 22.0907 17.4642 13.9284 10.8167 8.6023 6.4031 5.0000 3.6056 3.1623 2.0000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000

22.2036 20.8806 19.0263 16.0000 13.1529 10.4403 8.5440 6.7082 5.0000 4.2426 2.8284 2.2361 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

13.4536 13.0000 12.1655 11.0000 9.0000 8.0000 6.0828 5.0990 3.1623 2.2361 1.4142 1.4142 1.0000 1.0000 0 0 0

7.8102 8.0623 7.0711 7.0000 6.0000 5.0000 4.1231 3.1623 3.1623 2.2361 1.4142 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0

5.8310 5.0000 5.0990 5.0000 5.0000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0


Andamento dell'induzione magnetica B nello spazio.


01

23

45

67

8 - 5

0

5

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

y ( c m )

M o d u l o d e l l ' i n d u z i o n e m a g n e t i c a B

x ( c m )

B(G

)

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

Valori di tan φ (assi xy) 1.0000 2.0000 7.0000 Inf Inf Inf Inf -4.0000 -3.0000 -2.0000 -2.0000 -0.5000 -1.0000 -1.0000 NaN NaN NaN

1.3333 3.3333 10.0000 Inf Inf -7.0000 -3.0000 -5.0000 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 -1.0000 -1.0000 0 0 0

1.5556 4.0000 Inf Inf -11.0000 -4.5000 -2.3333 -2.0000 -1.3333 -1.5000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 0 0 0

1.9167 8.0000 Inf -9.0000 -3.7500 -2.2000 -1.8000 -1.2000 -1.2500 -1.0000 -0.6667 -1.0000 -0.5000 -1.0000 0 0 0

2.6667 39.0000 -8.0000 -3.1250 -2.0000 -1.4444 -1.2500 -1.0000 -0.8333 -0.6000 -0.5000 -0.6667 -0.3333 -0.5000 0 0 0

6.3333 -7.8750 -2.7059 -1.7368 -1.2941 -1.0000 -0.8333 -0.7000 -0.6250 -0.5000 -0.4000 -0.2500 -0.3333 0 0 0 0

-19.7143 -2.5405 -1.4500 -1.0882 -0.8889 -0.7143 -0.5625 -0.4615 -0.4000 -0.2500 -0.1667 -0.2000 0 0 0 0 0

-2.6392 -1.3646 -0.9452 -0.7308 -0.5641 -0.4643 -0.4000 -0.4545 -0.3333 -0.2857 -0.2000 0 0 0 0 0 0

-0.8443 -0.6019 -0.4797 -0.3636 -0.3000 -0.2286 -0.1667 -0.1176 -0.0769 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.2539 -0.2046 -0.1582 -0.1897 -0.1282 -0.0741 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.1551 0.1340 0.1124 0.0938 0.0678 0.0513 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.6322 0.5498 0.4460 0.3721 0.3091 0.2500 0.2000 0.1111 0.0769 0 0 0 0 0 0 0 0

1.7010 1.1367 0.8495 0.6825 0.5581 0.5000 0.3636 0.3125 0.2500 0.1111 0 0 0 0 0 0 0

7.5714 2.3333 1.4800 1.1000 0.9000 0.7391 0.5882 0.5385 0.4000 0.2500 0.1667 0 0 0 0 0 0

-6.5625 8.1000 2.8000 1.8095 1.3158 1.0625 0.8462 0.7000 0.6250 0.5000 0.4000 0.2500 0 0 0 0 0

-2.9524 -27.5000 8.4000 3.1000 2.0000 1.5000 11.0000 1.0000 0.8333 0.6000 0.5000 0.3333 0 0 0 0 0

-1.8235 -5.3333 -Inf 11.0000 4.2500 2.6000 1.5000 1.4000 1.2500 0.7500 0.6667 0.3333 0 0 0 0 0

-1.3846 -3.3333 -19.0000 -Inf 6.5000 3.3333 2.6667 2.0000 1.3333 1.0000 1.0000 0.5000 0 0 0 0 0

-1.1111 -2.4000 -6.0000 -Inf -Inf -Inf 6.0000 5.0000 3.0000 2.0000 1.0000 1.0000 0 0 NaN NaN NaN

-0.8333 -1.7500 -7.0000 -Inf -Inf -Inf 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 0 0 0 0 NaN NaN

-0.6000 -1.3333 -5.0000 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf NaN NaN NaN NaN NaN NaN

NOTA: Gli infiniti sono dovuti al fatto che la componente x talvolta è stata calcolata nulla e quindi in tali punti il campo è perpendicolare all'asse x. I punti con tangente

NaN (Not a Number) sono quelli in cui non è stata rilevata alcuna componente del campo magnetico quindi nulla si può dire a riguardo.


Mappatura del campo magnetico Ottenuta con la funzione quiver (Bx,By) di Matlab


- 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5M a p p a t u r a d e l c a m p o m a g n e t i c o e a s s e d e l m a g n e t e

x ( c m )

y(cm

)A s s e d e l m a g n e t e

Tornando al problema della determinazione dell'asse effettivo che è stato

rappresentato in figura la sua equazione nel piano di riferimento xy risulta essere del

tipo: y = a + b x dove a e b sono due coefficienti che sono stati ricavati attraverso il

metodo dei minimi quadrati sui dati raccolti. L'approssimazione, effettuata tramite le

funzioni polyfit e polyval di Matlab, ha dato i seguenti risultati:

Asse di equazione y = 0.044979 x – 0.264443;

Gli errori commessi sono: err(a)=0.000000, err(b)=0.000000Gli errori risultano nulli per molte cifre decimali data la grande quantità di dati

raccolti. Ora affinché tali valori calcolati siano validi abbiamo fatto delle

considerazioni fisiche:

1) Nella zona centrale (vicino al magnete) il valore della tangente di φ deve

avere un andamento costante e tale valore deve essere circa tan θ=b. Questa

osservazione è effettivamente valida ed è stata visualizzata dal grafico della

tangente stessa a pag 12.

2) Nel punto (0,a) si devono avere due condizioni: By deve essere nullo e Bx deve

risultare un massimo. Per questo nelle pagine seguenti sono state visualizzate

le funzioni Bx e By nello spazio e interpolando i dati sperimentali abbiamo

fatto vedere come nel punto (0,a) si avessero effettivamente queste condizioni

teoriche.

Controllata l'esattezza della posizione dell'asse trovata non è rimasto che

completare la mappatura del campo attraverso la determinazione delle linee di

flusso che fanno vedere come il polo del magnete considerato sia negativo. La

mappatura completa del campo è quella riportata a pag. 15 dove i colori vogliono

demarcare particolarmente l'intensità del campo magnetico.


Rappresentazione di tan φ

- 5 0 5- 2 0

- 1 5

- 1 0

- 5

0

5

1 0T a n g e n t e d e l l ' a n g o l o f i e v a l o r e c o s t a n t e

y ( c m )

tan(

fi)

V a l o r i s p e r i m e n t a l i

A p p r o s s i m a z i o n e d i t a n ( f i )

V a l o r e c o s t a n t e b

05

1 0

- 50

5- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

1 0

2 0

3 0

4 0

x ( c m )

T a n g e n t e d e l l ' a n g o l o f i e v a l o r e c o s t a n t e b

y ( c m )

tan(

fi)

Come si nota dal grafico nella zona centrale la tangente risulta essere costante (un piano)


Rappresentazione di Bx e By nello spazio

0

51 0 - 5

0

5

- 7 0 0

- 6 0 0

- 5 0 0

- 4 0 0

- 3 0 0

- 2 0 0

- 1 0 0

0

1 0 0

y ( c m )

V a l o r e d e l l ' i n d u z i o n e m a g n e t i c a s u l l 'a s s e x ( B x )

x ( c m )

Bx

(G)

02

46

8 - 5

0

5

- 4 0 0

- 3 0 0

- 2 0 0

- 1 0 0

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

y ( c m )

V a l o r e d e l l ' i n d u z i o n e m a g n e t i c a s u l l 'a s s e y ( B y )

x ( c m )

By

(G)


L'equazione dell'asse è d'accordo con Bx e By

- 5 0 50

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0I n d u z i o n e m a g n e t i c a s u l l 'a s s e x ( B x )

y ( c m )

Bx

(G)

V a l o r i s p e r i m e n t a l iA n d a m e n t o i n t e r p o l a t oV a l o r e i n a

- 5 0 5- 4 0 0

- 3 0 0

- 2 0 0

- 1 0 0

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0I n d u z i o n e m a g n e t i c a s u l l 'a s s e y ( B y )

y ( c m )

By

(G)

V a l o r i s p e r i m e n t a l iA n d a m e n t o i n t e r p o l a t oV a l o r e i n a


0 1 2 3 4 5 6 7 8- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5


Ultimo scopo dell'esperienza era quello di determinare il momento magnetico del

magnete. Per farlo abbiamo approssimato il magnete stesso a una spira circolare

percorsa da corrente di raggio R e abbiamo valutato il campo lungo l'asse. I valori

del campo valutati sono stati approssimati a quelli di Bx considerando lo

spostamento dell'asse trascurabile (x = x' ). Disegnando su un grafico (Gauss/cm)

i valori del campo rispettivamente a x abbiamo ottenuto un grafico che segue

(come ci aspettavamo, vedesi sezione a pag. 21), la seguente relazione:

P1 e P2 sono due parametri di fit che conosciuti ci permettono di determinare il

raggio della spira/magnete e il suo momento magnetico. Essendo tuttavia una

regressione non lineare abbiamo dovuto linearizzare il problema come segue:

In sostanza il problema è stato ridotto alla determinazione dei parametri a e b che

definiscono la retta di regressione lineare. Dall'andamento dei dati trasformati sui

nuovi assi risulta però che solo per piccole distanze si presenta un andamento

rettilineo quindi per l'interpolazione sono stati scartati i punti più esterni

ricavando (per 7 punti):

Retta di equazione y = 0.010588 x + 0.019600.Gli errori commessi sono: err(a)=0.001229, err(b)=0.000033

Gli errori sono stati calcolati con la seguente funzione Matlab che rispecchia le

formule utilizzate per valutare l'incertezza col metodo dei minimi quadrati:


function [erra,errb]=errorMQ(x,y,a,b)n=length(y);cov=(y-a-b*x);erra=sqrt(1/(n-2)*sum(cov.^2)*sum(x.^2)/(n*sum(x.^2)-sum(x)^2));errb=sqrt(n/(n-2)*sum(cov.^2)/(n*sum(x.^2)-sum(x)^2));disp(sprintf('Gli errori commessi sono: err(a)=%f, err(b)=%f',erra,errb))end

Dai valori di a e b abbiamo potuto ricavare P1 e P2 e di conseguenza R e m:

I calcoli effettuati con le dovute trasformazioni di unità di misura del SI hanno

dato i seguenti risultati:

Il valore del raggio è 0.01360545 m e del diametro 0.02721089 +- 0.00086134 mIl valore del momento magnetico è: 4.576953e-001 +- 4.543162e-004 Am^2

Le incertezze su queste due misure sono state ottenute con le regole di

propagazione degli errori:


Il valore del raggio misurato invece con il calibro risulta essere invece

0,0110±0,00005 m e da qui si conclude che l'esperienza non è stata molto precisa.

Questo è dovuto a vari fattori:

1) Approssimazione dei valori di x con x'

2) Errore sistematico del fatto che non è stata calcolata la distanza effettiva del

magnete rispetto al nostro centro (0,0).

3)Regressione non lineare

Concentrandoci sulla terza circostanza notiamo che interpolando il problema

linearizzato con n punti differenti otteniamo diversi risultati:

n=2 → 1.242388 ± 0.199692 → min: 1.042695 cm

n=3 → 1.759370 ± 0.136046 → min:1.623324 cm

n=4 → 2.068997 ± 0.114528 → min: 1.954469 cm

n=5 → 2.308821 ± 0.102101 → min: 2.206720 cm

n=10 → 3.193801 ± 0.073108 → min: 3.120693 cm

n=15 → 3.259495 ± 0.071608 → min: 3.187887 cm

Si nota che considerando più punti la misura diventa più precisa ma sempre più

errata perché consideriamo anche quelli che non hanno affatto un andamento

lineare. L'unica misura che è in accordo (ossia ha discrepanza nulla) con il dato

misurato in laboratorio è quando n=2. In questa circostanza il momento

magnetico risulta essere:

Il valore del momento magnetico è: 8.211104e-002 +- 4.107824e-003 Am^2


Il campo magnetico lungo l'asse: Fit lineare e Fit non lineare.

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 00

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

1 . 4L i n e a r i z z a z i o n e d e l l a r e l a z i o n e p r e c e d e n t e

B-2

/3(G

-2/3

)

x ' 2 ( c m 2 )

D a t i s p e r i m e n t a l iA n d a m e n t o s p e r i m e n t a l eF i t l i n e a r e

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0I n d u z i o n e m a g n e t i c a s u l l 'a s s e d e l m a g n e t e

B(G

)

x '( c m )

D a t i s p e r i m e n t a l iA n d a m e n t o s p e r i m e n t a l eA n d a m e n t o a p p r o s s i m a t o


APPROFONDIMENTI TEORICIL'effetto Hall.

Nel 1879 il fisico americano E.C. Hall scoprì che quando una lastra metallica, lungo

la quale fluisce una corrente elettrica I, è posta in un campo magnetico perpendicolare

alla lastra, appare una differenza di potenziale tra punti opposti sui bordi della lastra.

L'effetto Hall è un fenomeno ben conosciuto in fisica classica che permette di

determinare la carica dei portatori di carica in una corrente elettrica attraverso la loro

interazione con un campo magnetico. Per spiegare l'effetto Hall, si può considerare

una lastra di conduttore lungo la quale un elettrone e si muove con velocità v (come in

figura). Quando la lastra viene

esposta ad un campo magnetico B

ortogonale al moto dell'elettrone,

sull'elettrone stesso agisce la forza

(di Lorentz):

(dove e è la carica dell'elettrone, v

la sua velocità, B l'induzione magnetica) che tende a spostarlo sul bordo della lastra,

dando origine ad una distribuzione di carica

non uniforme responsabile della differenza

di potenziale rilevata da Hall.

L'effetto Hall non è esclusivo dei

conduttori, ma anche dei semiconduttori nei

quali è noto che i portatori di carica sono di

due tipi. In questo caso la forza di Lorentz

sospinge da un lato gli elettroni e dal lato

opposto gli ioni positivi, e l'effetto Hall (o, meglio, la tensione tra i due lati opposti

della lastra) risulta molto più marcato che nel caso dei conduttori.


La spira circolare.

Per misurare il momento magnetico m della calamita immaginiamo il magnete stesso

come una spira circolare ortogonale all’asse x’ percorsa da corrente continua.

Il campo magnetico lungo l’asse della spira è, per ragioni di simmetria, orientato

parallelamente all’asse x’. Per dimostrarlo possiamo divididere la spira in tratti

infinitesimi dl ,possiamo quindi decomporre dB scrivendolo come somma vettoriale

di una componente parallela al piano y e una al piano x:

Si può quindi osservare che i contributi paralleli all’asse y di due elementi dl

diametricalmente opposti si cancellano, quindi contribuiscono solo le componenti di

B lungo l’asse x. Si dimostra che il campo magnetico generato da una spira segue la

seguente relazione:

GRUPPO DI SPERIMENTAZIONESignorile Giovanna, Stefanucci Camillo, Tonelli Piero

Toukam Barbara Menkes, Yadini Najwa.


dlx’

rR

dBx

Bd

asse x’

B m

Script Matlab utilizzato:%Mappatura del campo magnetico con sonda Hall (by C. Stefanucci)%[I valori ricavati in laboratorio si trovano nel file field.mat]load field.mat%Creazione della griglia e allineamento degli assi[x,y] = meshgrid(0:0.5:8,-5:0.5:5); [n,m]=size(Bx);Bxs=scambia(Bx*scambia(eye(m))); Bys=-scambia(By*scambia(eye(m)));%Calcolo di B e tan(fi)disp(sprintf('Modulo del campo magnetico:')); B=sqrt(Bxs.^2+Bys.^2)disp(sprintf('Valori della tangente di fi:')); A=Bys./Bxs%Calcolo dell'asse del magnetexs=linspace(0,8); c=polyfit(Bxs,Bys,1); p=polyval(c,xs);disp(sprintf('Asse di equazione y=%f x %f:',c(1),c(2)));errorMQ(xs,p,c(2),c(1));%Rappresentazione di Bx e By sull'asse xfigure(1)XX=linspace(0,8); asse=[-5:0.5:5]; assedenso=linspace(-5,5);subplot(1,2,1)hold on, title('Induzione magnetica sull''asse x (Bx)'), xlabel('y(cm)'),ylabel('Bx(G)')px=spline(asse,sqrt(Bxs(1:21,1).^2)',assedenso); py=spline(asse,sqrt(Bxs(1:21,1).^2)',c(2));plot(asse,sqrt(Bxs(1:21,1).^2)','b*',assedenso,px,'r:',c(2),py,'r*')legend('Valori sperimentali','Andamento interpolato','Valore in a')subplot(1,2,2)hold on, title('Induzione magnetica sull''asse y (By)'), xlabel('y(cm)'),ylabel('By(G)')px=spline(asse,Bys(1:21,1)',assedenso);plot(asse,Bys(1:21,1)','b*',assedenso,px,'r:',c(2),0,'r*') legend('Valori sperimentali','Andamento interpolato','Valore in a')figure(2)subplot(1,2,1)hold on, title('Valore dell''induzione magnetica sull''asse x (Bx)'), xlabel('x(cm)'),ylabel('y(cm)'),zlabel('Bx(G)')surf(x,y,Bx)subplot(1,2,2)hold on, title('Valore dell''induzione magnetica sull''asse y (By)'), xlabel('x(cm)'),ylabel('y(cm)'),zlabel('By(G)')surf(x,y,By)figure(3)hold on, title('Modulo dell''induzione magnetica B'), xlabel('x(cm)'),ylabel('y(cm)'),zlabel('B(G)')surf(x,y,B)%Rappresentazione della tangente di fifigure(4)hold on, title('Tangente dell''angolo fi'), xlabel('x(cm)'),ylabel('y(cm)'),zlabel('tan(fi)')surf(x,y,A)figure(5)subplot(1,2,1)hold ontitle('Tangente dell''angolo fi e valore costante'), xlabel('y(cm)'),ylabel('tan(fi)')px=spline(asse,A(1:21,1)',assedenso);plot(asse,A(1:21,1)','b*',assedenso,px,'r:',assedenso,c(1)*ones(1,100),'g-'); legend('Valori sperimentali','Approssimazione di tan(fi)','Valore costante b')subplot(1,2,2)title('Tangente dell''angolo fi e valore costante b'), xlabel('x(cm)'),ylabel('y(cm)'),zlabel('tan(fi)'), hold onsurf(x,y,A), surf(x,y,ones(n,m)*c(1))%Fit dei dati sperimentalifigure(6)asse=[0:0.5:8]; mu=0.4*pi;%Fit lineare Y = a + bXsubplot(1,2,2)title('Linearizzazione della relazione precedente')ylabel('B^-^2^/^3(G^-^2^/^3)'),xlabel('x'' ^2(cm^2)')


hold on, Y=B(11,1:17).^(-2/3); X=asse.^2; XM=linspace(0,65);n=2; c1=polyfit(X(1:n),Y(1:n),1); p1=polyval(c1,linspace(0,64)); c2=polyfit(X,Y,9); p2=polyval(c2,XM);plot(X,Y,'bo',XM,p2,'k:',XM,p1,'r')legend('Dati sperimentali','Andamento sperimentale','Fit lineare')disp(sprintf('Retta di equazione y=%f + x %f:',c1(1),c1(2)));[erra,errb]=errorMQ(XM,p1,c1(2),c1(1));%Calcolo di P1 e di P2P1=1/(c1(1)^(3/2)); P2=c1(2)/c1(1);R=sqrt(P2); m=2*pi*P1/mu;dR=sqrt(erra^2/(4*c1(2)*c1(1))+errb^2/(4*c1(2)^3));dm=3*pi*errb/(mu*c1(2)^(5/2));disp(sprintf('Il valore del raggio è %f m e del diametro %f +- %f m',R*10^(-2),R*2*10^(-2),2*dR*10^(-2)));disp(sprintf('Il valore del momento magnetico è: %e +- %e Am^2',m*10^(-4),dm*10^(-4)));%Fit non linearesubplot(1,2,1)title('Induzione magnetica sull''asse del magnete'), ylabel('B(G)'),xlabel('x''(cm)')%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%f=inline('P1/[P2+x.^2].^(3/2)');for i=1:100 Y(i)=f(P1,P2,XX(i));end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%hold on, XM=linspace(0,8);cc=polyfit(asse,B(11,1:17),10); pp=polyval(cc,XM);plot(asse,B(11,1:17),'bo',XM,pp,'k:',XX,Y,'r')legend('Dati sperimentali','Andamento sperimentale','Andamento approssimato')%Rappresentazione della mappatura del campofigure(9)contourf(x,y,B,100); shading flat, colormap('jet')hold on, plot(xs,p,'r'), quiver(x,y,Bxs,Bys,'k')h=streamslice(x,y,Bxs,Bys); set(h,'Color','w')figure(7)title('Mappatura del campo magnetico e asse del magnete'), xlabel('x(cm)'),ylabel('y(cm)')hold on, plot(xs,p,'r'), legend('Asse del magnete')quiver(x,y,Bxs,Bys,'k')


Relazione: Campo magnetico mappatura

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