1

1.1 INTRODUZIONE L’argomento di questo corso è la formazione e la visualizzazione dell’immagine

ottenuta mediante risonanza magnetica nucleare (NMR dall’acronimo di Nuclear Magnetic Resonance).

La risonanza magnetica nucleare, come è implicito nel nome, è una tecnica di misura che coinvolge i nuclei, i campi magnetici e il fenomeno di risonanza (nascente dall’interazione dei nuclei con i campi magnetici). In generale, per risonanze magnetiche si intende tutta una serie di effetti risonanti che si producono su nuclei sottoposti a un campo magnetico costante modulato da un debole campo magnetico oscillante di opportuna frequenza e polarizzazione.

Per comprendere il meccanismo che consente la generazione e la rilevazione del segnale NMR si deve iniziare da un livello nucleare.

Il mondo materiale (noi, la scrivania su cui studiamo, la matita, la sedia, etc. ....

(ovvero tutto!)) è composto da un insieme di atomi. Un atomo è costituito da un nucleo centrale attorniato da elettroni (che possiedono una carica negativa). Le dimensioni di un atomo sono dell’ordine di 10-10 m, mentre il nucleo è 100000 volte più piccolo. Il nucleo a sua volta è costituito da due tipi di particelle i neutroni (elettricamente neutri) e i protoni (aventi carica positiva). ) [vedi fig.1a e 1b]. Il numero dei protoni più il numero di neutroni è detto numero di nucleoni [A = Z (protoni) + N (neutroni)]. Il numero di protoni è uguale al numero di elettroni ed è detto numero atomico (Z). Gli atomi di diverse specie chimiche si differenziano tra loro per il numero di nucleoni (A) e per il numero di elettroni.

Le proprietà fondamentali dei nuclei sono quelle di avere un raggio finito (∼10-14 m), una massa finita (∼10-27 Kg), una carica elettrica (∼10-19 Coulomb) e un momento angolare intrinseco o spin, J

r. Quest’ultima proprietà, scoperta grazie agli esperimenti di

Stern e Gerlach (primi anni del 1920) e di Rabi (1930), è alla base della risonanza magnetica nucleare. Semplificando il nucleo può essere assimilato ad “una sfera” carica che gira su se stessa (il termine inglese spin difatti significa rotazione) [vedi figura 2]. Il

momento angolare può essere scritto come IJrh

r= , dove

π=

2h

h è la costante di Planck

ridotta ( sJ 10 6.626 -34 ⋅⋅=h , con J = Joule e s = secondi) e I può assumere valori interi, seminteri o nulli.

La risonanza magnetica non può essere fatta su tutti i nuclei, ma solo su nuclei che possiedono momento angolare diverso da zero (ovvero misure NMR non possono essere effettuate, su nuclei che hanno Z ed N entrambi pari)1. Nella maggior parte delle applicazioni di diagnostica clinica il nucleo utilizzato come sonda è quello di idrogeno costituito da un solo protone ed avente spin ½.

Un oggetto carico che ruota su se stesso genera un campo magnetico analogo a quello di una sbarretta magnetica (una calamita), per cui il nucleo può essere assimilato ad un dipolo magnetico microscopico (vedi fig.2) avente momento magnetico:

Irh

rγ=μ (1)

dove γ è una costante fisica nota come rapporto giromagnetico caratteristica di ogni singolo nucleo. In tab.1 sono riportati i valori di I e di γ per alcuni nuclei.

1 I assume valori interi se il numero di nucleoni (A=Z+N) è pari, valori seminteri se A è dispari, inoltre I=0 se Z ed N sono entrambi pari.

2

Figura 1a Rappresentazione grafica di un atomo (nota le dimensioni non sono in scala).

Figura 1b Schema per comprendere che un atomo (nonostante il significato del nome: atomo viene dal

greco átomos ovvero indivisibile) è composto dagli elettroni e da un nucleo. Il nucleo a sua volta è costituito da protoni e da neutroni che a loro volta sono formati da particelle ancora più piccole i quark (10-18 m).

3

Figura 2. (a) Il nucleo possiede un momento angolare intrinseco o spin, per cui può essere pensato

come una sfera che ruota su se stessa. In realtà lo spin nucleare è fornito dalla combinazione degli spin dei protoni e dei neutroni che compongono il nucleo. Un nucleo avente un numero di protoni e un numero di neutroni entrambi pari ha spin nullo. (b) Essendo il nucleo, un oggetto carico, per effetto della rotazione, attorno al suo asse di simmetria, viene generato un campo magnetico. Conseguentemente il nucleo può essere assimilato ad un dipolo magnetico avente momento magnetico I

rh

rγ=μ . In figura è mostrata una

barretta magnetica (una calamita) e le linee di forza del campo magnetico.

Nomenclatura Simbolo I γ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅ sTrad810 abbondanza

naturale ν0 (MHz) = ω/2π

Β0=2.3488 Τ idrogeno 1H ½ 2.675 99.98 100 deuterio 2H 1 0.411 0.015 15.351

trizio 3H ½ 2.853 0 106.663 carbonio 12 12C 0 98.9 carbonio 13 13C ½ 0.673 1.108 25.144

azoto 14 14N 1 0.193 99.63 7.224 azoto 15 15N ½ -0.271 0.37 10.133 fluoro 19F ½ 2.517 100 94.077 fosforo 31P ½ 1.083 100 40.481

Tabella 1 Elenco delle proprietà più importanti per effettuare misure NMR su alcuni nuclei. Notiamo che sono riportate le proprietà per differenti isotopi. Gli isotopi sono atomi con uguale numero atomico (Z), ma diverso numero di neutroni (N). Ad esempio l'idrogeno, il deuterio, il trizio hanno un protone Z=1, ma un differente numero di neutroni nel nucleo (l’idrogeno non ha nessun neutrone, il deuterio ha un neutrone e il trizio ha 2 neutroni). Il numero in alto a destra rispetto al simbolo chimico dell’atomo indica il numero di massa ovvero il numero di nucleoni. Tra i parametri importanti in una misura NMR vi è l’abbondanza naturale dell’atomo. Il carbonio 12 ha un’abbondanza naturale del 98.9% (ovvero su 100 atomi di carbonio 98.9 sono di carbonio 12), ma il segnale del carbonio 12 non si può rilevare tramite NMR perché ha spin I=0. Le misure NMR si possono effettuare sull’isotopo carbonio 13 che però ha abbondanza naturale di appena 1.10%. La frequenza di risonanza, ν0, misurata in MHz è riferita ad un campo magnetico B0= 2.2488 Tesla. 1.2 DESCRIZIONE SEMICLASSICA DEL COMPORTAMENTO DI UN SINGOLO SPIN IN

PRESENZA DI UN CAMPO MAGNETICO ESTERNO STATICO

In assenza di campo magnetico, μr assume direzioni casuali nello spazio a causa dei moti

termici. In presenza di un campo magnetico statico esterno il nostro dipolo magnetico

S

N

S(a)

(b)

4

nucleare tende ad allinearsi nella direzione del campo magnetico. Supponiamo di avere un campo magnetico statico esterno diretto nella direzione dell’asse z del sistema di laboratorio:

kBB ˆ00 =r

(2) L’orientazione di μ

r lungo la direzione del campo è quantizzata2 (ovvero il momento magnetico può avere solo particolari direzioni ovvero l’orientazione non varia in maniera continua, ma solo secondo multipli di mI) :

Iz mhγ=μ (3) dove mI è chiamato numero quantico magnetico ed assume i (2I+1) valori:

mI = -I, -I+1, ...., I (4)

Ad esempio per un nucleo di spin 21

=I (come quello dell’atomo di idrogeno)

21,

21

−=Im .

In particolare l’angolo che il vettore momento magnetico nucleare forma con l’asse z può essere stimato come3:

)1(m

cos I+

=μ

μ=ϑ

IIz (5)

Per il nucleo dell’atomo di idrogeno, ad esempio, si stima quindi: '4454°±=ϑ (6)

Questo vuol dire che vi sono due orientazioni preferenziali una in direzione parallela al campo 0B

re l’altra in direzione antiparallela al campo 0B

r(vedi figura 3b).

Figura 3 I momenti magnetici nucleari in assenza di campo sono orientati casualmente (a), mentre in presenza di campo sono allineati lungo la direzione del campo magnetico esterno (b). Il caso rappresentato nella parte b) della figura si riferisce ad un caso dove il nucleo in esame ha spin ½ e quindi vi sono solo due possibili orientazioni una parallela (angolo ϑ=54° 44’) e l’altra antiparallela (angolo ϑ=-54° 44’).

2 Anche se per i nostri scopi ci limiteremo ad una descrizione classica del fenomeno della risonanza magnetica nucleare, non è possibile prescindere dalla natura quantistica del nucleo e alcuni effetti come appunto la quantizzazione dell’orientazione del momento magnetico nucleare può essere spiegata solo mediate la fisica quantistica. 3 Ir

in realtà non è un vettore ma un operatore vettoriale e )1( +II è l’autovalore di 2I . Per le

applicazioni che ci interessano si può comunque considerare il modulo di μr

come: ( )1+γ=μ IIh .

(a)

y x

z ΣLab 0B

r

(b)

Parallela

Anti-parallela

5

Se poniamo i nuclei in presenza di un campo magnetico statico essi si orientano secondo una delle due orientazioni preferenziali, ed inoltre iniziano a ruotare attorno all’asse lungo il quale è diretto il campo magnetico 0B

r (asse z), compiendo un moto di

precessione del tutto analogo a quello di una trottola nel campo gravitazionale terrestre (vedi figura 4).

Figura 4 Analogia tra il nucleo in presenza di un campo magnetico statico diretto lungo z che può essere assimilato ad una sfera che oltre a girare su se stessa gira attorno all’asse z e una trottola che ruota su se stessa e attorno all’asse lungo il quale è diretto il campo gravitazionale. Questo moto di rotazione, attorno all’asse lungo il quale è diretto il campo, è detto di precessione. Il moto di precessione sopra descritto avviene con una velocità angolare:

0BLrr

γ−=ω (7)

La frequenza π

ω=ν

2L

L è detta frequenza di Larmor.

Questo risultato viene dalla scrittura dell’equazione della dinamica classica4 per un nucleo isolato (non si considerano, per il momento, le eventuali interazioni con gli altri nuclei) avente momento magnetico μ

r , immerso in un campo magnetico statico

kBB ˆ00 =

r:

0Bdtd rrr

∧μγ=μ (8)

4 L’equazione (8) è una scrittura equivalente del secondo principio della dinamica amF rr

= . In particolare con l’equazione (8) abbiamo scritto che la derivata rispetto al tempo del momento angolare

γμ

=rr

J del dipolo magnetico è uguale al momento della forza che agisce sul dipolo: 0Brr

∧μ .

G

6

Proiettando l’equazione (8) sugli assi del sistema di laboratorio (ΣLAB) si ottiene:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=μ

μγ−=μ

μγ=μ

0

0

0

dtd

Bdt

d

Bdt

d

z

xy

yx

(9)

Notiamo dall’equazione (9) che solo le componenti xy di μ variano nel tempo mentre la componente z, μz, non varia nel tempo ed è uguale sempre al suo valore al tempo iniziale μz(0). La soluzione delle equazioni (9) è:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

μ=μ

ωμ+ωμ−=μ

ωμ+ωμ=μ

0)(

cos0sin0)(

sin0cos0)(

00

00

zz

yxy

yxx

t

ttt

ttt

(10)

1.3 COMPORTAMENTO DI UN SISTEMA DI SPIN NON INTERAGENTI Al fine di descrivere il comportamento di un sistema di N spin si introduce il vettore magnetizzazione definito come la somma vettoriale di tutti i momenti magnetici microscopici associati ad ogni singolo spin del composto in esame:

NM μ++μ+μ+μ=rrrrr

.....321 (11) Utilizzando il simbolo di sommatoria si può riscrivere la (11) in maniera sintetica come:

∑=

μ=N

nnM

1

rr (12)

L’equazione (12) si legge come: il vettore magnetizzazione è uguale alla sommatoria per n che va da 1 a N di nμ

r . Abbiamo visto che i momenti magnetici nucleari in assenza di campo esterno statico sono orientati casualmente (vedi figura 3a) per cui la somma vettoriale di tutti questi momenti magnetici sarà nulla:

0=Mr

per 00 =Br

(13) Abbiamo visto che un singolo momento di dipolo microscopico, in presenza di un campo statico, kBB ˆ

00 =r

, si orienta secondo una delle due (per I=1/2) possibili orientazioni, in particolare la direzione del momento magnetico forma con l’asse z (lungo il quale è diretto il campo) un angolo di ϑ =±54° 44’. Se abbiamo un sistema di N spin qualcuno sarà orientato in direzione parallela (ϑ =+54° 44’) e qualcun altro in direzione anti-parallela (ϑ =-54° 44’) [vedi figura 5°]. Immaginiamo di disporre tutti gli N vettori momenti magnetici microscopici in un piano cartesiano facendo in modo che

7

partano tutti dallo stesso punto (così è più semplice visualizzare il vettore somma ovvero la magnetizzazione) [vedi Figura 5b]. E’possibile notare che tutti i nμ

r sono disposti

secondo la superficie laterale di un cono (o in direzione parallela o in direzione antiparallela). Le osservazioni fatte sono vere per un sistema di spin all’equilibrio. Il vettore magnetizzazione all’equilibrio avrà solo componente Mz (lungo la direzione del campo), mentre la componente Mxy (perpendicolare al campo) si annulla.

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

⇒=0

ˆˆ00

xy

oM

kMMkBB

rr

(14)

La componente Mxy = 0 in quanto i momenti magnetici microscopici nel piano xy hanno orientazione casuale e precedono tutti attorno all’asse z con la stessa frequenza. La magnetizzazione all’equilibrio è, dunque, un vettore allineato lungo la direzione del campo e parallelo ad esso. Infatti, gli spin allineati parallelamente al campo sono in numero maggiore rispetto a quelli allineati antiparallelamente, perché sono sempre favorite le condizioni di minima energia. L’energia di un momento magnetico μ

r in un campo magnetico 0B

r è:

0BErr

⋅μ−= (15) L’equazione (15) afferma che l’energia è pari a “meno il prodotto scalare5 tra il momento magnetico e il campo magnetico che è uguale a meno il prodotto della componente z del momento magnetico, zμ , per il modulo del campo B0”. L’energia sarà minima quando il componente z di μ

r , zμr , è parallelo al campo (in questo caso

0↑ Βμ= zr-E ), massima quando è anti- parallelo (in questo caso 0↓ Βμ= z

rE ). Sfruttando l’equazione (3), la (15) può essere riscritta come:

0BmE Ihγ−= (16)

Quindi per un sistema di spin aventi 21

=I si ha 21,

21

−=Im , per cui gli spin possono

stare in due stati di energia (vedi figura 7):

021 BE hγ−=↑ se

21

=Im , ovvero se gli spin sono allineati parallelamente al campo

021 BE hγ=↓ se

21

−=Im , ovvero se gli spin sono allineati anti-parallelamente al

campo Si dirà che il livello corrispondente all’energia minore è più densamente popolato (ovvero vi sono più spin nel livello con energia minore).

5 Il prodotto scalare corrisponde al prodotto della proiezione di μ

r su 0B

r per il modulo di 0B

r stesso. La

proiezione di μr

su 0Br

è la componente z di μr

. Tale componente ha segno positivo se μr

è parallelo a 0Br

segno negativo se è antiparallelo. Se consideriamo il modulo zμr

del vettore componente zμr

possiamo

scrivere: ⎪⎩

⎪⎨⎧

μΒμ=μΒμ=

=⋅μ−=0↓

0↑

0

00 E

-EBeloantiparallsese

BparalleloseBE

zz

zzz rrr

rrrrr.

All’equilibrio per

8

Figura 5. Configurazione ad un certo istante di un sistema di spin all’equilibrio (a). Per visualizzare il vettore magnetizzazione come somma vettoriale dei diversi vettori momenti magnetici microscopici ridisegniamo quest’ultimi in maniera tale che partano dallo stesso punto (b). Si nota che i nμ

rrisultano

disposti secondo la superficie laterale di un cono e che il vettore magnetizzazione 0Mr

ha la stessa direzione e verso di 0B

v.

Figura 6. Rappresentazione dei livelli energetici di un sistema di spin in assenza e in presenza di un campo magnetico. In presenza del campo magnetico si ha il cosiddetto splitting Zeeman dei livelli energetici, ovvero l’effetto del campo magnetico è quello di provocare una separazione del livello energetico di partenza in 2 livelli energetici (nel caso del nucleo dell’atomo di idrogeno avente spin I=1/2). Tutti gli spin del sistema in assenza di campo possedevano la stessa energia, in presenza di campo e in condizioni di equilibrio la maggior parte degli spin occuperà il livello con energia minore, il rimanente quello con energia maggiore.

(a) (b)

021 BE hγ=↓

021 BE hγ−=↑

kBB ˆ00 =r

00 =Br

9

La differenza di energia tra i due livelli è:

LBEEE ω=γ=−=Δ ↑↓ hh 0 (17)

Il valore della magnetizzazione all’equilibrio dipenderà dalla differenza di popolazione tra i due livelli [ovvero dal numero, ↑N , di spin up (su) in direzione parallela al campo e dal numero, ↓N , di spin down (giù) in direzione antiparallela al campo]6:

{( ) kNNkkMM

N

n

N

nˆ

21ˆ

21

21ˆ

110 h

321hh

rγ−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

γ−+γ== ↓↑=

μ=

μ

∑∑↓

↓

↑

↑

(18)

Quindi per stimare il valore della magnetizzazione dobbiamo stimare la differenza di popolazione tra i livelli ( )↓↑ − NN , ovvero la differenza tra il numero di spin up e il numero di spin down. Si può dimostrare che la differenza di popolazione tra i livelli energetici è[1-5]:

SBs TK

ENNN2

Δ≈− ↓↑ (19)

dove: NS è il numero totale di spin del sistema

0BE hγ=Δ è la differenza di energia tra i livelli energetici TS è la temperatura del sistema di spin (espressa in gradi Kelvin)

KB è una costante universale, detta di Boltzmann ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

KJ23-

B 101.38K

Sostituendo la (19) nella (18) otteniamo la stima del valore del modulo della magnetizzazione all’equilibrio:

SBs TK

BNM

40

220

hγ≈ (20)

Stimiamo, ad esempio, il valore del modulo della magnetizzazione all’equilibrio per un campione costituito da 18 grammi d’acqua, contenente circa 6,02 • 1023 spin protonici (NS ≈ 6,02 • 1023), alla temperatura ambiente (TS ≈ 291 K) con un campo magnetico statico di circa 1 Tesla (B0=1T):

6 Analizziamola l’equazione (18) per comprendere meglio come l’abbiamo ottenuta. Abbiamo detto che la magnetizzazione è la somma vettoriale di tutti i momenti magnetici di dipolo e che in particolare vi contribuisce solo la componente z dei momenti magnetici. Sappiamo inoltre che la componente z si distingue in parallela al campo (spin up) e in antiparallela al campo (spin down). Svolgiamo prima la somma dei momenti magnetici

paralleli al campo: ∑∑↑↑

==↑ γ=μ

N

n

N

n 11 21

h , si tratta di sommare ↑N volte il termine hγ21 e quindi viene ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ γ⋅↑ h

21N .

Si ripete lo stesso ragionamento per hh γ⋅−=γ−=μ ↓=

↓

=↓ ∑∑

↓

21

21

11N

N

n

N

n. Sommando ora i due contributi si ottiene

( ) kNNM ˆ21

hr

γ−= ↓↑ .

10

( )( )

( )KKJ

TsJT

MHz

M2911038.14

12

10626.657.42

1002.623

2342

230

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

π⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅≈−

−

Svolgendo i calcoli:

TTAm

TJ

KKJ

TsJsTM

21616

2222

6

23

450 10471047

10

1016061076230 −−

−

−⋅≈⋅≈

⋅

⋅⋅⋅

⋅

⋅≈

215

0 107.4 AmM −⋅≈ (21)

La magnetizzazione all’equilibrio (a campi piuttosto elevati e a temperatura ambiente) è una quantità piuttosto piccola che sarebbe difficile rivelare sperimentalmente. In realtà quello che si va ad osservare (come vedremo) non è direttamente la magnetizzazione, ma la rapidità con cui varia l’induzione nucleare. Il valore di magnetizzazione riportato nella (21) è dovuto al fatto che la differenza tra il numero di spin orientati parallelamente al campo e il numero di spin orientati antiparallelamente è: 17104.3 ⋅=− ↓↑ NN , ovvero è solo lo 0.000056% del numero di

spin totali NS ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

− ↓↑ %000056.0SNNN .

1.3 IMPULSO RF E RISONANZA La magnetizzazione all’equilibrio è una quantità piccola difficile da rilevare

sperimentalmente. Le tecniche di NMR ad impulsi consentono di registrare il segnale proveniente dagli spin che tendono a ritornare nella configurazione di equilibrio dopo essere stati sottoposti ad un opportuno impulso a radiofrequenza. Affinché l’impulso RF risulti efficace è necessario che abbia frequenza pari alla frequenza di Larmor del sistema. Tale condizione è detta di risonanza LRF ω=ω .

Analizziamo i diversi concetti introdotti in quest’ultima frase ed iniziamo a comprendere meglio il significato di risonanza mediante un esempio.

Il concetto di risonanza è un concetto in cui ci imbatte fin da piccoli. Tutti noi, difatti, siamo andati almeno una volta in altalena o abbiamo spinto l’altalena

ad un nostro piccolo amico (vedi figura 7). L’esperienza che facciamo è che senza la spinta di nessuno, il bimbo oscillerà ad una certa frequenza naturale ( 0ν )7. Le oscillazioni si smorzano8 per la presenza dell’attrito (ad es. quello dell’aria) e se vogliamo continuare a far dondolare il bimbo dobbiamo spingere l’altalena. Non tutte le spinte sono però egualmente efficaci. Affinché le oscillazioni risultino di ampiezza massima, dobbiamo spingere l’altalena al ritmo corrispondente alla frequenza naturale dell’oscillazione, ovvero dobbiamo dare una spinta con frequenza, ν, pari a quella

7 Il moto di un bimbo in altalena è un moto periodico, difatti il bimbo assume periodicamente le stesse posizioni. Il tempo intercoso per assumere due posizioni uguali è detto periodo, T, e si misura in s (secondi). La frequenza è l’inverso del periodo e si misura in Hz (Hertz). La pulsazione è πν=ω 2 . 8 L’ampiezza delle oscillazioni diminuisce fino a che l’altalena si ferma.

11

naturale dell’oscillazione in altalena, 0ν=ν (condizione di risonanza). La forza impressa dal genitore mediante la spinta è una forza cosiddetta impulsiva ovvero il tempo durante il quale la forza è applicata è piccolo rispetto alla durata complessiva dell’oscillazione. (Il genitore spinge l’altalena in un certo istante, non accompagna con la mano sempre l’altalena. Dopo aver dato la spinta lascia dondolare il bimbo liberamente). Andando avanti nella nostra analogia supponiamo di avere una serie di altalene-spin tutte della stessa lunghezza9: su ogni altalena vi è un bambino. Se ogni bambino inizia a muoversi da solo osserveremo che esisterà una relazione di fase casuale tra le diverse altalene, ma se i genitori (forzante) posti dietro a ogni bambino iniziano a spingere contemporaneamente i diversi bambini alla frequenza naturale (condizione di risonanza) si otterrà che le altalene raggiungeranno una coerenza di fase (non sono più sfasate le une rispetto alle altre): i bambini oscilleranno in fase esercitando una forza coerente sulla barra di sospensione.

Figura 7 Altalena e fenomeno di Risonanza. La forzante deve avere la stessa frequenza del moto oscillante. Nel caso di un esperimento di Risonanza Magnetica Nucleare la forzante (che nel caso dell’altalena era la spinta del genitore) è costituita da un campo magnetico a radiofrequenza (RF) che può essere sperimentalmente realizzato mediante una bobina posta ortogonalmente al campo statico 0B

r, percorsa da corrente alternata (vedi figura

8): tBtB RFyy ω= cos)0()( (22)

che può essere decomposto in due componenti rotanti:

)sinˆcosˆ(

)sinˆcosˆ(

1

1

tjtiBB

tjtiBB

RFRFL

RFRFR

ω−ω=

ω+ω=r

r

(23)

Di queste due componenti possiamo considerare solo quella che ruota nello stesso verso di precessione degli spin:

)sinˆcosˆ(11 tjtiBBB RFRFR ω+ω==rr

(24) La forzante nel caso del sistema di spin è dunque il campo a RF, 1B

r, ruotante nel piano

ortogonale al campo statico, con pulsazione ωRF avente verso uguale a quello di precessione degli spin (vedi Figura 9).

9 Il fatto che le altalene siano della stessa lunghezza è necessario per fare in modo che le frequenze naturali delle oscillazioni siano tutte uguali, difatti, la frequenza di un pendolo dipende solo dalla lunghezza e dall’accelerazione di gravità.

12

Figura 8. Bobina posta ortogonalmente al campo statico e percorsa da corrente alternata. In questo modo viene prodotto un campo RF ortogonale a B0 ruotante nella direzione di precessione dello spin nucleare. Qual’è l’effetto prodotto sul sistema di spin dall’accensione di questo nuovo campo magnetico? Iniziamo con il visualizzare il moto compiuto da un singolo dipolo magnetico nucleare. Per descrivere questo moto, nella maniera più semplice, si deve cambiare punto di vista, introducendo un nuovo sistema di riferimento (ΣRot) solidale col campo magnetico rotante (ovvero osserviamo cosa fa lo spin mettendoci a “cavalcioni” del vettore 1B

r). Il dipolo magnetico nucleare appare (vedi figura 10) precedere attorno

ad un campo magnetico effBr

:

44 344 21

rrrrr

reffB

RF BBdtd

≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

γω

+∧μγ=μ

10 (25)

Figura 10 Il momento magnetico di dipolo nucleare precede attorno al campo magnetico efficace nel sistema di riferimento rotante solidale con 1B

r.

[Questo cambiamento di sistema di riferimento è necessario per rendere la descrizione più semplice, difatti, 1B

r nel sistema ΣLab ruota e di conseguenza anche il campo

magnetico effettivo (combinazione di 1Br

e 0Br

) agente sullo spin ruoterebbe ed il

μμμ ΣRot

13

momento magnetico nucleare precederebbe attorno ad un campo magnetico che ruota. In questo caso sia la scrittura delle equazioni del moto che la visualizzazione grafica del moto stesso sarebbero più complesse. Nel sistema ΣRot solidale con 1B

r, sia 1B

rche effB

r

appaiono fermi (non ruotano perché il sistema stesso ruota con loro). Inoltre, 0Br

può essere considerato statico perché diretto lungo l’asse z di rotazione]. Cosa succede da un punto di vista classico in condizioni di risonanza? Per

0BLRF

rrrγ−=ω=ω (condizioni di risonanza), effB

r diviene:

110

0 BBB

BBeff

rrr

rr=+

γγ−

+= (26)

Il momento magnetico di dipolo nucleare, nel sistema ΣRot, in condizioni di risonanza ruota attorno al campo 1B

r (vedi Figura 11). Se il campo magnetico 1B

r viene acceso solo

per un certo intervallo di tempo tP, allora il momento magnetico di dipolo avrà compiuto intorno a 1B

runa rotazione di un certo angolo α:

p1tBγ=α (27) Figura 11. Moto dal punto di vista classico del vettore momento di dipolo nucleare in condizioni di risonanza. Se accendo il campo magnetico 1B

r solo per un certo intervallo di tempo t, il vettore momento

magnetico ruoterà attorno a 1Br

solo di un certo angolo α. Se il tempo tP è sufficiente breve rispetto ai tempi di osservazione del moto di μ

r parlerò di impulso RF e l’angolo α dipende dall’intensità dell’impulso (modulo di B1) e dalla

sua durata, tP. In particolare si parlerà di impulso a 180° per 1

180 Bt

γπ

= e di impulso a

90° per 1

90 2 Bt

γπ

= .

Dopo il tempo tP, ovvero quando l’impulso è spento il momento magnetico μ

r tenderà a tornare nella sua configurazione di equilibrio. Il segnale dovuto a questo moto di ritorno verso l’equilibrio è quello che viene rivelato tramite la risonanza magnetica nucleare (per la rilevazione del segnale vedi par. 1.6). Gli spin durante l’azione dell’impulso

ΣRot μr

14

hanno un moto coerente ovvero conservano la fase iniziale proprio come nell’esempio delle altalene di uguale lunghezza spinte dai genitori. In assenza di interazione degli spin tra loro e con l’ambiente circostante il vettore magnetizzazione complessivo compierà lo stesso moto del vettore momento magnetico del singolo dipolo nucleare. In genere i risultati della descrizione classica si possono applicare direttamente ad un sistema reale se l’intensità del campo B1 è tale da poter trascurare durante l’impulso le interazioni degli spin tra loro e con il reticolo. Nel prossimo paragrafo analizzeremo l’effetto delle suddette interazioni sul moto verso l’equilibrio della magnetizzazione, ovvero sul moto della magnetizzazione una volta spento l’impulso RF. Prima di procedere, però, cerchiamo di comprendere cosa vuol dire “forzare” il sistema mediante un impulso RF nella descrizione quantistica introdotta precedentemente mediante i livelli energetici del sistema di spin. In figura 6 si è illustrato l’effetto prodotto dalla presenza del campo magnetico statico ovvero il fatto che l’accensione del campo 0B

r conduce ad una separazione dei livelli

energetici e che il livello energetico maggiormente popolato è quello avente energia minore. La presenza di un campo RF fornisce energia al sistema di spin in modo tale che alcuni spin che occupavano il livello ad energia inferiore “riescono a passare” al livello avente energia superiore. Questo salto da un livello all’altro è possibile solo se il campo RF ha un’opportuna frequenza, ovvero se la frequenza è tale che RFωh è pari alla differenza di energia tra i livelli ossia se: ELRF Δ=ω=ω hh e quindi se si è in condizioni di risonanza LRF ω=ω (vedi figura 12). Se spengo il campo RF gli spin cercano di ritornare nella configurazione di equilibrio. Figura 12. Se irraggio il sistema di spin mediante un campo a RF di frequenza opportuna alcuni degli spin che occupano il livello energetico minore andranno ad occupare il livello energetico maggiore. La risonanza magnetica nucleare (NMR) è, dunque, una tecnica spettroscopica in quanto studia i livelli energetici dei vari materiali e le transizioni indotte tra loro attraverso l’assorbimento o l’emissione di radiazione elettromagnetica.

021 BE hγ=↓

021 BE hγ−=↑

kBB ˆ00 =r

LBEEE ω=γ=−=Δ ↑↓ hh 0 RFωh