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IL  MOTORE  ELETTRICO  

ASINCRONO    

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Motore Asincrono Trifase:

 

Il  Motore  Asincrono  Trifase   venne  per   la  prima  volta   realizzato  da  Galileo   Ferraris   nel  1885.    

Esso   viene   alimentato   direttamente   dalla   rete   di   distribuzione,   a   tensione   e   frequenza  costanti,   e   rappresenta   il  motore  elettrico  più  semplice,   economico,   robusto  ed  affidabile  che   la   tecnica   conosca.   È   ad   elevato   rendimento,   non   richiede   lubrificazione,   né  manutenzione,  non  presenta  alcuna  difficoltà  o  particolarità  per  l’avviamento  e,  pertanto,  è  il  dispositivo  più  diffuso  nell’utilizzazione  dell’energia  elettrica  come  ‘forza  motrice’.  

Il  suo  principio  di  funzionamento  si  basa  sulla  creazione  di  un  campo  magnetico  rotante,  realizzabile   per   mezzo   di   circuiti   fissi   nello   spazio   e   percorsi   da   correnti   polifasi,   in  particolare   da   correnti   trifasi.   Tuttavia,   per   piccole   potenze,   oppure   per   limitate  applicazioni  speciali,  questo  motore  può  anche  essere  di  tipo  monofase,  come  vedremo  più  in  dettaglio  nel  seguito.  

 

Rispetto   agli   altri   tipi   di   motori   elettrici,   presenta   diversi   vantaggi:   peso   ed   ingombro  ridotti  a  parità  di  potenza;  mancanza  di  particolari  dispositivi  di  eccitazione  prelevando,  direttamente  dalla  rete,  la  potenza  magnetizzante  necessaria  per  creare  il  flusso  induttore  della  macchina;  è  autoavviante;  sviluppa,  spontaneamente  ed  automaticamente,  variando  la   propria   velocità,   una   coppia   motrice   atta   a   controbilanciare   la   coppia   resistente  applicata   all’albero   motore,   determinando   un   funzionamento   stabile   (all’aumentare   del  carico  rallenta);  sovraccaricabilità,  anche  il  100%  della  sua  potenza  nominale;  esigenze  di  manutenzione  molto  ridotte,  semplicità  di  esercizio  ed  alto  rendimento.  

Segue  da  quanto  detto  che,  laddove  un  dispositivo  meccanico  deve  essere  azionato  senza  particolari   esigenze  di   regolazione  di  velocità  o  di   coppia,   ivi   è   il   regno   incontrastato  di  

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applicazione   del   MAT:   montacarichi,   gru,   ascensori,   macchine   utensili   tradizionali,  pompe,   ventilatori   sono  da  decenni   azionati   in  maniera   soddisfacente  da   questo   tipo  di  motore.  

 

Motore Asincrono Trifase:

 

Il  principio  di  funzionamento  di  qualsiasi  motore  elettrico  si  basa  sulle  applicazioni  delle  azioni  meccaniche  (forze)  che  si  esercitano  tra  elettromagneti  e  correnti.  Come  abbiamo  già  discusso   nello   studio   della   macchina   sincrona,   queste   forze   sollecitano   i   conduttori  quando,  immersi  in  un  campo  magnetico,  sono  percorsi  da  corrente.  Nel  caso  particolare  in  cui  il  campo  e  la  corrente  siano  perpendicolari  tra  loro,  l’intensità  di  questa  forza  è  data  da      

F=iLB,  

e  si  misura  in  newton  se  l’induzione  magnetica  B  è  in  tesla,  la  lunghezza  L  dei  conduttori  in  metri  e  la  corrente  i  in  ampere.    

Il   funzionamento  del  motore  asincrono   trifase   si  basa,   inoltre,   sull’impiego  di  un  campo  magnetico  del  tutto  speciale,  il  campo  magnetico  rotante.  

 

Per  rendere  più  concrete  le  idee,  consideriamo  una  spira  di  materiale  conduttore  immersa  in  un  campo  magnetico  rotante;  

 

la   spira   è   imperniata   e   libera   di   ruotare   intorno   ad  un   asse,   parallelo   o   coincidente   con  

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l’asse   di   rotazione   del   campo   rotante.   Supponiamo   che   il   campo  magnetico   del   vettore  induzione  B  sia  uniforme  e  che  tutte  le  linee  di  flusso  costituiscano  un  complesso  solidale  rotante  con  velocità  angolare  ω  intorno  all’asse  A  -­‐‑  A'ʹ,  in  verso  antiorario  per  chi  guarda  da   A.   Da   quanto   detto   in   precedenza,   la   spira   sarà   sede   di   fenomeni   di   induzione  elettromagnetica,  tranne  nel  caso  in  cui  essa  ruoti  con  la  stessa  velocità  del  campo.  

Nel  caso   in  cui  questa  spira   fosse   ferma  avremo  che   il   flusso  magnetico  concatenato  con  essa   risulterà   essere,   essendo   il   campo  del   vettore  B  uniforme   e   rotante   con  velocità  ω0,  variabile  nel  tempo  con  legge  sinusoidale  di  pulsazione  ω0.    

Questa   variazione  di   flusso   indurrà  una   f.e.m.   (Forza  Elettromotrice   indotta)   nella   spira  chiusa  con  conseguente  circolazione  di  una  corrente,  anch’essa  sinusoidale  di  pulsazione  ω0,   che,  per   la   legge  di  Lenz,  avrà  un  verso   tale  da  opporsi  alla   causa  che   l’ha  generata,  cioè  al  moto  relativo  (rotatorio)  fra  campo  magnetico  e  spira.  La  corrente  indotta  tenderà  ad  annullare,  o,  comunque,  a  ridurre  l’entità  di  questo  moto  relativo,  cioè,  per  effetto  delle  forze  elettromagnetiche  cui  è  soggetta   la  spira,   tenderà  a   far  ruotare   la  spira  nello  stesso  verso  del  campo  rotante:  ecco  dunque  l’effetto  motore  

 

Se  però  la  spira  ruotasse  ‘sincrona’  con  il  campo  rotante,  cioè  con  la  stessa  velocità  ω0,  il  moto  relativo  tra  spira  e  campo  si  annullerebbe  e  si  ridurrebbe  a  zero  sia  la  f.e.m.  indotta  che  la  corrente  nella  spira,  con  la  conseguente  scomparsa  delle  forze  elettromagnetiche.  I  ben  noti  fenomeni  elettromagnetici  che  danno  luogo  a  forze,  e  quindi  a  momenti  di  forze  (o,  se  volete,  a  coppie  meccaniche),  allorché  una  corrente  elettrica  scorre  in  una  spira  immersa  in  un  campo  magnetico,  hanno  luogo,  nel  sistema  considerato,  solo  se  nella  spira  circola  corrente.  Questa  corrente  non  può  esistere  che  per  ‘induzione’,  la  quale  può  sostenersi  solo  se  la  spira  ruota  in  maniera  ‘asincrona’  rispetto  al  campo  rotante,  cioè  ruota  con  una  velocità  angolare  diversa  da  ω0;  da  ciò  nasce  l’aggettivo  ‘asincrono’  adoperato  per  

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definire  questo  tipo  di  motore,  che  viene  chiamato  anche  motore  ‘a  campo  rotante’,  perché  è  la  più  importante  applicazione  della  scoperta  di  Ferraris;  o  ancora  motore  ad  ‘induzione’  non  tanto  perché  il  fenomeno  dell’induzione  elettromagnetica  sia  fondamentale,  come  del  resto  è  per  tutte  le  macchine  che  sfruttano  tale  fenomeno,  ma  perché  la  parte  rotante  è  sede  esclusivamente  di  correnti  indotte,  indispensabili  per  il  suo  funzionamento.  

In  pratica  è  come  se  si  venissero  a  creare  2  campi  magnetici  rotanti:  uno  statorico  ed  uno  rotorico.  Quello  rotorico  insegue  quello  statorico  senza  mai  raggiungerlo;  se  lo  raggiungesse,  le  correnti  rotoriche  si  annullerebbero  e  scomparirebbe  il  campo  rotante  generato  dal  rotore  e  con  esso  le  azioni  dinamiche  (forze);  in  due  parole:  la  coppia  motrice  si  annullerebbe.  

 

 Dunque,  affinché  esista  coppia  meccanica,  la  spira  deve  ruotare  attorno  all’asse  

A  -­‐‑  A'ʹ  con  una  velocità  angolare  diversa  da  ω0  (con  ω0  >  0);  indichiamo  con  ω,  diversa  da  ω0,  questa  velocità  angolare  della  spira.    

Risulta   che,   se   0   <   ω   <   ω0,   la   coppia   esercitata   dalla   spira   è   concorde   con   il   verso   di  rotazione  del   campo  magnetico   e   la  macchina   funziona  da  motore;   se,   invece,  ω   >  ω0   la  coppia  esercitata  è  di  segno  discorde  con   il  verso  di   rotazione  del  campo  magnetico  e   la  macchina  funziona  da  generatore.  

 

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La   spira   segue,   pertanto,   la   rotazione   del   campo   magnetico   ad   una   velocità   minore   in  modo  tale  che  scaturisca  un  moto  relativo  di  scorrimento  tra  campo  magnetico  induttore  e  spira   indotta   ed   in   quest’ultima   circolino   correnti   di   intensità   tale   da   sviluppare   una  coppia  motrice   capace   di  mantenere   la   spira   in   rotazione.   Se   la   spira   rallentasse   per   la  presenza  di  una  coppia  frenante  maggiore,  aumenterebbe  la  velocità  angolare  con  la  quale  il  campo  precede  la  spira,  cioè  aumenterebbero  la  differenza  tra  le  due  velocità  e  la  f.e.m.  indotta  e,  di  conseguenza,  le  correnti  e  la  coppia  motrice  assumerebbero  un  valore  tale  da  vincere   la   nuova   coppia   resistente   ad  una  diversa   velocità.  Ciò   vuol   dire   che,   in   questo  tipo   di  motore,   una   diminuzione   della   velocità   comporta   un   automatico   aumento   della  coppia  motrice.    

 

Struttura generale

Il  motore  asincrono  è  costituito,  come  mostrato  in  Figura  3.3,  da  due  parti  fondamentali  di  forma  cilindrica  coassiali:  una  parte  esterna,  fissa,  detta  ‘statore’  ed  una  interna,  coassiale,  munita  di  albero,  sostenuto  da  due  supporti,  libera  di  ruotare  intorno  all’asse  della  macchina,  detta  ‘rotore’.  In  particolare,  nella  figura  si  notano  i  seguenti  dettagli:

 1. albero con chiavetta;

2. anello della gabbia;

3. sbarra di rame; ���

4. morsettiera;

5. ventola di raffreddamento; ���

6. spaccato delle matasse degli avvolgimenti di statore;

7. spaccato del circuito magnetico statorico; ���

8. pacco del circuito magnetico rotorico;

���9. alette di raffreddamento della carcassa esterna.

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Statore

La  realizzazione  dello  statore,  detto  anche  induttore,  dei  MAT,  sia  per  struttura  magnetica  che   per   formazione   degli   avvolgimenti,   è   del   tutto   identica   a   quella   dello   statore   della  macchina  sincrona.    

Avremo   quindi   uno   statore   provvisto   di   avvolgimento   trifase,   eseguito   con   un   certo  numero   “N”   di   coppie   di   poli   (1   coppia   polare,   2   coppie   polari,   ......n   coppie   polari),  alimentato  sempre  da  una  linea  trifase.    

       

La  relazione  che  lega  frequenza  della  corrente  di  alimentazione  e  numero  di  coppie  polari  alla   velocità   angolare   (e   quindi   al   num.   di   giri/minuto)   del   campo   magnetico   rotante  (velocità  di  sincronismo)  è  la  seguente:  

 𝑛! =  60 ∗ 𝑓𝑟𝑒𝑞.𝑁. 𝑐𝑜𝑝𝑝𝑖𝑒        [

𝑔𝑖𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛]  

Ora,  essendo  la  frequenza  f  costante  e  pari  a  50  Hz.  un  numero  intero,  il  numero  di  giri  al  

minuto   n0   potrà   assumere   solamente   certi   valori   che   abbiamo   riportato   nella   tabella  seguente.    

 

E,   poiché   la   velocità  effettiva   di   rotazione  di   un   motore  asincrono   è   solo  leggermente   inferiore  a   quella   di  sincronismo,   queste  saranno   le   sole  velocità   possibili   per  un  motore  asincrono.    

N°  

coppie  polari  

n0  

[giri/min]  

1   3000  

2   1500  

3   1000  

4   750  

5   600  

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I   capi   delle   tre   fasi,   per   poter   collegare   le   fasi   ultimate   a   stella   o   a   triangolo,   vengono  riportati  a  sei  morsetti  situati  sulla  carcassa,  risulta  così  comodo  modificare  le  connessioni  tra  i  morsetti,  come  illustrato  in  figura:  

 Possiamo  ora  introdurre  una  variabile  tipica  di  questo  motore,  lo  scorrimento,  che  lega  il  numero   di   giri   del   rotore   a   quello   di   sincronismo   del   campo  magnetico   rotante.   Allora  prestiamo  la  massima  attenzione  alle  definizioni  di  seguito  elencate:    

• n0 velocità di sincronismo  𝑛! =  !"∗!"#$.!.!"##$%

• n velocità effettiva del rotore    𝑛    [𝑔𝑖𝑟𝑖 𝑚𝑖𝑛]

 Introduciamo  ora  in  concetto  di  “scorrimento”  come  il  rapporto  di  seguito  indicato:  

𝑺𝑪𝑶𝑹𝑹𝑰𝑴𝑬𝑵𝑻𝑶          𝒔 =  𝒏𝟎 − 𝒏𝒏𝟎

 

Ora,   poiché   la   velocità   del   rotore   può   assumere   qualsiasi   valore,   lo   scorrimento   potrà  variare   da   più   a   meno   infinito.   In   particolare,   quando   il   rotore   ruota   alla   velocità   di  sincronismo,  n  =  n0,  risulta  s  =  0;  quando  il  rotore  è  fermo,  cioè  n  =  0,  si  avrà,  invece,  s  =  1.  

Rotore

La  realizzazione  del  Rotore,  dal  punto  di  meccanico  è  costituita  da  un  albero  sorretto  da  due  cuscinetti  (schema  statico:  trave  su  2  appoggi);  il  rotore  ruota  liberamente  all’interno  

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dello  statore.  Il  gioco  tra  esterno  del  rotore  ed  interno  dello  statore  è  costituito  dallo  spazio  vuoto  esistente  tra  i  due  elementi  (uno  fisso  e  l’altro  mobile)  ed  è  detto  traferro.  

   Dal  punto  di  vista  elettrico,    il  Rotore  può  essere  realizzato  in  due  modi  diversi:  

• ROTORE AVVOLTO: con un avvolgimento chiuso su se stesso in corto circuito

Nelle   cave   rotoriche   delle   macchine   con   rotore   avvolto   vi   è   un   normale   avvolgimento,  simile  a  quello  statorico,  di  tipo  trifase  e  collegato  a  stella.  

• ROTORE A GABBIA di scoiattolo: con una serie di barre di rame chiuse agli estremi con

due anelli anch’essi di rame.

 

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Il   rotore  a  gabbia  dà   luogo  al  più  semplice  e   robusto  dei  motori  asincroni:   in  ognuno  dei  canali,  di  rotore  si   infila  una  sbarra  di  rame,   le  cui  testate,  ad  entrambe  le  terminazioni,  vengono  chiuse  da  un   anello   di   rame.   Il   rotore   ha   così   la   forma  di   una   gabbia   e   viene   chiamato   rotore   a  ‘gabbia   di   scoiattolo’   o   ‘in   corto   circuito’.   È   evidente   che   questo   circuito   presenta   resistenze  bassissime  e  non  ha  un  numero  di  poli  propri,   adeguandosi,   in  maniera  naturale,  al  numero  dei  poli  di  statore,  che  può  essere  un  numero  qualsiasi.  Le  tensioni  in  gioco  per  ogni  barra  sono  molto  basse,   dell’ordine   di   qualche   volt,   mentre   le   correnti,   data   la   bassa   resistenza,   sono   piuttosto  elevate.      

Queste   bassissime   resistenze   sono   causa   di   inconvenienti   all’atto   dell’avviamento.     Le  correnti   assorbite  dallo   statore   in  queste   condizioni  possono   raggiungere   4   -­‐‑   10  volte   la   corrente  nominale,   a   seconda  del   tipo  di   rotore;   questa   corrente,   tuttavia,   è   così   sfasata,   che   la   coppia   di  spunto,  cioè  la  coppia  necessaria  ad  avviare  il  motore,  risulta  essere  particolarmente  bassa.  

Caratteristica meccanica del motore asincrono  

Nell’attimo  iniziale  dell’avviamento  del  motore,  si  ha  la  massima  differenza  tra  la  velocità  di  sincronismo  del  campo  magnetico  rotante  statorico  (n0)  e  la  velocità  del  rotore  (velocità  del  motore  n=0:  il  motore  è  fermo  !!!).  In  queste  condizioni  si  sviluppa  una  coppia  motrice  che   è   funzione   della   corrente   indotta   nel   rotore;   pertanto   possiamo   anche   dire   che   la  coppia   motrice   iniziale   (coppia   di   spunto)   dipende   in   qualche   modo   dalla   resistenza  elettrica  del  rotore.    

Quando  il  motore  non  è  collegato  a  nessuna  utenza,  esso  non  risulta  frenato  da  niente  ad  esclusione  dell’attrito   interno  dovuto  ai   cuscinetti   e   alla  ventilazione   interna.   Si  usa  dire  che   il  motore   “gira   a   vuoto”.   In   queste   condizioni   il   valore  di   “n”   è  praticamente   quasi  uguale  a  “n0”:  velocità  effettiva  del  motore  circa  uguale  a  quella  di  sincronismo.  

Ma   come   già   indicato   all’interno   di   questo   documento,   la   quasi   sincronia   tra   campo  magnetico   rotante   generato   dallo   statore   e   quello   indotto   dal   rotore   annulla   di   fatto   la  coppia  motrice.  

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L’andamento   della   coppia  motrice   esercitata   dalle   azioni   (forze)   elettriche   tra   campo  magnetico  rotante  e  circuiti  elettrici  rotorici  segue  l’andamento  descritto  i  figura.    

 

Nella   figura  si  può  vedere  come  al  variare  della  coppia  resistente,   il  motore   trova  sempre   il   suo   punto   di   equilibrio.   Il   punto   B   rappresenta   la   situazione   in   cui   la   coppia  resistente  è  praticamente  nulla  (funzionamento  a  vuoto  del  motore).  Mano  a  mano  che  al  motore   viene   applicata   una   coppia   resistente   sempre  maggiore   il   punto   di   equilibrio   (e  pertanto  di  funzionamento  del  motore)  si  sposterà  da  B  verso  A.    Ciò  dimostra  la  stabilità  del  motore  asincrono:  al  crescere  della  coppia  resistente,   il  motore  asincrono  rallenta  ma  non   si   ferma  perché   è   in   grado  di   generare   una   coppia  motrice   sempre  maggiore   e   più  grande  della  precedente.  Si  dice  che  il  motore  è  stabile  in  quanto  trova  sempre  un  punto  di  equilibrio.  Ciò  è  vero  fino  al  punto  massimo  della  curva  della  coppia  (punto  A).  Nel  punto  A  (massimo  della  curva)  si  ha  il  funzionamento  critico  del  motore:  se  la  curva  resistente  cresce  ancora,  il  motore  rallenta,  ma  la  coppia  corrispondente  (a  sinistra  del  punto  “A”)  è  più   bassa   e   pertanto   il   motore   in   breve   si   fermerà.   In   poco   parole   la   zona   stabile   del  motore  è  quella  alla  destra  del  punto  “A”  fino  al  punto  “B”.  

   

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Vediamo  ora  la  problematica  dell’avviamento  di  un  motore  asincrono  “sotto  carico”  anziché  a  vuoto,  cioè  di  come  far  partire  un  motore  asincrono  anche  se  in  fase  di  spunto  abbiamo  una  coppia  resistente  “importante”.  

La  fase  di  avviamento  di  un  motore  consiste  nel  portare  la  velocità  del  motore  da  zero  a  quella  nominale.  Affinché  il  motore  possa  avviarsi  ed  accelerare,  è  necessario  che  la  coppia  di   spunto   sia   superiore   alla   coppia   resistente   del   carico,   sempre   all’avviamento,.  Inizialmente   il   rotore   è   fermo   e   lo   statore   non   alimentato;   la   tensione   e   la   frequenza  nominali  del  motore  sono  uguali  a  quelli  della   linea  di  alimentazione.  Quando  si  chiude  l’interruttore  che  collega  la  linea  al  motore  (rotore  fermo,  n=0    e    s  =  1)  questo  si  comporta  come  un  trasformatore  chiuso  in  cortocircuito  e  nel  primo  istante  di  avviamento,  come  più  volte  ribadito,  assorbe  dalla  linea  la  massima  corrente,  così  elevata  (4  ÷  8  volte  la  corrente  nominale)   che   può   dar   luogo   a   diversi   inconvenienti,   tra   i   quali   un   eccessivo  riscaldamento   degli   avvolgimenti   e   della   linea,   se   l’avviamento   è   lento,   ad   un’elevata  caduta   di   tensione   lungo   la   linea,   con   problemi   agli   utilizzatori   se   questi   sono  particolarmente   sensibili   alla   tensione,   e,   se   anche   l’avviamento   fosse   rapido,   un  intempestivo  intervento  delle  protezioni  sulla  linea.  

Si  accennerà  ora  agli  accorgimenti  usati  per  ovviare  a  questi  inconvenienti.  

1. Cspunto > CResistente Coppia di spunto erogabile dal motore asincrono (curva in rosso), maggiore della coppia resistente (curva in nero) applicata al motore in fase di avviamento.

2.

   

Dalla figura si può vedere che con questa situazione il motore è perfettamente in grado di avviarsi da solo, senza nessun problema; dopo un transitorio iniziale, il motore girerà a n giri/min.

3. Cspunto < CResistente Coppia di spunto erogabile dal motore asincrono, minore della

coppia resistente applicata al motore in fase di avviamento.

Dalla figura si può vedere che con questa situazione il motore non è in grado di avviarsi da solo; il rotore risulterebbe “bloccato”.

 

 

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Per  sopperire  ai  problemi  di  avviamento,  si  ricorre  all’attuazione  di  una  delle  due  strategie  di  seguito  illustrate:  

• Avviamento con la commutazione stella/triangolo • Avviamento con Reostato (resistenze elettriche esterne collegate agli

avvolgimenti rotorici; è fattibile solo con rotore avvolto. • Rotore a DOPPIA GABBIA

L’avviamento  stella-­‐‑triangolo,  mostrato   in   figura,  viene  utilizzato  per  quei  motori   la  cui  tensione  nominale,   per   ciascuno  dei   suoi   avvolgimenti   statorici,   sia  uguale   alla   tensione  concatenata  della  linea  di  alimentazione  (in  genere  400  volt).    

 

   

 

 

 

Collegam.  a  STELLA  :        V  =  230  Volt    =  400/ 32  

Collegam.  a  TRIANGOLO  :        V  =  400  Volt  

All’avviamento   le   fasi  del  motore  vengono   collegate   a   stella;  durante   la  marcia  normale  vengono  invece  commutate  a  triangolo.  All’avviamento  gli  avvolgimenti  statorici,  collegati  a  stella,  saranno  soggetti  ad  una  tensione  ridotta   32  volte,  la  corrente  di  linea  assorbita  dal  motore   si   riduce   di   un   terzo   come  pure   la   coppia   di   spunto,   proporzionale   al   quadrato  della   tensione.   Questo   metodo,   molto   usato   in   passato,   ha   però   l’inconveniente   di  presentare   un   brusco   aumento   della   corrente   e   della   coppia   nel   passaggio   da   stella   a  triangolo.  

   

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Se  il  motore  è  a  rotore  avvolto,  sarà  dotato  di  anelli,  spazzole  e  di  un  collegamento  resistenze  variabili  esterne,  ma  sempre  facenti  parte  del  circuito  di  rotore.  

 

 

Come   mostrato   in   figura,   i   capi   di   queste   fasi   vengono   collegati   a   degli   anelli  conduttori,   calettati   sull’albero  del  motore  ma   isolati  da  questo,  sui  quali  poggiano  delle  spazzole  collegate  ad  un  reostato  esterno  di  avviamento,  completamente  inserito  all’atto  di  chiusura   dell’interruttore   sulla   linea,   ma   che   va   disinserito,   gradualmente,   all’aumento  della   velocità   di   rotazione   e   completamente   escluso,   cortocircuitato,   in   condizioni   di  normale  funzionamento.  

Questa  terna  di  resistenze  è   chiamata   reostato  d’avviamento   ed  avviamento   reostatico   il  tipo   di   avviamento   per  tali  motori.  La  presenza  di  una   elevata   resistenza  rotorica   all’atto  dell’avviamento   e   con  tensione   di   alimentazione  costante,   ha   un   duplice  scopo:   da   un   lato  l’impedenza   rotorica  

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aumenta  di  modulo  con  una  conseguente  diminuzione  della  corrente  assorbita  dal  motore  all’avviamento;   dall’altro   l’aumento   della   resistenza   comporta   una   diminuzione   dello  sfasamento  delle   correnti   rotoriche   con   conseguente   aumento  del   valore   della   coppia  di  avviamento  e  quindi  dell’accelerazione.  

Dal   punto   di   vista   elettrotecnico,   la   relazione  matematica   che   lega   la   copia  motrice   alle  variabile  elettriche  è  la  seguente:  

𝐶!"#$%& = 𝑘  𝑉!𝑅!  𝑠

𝑅!! +  𝑋!  

dove:  

V  =  tensione  di  alimentazione  

Rr  =  resistenza  rotorica                

s  =  scorrimento    =   𝒏𝟎!𝒏𝒏𝟎

=  𝝎𝟎  !  𝝎𝝎𝟎

 

X  =  reattanza  di  dispersione  rotorica    

Ricordando  che  l’induttanza  rotorica  è  pari  a:      𝐿! =  𝐿!∗ +  𝐿!"    

Ricordando  altresì  che  la  reattanza  rotorica  è  pari  a:      𝑋 =  𝜔  𝐿!" = 𝑠𝜔!𝐿!"      si  ha:  

𝐶!"#$%&' = 𝑘  𝑉!𝑅!  𝑠

𝑅!! + 𝑠!(𝜔0𝐿𝑟𝑑)!    

   scorrrimento  

                                                                 

 

   

smax   s  =  0    S  =  1  

  16  

Si  può  dimostrare  che  lo  scorrimento  nel  punto  di  coppia  massima  è  pari  a:  

𝑠!"# =𝑅!  

𝜔!𝐿!"    

Se   io   voglio   spostare   smax   più   a   sinistra   verso   l’origine   (vedere   figura),   io   dovrò  aumentare  il  suo  valore  e  pertanto  dovrò  aumentare  la  resistenza  rotorica  Rr.  aggiungere  resistenze   rotoriche   si   può   fare   solo   con   rotori   avvolti   e   necessita   di   contatti   striscianti  (anelli  e  spazzole).  

 

Con  il  rotore  a  doppia  gabbia  si  vengono  a  creare  due  circuiti  elettrici:  

un   circuito   più   esterno,   a   sezione   ridotta   (realizzato   a   volte   anche   in   metallo  diverso:   ottone,   alluminio)   ed   un   circuito   più   interno   e   profondo   a   sezione  maggiore   e  generalmente  realizzato  in  rame.  

                         La  sezione  della  “doppia  gabbia”  a  volte  può  avere  forme  diverse  (a;  b;  c;  .....)  come  

raffigurato  in  figura.  

A  causa  del  diverso  valore  del   flusso  concatenato,   i  due  circuiti  avranno  un  valore  della  resistenza  ed  in  particolare  della  impedenza  diverso  tra  loro.    

Più  dettagliatamente  si  può  dimostrare  che   la  gabbia  esterna   (a   sezione   minore)   avrà   un   valore   della  resistenza  maggiore  ma   un   valore   della   reattanza   di  dispersione   minore   perché   non   è   immersa  completamente  nel   ferro;  viceversa,   la  gabbia   interna  (a   sezione  maggiore)   avrà   un   valore   della   resistenza  minore   ma   un   valore   della   reattanza   di   dispersione  maggiore.  

Resistenza  rotorica:      Rr            con        Re  >  Ri                                    

 Reattanza  di  dispersione:  𝑋 =  𝜔  𝐿!"        con  𝐿!" >  𝐿!"  

In  pratica  si  gioca  sul  diverso  valore  dell’impedenza  Z  al  variare  del  numero  di  giri:  

𝑍! = 𝑅!! + 𝑠!𝜔!!𝐿!"!2

                                   𝑍! = 𝑅!! + 𝑠!𝜔!!𝐿!"!2  

  17  

Al  crescere  del  numero  di  giri,  quindi  al  diminuire  dello  scorrimento  “s”  l’impedenza  Ze  cresce  e  Zi  diminuisce;  ciò  fa  si  che  all’avviamento  Ze  <  Zi  mentre  a  regime  Ze  >  Zi  .  

Poiché   la   corrente   va   sempre   dove   l’impedenza   è   minore,   all’avviamento   la   corrente  (generalmente  elevata)  tenderà  a  transitare  nella  gabbia  esterna  a  impedenza  minore,  e  in  marcia  normale  la  corrente  (ormai  diminuita  ai  valori  nominali)  tenderà  a  transitare  nella  gabbia  interna.    

In  sintesi:  le  correnti  allo  spunto  andranno  nella  gabbia  esterna  ad  impedenza  minore  ma  a  resistenza  maggiore;  è  come  se  noi  avessimo  messo  delle  resistenze  rotoriche  aggiuntive  !!!    

Il  risultato  è  quello  di  avere  all’avviamento  una  coppia  più  elevata.  

 

 Nella  figura  si  nota  a  destra  la  curva  della  coppia  di  un  motore  a  semplice  gabbia,  mentre  a  sinistra  è  rappresentata  la  coppia  di  un  motore  a  doppia  gabbia.    

 

 

   

  18  

Motore asincrono a giri variabili

 

Nell’attimo   iniziale  dell’avviamento  del  motore,  si  ha   la  massima  differenza   tra   la  velocità  

Come   abbiamo   avuto  modo   di   sottolineare,   il  MAT  presenta   innegabili   vantaggi;  tuttavia  presenta  la  caratteristica  di  conservare  pressoché  costante  la  velocità  al  variare  del  carico.   In   molti   casi   occorre   variare   la   velocità   del   motore   in   un   ampio   campo   con   un  determinato  valore  di  momento  motore   (regolazione   a   coppia   costante)   oppure   con  una  coppia  inversamente  proporzionale  alla  velocità  (regolazione  a  potenza  costante).  

La  velocità  effettiva  del  motore  asincrono  è  pari  a  

𝑛 =  60  𝑓𝑟𝑒𝑞.𝑁!"##$%

∗ 1 − 𝑠  

per  cui,  per  variare  la  velocità  di  un  motore  asincrono,  occorrerà  variare  o  lo  scorrimento,  o  il  numero  delle  coppie  polari,  o  la  frequenza  della  linea  di  alimentazione.  

Oggi,  grazie  all’elettronica  di  potenza,  la  variazione  della  frequenza  è  praticamente  la  soluzione  più  conveniente.  

La   rete   di   distribuzione   è   a   frequenza   fissa,   per   cui   per   avere   una   sorgente   a  frequenza   variabile   si   ha   la   necessità   di   un   convertitore   di   frequenza,   come   indicato   in  Figura,  chiamato  INVERTER.  

 

 In   pratica   l’inverter   all’ingresso   presenta   la   corrente   di   alimentazione   “standard”  

(corrente   trifase   400   Volt   e   50   Hz);   all’uscita   la   corrente   risulterà   modificata   sia   come  tensione  che  come  frequenza.  Oggi  esistono  in  commercio  INVERTER  regolabili  in  grado  di  geerare  frequenze  e  tensioni  variabili.  Di  seguito  si  riportano  gli  andamenti  della  coppia  in  funzione  di  frequenze  e  tensioni  variabili.  

 

 

  19  

         

 È   da   tener   presente   che   frequenza,   tensione   e   flusso   sono   legati   dalla   relazione  approssimata  

V  ≅  k  f  Φ  Da  ciò  segue  che  si  potranno  verificare  due  casi.  

a) Diminuzione della frequenza nominale e della velocità Questo comporta la contestuale diminuzione della tensione di alimentazione, in modo tale da far rimanere il flusso costante. Un suo aumento comporterebbe problemi di saturazione del nucleo, aumento della corrente magnetizzante e delle perdite nel ferro.

  20  

b) Aumento della frequenza nominale e della velocità Si preferisce, in questo caso, mantenere costante la tensione di alimentazione, con conseguente diminuzione del flusso, questo per compensare l’aumento delle perdite nel ferro dovute all’aumento della frequenza (ricordate che le perdite per correnti parassite sono proporzionali al quadrato della frequenza, mentre quelle per isteresi sono direttamente proporzionali alla frequenza).

Dati di targa

Ogni  motore  asincrono,  così  come  prescrivono  le  norme  CEI,  deve  essere  munito  di  una  targa  che  indichi  i  valori  nominali  delle  grandezze  elettriche  e  meccaniche  essenziali  per  la  specificazione  della  macchina  stessa.    

In  tale  targa  vengono  indicati  tra  l’altro:  

a) la tensione nominale che rappresenta la tensione concatenata di alimentazione statorica per la quale il motore è stato dimensionato;

b) la frequenza nominale, che è la frequenza della rete di alimentazione; c) la velocità nominale, cioè la velocità di rotazione, in giri al minuto, del motore in

condizioni nominali; d) la potenza nominale, ossia il valore della potenza meccanica, espresso in chilowatt,

disponibile sull’asse del motore in condizioni nominali, cioè a tensione, frequenza e velocità nominali;

e) la corrente nominale, cioè il valore della corrente assorbita dalla linea, per ogni fase statorica, in condizioni nominali;

f) il fattore di potenza nominale, che rappresenta il coseno dell’angolo di sfasamento tra tensione e corrente, di ogni fase statorica, in condizioni nominali;

g) il rendimento nominale, cioè il valore del rendimento in condizioni nominali; - la coppia nominale, cioè il valore della coppia motrice, in [N m], sull’albero motore in condizioni nominali;

h) il numero dei poli del campo magnetico di statore.  

Vengono   inoltre   riportate   altre   informazioni   come   l’indicazione   della   casa  costruttrice,  il  tipo  di  motore,  il  collegamento  delle  fasi,  la  classe  d’isolamento,  il  grado  di  protezione  IP  (che  indica  il  grado  di  protezione  contro  l’ingresso  di  sostanze  solide,  liquide  ed  aeriformi)  dell’involucro.  Inoltre,  se  il  rotore  è  avvolto,  compaiono  anche  la  tensione  e  la  corrente  di  rotore  che  si  hanno  allo  spunto  con  resistenza  di  avviamento  avente  valore  tale  che  la  corrente  di  statore  sia  uguale  a  quella  nominale,  mentre,  se  il  rotore  è  a  gabbia,  non  vengono  riportati  i  dati  relativi  al  rotore.  

 

Motore asincrono monofase

In   alcuni   casi   l’indisponibilità   di   una   linea   trifase   rende   necessario   l’utilizzo   di  motori   asincroni   monofasi,   detti   anche   motori   monofasi   ad   induzione,   utilizzati   per  potenze   modeste,   fino   ad   alcuni   chilowatt,   come   elettrodomestici,   pompe,   ventilatori.  Questi  motori  sono  costruttivamente  simili  a  quelli  trifasi,  anche  se  a  parità  di  dimensioni  e   di   velocità,   presentano   una   potenza   ridotta   della   metà,   con   l’avvolgimento   statorico  monofase  e  quello  rotorico  generalmente  a  gabbia.    

  21  

L’avvolgimento   statorico,   che   generalmente   occupa   i   due   terzi   della   periferia  statorica  ed  è  alimentato  con  una  tensione  sinusoidale,  è  percorso  da  una  corrente  che  dà  luogo   ad   una   f.m.m.   anch’essa   alternativa   sinusoidale.   Al   traferro   avremo,   quindi,   un  campo   magnetico   alternativo,   cioè   fisso   nello   spazio   e   di   ampiezza   variabile  sinusoidalmente  come  la  corrente.  

In  forza  del  cosiddetto  teorema  di  Leblanc,  un  campo  alternativo  può  considerarsi  ottenuto  dalla  sovrapposizione  di  due  campi  magnetici  aventi  ugual  valore  costante,  pari  alla  metà  di  quello  massimo  del  campo  alternativo,  e  rotanti  con  velocità  angolari  uguali  ed  opposte,  pari  proprio  alla  pulsazione  della  corrente  statorica  (con  una  coppia  di  poli).  Ciascuno  di  questi  campi  produce  gli  stessi  effetti  che  abbiamo  visto  per  il  motore  trifase  e,  pertanto,  si  può  ripetere  quanto  già  detto  per  tale  motore,  cioè  che  ciascuno  dei  due  campi  magnetici   rotanti,   considerato   singolarmente,   sostiene   f.e.m.   e   correnti   nella   gabbia  rotorica.  Questi  due  campi  rotanti,  sommati  con  quelli  originati  dallo  statore,  danno  luogo  al  campo  magnetico  rotante  risultante  nel  traferro.  

Dall’azione  tra  campi  magnetici  e  correnti  indotte  si  originano  due  coppie  motrici,  uguali  ed  opposte,  per  cui  se  il  rotore  è  fermo,  esse  si  equilibrano  a  vicenda  ed  il  motore  non   parte;   se   però   avviamo   il   motore,   anche   con   una   spinta,   in   un   verso   qualsiasi,   il  motore   continuerà   a   ruotare   in   tale   verso,   accelerando   e   raggiungendo   una   velocità  prossima  a  quella  di  sincronismo.  Ciò  è  dovuto  al  fatto  che  la  coppia  dovuta  al  campo  che  ruota  nello  stesso  senso  del   rotore   (campo  diretto)  diventa  maggiore  rispetto  alla  coppia  dovuta  all’altro  (campo  inverso)  e  nasce  quindi  una  coppia  risultante  con  un  verso  pari  a  quello   del   rotore.  Ne   deriva   che   il  motore   asincrono  monofase   non   ha   un   suo   senso   di  rotazione,  ma  assume  quello  che  gli  viene  impresso.  

I  diversi  valori  di  coppia  motrice  che  si  hanno  quando  il  motore  ruota  in  un  certo  verso  sono  dovuti  ai  diversi  valori  dello  scorrimento  rispetto  ai  due  campi  rotanti,  diretto  ed  inverso.  Posto,  con  evidente  significato  dei  simboli  usati,  

 

𝒔𝑫 =  𝒏𝟎!𝒏𝒏𝟎                                              𝒔𝑰 =  

𝒏𝟎! !𝒏𝒏𝟎

= 𝟏 +   𝒏𝒏𝟎      

 

si  ha  immediatamente  che  

 

 sD  +  sI  =  2  .  Allora,  quando   il   rotore  è   fermo  n  =  0,   risulta  sD  =  sI  =  1;  quando,   invece,   il   rotore  

ruota  a  velocità  di   sincronismo  nel  verso  diretto,  n  =  n0,   si  ha   sD  =  0  e   sI   =  2.  Possiamo  quindi  affermare  che  quando  lo  scorrimento  del  campo  diretto  varia  da  1  a  0,  quello  del  campo  inverso  passa  da  1  a  2.    

  22  

Il  diagramma  risultante,  mostrato  in  figura,  da  cui  risulta  che  la  coppia  è  pari  a  zero  non  solo  a  velocità  di  sincronismo  ma  anche  a  rotore  fermo.  

 Dalla   figura  si  può,   inoltre,  osservare  che   il  motore  asincrono  monofase   funziona,  

rispetto  a  quello  trifase,  con  uno  scorrimento  maggiore,  la  prima  parte  della  caratteristica  è  meno  ripida,  quindi  con  rendimento  e  fattore  di  potenza  più  bassi.  

Per   quanto   detto,   se   non   si   adotta   qualche   accorgimento,   il   motore   asincrono  monofase  non  parte.  Un  accorgimento  potrebbe  essere  quello  di  dotare   lo  statore  di  due  avvolgimenti,  sfasati  di  π/2,  uno  permanentemente  inserito,  detto  avvolgimento  principale  o   di   lavoro,   l’altro,   detto   avvolgimento   ausiliario   o   di   avviamento,   che   può   rimanere  oppure  non   rimanere   inserito  dopo   l’avviamento  e  percorsi  da   correnti   sfasate  di  π/2   in  modo  da  creare  un  campo  rotante  bifase.  In  generale,  queste  condizioni  non  vengono  mai  soddisfatte   per   cui   nel   motore   asincrono   monofase   non   si   avrà   quasi   mai   un   campo  magnetico  rotante  perfetto,  circolare,  ma  un  campo  di  ampiezza  non  costante,  ellittico,  in  grado   comunque   di   avviare   il   motore.   Il   disinserimento   dell’avvolgimento   ausiliario  avviene  tramite  un  interruttore  centrifugo  che  interviene  generalmente  ai  tre  quarti  della  velocità   di   sincronismo.   Inoltre,   l’avvolgimento   ausiliario   può   essere   attraversato   da  notevoli   correnti,   dato   il   breve   lasso   di   tempo   di   funzionamento,   per   avere   coppie   di  spunto  elevate.  

Si  possono  usare  vari  tipi  di  avviamento  per  motori  asincroni  monofasi,  sempre  e  solo  di  piccola  potenza.   In  particolare   i  due   avvolgimenti,  dovendo   essere   alimentati   alla   stessa  tensione   per   avere   le   due   correnti   sfasate   tra   loro   di   circa   π/2,   dovranno   presentare  impedenze  diverse;  uno  dei  modi  semplici  e  più  diffusi  è  quello  di  usare  un  condensatore  (avremo  il  motore  a  condensatore).  

Il  motore  a  condensatore  può  essere  di  due   tipi.   Il  primo   tipo  è  con  condensatore  permanentemente  inserito  ed  è  mostrato  nella  figura  seguente:  

   

  23  

Il   secondo   tipo   è   quello   in   cui   il   condensatore   può   essere   inserito   e   disinserito,   come  suggerito  nella  seguente  figura:  

 Questi   motori   presentano   notevoli   coppie   di   spunto   ed   un   fattore   di   potenza  particolarmente  elevato.   Inoltre,  possono  presentare  anche  un  doppio  condensatore,  uno  permanentemente   inserito,  quindi  notevolmente   robusto,   e   l’altro   solo   in  avviamento,  di  tipo  elettrolitico,  più  economico.  

 

 

Nelle   pagine   seguenti   8in   Appendice)   sono   raccolte   alcune  informazioni   su   argomenti   di   fisica   e   di   elettrotecnica   la   cui  conoscenza  si  ritiene  indispensabile  e  va  a  costituire  il  bagaglio  di  “prerequisiti”  necessario  ed  indispensabile  per  la  comprensione  del  presente  documento.  

   

 

 

   

  24  

Ripasso di Fisica: CAMPO MAGNETICO

Il campo magnetico è un campo vettoriale: associa, cioè, ad ogni punto nello spazio un vettore, eventualmente variabile nel tempo, il cui effetto fisico si esplica in termini della forza di Lorentz subita da una carica elettrica in movimento oppure nel momento torcente che agisce su un dipolo magnetico. Le sorgenti del campo magnetico sono le correnti elettriche oppure i dipoli magnetici.

Con il termine induzione magnetica (densità di flusso magnetico nel SI) si indica un fenomeno per cui un corpo, sottoposto all'azione di un campo magnetico, si magnetizza a sua volta.

H = campo magnetico

B = densità di flusso magnetico o induzione magnetica

B = μ H dove μ è il coefficiente di permeabilità magnetica

L'unità di misura dell'induzione magnetica B nel SI è il tesla (T), mentre per H si usa l'ampere per metro (A/m)

La magnetizzazione può essere temporanea se, dopo poco, il corpo perde le caratteristiche di calamita; oppure può essere permanente, se il corpo conserverà molto a lungo la sua magnetizzazione.

L'intensità di tale fenomeno è quantificata tramite l'omonimo vettore induzione magnetica (il cui modulo è misurato in weber/m2 o anche in tesla) che, più in generale, dà conto delle azioni che un campo magnetico esercita sul sistema fisico in cui si trova (per esempio un circuito percorso da corrente, ovvero da cariche elettriche in movimento).

 

Forza  di  un  campo  magnetico  su  un  circuito    

La  forza  di  Lorentz  costituisce  l'ʹeffetto  del  campo  magnetico  su  corpi  carichi  in  movimento:  

 

supponiamo che che sarebbe la forza del campo elettrico sia pari a zero;

× indica il prodotto vettoriale, q è la carica elettrica, e v la velocità della carica.

   

  25  

 

Esempi  di  campo  magnetico  

1)  Filo  rettilineo  infinito  

 

     

……………….regola  della  mano  destra  e  del  pollice:  

 

     

  26  

 

2)  Spira  circolare  

Vogliamo  calcolare  il  campo  magnetico  sull'ʹasse  di  una  spira  di  raggio  R  

                                   

   

 

……………….regola  della  mano  destra  e  del  pollice  

 

     

  27  

 

3)  Solenoide    

 

Il  solenoide  di  lunghezza  L  può  essere  considerato  un  insieme  di  N  spire  coassiali  di  raggio  R.  Il  campo  magnetico  ha  la  direzione  dell'ʹasse  del  solenoide.  

     

dove n, chiamata densità di spire, è uguale al rapporto tra N e L, e C è una qualsiasi linea chiusa concatenante la corrente I su tutte le spire (cioè N volte):

   

Flusso  magnetico  attraverso  una  superficie  

Superficie  perpendicolare    

 

Se la superficie è piana e perpendicolare alla direzione del campo magnetico, la formula precedente si semplifica in

 

dove B è il modulo dell'induzione ed A l'area della superficie.

  28  

Campo  magnetico  omogeneo    

Per un campo magnetico omogeneo, cioè costante lungo tutti i punti di una superficie piana, il flusso magnetico

corrisponde al prodotto scalare dell'induzione magnetica per la normale alla superficie :

 

essendo α l'angolo compreso fra ed

   

  29  

Circuiti ideali in regime sinusoidale Si considerano, in questa parte, i circuiti con parametri ideali, utile premessa alla

successiva rappresentazione che terrà conto della effettiva costituzione circuitale.

Si analizzano i comportamenti in regime sinusoidale di una resistenza pura, di un’induttanza pura e di una capacità pura.

Circuito con resistenza pura R

Figura: Resistenza pura alimentata da una sorgente in c.a. : valori efficaci, coincidenti, della tensione applicata U e della caduta di tensione UR ai capi della resistenza.

Se si applica agli estremi di una resistenza R la d.d.p. sinusoidale di equazione

la corrente che percorre la resistenza seguirà le vicende della tensione, risultando quindi in fase con essa e con ampiezza calcolata in ogni istante dalla legge di Ohm, ovvero dal rapporto fra il valore della tensione e della resistenza in esame:

Passando ai valori efficaci della tensione e della corrente si scrive

  30  

Alle grandezze sinusoidali si associano i vettori i quali, per quanto è già stato detto, generalmente hanno come modulo il valore efficace (e non il valore massimo), che viene indicato con la lettera maiuscola.

Figura Diagrammi vettoriale e temporale della tensione applicata e della corrente che percorre una resistenza pura.

 

Circuito con induttanza pura L

Applicando ai capi della bobina pura (priva di resistenza e con induttanza costante) una tensione sinusoidale, anche la corrente che l’attraversa è sinusoidale, ma le loro condizioni di fase e le loro ampiezze sono di tipo particolare.

figura: Circuito puramente induttivo

Si parta dal presupposto che la corrente che attraversa la bobina sia sinusoidale, con equazione temporale

Si vuole determinare la tensione da applicare ai capi della bobina in modo che vi circoli la corrente (1).

Una corrente variabile crea un flusso variabile, legati dalla relazione

  31  

La variazione del flusso concatenato fa nascere, per la legge dell’induzione elettromagnetica, una f.e.m. indotta che ostacola le variazioni della corrente:

Dalla trigonometria, essendo

la (3) si può scrivere

Associando la f.e.m.i. (4) ad un vettore, questo si troverà in ritardo rispetto al vettore corrente, associato a sua volta alla corrente espressa dalla (1).

Nel circuito elementare formato dal generatore che produce una tensione sinusoidale u(t) e dalla bobina pura ai cui capi è presente la f.e.m.i. data dalla (3), applicando il secondo principio di Kirchhoff alla maglia si ha, trascurando la resistenza dell’avvolgimento e quindi la c.d.t. relativa:

il cui il valore massimo o ampiezza è

Passando ai valori efficaci

Si ricordino infatti le relazioni, fra i moduli , che legano valore efficace e massimo in regime sinusoidale:

Per la (6) la tensione U deve quindi controbilanciare la –E .

  32  

La tensione U fornita dal generatore, tenendo conto della sua posizione nel piano di Gauss come evidenzia la fase della (5) si può scrivere, in valore efficace e per le note considerazioni sull’operatore ‘j’ citate in precedenza:

Il vettore tensione U, per la (5) e per la (7), è dunque in anticipo rispetto alla corrente, proprio perché deve essere opposto al vettore f.e.m.+E.

Definendo in particolare come reattanza induttiva XL il prodotto

la caduta di tensione ai capi della bobina ideale si scrive:

In altro modo si può osservare che il prodotto XLI ha le dimensioni di una c.d.t., in cui l’ostacolo è la reattanza induttiva XL percorsa dalla corrente.

Questa “resistenza” particolare è in realtà un ostacolo che, percorso da corrente, crea ai capi della bobina ideale una caduta di tensione che anticipa di 90° la posizione del vettore corrente.

Se si ricorda infatti il carattere inerziale della induttanza, ovvero della grandezza che ostacola le variazioni di corrente, questo ostacolo viene attribuito alla reattanza, che congloba, oltre alla induttanza, anche la frequenza.

Infatti con più rapide variazioni della corrente aumenta la difficoltà da parte della corrente a percorrere il circuito induttivo.

In particolare con frequenza nulla è nulla anche la reattanza, mentre con frequenza crescente cresce linearmente anche la reattanza, fino a diventare infinita con frequenza infinita.

- In corrente continua (f=0) la reattanza è un corto circuito;

- con frequenza infinita la reattanza è come un interruttore aperto.

Si conclude ricordando che a regime (esaurita quindi la fase transitoria il cui studio non è qui riportato) una induttanza ha la proprietà di ritardare di 90° la corrente che l’attraversa rispetto alla caduta di tensione esistente ai suoi capi.

  33  

In modulo e in valore efficace tale corrente è il rapporto fra la tensione efficace ai suoi capi e la reattanza induttiva XL=ωL .

Alla reattanza induttiva si attribuisce quindi la scrittura

utile nelle applicazioni con il metodo simbolico.

Figura Diagrammi vettoriale e temporale riferiti ad un circuito puramente induttivo in regime sinusoidale.

 

Circuito con capacità pura C

Figura Errore. Il segnalibro non è definito.) Circuito puramente capacitivo

Si prende ora in esame un condensatore ideale (trascurandone quindi eventuali effetti resistivi dovuti alle perdite nel dielettrico e induttivi, di per sé già trascurabili) ai capi del quale si imprime una tensione sinusoidale

  34  

Si ricorda che, quando si applica una tensione ai capi di un condensatore inizialmente scarico, si ha un movimento immediato degli elettroni dall’armatura resa positiva dal generatore fino a raggiungere l’altra armatura che acquista così il potenziale negativo.

Ad esempio nel processo di carica di un condensatore alimentato da una tensione continua, poniamo di 10V, immediatamente gli elettroni migrano dall’armatura positiva verso quella negativa e il processo di migrazione continua fino alla carica completa del condensatore, cioè quando fra le armature si stabilisce una d.d.p. praticamente uguale alla f.e.m. del generatore. Durante la carica il processo di migrazione viene rallentato dal potenziale che man mano cresce ai capi del condensatore stesso.

Qui non si considera la fase transitoria e si ragiona come se essa si fosse già esaurita.

Se la tensione alternata ai capi del condensatore varia secondo la (8), in modo sinusoidale, il legame fra la variazione di tensione, la variazione di carica e la corrente di spostamento vale, essendo

q=ic ּ◌t=C ּ◌uc:

Pertanto la corrente che interessa il circuito formato dal generatore, dal condensatore e dai collegamenti (di resistenza trascurabile anch’essi) si calcola, dalla (9) e tenendo conto della (8):

Ricorda che

Dalla (10) si deduce che la tensione impressa ai capi del condensatore e la corrente che interessa il circuito capacitivo puro sono a 90° fra loro: la tensione è in ritardo rispetto alla corrente (è lo stesso dire che la corrente anticipa la tensione impressa di 90°).

  35  

Figura: Diagrammi vettoriale e temporale riferiti ad un circuito puramente capacitivo alimentato con tensione sinusoidale.

Dall’andamento temporale della tensione e della corrente a regime in un circuito capacitivo puro (fig.6) si osserva che:

• quando il condensatore è scarico (uc=0) in quell’istante la corrente è massima;

• quando la tensione comincia a crescere si ha la carica del condensatore;

• il condensatore è carico quando la tensione ai capi è massima (corrente nulla);

• nell’intervallo di scarica la tensione ai capi diminuisce passando dal valore massimo a zero, mentre la corrente cresce da zero al valore massimo;

• nel semiperiodo negativo della tensione si ripetono l’analoga fase di carica e di scarica.

• Con tensione decrescente la corrente aumenta e viceversa con tensione crescente.

Si riprende in esame la (10).

L’ampiezza della corrente (il valore massimo) è:

Passando ai valori efficaci e definendo la reattanza capacitiva

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dalla (11) si ottiene la relazione fra i moduli della tensione e della corrente in un circuito puramente capacitivo:

La reattanza capacitiva Xc torna utile per considerare l’ostacolo che il condensatore offre al movimento delle cariche. Essa ha qui la proprietà di creare una speciale c.d.t. ai capi del condensatore percorso da corrente, speciale nel senso che è sfasata in ritardo di 90° rispetto alla corrente (oppure, ovviamente, la corrente è in anticipo di 90° rispetto alla c.d.t. ai capi del condensatore stesso).

Pertanto alla reattanza capacitiva, nel calcolo con metodo simbolico, si attribuisce l’una o l’altra delle espressioni equivalenti

La (13) quindi va scritta con la seguente rappresentazione simbolica:

ovvero per rappresentare la c.d.t. ai capi del condensatore, legata alla corrente circolante:

La reattanza capacitiva decresce dal valore teorico infinito con frequenza nulla (ad esempio in corrente continua, per f=0, cessato il transitorio di carica, non vi può essere ulteriore movimento di cariche).

Al crescere della frequenza la reattanza diminuisce sempre più fino ad annullarsi con frequenze altissime. Pertanto si può semplicemente affermare che

un condensatore con frequenze altissime si comporta come un corto circuito;

con frequenza nulla si comporta come un interruttore aperto.

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Da ricordare

Vi è dualità fra:

- il circuito induttivo puro in cui l’induttanza L ostacola le variazioni di corrente (questo può servire a ricordare che la corrente è in ritardo di 90° rispetto alla tensione impressa ai suoi capi) e

- il circuito con capacità pura C, che ostacola le variazioni di tensione : si ricorda così che la tensione ai capi ritarda di 90° la corrente (o che la corrente anticipa l’andamento della tensione di 90°).

Il perché lo sfasamento sia di 90° è dimostrabile col calcolo differenziale.

Osservazione importante

In seguito, nei calcoli e nelle rappresentazioni con i vettori associati a grandezze sinusoidali, non si farà più riferimento all’ampiezza del vettore, ma si intenderà rappresentarne il valore efficace, che è quello comunemente sottinteso nelle applicazioni.

Quando si parla di una corrente di 2A o di una tensione di 230V ci si riferisce infatti al valore efficace della grandezza in esame e pertanto anche il vettore che la rappresenta avrà il modulo coincidente con il valore efficace, anziché col valore massimo.

Le grandezze suddette sono ritenute sinusoidali: la quasi totalità dell’energia elettrica è prodotta e distribuita con questo andamento temporale (salvo poi eventualmente convertirla in continua).

Si osserva ancora che, nelle rappresentazioni vettoriali e nelle equazioni, il vettore potrà essere espresso con la lettera che lo rappresenta, sormontata dalla tipica frecciolina, come nelle equazioni di fig. 7, oppure da una lineetta al posto della freccia, o la scritta in grassetto:

Più spesso si ricorrerà alla scrittura in grassetto.

Addirittura nei diagrammi vettoriali si intenderà che le grandezze presenti siano, appunto, dei vettori.

Nel prossimo paragrafo si generalizzerà il concetto di ostacolo al passaggio della corrente, mediante l’introduzione della impedenza Z.

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Elementi passivi puri: schemi, diagrammi corrente-tensione

Nella fig.7 si riassumono le caratteristiche fondamentali dei circuiti semplici, con riferimento agli sfasamenti fra la corrente che li attraversa e la corrispondente caduta di tensione ai loro capi.

Figura: Schemi, rappresentazioni vettoriali ed equazioni riferite agli elementi passivi puri R - L - C. Negli schemi e nei diagrammi si farà riferimento ai valori efficaci di tensione e di corrente in gioco. L’ostacolo al passaggio della corrente in alternata è l’impedenza Z

 

Circuiti reali in regime sinusoidale - Impedenza

Circuiti  reali    in  regime  sinusoidale  -­‐‑  Impedenza  

Nella  parte  precedente  si   sono  visti   i   circuiti   ideali,   cosiddetti  puri,   cioè   formati  da  una  sola  componente.  

Tuttavia   un   qualsiasi   conduttore   ha   la   propria   resistenza   e   la   corrente   che   lo   percorre  produce   un   flusso   che   gli   si   concatena,   con   relativa   induttanza;   inoltre   la   vicinanza   di   altri  conduttori  giustifica  una  capacità.  

Le  grandezze  citate  sono  distribuite  lungo  esso,  ma  per  semplicità  di  calcolo  i  parametri  vengono  concentrati  in  un  elemento  resistivo,  in  uno  induttivo  e  in  uno  capacitivo.  

Nei   circuiti   reali   i   parametri   presenti   negli   schemi   che   si   studiano   sono   quindi  individualmente   ideali,  cioè  sono  parametri  concentrati,  ma  tutti   insieme  contribuiscono  a  far  sì  che   il  circuito   in  questione  tenga  conto  della  propria  effettiva  costituzione.  L’elemento  assente  viene   quindi   ritenuto   nullo   o   comunque   trascurabile   nei   limiti   delle   approssimazioni   che   si  stanno  considerando,  rispetto  agli  altri  parametri  presenti.  Ideali  si  ritengono  i  collegamenti  dei  conduttori  tra  i  suddetti  parametri.  

Ad   esempio   quando   si   rappresenta   un   avvolgimento   occorre   tener   conto   del   tipo   di  conduttore:  natura,  lunghezza  e  sezione  che  essenzialmente  ne  definiscono  la  resistenza  R  .  Inoltre  l’avvolgimento  stesso  presenterà  una  induttanza  L  più  o  meno  elevata  a  seconda  che  sia  avvolto  ad  esempio  su  un  supporto  in  legno,  anziché  su  un  nucleo  in  ferro.  

Semmai   possono   trascurarsi   le   capacità  C   fra   spira   e   spira,   ma   nella   rappresentazione  utile   al   calcolo   delle   correnti   e   tensioni   in   gioco   si   distinguono,   separatamente,   resistenza   e  reattanza,   cioè   elementi   concentrati,   che   si   ritengono   costanti.   Sostanzialmente   il   concetto   di  impedenza  rappresenta  l’ostacolo  che  interessa  lo  studio  del  comportamento  in  regime  sinusoidale  e   in   tal   caso   ad   essa   contribuiscono   la   resistenza   e   la   reattanza   induttiva,   nel   modo   che   ora   si  descriverà.    

L’impedenza    è  un  operatore  complesso  che  esprime  il  legame  tra  la  tensione  presente  ai  suoi  estremi  e   la  corrente,  che  variano  nel   tempo  (noi  esaminiamo  qui  grandezze  sinusoidali),  mentre  essa  non  è  funzione  del  tempo.    

L’impedenza  è  l’ostacolo  al  passaggio  della  corrente  e,  a  differenza  del  comportamento  in  corrente   continua   dove   l’ostacolo   è   rappresentato   dalla   resistenza   (l’induttanza   si   comporta   come   un  corto  circuito,  la  capacità  come  un  circuito  interrotto),  in  corrente  alternata  l’ostacolo  tiene  conto  anche  delle  eventuali  reattanza  induttiva  XL  e  reattanza  capacitiva  XC  .    

Tutti  questi  ostacoli  sono  misurati  in  ohm  [Ω]  .  

L’impedenza   viene   calcolata   dal   rapporto   fra   la   caduta   di   tensione   ai   suoi   capi   e   la  corrente  che  la  percorre,  se  i  componenti  ideali  sono  in  serie:  

   

  40  

 

e  tutte  e  tre  le  grandezze  sono  qui  interpretate  come  numeri  complessi.    

Tenendo  presenti  le  conclusioni  riportate  in  fig.7  del  paragrafo  precedente,  si  considerano  ora  circuiti  reali  costituiti  dalla  serie    R-­‐‑L  e  R-­‐‑C  e  da  collegamenti  misti  serie-­‐‑parallelo.  

     

11a)_Circuito ohmico-induttivo R-L con resistenza e reattanza in serie. Impedenza

In   figura   1)   vi   è   lo   schema   riferito   ad   un   generatore   di   tensione   sinusoidale,   di   valore  efficace   U,   che   alimenta   la   serie   di   una   resistenza   R   e   di   una   bobina   di   induttanza   L,   la   cui  reattanza  induttiva  vale  

XL  =  ω  L  =  2πf  L  [Ω]        

La  corrente  che  attraversa  gli  ostacoli  “resistenza  e   reattanza   induttiva”  è   la   stessa  e  dà  luogo  a  due  cadute  di  tensione:  

UR  ai  capi  della  resistenza  R,  in  fase  con  la  corrente  (fig.  1b);  

UL  ai  capi  della  reattanza  induttiva  XL,  in  anticipo  di  90°  rispetto  alla  corrente  stessa.  

La  loro  somma  U,  di  tipo  vettoriale  

 

 è  la  c.d.t.  totale  ai  capi  dell’impedenza  Z  e  coincide  anche,  naturalmente,    con  la  tensione  che  deve  fornire  il  generatore  (fig.1).  

L’impedenza  induttiva  Z  

 

rappresenta  l’ostacolo  totale  offerto  dal  circuito  in  esame  al  passaggio  della  corrente.  

   

  41  

Figura Errore. Il segnalibro non è definito.) a) Schema del circuito serie ohmico induttivo; b) diagramma vettoriale tensioni-corrente – triangolo delle cadute di tensione; c) triangolo dell’impedenza. Si osservi che i lati del triangolo dell’impedenza non sono vettori, poiché, come si ricorderà, si era assunto di associare alle grandezze sinusoidali i vettori (qui i lati del triangolo non corrispondono a sinusoidi).

Il  calcolo  mediante   i  moduli,  che  va  effettuato  considerando   la  posizione  dei  vettori  nel  piano  di  Gauss,  porta  ai  risultati  seguenti  (fig.  1b  e  1c):  

 

Dai   triangoli   simili   delle   cadute   di   tensione   (vettori)   e   dell’impedenza   si   può   dedurre  anche  lo  sfasamento  di  cui  la  tensione  totale  anticipa  la  corrente  che  percorre  l’impedenza  (è  lo  stesso  dire  che   la  corrente  è  in  ritardo  rispetto  alla  tensione  ai  capi  dell’impedenza)  L’angolo    si  può  ricavare,  ad  esempio,  da  una  delle  seguenti  relazioni  trigonometriche:  

     

ESEMPIO

Un  generatore  alimenta,  con  tensione  sinusoidale  di  frequenza  f=50Hz,  il  circuito  di  fig.1  a)   erogando   una   corrente   di   valore   efficace   I=4A.   L’impedenza   è   costituita   da   una   bobina   di  induttanza  L=8,6mH  e  la  resistenza  complessiva  dell’avvolgimento  risulta  essere  R=2Ω.  Ritenendo  costante  l’induttanza  della  bobina  si  calcolino  le  cadute  di  tensione  e  la  tensione,  in  valore  efficace,  che  deve  fornire  il  generatore.  

_________      

Si  calcola  la  reattanza  con  l’espressione  

   

  42  

XL  =  ω  ·∙  L  =  2πf  ·∙  L  =  314  ·∙  8,6  ·∙  10-­‐‑3  =    2,702  Ω    

La   corrente   dà   luogo   alla   caduta  UR   in   fase   con   essa   e   alla  UX   a   90°   in   anticipo.   Per  determinare  la  tensione  totale  U  si  segue  il  procedimento  indicato,  ottenendo:  

 in  cui  l’impedenza,  ostacolo  complessivo  del  circuito,  è  

 Passando  ai  moduli:  

 

che  rappresenta  il  valore  efficace  richiesto.    

Desiderando  conoscere  il  modulo  dell’impedenza  si  calcola  

 

Lo   sfasamento   di   cui   la   tensione   totale   anticipa   la   corrente   e   quindi   lo   sfasamento  caratteristico  dell’impedenza  si  può  determinare  ad  esempio  così:  

 

In   fig.  1b)  è   rappresentato   il  diagramma  vettoriale,   che  si  è   tracciato  ponendo  sull’asse  reale   la   corrente,   nota   dal   testo.   Rispetto   alla   corrente   vengono   rappresentate   le   cadute   di  tensione  e  di  conseguenza  la  tensione  totale  U  ,  in  anticipo  di  53,49°.  

La  soluzione  si  può  anche  determinare  graficamente,  riportando  in  scala  le  tensioni.  

Per  inciso  si  osserva  che,  dovendo  rappresentare  in  scala  anche  le  correnti,  la  scala  scelta  non   è   generalmente   la   stessa.   La   scelta   va   fatta   in   base   allo   spazio   che   si   ha   a  disposizione   e  all’evidenza  che  si  vuole  assegnare  alle  grandezze.  

     

Osservazione

Nelle  applicazioni  numeriche,  soprattutto  per  chi  non  ha  ancora  dimestichezza  per  questi  procedimenti,  

si  faccia  bene  attenzione  a  tener  conto  delle  posizioni  dei  vettori.  

Di  conseguenza  si  ricordi  che,  a  differenza  di  quanto  accade  in  corrente  continua,  le  somme  sono  sempre  vettoriali,  sia  che  si  sommino  tensioni,  sia  che  si  sommino  correnti,  sia  che  si  sommino  impedenze  in  serie.    

   

  43  

Infatti   4+3  non   fa   7!!!!   a  meno   che   il   vettore  di  modulo   4   e  quello  di  modulo   3   sia   allineati,   con  stessa  direzione  e  stesso  segno!!!  Nell’esempio  riportato  sopra,  la  somma  delle  c.d.t.  UR  e  UX  non  è  numerica,  ma   vettoriale:   i   due   vettori   rappresentativi   sono   fra   loro   a   90°   e   quindi   la   somma   si   è   potuta   dedurre,   in  modulo,  con  il  teorema  di  Pitagora.    

     

Circuito ohmico-capacitivo R-C con resistenza e capacità in serie. Impedenza

     

 

Figura Errore. Il segnalibro non è definito. a) Circuito R-C serie; b) diagramma tensioni-corrente e triangolo delle cadute di tensione; c) triangolo dell’impedenza.

     

Rispetto   al   circuito  R-­‐‑L,   qui   la   presenza   del   condensatore   di   capacità  C   che   ritarda   la  propria   caduta  di   tensione  di   90°,  porta   a   spostare   anche   in   ritardo   la   tensione   totale   rispetto  alla   corrente   (dell’angolo   φ,   inteso   negativo   perché   contato   con   verso   orario   a   partire   dalla  posizione  dell’asse  reale  positivo  del  piano  di  Gauss).  

     

Le   considerazioni   precedenti   sono   quindi   influenzate   dal   segno   meno   della   reattanza  capacitiva  –jXC  ,  che  si  calcola,  in  modulo:  

 

Pertanto,  con  riferimento  alla  fig.  2,  si  scrivono  le  seguenti  relazioni:  

 

in  cui  l’impedenza  totale  del  circuito  ohmico-­‐‑capacitivo  è  

 

   

  44  

I  moduli  e  l’argomento  si  determinano  così:  

 

 

     

ESEMPIO

Un  generatore   alimenta,   con   tensione   sinusoidale  di   frequenza   f=50Hz   e  valore   efficace  230V,  il  circuito  di  fig.2  a).  L’impedenza  è  costituita  da  una  resistenza  R=100Ω,  mentre  la  capacità  ad  essa  in  serie  è  di  10µμF  .  Si  calcolino  la  corrente  nel  circuito,  le  cadute  di  tensione  e  si  rappresenti  il  diagramma  vettoriale  tensioni-­‐‑corrente.  

______    

Per   la  soluzione  si  calcola  dapprima  l’impedenza,  per  poi  passare  alla  valutazione  della  corrente  in  modulo  e  fase  e  al  tracciamento  del  diagramma.  

Si   assume   la   tensione   fornita   dal   testo   sull’asse   reale   (fig.3b),   per   cui   vettorialmente   la  tensione  viene   rappresentata   con   la   sola  parte   reale.  La   corrente   e   le   cadute  di   tensione   saranno  quindi  riferite  alla  posizione  del  vettore  tensione.  Sostanzialmente  il  diagramma  di  fig.  2c)  è  come  se   fosse   ruotato   in   senso   antiorario   dell’angolo   caratteristico   φ   dell’impedenza:   la   corrente   è  comunque  in  anticipo  rispetto  alla  tensione  totale  U  fornita  dal  generatore  (fig.  3b).    

Calcolo  della  reattanza  capacitiva:  

 

1)  soluzione  con  metodo  vettoriale:  

 

Ricordando   che   nel   rapporto   fra   numeri   complessi   occorre   moltiplicare   numeratore   e  denominatore  per  il  complesso  coniugato  del  denominatore,  si  calcola  la  corrente  

 

con  modulo  

 

   

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2)  Soluzione  con  i  moduli:  

 

 

 

 

     

3)  Soluzione  con  metodo  esponenziale:  

 

 

 

     

•                  Si  verifichi  che  la  somma  vettoriale  delle  c.d.t.  parziali  dà  la  tensione  del  generatore.  

•                  Il  valore  massimo  di  tensione  che  deve  sopportare  il  condensatore  e  per  il  quale  va  

dimensionato  l’isolamento  è  

 

     

   

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Figura: Triangolo dell’impedenza capacitiva; b) diagramma vettoriale avente come riferimento sull’asse reale la tensione totale assegnata dal problema. Le tensioni e il triangolo dell’impedenza rispettano le proporzioni in base alle rispettive scale (qui non indicate).

 

   

   

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