Modello matematico asincrono

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Modellizzazione

della macchina asincrona

Matteo Gattanini

15 Gennaio 2004

ver. 0.43c

Politecnico di Milano

In questo documento si prendono in considerazione con discreto

dettaglio i passaggi e le approssimazioni che portano alla scrit-

tura dei modelli usualmente adottati della macchina asincrona,

descritti nelle dispense del prof. Superti Furga.

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Indice

1 Macchina asincrona 1

1.1 Una prima modellizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Estensioni del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Scrittura delle equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Leggi di Kirchhoff alle maglie . . . . . . . . . . . . . . . 5Legame flussi-correnti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Equazione meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Energia e forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Insieme delle equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Trasformata delle equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Trasformazione delle equazioni alle maglie . . . . . . . . . 17Trasformazione dei legami flussi-correnti . . . . . . . . . . 19Energia e forze nel nuovo spazio di stato . . . . . . . . . . 22Insieme delle equazioni trasformate . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Vettori spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Inversione del legame flussi-correnti . . . . . . . . . . . . 25Potenza e vettori spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Coppia e vettori spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Scelta degli assi di trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . 29Trasformazione sui due assi solidali . . . . . . . . . . . . 29Trasformazione su assi coincidenti . . . . . . . . . . . . . 29

1.6 Circuiti equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Circuito equivalente su assi fissi . . . . . . . . . . . . . . 32Saturazione e perdite nel ferro . . . . . . . . . . . . . . . 37Bilancio energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.7 Modelli in forma normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Modello del quinto ordine nei flussi . . . . . . . . . . . . 45Modello nelle correnti di statore e nei flussi di rotore . . . . . 46

I

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1.8 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2 Macchina sincrona 56

2.1 Una prima modellizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2 Scrittura delle equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Leggi di Kirchhoff alle maglie . . . . . . . . . . . . . . . 57Legame flussi-correnti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Appendici 59

A Qualche richiamo di algebra delle matrici . . . . . . . . . . . . 59

B Un po di trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

C Avvolgimenti accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

D Doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

E Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Note 79

Sul documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Sugli strumenti usati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

II

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Capitolo 1

Modello macchina asincrona

1.1 Una prima modellizzazione

Il sistema in figura 1.1, costituito da due terne di induttori spazialmentesfasati di un terzo dellangolo giro, la cui posizione relativa varia con unacoordinata angolare, rappresenta una prima modellizzazione di una macchinaasincrona trifase a due poli con rotore avvolto trifase.

a a

b

b c

c

a

a

b

b

c

c

m

Figura 1.1: Struttura del sistema studiato

Sono visibili nel nucleo magnetico esterno fisso (statore) le sezioni dei latiattivi degli avvolgimenti statorici; Allinterno vi il nucleo magnetico mobile(rotore), nel quale sono montate le fasi rotoriche.

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Macchina asincrona - 1.1. Una prima modellizzazione 2 di 80

Fissato un senso ciclico delle fasi, suggerito dallordine alfabetico dei loronomi (a y b y c, nella sezione in figura orario ) ha senso parlare di ternetrifasi simmetriche dirette ed inverse. Alimentando le fasi statoriche con unaterna di tensioni diretta si crea un campo magnetico rotante nel senso ciclicodelle fasi; la coordinata spaziale m stata scelta in modo che sia concordead esso.

Vi sono due caratteristiche di questo sistema che semplificano notevol-mente il modello: la simmetria cilindrica del circuito magnetico (da cui se-gue lindipendenza dalla posizione meccanica) e il fatto che le grandezzestatoriche e rotoriche costituiscono due terne trifase (perlomeno durante ilfunzionamento normale).

Le approssimazioni intrinseche a questa descrizione ideale della macchinasono facilmente intuibili: la perfetta simmetria costruttiva implica ignora-re imperfezioni geometriche; si ignorano accorgimenti realizzativi (come lapresenza di cave nel nucleo magnetico); la sezione stessa dei conduttori considerata nulla, alla stregua dei punti materiali meccanici.

Questa idealizzazione della macchina costituisce la base sulla quale pog-gia il modello matematico che scriveremo; vediamo ora tuttavia come essopossa essere esteso, con opportuni accorgimenti, a sistemi leggermente picomplicati di quello proposto.

Estensioni del modello

La macchina considerata in figura 1.1 detta a due poli perch in tutto n coppiepolariil traferro il campo magnetico ha una sola oscillazione, quindi si ha una sola

coppia polare.Disponendo opportunamente gli avvolgimenti statorici si possono ottenere

macchine a pi coppie polari, nelle quali ad ogni giro meccanico si hanno nperiodi di oscillazione del campo magnetico al traferro.

Lestensione del modello a queste macchine immediata: le equazionielettriche sono identiche pur di considerare, anzich langolo meccanico ef-fettivo m , il suo equivalente elettrico m , ossia langolo per cui ad ognigiro corrisponde una sola oscillazione delle grandezze elettriche. Esso datoda n volte langolo meccanico effettivo m (dove n il numero di coppiepolari1).

Le equazioni della parte meccanica continuano ovviamente ad essere espres-se nelle grandezze meccaniche effettive m e m = m ; volendo esprimere

1Ad esempio in una macchina a 8 poli ( n = 4 ) baster che il rotore descriva 1n= 1

4

dellangolo giro per avere un intero periodo delle grandezze elettriche, corrispondente adun giro dellangolo equivalente elettrico.

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tutto il modello nelle stesse variabili baster effettuare in esse le sostituzioni:

m =1nm m =

1nm , con m = m

Nella macchina considerata in figura 1.1 il rotore formato da tre avvolgi- rotore agabbiamenti mutuamente sfasati di 2pi

3ed elettricamente raggiungibili dallesterno

(per poter pensare di imporre una tensione rotorica). Le macchine asincronepresentano pi spesso un robusto e semplice rotore a gabbia anzich un rotoreavvolto (che comprende accorgimenti come le spazzole per laccessibilit degliavvolgimenti); in tal caso possibile modellizzare le gabbie rotoriche come kfasi distribuite lungo langolo giro, le quali, qualora si trascurino le resistenzedegli anelli di connessione delle sbarre, sono elettricamente disaccoppiate e incorto circuito. Si dimostra che il modello ottenuto dal nostro schema costrut-tivo in figura 1.1 valido anche per queste macchine; ovviamente in questocaso gli avvolgimenti rotorici non sono accessibili e la tensione di rotore sempre nulla.

Considerare infinitesima la sezione dei lati attivi significa trascurare i flus- gabbiaprofondasi parzialmente concatenati ai conduttori ed i conseguenti fenomeni di ad-

densamento di corrente, che rendono dipendenti dalla frequenza i parametricircuitali2.

Spesso il fenomeno di addensamento sfruttato per aumentare la coppiadi spunto e migliorare le prestazioni allavvio; ci si realizza sviluppando insenso radiale la sezione dei conduttori rotorici (rotori a gabbia profonda): sealle basse frequenze (a regime) essi sono attraversate da correnti distribuiteuniformemente in tutta la sezione, a frequenze pi alte (allavvio) si ha in-vece un addensamento verso lesterno e quindi una resistenza maggiore (laresistenza rotorica influisce sulla coppia di spunto).

Nel tenere conto di questi fenomeni lattenzione rivolta alla parte ro-torica, dove la frequenza varia con la velocit meccanica (che variabile distato); nello statore la frequenza imposta e normalmente non ha variazionisensibili, quindi tutto si riduce ad un coefficiente correttivo.

Una trattazione teorica del problema si svolge modellizzando il sistemacostituito dal conduttore in cava; data la geometria del sistema e individuatele simmetrie, si determina, integrando le equazioni di Maxwell, limpedenzadel lato attivo.

2La corrente tende ad addensarsi nelle zone che concatenano meno campo magnetico;resistenza e reattanza tendono ad aumentare con la frequenza. La reattanza menosensibile alleffetto delladdensamento per il peso dei termini di dispersione fuori cava, noninteressati dal fenomeno.

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Nei modelli meno accurati si tiene conto di questo importante fenomenomediante laggiunta di un termine dissipativo addizionale, in genere quanti-ficato mediante criteri empirici.

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Macchina asincrona - 1.2. Scrittura delle equazioni 5 di 80

1.2 Scrittura delle equazioni

Descriviamo matematicamente il sistema. Lingegnere deve essere benconsapevole delle approssimazioni1 connesse a questa operazione, poich esselimiteranno il campo di validit dei modelli derivanti da questa descrizione;pur tuttavia alcune di esse saranno riprese in seguito al fine di superare alcunepesanti restrizioni, migliorando cos laccuratezza della descrizione per passisuccessivi.

Prenderemo in esame la parte elettrica, la parte meccanica, ed infine illegame tra parte elettrica e parte meccanica.

Leggi di Kirchhoff alle maglie

Il sistema costituito da sei avvolgimenti mutuamente accoppiati; tra-scurando gli effetti capacitivi tra spira e spira ciascun avvolgimento model-lizzabile2 come in figura 1.2, dove scritta la legge di Kirchhoff alle tensioni(LKT) con la convenzione degli utilizzatori ( p rappresenta loperatore diderivata temporale).

Ri

Lv p

v = Ri+ p

Figura 1.2: Equazione alle maglie per un avvolgimento

Scriviamo ora le equazioni alle maglie per il sistema in esame; viene spon-taneo, anzich scrivere ununica equazione matriciale del sesto ordine, sepa-

1Lapprossimazione madre, in genere considerata ovvia in questo contesto, trascurarequalunque effetto relativistico o quantistico, in altre parole ci si muove nellambito dellafisica classica.

2Ricordiamo che usare parametri concentrati e le equazioni di Kirchhoff in luogo delleequazioni di Maxwell unapprossimazione buona se il regime quasistazionario, ossiaquando i segnali di interesse hanno lunghezza donda molto maggiore delle dimensioni delcircuito. Per fissare le idee si consideri la millesima armonica di un segnale a 50Hz :essa ha frequenza f = 50 103Hz e quindi una lunghezza donda c f1 6Km ,dimensione molto maggiore di qualsiasi motore asincrono.

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rare le due equazioni nelle variabili statoriche e rotoriche, evidenziando lanatura trifase del sistema.

Lapice f indica che le grandezze che stiamo considerando sono grandezzedi fase, ossia quelle ai morsetti dei bipoli che una volta connessi formerannolelemento trifase; il primo pedice s e r distingue le grandezze statorichee rotoriche, mentre il secondo pedice individua il singolo avvolgimento. Informa matriciale abbiamo le sei equazioni:

vfsavfsbvfsc

=

Rs 0 00 Rs 00 0 Rs

ifsaifsbifsc

+ p

fsafsbfsc

vfravfrbvfrc

=

Rr 0 00 Rr 00 0 Rr

ifraifrbifrc

+ p

frafrbfrc

Che sintetizziamo grazie alla notazione matriciale usando i simboli:

vsf = Rs ifs + psf (1.1)

vrf = Rr ifr + prf (1.2)

Queste sono le equazioni che legano le variabili di stato del sistema agliingressi (tensioni). Come si pu notare stata fatta lipotesi di simmetriacostruttiva delle fasi: gli avvolgimenti statorici hanno uguale resistenza Rs ,mentre gli avvolgimenti rotorici presentano tutti la resistenza Rr .

Legame flussi-correnti

Alle equazioni elettriche dedotte dalla legge di Kirchhoff bisogna aggiun-gere le informazioni riguardanti il sistema magnetico, espresse dai legami tra iflussi concatenati agli avvolgimenti e le correnti che li attraversano. Essi sonola forma integrale del legame costitutivo

B =

H e quindi rendono conto,

oltre che della natura del materiale sede del campo, anche della geometriadel circuito magnetico che accoppia gli avvolgimenti.

Purtroppo questi legami riflettono la complessit dei fenomeni magneticinei materiali ferromagnetici, e si presentano in genere come funzioni non-lineari e polidrome (si ricordi la forma del ciclo di isteresi).

Per non complicare troppo il modello si devono effettuare su di esse pesan-ti approssimazioni; la prima di queste eliminare la polidromia confondendoil ciclo di isteresi con una funzione monodroma media (qualcosa di simile allacurva di prima magnetizzazione).

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In questa ipotesi i legami hanno la forma:fsafsbfsc

=

fsa(ifsa , ifsb , i

fsc , i

fra , i

f

rb, ifrc)

fsb(ifsa , ifsb , i

fsc , i

fra , i

frb, ifrc)

fsc(ifsa , ifsb , i

fsc , i

fra , i

frb, ifrc)

frafrbfrc

=

fra(ifsa , ifsb , i

fsc , i

fra , i

frb, ifrc)

frb(ifsa , ifsb , i

fsc , i

fra , i

frb, ifrc)

frc(ifsa , ifsb , i

fsc , i

fra , i

frb, ifrc)

Anche se in generale queste relazioni sono non-lineari e tempovarianti, abitudine (ed comodo, per le ulteriori approssimazioni che faremo) espri-merle come somma di contributi dovuti alle singole correnti, ottenuti pesandole stesse con opportuni coefficienti3; qualora la caratteristica magnetica sialineare, essi divengono indipendenti dallo stato elettromagnetico (bench pos-sano ancora essere tempovarianti) e sono chiamati induttanze: in tal caso lerelazioni costitutive si riducono a combinazioni lineari delle correnti.

Proprio per essere in questa condizione e semplificare drasticamente il mo-dello dora in poi ipotizzeremo di essere nella zona di linearit del materialeferromagnetico; cercheremo di rimuovere questa limitante approssimazionein seguito.

Riscriviamo quindi le relazioni nella forma lineare:fsafsbfsc

=

Lsa Msab MsacMsba Lsb MsbcMsca Mscb Lsc

ifsaifsbifsc

+

Msara Msarb MsarcMsbra Msbrb MsbrcMscra Mscrb Mscrc

ifraifrbifrc

frafrbfrc

=

Lra Mrab MracMrba Lrb MrbcMrca Mrcb Lrc

ifraifrbifrc

+

Mrasa Mrasb MrascMrbsa Mrbsb MrbscMrcsa Mrcsb Mrcsc

ifsaifsbifsc

In virt della monodromia dei legami flussi-correnti il sistema magnetico conservativo e vale il principio di reciprocit delle mutue induttanze, cheintroduce le simmetrie:

Msij = Msji Mrij = Mrji Msirj = Mrjsi

Inoltre, coerentemente con lipotesi di simmetria costruttiva delle fasi, por-remo:

Lsa = Lsb = Lsc = Lss Lra = Lrb = Lrc = Lrr

Msij = Mss Mrij = Mrr

3Questi coefficienti vengono chiamati induttanze incrementali ; il loro valore datodalla pendenza della retta che nello spazio flussi-correnti congiunge lorigine con il puntodi funzionamento attuale.

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Notiamo che il sistema presenta una isotropia del circuito magnetico ri-spetto la coordinata m : ci aspettiamo che le autoinduttanze e le mutueinduttanze tra avvolgimenti appartenenti alla stessa terna (la cui posizionerelativa fissa) siano indipendenti dalla variabile meccanica. Ragionevol-mente dipenderanno da m le mutue induttanze tra statore e rotore, inparticolare ogni mutua induttanza sar funzione periodica4 dellangolo for-mato dai due avvolgimenti a cui si riferisce, funzione che approssimiamo conla sua armonica fondamentale; per le ipotesi gi citate le ampiezze di questiandamenti sono uguali tra loro.

La determinazione della matrice di accoppiamento statore-rotore presup-pone quindi lindividuazione degli angoli tra le fasi statoriche e rotoriche; infigura 1.3 sono indicati gli angoli formati tra la prima fase statorica e ciascu-no dei tre avvolgimenti rotorici. Allo stesso modo si determinano gli angolitra le altre coppie di fasi.

a a

b

b c

c

a

a

b

b

c

c

m

m+2pi3

m2pi3

Figura 1.3: Angoli tra fase primaria statorica (li-nea verticale tratteggiata in giallo) efasi rotoriche (linee continue)

4Quando gli assi di due avvolgimenti si sovrappongono laccoppiamento massimo(positivo o negativo), mentre quando sono in quadratura nullo; larmonica fondamentaledi questo andamento periodico data dal coseno dellangolo formato dai due avvolgimenti.

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Alla luce di quanto detto riscriviamo quindi le relazioni flussi-correnti:fsafsbfsc

=

Lss Mss MssMss Lss MssMss Mss Lss

ifsaifsbifsc

+Msr

cosm cos

(m +

2pi3

)cos(m 2pi3

)cos(m 2pi3

)cosm cos

(m +

2pi3

)cos(m +

2pi3

)cos(m 2pi3

)cosm

ifraifrbifrc

frafrbfrc

=

Lrr Mrr MrrMrr Lrr MrrMrr Mrr Lrr

ifraifrbifrc

+Msr

cosm cos

(m 2pi3

)cos(m +

2pi3

)cos(m +

2pi3

)cosm cos

(m 2pi3

)cos(m 2pi3

)cos(m +

2pi3

)cosm

ifsaifsbifsc

Oppure, apprezzando una volta di pi la sintesi della notazione matriciale:

fs = Lss ifs +Msr ifrfr = Lrr ifr +Mtsr ifs (1.3)

Lindice t applicato a Msr nella (1.3) indica loperatore di trasposizione(vedi lappendice A a pag. 61).

Si osservino bene le matrici dei coefficienti. Abbiamo matrici simmetrichee matrici a simmetria ciclica: sar proprio la loro forma a suggerire ladeguatatrasformazione nello spazio di stato finalizzata ad ottenere un insieme divariabili di stato pi comodo.

Equazione meccanica

Il modello della parte meccanica che adottiamo costituito da una massarotante dotata di un momento dinerzia J sulla quale agisce una coppiaelettromagnetica Ce ed una coppia meccanica esterna Cm . Lequazionedinamica la seguente:

Ce Cm = J m , con m = mOppure, usando i radianti elettrici:

Ce Cm = J 1n m , con m = m (1.4)Per il significato del termine n , si rimanda a quanto detto a pag. 2.Ce tiene conto dellazione meccanica dovuta alle interazioni elettroma-

gnetiche tra gli avvolgimenti, mentre Cm la coppia con la quale la macchinascambia lavoro meccanico con il mondo esterno: in essa pensiamo inglobatele coppie parassite (attriti, ventilazione) le quali si sommano algebricamentealla coppia meccanica utile allo scopo della macchina.

La scrittura delle (1.4) presuppone la scelta di una convenzione di segno;come si vede in essa la coppia elettromagnetica considerata positiva seaccelerante, mentre la coppia meccanica considerata positiva se frenante5.

5Questa scelta corrisponde a ritenere il lavoro meccanico positivo se uscente, quindiquando la macchina funziona da motore. Il segno dei lavori delle coppie si inverte quandola macchina funziona da generatore.

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J rappresenta il momento dinerzia ridotto allasse rotorico: esso rias-sume leffetto di tutte le masse in movimento collegate meccanicamente alrotore.

Ovviamente lequazione lineare se J costante: in generale a secondadella natura del sistema meccanico connesso alla macchina esso potr avereuna dipendenza diretta dal tempo, dallangolo di rotazione6 (ad esempionel caso di carichi in cui ci sono masse in moto vario, come nelle macchinealternative), o pi raramente dalla velocit di rotazione (come nel caso difrizioni centrifughe).

Nella maggior parte delle applicazioni queste variazioni sono trascurate;spesso addirittura la parte meccanica drasticamente semplificata ritenendoil momento di inerzia J abbastanza grande da rendere la velocit insen-sibile (costante) alle variazioni delle coppie in ingresso (lequazione diventam 0 ).

Energia e forze

La definizione di macchina strettamente correlata ai concetti di ener-gia e lavoro7: una macchina qualcosa che elabora energia (potenza, se cisi riferisce allunit di tempo). Ogni macchina caratterizzata dai canalitramite i quali essa scambia energia con il mondo esterno (porte elettriche,accoppiamenti meccanici, superfici di scambio termico, ecc. . . ) e dai modicon cui essa immagazzina energia internamente.

Lo stato del sistema dato dalla quantit di energia immagazzinata,quindi lordine del modello dinamico del sistema sar pari al numero deiserbatoi interni di energia indipendenti. Se il sistema non ha forme diimmagazzinamento di energia esso descrivibile con un modello algebrico.

Gli scambi energetici sono legati tra loro dal primo principio della termo-dinamica: in ogni istante di tempo il lavoro totale scambiato con lesterno uguale alla variazione di energia interna:

L = dW .

La macchina che stiamo considerando scambia energia con lesterno attra-verso sei porte elettriche ed una porta meccanica (oltre lo scambio termico sulsuo contorno); le energie che essa immagazzina internamente sono principal-mente lenergia elettromagnetica nei sei induttori (la cui configurazione variacon una coordinata meccanica), e lenergia meccanica nelle inerzie in movi-

6Leffetto di questi rapporti di trasformazione variabili si pu riassumere con un mo-mento di inerzia variabile con langolo di rotazione, che causa coppie dinerzia periodichea velocit costante (per ulteriori approfondimenti si veda ad esempio la sez.47 pag.168 dellibro del prof. Franco Giordana, Lezioni di meccanica delle macchine, Edizioni Spiegel,1991).

7Concetti, questi, come dice il Finzi, tra quelli pi felici e fecondi della fisica moderna.

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mento. Tenendo conto di queste sole energie abbiamo un sistema dellottavoordine.

Queste considerazioni portano alla rappresentazione energetica a bloc-chi della macchina in figura 1.4, in cui la convenzione di segno dei lavoricorrisponde al funzionamento da motore.

Le energie (potenze) sono date dal prodotto di un fattore intensivo, legatoalla qualit (ed alla pericolosit) ed un fattore estensivo, legato alla quantit;nello schema sono evidenziate quantit infinitesime di energia, ed infatti ifattori estensivi sono infinitesimi. Le frecce ondulate indicano scambi nonreversibili (secondo principio della termodinamica).

R dW J mvt idt i

t d Ce dm Cutl dm

itRi dt attriti

Figura 1.4: Schema energetico della macchina

La scrittura del bilancio energetico della macchina corrisponde ad unaimportante modellizzazione della realt fisica: la scelta delle energie da consi-derare influenza direttamente laccuratezza del modello. Modelli pi accurati(e complicati) di quello esposto potrebbero considerare gli effetti dellisteresimagnetica, le energie elastiche immagazzinate nellasse rotorico, e cos via. . .

Lo schema in figura 1.4 ha il solo scopo di individuare il sottosistemaconservativo al fine del calcolo dellazione meccanica Ce ; calcoliamone le-nergia interna W . da notare che se non ignorassimo gli effetti dissipativinel ferro il sottosistema magnetico non sarebbe pi conservativo; questa ap-prossimazione, che ora consente il calcolo dellazione meccanica, pu esserein parte compensata in seguito.

W una funzione di stato, quindi dipende solo dalle sette variabili distato del sistema (sei elettriche ed una meccanica m ). Scegliendo i flussicome variabili di stato elettriche scriviamo il bilancio energetico (dedottodirettamente dallo schema a blocchi 1.4):

dW (,m) = i d Ce dm

meglio usare come variabile di stato langolo meccanico espresso inradianti elettrici (vedi pag. 2), in modo che sia slegato dalle caratteristiche

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costruttive (numero di poli) della macchina:

dW(,m) = i d 1nCe dm (1.5)Confrontando questo bilancio energetico con il differenziale dellenergia:

dW(,m) =W

d +

W

mdm

Otteniamo lespressione con la quale si pu valutare la coppia:

Ce = n W(,m)m

(1.6)

Scegliendo uno stato di riferimento (0, m0) per il quale si assumeenergia nulla, lenergia di tutti gli altri stati sar data dallintegrale:

W(1,m1) =

(1,m1)(0,m0)

dW(,m) =

(1,m1)(0,m0)

(it d 1

nCe dm

)=

=

10

it d m1m0

1nCe dm

Lintegrale non dipende dal percorso essendo lenergia una funzione distato. Scegliendo opportunamente i flussi di riferimento in modo da avereCe(0,m) = 0 , m possiamo eliminare dallespressione la parte meccanicascegliendo come percorso di integrazione la linea spezzata ottenuta variandouna per volta le variabili partendo da m :

W(1,m1) =

10

it d m1m0

1nCe(0,m) dm

Nel nostro caso, poich siamo in assenza di magneti permanenti e ma-gnetismi residui, linsieme dei flussi che annulla lazione meccanica in ogniposizione dato da flussi tutti nulli, in altre parole 0 = 0 .

Siamo quindi giunti ad unespressione dellenergia dipendente solo dallavoro elettrico. A questo punto necessario introdurre il legame costitutivoflussi-correnti; introduciamo lipotesi di un legame lineare del tipo:

i(,m) = (m) In tal caso avremo:

W(1,m1) =

10=0

it d =

10=0

[(m1)

]td =

10=0

t (m1) d

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Se ci sono dubbi su queste operazioni matriciali si veda quanto dettonellappendice A a pag. 62, ricordando che per la reciprocit la matrice simmetrica.

Lintegrazione non presenta difficolt:

W(1,m1) =

10=0

t d =1

21

t (m1)1

Dimenticandoci dellindice 1 e introducendo la matrice delle induttanzeL = 1 (anchessa simmetrica):

W(,m) =1

2t (m) =

1

2t i(,m) =

1

2it(,m) L(m) i(,m) (1.7)

Giusto per renderci conto di cosa stiamo scrivendo esplicitiamo nelle-spressione nelle correnti le sottomatrici relative alle grandezze statoriche erotoriche:

W =1

2

[(ifs)t (

ifr)t] [ Lss Msr(m)

Mtsr(m) Lrr

][ifsifr

]Ora che abbiamo lespressione dellenergia possiamo calcolare la coppia

ricordando la (1.6):

Ce = n W(,m)m

= n2t

(m)

m =

n

2itL(m)

mi = n

W(i,m)

m(1.8)

Se si ha qualche dubbio su questo passaggio si veda lappendice A a pag. 63.Consideriamo ancora lespressione nelle correnti, visto che abbiamo gi

ben definito la matrice delle induttanze. Osserviamo che la dipendenza dallacoordinata meccanica localizzata nelle sottomatrici che legano statore e ro-tore, quindi esplicitando nellespressione della coppia le grandezze statorichee rotoriche ci aspettiamo una drastica semplificazione:

Ce =d

dm

{n

2

[(ifs)t (

ifr)t] [ Lss Msr(m)

Mtsr(m) Lrr

][ifsifr

]}=

=n

2

[(ifs)t (

ifr)t]

0

dMsr(m)

dmdMtsr(m)

dm0

[ifsifr

]=

=n

2

{(ifs)t dMsr(m)

dmifr +

(ifr)t dMtsr(m)

dmifs

}=

= n(ifs)t dMsr(m)

dmifr (1.9)

Septe

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3c


Per eventuali dubbi sullultimo passaggio si veda quanto detto a pag. 63nellappendice A.

Ecco quindi che abbiamo definito, nel caso di legame flussi-correnti linea-re, limportante relazione che lega la parte elettrica con la parte meccanica;ora la descrizione completa.

Insieme delle equazioni

Riassumiamo le sezioni precedenti mettendo assieme tutte le equazioniche descrivono il sistema:

vfs = Rs isf + psf , LKT statorevfr = Rr irf + prf , LKT rotorefs = Lss ifs +Msr ifr , flussi statorefr = Lrr ifr +Mtsr ifs , flussi rotore

m = m , equazioni meccanichem =

nJ (Ce Cm)

Ce = n(ifs)t dMsr

dmifr , legame parte elettrica-parte meccanica

(1.10)

Dove:

Rs =

Rs 0 00 Rs 00 0 Rs

Rr =

Rr 0 00 Rr 00 0 Rr

Lss =

Lss Mss MssMss Lss MssMss Mss Lss

Lrr =

Lrr Mrr MrrMrr Lrr MrrMrr Mrr Lrr

Msr = Msr

cosm cos

(m +

2pi3

)cos(m 2pi3

)cos(m 2pi3

)cosm cos

(m +

2pi3

)cos(m +

2pi3

)cos(m 2pi3

)cosm

Da queste equazioni otteniamo il modello costituito da otto equazioni scalarinelle otto variabili di stato8. Le variabili di stato elettriche saranno i flussi, ole correnti, o una forma mista di flussi e correnti tra loro indipendenti (rap-presentativa dei serbatoi di energia magnetica), mentre le variabili di statomeccaniche sono date dalla posizione angolare rotorica e dalla sua velocit(entrambe espresse in radianti elettrici).

8Alle sette variabili di stato del sottosistema conservativo (quello considerato per ilcalcolo della coppia elettromagnetica) si aggiunge unottava variabile che tiene contodellenergia immagazzinata dalle inerzie meccaniche (figura 1.4 a pag. 11).

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A queste equazioni si aggiungeranno poi le due relazioni circuitali rela-tive alle connessioni trifasi statoriche e rotoriche (finora abbiamo pensatoi sei avvolgimenti non connessi elettricamente), che ridurranno a quattro levariabili di stato elettriche.

Operare con queste equazioni piuttosto oneroso, poich esse sono forte-mente accoppiate tra loro (conseguenza diretta del fatto che i legami flussi-correnti presentano matrici dei coefficienti piene): il modello espresso nellin-sieme naturale delle variabili di stato elettriche non fornisce una rappre-sentazione matematicamente comoda del sistema e suggerisce unaltra sceltadelle variabili di stato.

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Macchina asincrona - 1.3. Trasformata delle equazioni 16 di 80

1.3 Trasformata delle equazioni

Un insieme delle variabili di stato di un sistema costituisce una base dellospazio di stato, linsieme dei punti corrispondenti agli stati del sistema, nelquale sono definite le funzioni di stato.

Applicando alla base di uno spazio una trasformazione lineare non sin-golare otteniamo unaltra base valida per quello spazio; questa operazioneequivale ad un cambiamento del sistema di riferimento1.

Ci proponiamo di scegliere un insieme di variabili di stato che semplifichiil modello, pi precisamente cerchiamo una trasformazione lineare non singo-lare che diagonalizzi, o almeno snellisca le matrici che accoppiano tra loro levariabili di stato naturali. Questo il motivo principale per cui si utilizzala trasformazione di Park, che qui scriviamo nella forma del terzo ordine efunzione di un generico parametro2:

T() =

2

3 cos cos

( 2pi

3

)cos( + 2pi

3

) sin sin( 2pi

3

) sin( + 2pi3

)12

12

12

(1.11)

Questa matrice, oltre ad essere (ovviamente) invertibile ortogonale (ve-di appendice A a pag. 62); avremo modo di soffermarci ancora su questaimportante propriet. Il nuovo insieme di variabili di stato avr un signifi-cato fisico meno intuitivo, ma come vedremo, proprio in virt delle notevolisemplificazioni, sar particolarmente rappresentativo.

La matrice di trasformazione che applicheremo allo spazio di stato laseguente:

T(s) 0 0 0...

......

...

0 T(r)...

...0 0

0 0 1 00 0 0 1

var.

stato

statore

var.

stato

rotore

mm

(1.12)

La trasformazione non tocca le variabili meccaniche, ed composta dadue sottomatrici corrispondenti a due trasformazioni di Park che agiscono in

1Si astraggono le propriet della geometria euclidea e si applicano a nuovi spazi,estendendone la portata ed il significato.

2Tale parametro ha un preciso significato: si veda la sezione relativa alla trasformatadi Park su assi rotanti nelle dispense del prof. Superti Furga.

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modo distinto sugli insiemi delle grandezze statoriche e rotoriche, dipendentida due diversi parametri arbitrari: s per la parte statorica e r per quellarotorica.

Applichiamo la trasformazione alle equazioni (1.10).

Trasformazione delle equazioni alle maglie

Le equazioni di statore e di rotore sono formalmente identiche, cambiasolo lindice delle grandezze, quindi i passaggi sono speculari; per completezzale riportiamo comunque entrambe.

Applichiamo la trasformazione:

T(s) {vfs = Rs is

f + psf}

T(r) {vfr = Rr ir

f + prf}

Per la propriet distributiva del prodotto matriciale:

T(s)vfs = T(s)Rs is

f +T(s) psf

T(r)vfr = T(r)Rr ir

f +T(r) prf

Una matrice unit non altera il prodotto:

T(s)vfs = T(s)Rs

[T1(s)T(s)

]

=I

ifs +T(s) pfs

T(r)vfr = T(r)Rr

[T1(r)T(r)

]

=I

ifr +T(r) pfr

Introducendo le grandezze trasformate:

vs =

vsdvsqvs0

= T(s) vfs vr =

vrdvrqvr0

= T(r) vfr

is =

isdisqis0

= T(s) ifs ir =

irdirqir0

= T(r) ifr (1.13)

s =

sdsqs0

= T(s) fs r =

rdrqr0

= T(r) fr

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Possiamo riscrivere le equazioni cos:

vs = T(s)RsT1(s)

is + T(s) p[T1(s)s

]vr = T(r)RrT

1(r)

ir + T(r) p[T1(r)r

]Le matrici delle resistenze, che sono matrici diagonali con elementi iden-

tici, rimangono invariate dopo la trasformazione.

La trasformazione di Park non altera le matrici coefficienti del tipo I:

T() I T1() =

=q

23

2

6

4

cos cos

2pi3

cos

+ 2pi3

sin sin 2pi3

sin + 2pi3

12

12

12

3

7

5

2

4

0 00 00 0

3

5

q

23

2

6

4

cos sin 12

cos

2pi3

sin 2pi3

12

cos

+ 2pi3

sin + 2pi3

12

3

7

5

=

=

2

4

0 00 00 0

3

5 = I

I termini sulla diagonale rimangono invariati per la (B.2) (appendice B a pag. 66), mentre i termini fuori diagonale sononulli sostanzialmente per la (B.1) (appendice B a pag. 65).

Sviluppando le derivate:

vs = Rs is +T(s)T1(s)

ps +[T(s) pT

1(s)

]s

vr = Rr ir +T(r)T1(r)

pr +[T(r) pT

1(r)

]r

termine mozionale

La derivata delle matrici di trasformazione d luogo a dei termini aggiun-tivi, detti mozionali perch causati dal moto degli assi di Park 3. Le matrici[T pT1] hanno una forma piuttosto particolare.

3Non ci soffermiamo sullinterpretazione e sul significato della trasformazione di Park.

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Vediamo la forma della matrice che moltiplica il flusso nei termini mozionali:

T() pT1()

= T()dT1

()

d =

=q

23

2

6

4

cos cos

2pi3

cos

+ 2pi3

sin sin 2pi3

sin + 2pi3

12

12

12

3

7

5

q

23

2

6

4

sin cos 12

sin 2pi3

cos 2pi3

12

sin + 2pi3

cos + 2pi3

12

3

7

5

=

=

2

4

0 1 01 0 00 0 0

3

5 = J

I termini non nulli sono generati da espressioni del tipo (B.2) (appendice B a pag. 66), mentre i termini nulli sonoconseguenza della (B.1) (appendice B a pag. 65).

In definitiva giungiamo alle equazioni:

vs = Rs is + ps + Js svr = Rr ir + pr + Jr r

Dove:

J =

0 1 01 0 00 0 0

s = s r = r

I parametri arbitrari s e r devono essere derivabili rispetto al tempo.Si scelto il simbolo J per indicare la matrice costante qui riportata, anchese interferisce con quello del momento dinerzia, per mantenere una corri-spondenza formale con le equazioni che scriveremo quando introdurremo ivettori spaziali.

Le leggi di Kirchhoff trasformate non sembrano affatto pi semplici, ab-biamo addirittura un termine in pi, eliminabile unicamente scegliendo se r costanti nel tempo.

Trasformazione dei legami flussi-correnti

considerando le equazioni costitutive che apprezziamo il vantaggio dellatrasformazione: vedremo come le matrici delle induttanze si semplifichinonotevolmente.

Applichiamo la trasformazione:

T(s) {fs = Lss i

fs +Msr i

fr

}T(r)

{fr = Lrr i

fr +M

tsr i

fs

}

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Per la propriet distributiva del prodotto matriciale:

T(s)fs = T(s) Lss i

fs +T(s)Msr i

fr

T(r)fr = T(r) Lrr i

fr +T(r)M

tsr i

fs

Una matrice unit non altera il prodotto:

T(s)fs = T(s) Lss

[T1(s)T(s)

]

=I

ifs +T(s)Msr

[T1(r)T(r)

]

=I

ifr

T(r)fr = T(r) Lrr

[T1(r)T(r)

]

=I

ifr +T(r)Mtsr

[T1(s)T(s)

]

=I

ifs

Sostituiamo i simboli che indicano le grandezze trasformate (1.3):

s = T(s) LssT1(s)

is +T(s)MsrT1(r)

ir

r = T(r) LrrT1(r)

ir +T(r)MtsrT

1(s)

is

Ora non resta che calcolare le matrici che moltiplicano le grandezze tra-sformate. Per quanto riguarda i prodotti che coinvolgono le due matricisimmetriche Lss e Lrr , essi danno come risultato delle matrici diagonali(appendice A a pag. 64).

La trasformazione di Park appositamente costruita per diagonalizzare le matrici simmetriche:

T() L T1() =

= 23

2

6

4

cos cos

2pi3

cos

+ 2pi3

sin sin 2pi3

sin + 2pi3

12

12

12

3

7

5

2

4

L M M

M L M

M M L

3

5

2

6

4

sin cos 12

sin 2pi3

cos 2pi3

12

sin + 2pi3

cos + 2pi3

12

3

7

5

=

=

2

4

LM 0 00 LM 00 0 L+ 2M

3

5

I termini non nulli sono dovuti ad espressioni del tipo (B.2) e (B.4) (appendice B a pag. 66), mentre i termini nulli sonoconseguenza della (B.1) (appendice B a pag. 65).

Gli altri prodotti matriciali sono un po pi complicati da calcolare; seil lettore volesse cimentarsi trover molto utile consultare lappendice B. Invirt dellortogonalit di T le due espressioni possono essere scritte:

T(s) Msr(m)Tt(r) T(r) Mtsr(m) Tt(s)

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Ricordando quanto detto nellappendice A a pag. 62:

T(s) Msr(m) Tt(r) =(T(r) Mtsr(m) Tt(s)

)tQuindi basta calcolare uno solo dei prodotti, perch le matrici risultanti sonouna trasposta dellaltra.

La trasformazione di Park appositamente costruita per semplificare matrici a simmetria ciclica:

T(s) Msr(m) Tt(r) =

=q

23

2

6

4

coss cos

s 2pi3

cos

s +2pi3

sins sin

s 2pi3 sins + 2pi3

12

12

12

3

7

5

Msr

2

4

cosm cos

m +2pi3

cos

m 2pi3

cos

m 2pi3

cosm cos

m +2pi3

cos

m +2pi3

cos

m 2pi3

cosm

3

5

q

23

2

6

4

sinr cosr 12

sinr 2pi3 cosr 2pi3

12

sinr + 2pi3 cosr + 2pi3

12

3

7

5

=

= 32Msr

2

4

cos(m + r s) sin(m + r s) 0sin(m + r s) cos(m + r s) 0

0 0 0

3

5

I termini nulli sono conseguenza della (B.1) (appendice B a pag. 65).

In definitiva i legami tra flussi e correnti trasformati sono:

s = Ls is + M ir

r = Lr ir + Mt is (1.14)

Dove

Ls =

Lss Mss 0 00 Lss Mss 0

0 0 Lss + 2Mss

Lr =

Lrr Mrr 0 00 Lrr Mrr 0

0 0 Lrr + 2Mrr

M = 32Msr


0 0 0

Osservando la forma delle matrici dei coefficienti trasformate possiamoapprezzare la grande semplificazione dei legami tra flussi e correnti trasfor-mati. La matrice M suggerisce una particolare scelta dei parametri arbitraris e r che consente addirittura di rendere laccoppiamento tra statore erotore indipendente dalla coordinata meccanica.

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Energia e forze nel nuovo spazio di stato

Vediamo cosa succede sostituendo nelle espressioni energetiche le gran-dezze trasformate:

W = xt y = [T ]t T = t[TtT

]

evidente come in virt dellortogonalit di T le energie (potenze) cal-colate usando le grandezze trasformate coincidono con quelle effettive: questa una bella propriet della trasformazione di Park.

Poich anche le variabili meccaniche non sono state toccate dalla tra-sformazione, ci aspettiamo che il legame tra coppia e grandezze elettricherimanga formalmente inalterato anche nel nuovo spazio di stato, ed infatti:

Ce = n(ifs)t dMsr(m)

dmifr =

= n(Tt is

)t d (TtM(m)T)dm

(Tt ir

)=

= n itsTTtdM(m)

dmTTt ir = n i

ts

dM(m)

dmir (1.15)

Data la forma particolare di M pu essere interessante provare a calcolarela precedente espressione:

Ce = nLM[isd isq is0

] sin(m + r s) cos(m + r s) 0cos(m + r s) sin(m + r s) 00 0 0

irdirqir0

= nLM[isd isq is0

] sin(m + r s)ird cos(m + r s)irqcos(m + r s)ird sin(m + r s)irq0

= nLM [cos(m + r s) (irdisq irqisd) sin(m + r s) (irdisd + irqisq)](1.16)

Possiamo osservare che la coppia indipendente dalla terza componentedelle grandezze trasformate.

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Insieme delle equazioni trasformate

Scriviamo linsieme delle equazioni trasformate in notazione matriciale:

vs = Rs is + ps + Js s , LKT statorevr = Rr ir + pr + Jr r , LKT rotores = Ls is + M ir , flussi statorer = Lr ir + M

t is , flussi rotore

m = m , equazioni meccanichem =

nJ (Ce Cm)

Ce = n its

dM(m)

dmir , legame parti elettrica-meccanica

(1.17)

Dove:

Rs =

Rs 0 00 Rs 00 0 Rs

Ls =

Ls 0 00 Ls 00 0 Ls0

Rr =

Rr 0 00 Rr 00 0 Rr

Lr =

Lr 0 00 Lr 00 0 Lr0

M = LM


0 0 0

J =

0 1 01 0 00 0 0

Ls = Lss MssLs0 = Lss + 2MssLr = Lrr MrrLr0 = Lrr + 2MrrLM =

32Msr

{s = sr = r

La sintesi della notazione matriciale molto comoda ma pu nasconderealcuni particolari interessanti; vale la pena di dare unocchiata alle equazionielettriche esplicitate in forma scalare. Quelle di statore sono:

vsd = Rs isd + psd s sqvsq = Rs isq + psq + s sdvs0 = Rs is0 + ps0

sd = Ls isd + LM cos(m + r s) ird LM sin(m + r s) irqsq = Ls isq + LM sin(m + r s) ird + LM cos(m + r s) irqs0 = Ls0 is0

(1.18)

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E quelle di rotore:

vrd = Rr ird + prd r rqvrq = Rr irq + prq + r rdvr0 = Rr ir0 + pr0

rd = Lr ird + LM cos(m + r s) isd + LM sin(m + r s) isqrq = Lr irq LM sin(m + r s) isd + LM cos(m + r s) isqr0 = Lr0 ir0

(1.19)Queste equazioni non contengono alcuna informazione sulla connessione

elettrica degli avvolgimenti statorici e rotorici, ed infatti in esse le sei variabilidi stato elettriche figurano indipendenti tra loro.

Le connessioni elettriche delle due terne di avvolgimenti introducono duelegami che riducono a quattro le variabili di stato elettriche indipendenti;vedremo ora come sia semplice tenere conto di questi legami con le grandezzetrasformate.

Osserviamo che le componenti con indice 0 , dette omopolari, sono semprenulle nei sistemi a tre fili: per la struttura della matrice di trasformazione,esse sono proporzionali alla somma delle tre grandezze originarie (le ternetrifase di correnti, tensioni, flussi).

Osservando le equazioni si pu notare come le componenti omopolarisiano disaccoppiate tra loro e dalle altre componenti, quindi nei rari casi incui siano presenti esse non interagiscono n tra loro n con il resto del sistema;inoltre, come abbiamo visto (pag. 22), la coppia non influenzata dalla loropresenza.

Queste considerazioni portano a focalizzare lattenzione sulle altre duecomponenti.

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Macchina asincrona - 1.4. Vettori spaziali 25 di 80

1.4 Vettori spaziali

Otteniamo una rappresentazione particolarmente significativa delle equa-zioni trasformate definendo delle variabili complesse che sintetizzano in sle prime due componenti delle grandezze trasformate, incorporando quinditutta linformazione della componente trifase pura. Queste variabili com-plesse sono chiamate vettori spaziali ; essi si costruiscono utilizzando la primacomponente della grandezza trasformata (d) come parte reale e la secondacomponente (q) come parte immaginaria :

vs = vsd + jvsq vr = vrd + jvrq

is = isd + jisq ir = ird + jirq (1.20)

s = sd + jsq r = rd + jrq

Considerando le (1.18) e (1.19), moltiplicando per lunit immaginaria jle equazioni delle componenti (q) e sommandole alle equazioni nelle compo-nenti (d) otteniamo la seguente forma sintetica ed espressiva delle equazionielettriche:

vs = Rs is + ps + js svr = Rr ir + pr + jr rs = Ls is + LMe

j(m+rs) irr = Lr ir + LMe

j(m+rs) is

vs0 = Rs is0 + ps0vr0 = Rr ir0 + pr0s0 = Ls0 is0r0 = Lr0 ir0

(1.21)

La rappresentazione nei vettori spaziali ha numerosi vantaggi; possiamocominciare ad apprezzarne la praticit invertendo il legame flussi-correnti.

Inversione del legame flussi-correnti

Per poter scegliere linsieme di variabili di stato nella scrittura dei mo-delli necessario manipolare le relazioni flussi-correnti. Se questo avevaun onere computazionale scoraggiante nelle grandezze di fase (si riguardila (1.3) a pag. 9 per rabbrividire), nei vettori spaziali abbiamo la sempliceespressione:

sr

=

Ls LMej(m+rs)LMe

j(m+rs) Lr

isir

(1.22)

Volendo adottare i flussi come variabili di stato basta invertire la matricereale 2 2 , operazione che si svolge in pochi secondi (in proposito si veda

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lappendice A a pag. 61). La matrice invertibile se il suo determinante non nullo; calcoliamolo:

Ls LMej(m+rs)

LMej(m+rs) Lr

= LsLrL2M =(1 L

2M

LsLr

)Ls Lr = Lks Lr

Lks

Abbiamo introdotto per comodit di scrittura il nuovo coefficiente Lks .In effetti lespressione (1.22) ricorda da vicino quella di un mutuo indut-

tore (vedi appendice C), e proprio in analogia con essi definiamo le quantit(vedi le equazioni (C.1) a pag. 70 ):

k =

L2M

LsLr(coefficiente di accoppiamento)

= 1 k2 (coefficiente di dispersione)Lks = Ls (induttanza di corto circuito lato statore)

La matrice non invertibile solo nel caso di accoppiamento perfetto,condizione irrealizzabile. Scriviamo quindi senza paura le relazioni invertite:

isir

= L1ks

1 LMLr

ej(m+rs)

LMLr

ej(m+rs)Ls

Lr

sr

(1.23)

Non certo difficile manipolare questo semplice sistema di equazioni peravere forme miste; ad esempio scegliendo di esprimere le relazioni in funzionedelle grandezze di statore:

rir

=

Lr

LMej(m+rs) LksLr

LMej(m+rs)

1

LMej(m+rs) Ls

LMej(m+rs)

sis

(1.24)

Oppure in funzione delle correnti di statore e dei flussi di rotore:

sir

=

LksLM

Lrej(m+rs)

LMLr

ej(m+rs)1

Lr

isr

(1.25)

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Quei fastidiosi esponenziali, che appaiono nei coefficienti che legano sta-tore e rotore, tengono conto del moto relativo tra gli assi di trasformazione.Scegliendo di trasformare rispetto ad assi aventi moto relativo nullo essi di-ventano unitari e le relazioni flussi-correnti nei vettori spaziali hanno la stessaforma delle relazioni di un mutuo induttore (figura D.3 a pag. 73); questo dun senso alle quantit precedentemente introdotte.

Potenza e vettori spaziali

Come diretta conseguenza di quanto visto nella sezionia pag. 22 la potenza data da:

p =[vfa v

fb v

fc

] ifaifbifc

= [vd vq v0]

idiqi0

Introdotti i vettori spaziali possiamo esprimere la potenza istantaneacome:

p = vdid + vqiq + v0i0 = e{v i}+ v0i0Il primo termine, dato dalla parte reale del prodotto tra il vettore spaziale

tensione ed il complesso coniugato del vettore spaziale corrente, chiamatopotenza reale di Park. Il secondo termine chiamato potenza omopolare ed sempre nullo in sistemi a tre fili.

Si definisce potenza complessa di Park lespressione:

a = (vdid + vqiq) + j (vqid vdiq) = v i (1.26)Non a caso questa definizione ricorda la potenza apparente definita in

regime sinusoidale: lo sviluppo in serie della potenza complessa di Park inregime periodico dato da:

a =

+k=

V kIk +

+k,h=k 6=h

V kIh + ej(kh)t

Mediando sul periodo e considerando una terna sinusoidale di sequenzadiretta otteniamo proprio la definizione di potenza apparente.

Coppia e vettori spaziali

Anche la coppia ha unespressione molto comoda nei vettori spaziali.Riprendiamo lespressione (1.16):

Ce = nLM [cos(m + r s) (irdisq irqisd) sin(m + r s) (irdisd + irqisq)]

Septe

mber

16, 2

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doc r

evisio

n: 0.4

3c


Riconosciamo nella nostra espressione la parte immaginaria del prodottodei due numeri complessi1:

Ce = nLM m{ej(m+rs) [(irdisd + irqisd) + j (irdisq irqisq)]

}Allo stesso modo riconosciamo nel secondo fattore un altro prodotto di

numeri complessi, che riconosciamo prontamente (vedi le (1.20)):

Ce = nLM m{ej(m+rs) [(isd + jisq) (ird jirq)]

}= nLM m

{is e

j(m+rs) ir}

(1.27)

Tenendo conto dei legami tra flussi e correnti (equazioni(1.22), (1.23),(1.24) e (1.25)) possibile esprimere la coppia in funzione delle diversegrandezze2:

Ce = nLM m{is e

j(m+rs) ir}

= n m{is e

j(m+rs) s

}= n

LM

Lrm{is e

j(m+rs) r

}= n

LM

LksLrm{s e

j(m+rs) r

}= n

LM

Lsm{s e

j(m+rs) ir}

= n m{r e

j(m+rs) ir}

(1.28)

1Il prodotto di due numeri complessi ha la forma:

(a+ jb) (c+ jd) = (ac bd) + j (ad+ bc)

2Pu essere utile ricordare che:

m{a b} = m{a b}

Septe

mber

16, 2

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doc r

evisio

n: 0.4

3c

Macchina asincrona - 1.5. Scelta degli assi di trasformazione 29 di 80

1.5 Scelta degli assi di trasformazione

Caratterizziamo ora le equazioni elettriche ed elettromeccaniche sceglien-do i parametri arbitrari che abbiamo introdotto con la trasformazione distato, gli angoli s e r . Lunico vincolo di scelta che siano funzioniderivabili rispetto al tempo.

Come gi anticipato una scelta assumerli costanti; in tal modo elimi-niamo i termini mozionali nelle leggi di Kirchhoff trasformate. Una possibi-lit ancora pi interessante sceglierli in modo da annullare la dipendenzadallangolo meccanico dellaccoppiamento tra statore e rotore.

Trasformazione su assi solidali

Riscriviamo le equazioni nei vettori spaziali (1.21) e (1.27) ponendo:{s = 0r = 0

Questo equivale a trasformare le grandezze di statore su assi solidali adesso, quindi fissi; analogamente le grandezze di rotore saranno trasformaterispetto ad assi solidali ad esso, quindi rotanti con velocit m . Le equazionidiventano:

vs = Rs is + psvr = Rr ir + prs = Ls is + LMe

jm irr = Lr ir + LMe

jm is

Ce = nLM m{is e

jm ir}

(1.29)

Laccoppiamento tra statore e rotore dipende dalla coordinata meccanica.Questa scelta non verr pi presa in considerazione.

Trasformazione su assi coincidenti

Scegliamo i parametri in modo da annullare il termine (m + r s) ,il che equivale a trasformare statore e rotore rispetto ad una stessa coppiadi assi. Ora abbiamo un solo grado di libert nella scelta degli assi di tra-sformazione; comodo identificare questo questo con s . Per la linearitdelloperatore derivata:

m + r s = 0 r = (s m)

Septe

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doc r

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n: 0.4

3c


Le equazioni diventano:

vs = Rs is + ps + js svr = Rr ir + pr + j (s m) rs = Ls is + LM irr = Lr ir + LM is

Ce = nLM m{is ir

}(1.30)

Il legame flussi-correnti formalmente simile a quello di un mutuo indut-tore (appendice C); si introducono le quantit:

k =

L2M

LsLr(coefficiente di accoppiamento)

= 1 k2 (coefficiente di dispersione)Lks = Ls (induttanza di corto circuito lato statore)

Lkr = Lr (induttanza di corto circuito lato rotore) (1.31)

s0 =Ls

Rs(costante di tempo statorica a vuoto)

scc =Lks

Rs(costante di tempo statorica di corto circuito)

r0 =Lr

Rr(costante di tempo rotorica a vuoto)

rcc =Lkr

Rr(costante di tempo rotorica di corto circuito) (1.32)

A proposito delle costanti di tempo pu essere utile leggere lappendice Ca pag. 71.

La scelta degli assi di trasformazione arbitraria, e deve semplificare ilpi possibile il modello. ovvio che in genere sia comodo scegliere assi lacui velocit sia nota a priori, ed infatti ci che faremo. da osservare chenel caso della macchina sincrona sar pi comodo, per ragioni strutturali,scegliere degli assi di trasformazione solidali al rotore, quindi la cui posizione variabile di stato; questo un motivo per cui si avranno modelli di ordinemaggiore (non sar pi possibile ignorare la posizione rotorica, come facciamoora).

Scegliendo di trasformare rispetto ad assi solidali allo statore (assi fissi)porremo: {

s = 0 s = 0r = m r = m (1.33)

Septe

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n: 0.4

3c


Altrimenti, trasformando rispetto ad assi solidali al campo magneticorotante (assi sincroni), chiamando e la posizione e la velocit del camporotante (di norma note perch riguardano lalimentazione), porremo:{

s = s = r = m r = m = g (1.34)

Dove abbiamo introdotto lo scorrimento g = m

.

Septe

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doc r

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n: 0.4

3c

Macchina asincrona - 1.6. Circuiti equivalenti 32 di 80

1.6 Circuiti equivalenti

Gli elettrotecnici usano rappresentare graficamente le equazioni elettri-che mediante schemi di bipoli interconnessi. Questo tipo di rappresentazio-ne, legando lastrazione matematica alla realt fisica, fornisce una visione diinsieme del sistema elettrico di immediata lettura, suggerendo le modalitoperative per lidentificazione dei parametri del modello.

Circuito equivalente su assi fissi

Consideriamo le equazioni nei vettori spaziali trasformate rispetto assifissi (le (1.30) con s = 0 , r = m ):

vs = Rs is + psvr = Rr ir + pr jm r

s = Ls is + LM irr = Lr ir + LM is

(1.35)

Per uno studente di ingegneria elettrica non difficile verificare in unasola occhiata che il circuito elettrico in figura 1.5 una rappresentazioneequivalente delle (1.35): il legame tra flussi e correnti quello di un mutuoinduttore, connesso alle maglie descritte dalle equazioni di Kirchhoff alletensioni.

Rsis

Ls Lr

LM

Rr

jmr

ir

ps prvs vr

Figura 1.5: Circuito equivalente modello su assi fissi

Il circuito in figura 1.5 descrive completamente (dal punto di vista elettri-co), nelle approssimazioni viste, la nostra complicata macchina trifase: pro-

Septe

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n: 0.4

3c


prio osservando la sua semplicit che possiamo renderci conto della capacitrappresentativa dei vettori spaziali.

Possiamo dare al circuito equivalente una forma pi comoda in vista dellamisura dei parametri del sistema. Il mutuo induttore pu essere sostituitoda un sistema equivalente di induttori1 (figura 1.6).

is Rs Ls LM Lr LM

LM

Rr

jmr

ir

vs vr

Figura 1.6: Configurazione a T

Poich raramente si ha la necessit di conoscere le effettive grandezze dirotore, possibile semplificare il circuito equivalente riducendo il numero diparametri che lo identificano.

Inseriamo un trasformatore ideale tra gli induttori della configurazione aT nello stesso modo del piccolo esercizio svolto nellappendice D, in figura D.6a pag. 75. Il calcolo dei parametri circuitali affinch il nuovo circuito siaequivalente alloriginario non particolarmente difficoltoso; i parametri alsecondario del trasformatore vengono spostati al primario moltiplicandoli peril rapporto di trasformazione al quadrato. Cos facendo otteniamo il circuitoin figura 1.7.

Il grado di libert introdotto, corrispondente alla scelta del rapporto ditrasformazione, permette di annullare un parametro circuitale e quindi diottenere un circuito equivalente pi semplice, a patto di non essere interessatialle effettive grandezze elettriche rotoriche (se il rotore a gabbia N non nemmeno misurabile).

Sono due le scelte interessanti del rapporto di trasformazione, ciascu-na delle quali annulla una induttanza serie. Ponendo N = Ls

LMottenia-

mo il circuito equivalente a quattro parametri con dispersione a valle (figu-

1una veloce lettura delle appendici C e D pu essere utile.

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n: 0.4

3c


RsisLs NLM

NLM

N 2Lr NLM N 2RrjmNr

N

ir

N

vs vrNvr

Figura 1.7: Un grado di libert in pi nel circuito equivalente

ra 1.8), mentre ponendo N = LMLr

otteniamo il circuito equivalente a quattroparametri con dispersione a monte (figura 1.9).

Una utile regola del pollice: i circuiti equivalenti a quattro parametri (e leequazioni associate ad essi) si ottengono dal circuito originario a cinque para-metri con le rispettive posizioni LM = Ls e LM = Lr (tenendo ben presenteche la resistenza e le grandezze rotoriche sono diverse per ciascun circuito);i circuiti semplificati possono quindi essere visti come casi particolari delcircuito originario.

I modelli basati sul circuito con dispersione a monte possono essere diret-tamente derivati da quelli basati su quelli con dispersione a valle attraversole relazioni:

|r ||r|

=|ir||ir |

= k2RrRr

= k4 (1.36)

Septe

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n: 0.4

3c


Rsis

Ls

Lkr

L2sL2

M

Rrjm

Ls

LMr

Ls

LM

LM

Lsir

vs vrLs

LMvr

(a) Formule

Rsis

Ls

Lkr Rr

jm

r

i

r

vs v

r

(b) Simboli

Figura 1.8: Circuito equivalente a quattro parametri con dispersione a valle

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RsisLks

L2M

Lr

L2M

L2rRr

jmLM

Lrr

LM

Lr

Lr

LMir

vs vrLM

Lrvr

(a) Formule

RsisLks

Lr

Rr

jm

r

i

r

vs v

r

(b) Simboli

Figura 1.9: Circuito equivalente a quattro parametri con dispersione a monte

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3c


Saturazione e perdite nel ferro

Ignorare completamente gli effetti non-lineari e dissipativi del materialeferromagnetico costituisce unapprossimazione spesso troppo grossolana permolte applicazioni.

Anche se il modello a cui siamo pervenuti basato su queste assunzioni, comunque possibile correggere almeno in parte questi gravi limiti, modifi-cando a posteriori in modo opportuno il modello stesso2. Per fare ci ci ser-viremo della rappresentazione circuitale pocanzi descritta, avvantaggiandocidella sua immediatezza.

Partendo quindi dai risultati gi conseguiti cerchiamo di ridefinire la partemagnetica, ossia il quadripolo evidenziato in figura 1.10.

Rs

Sistema

magnetico

Rr

jmr

is ir

vs vr

Figura 1.10: Parte magnetica da ridefinire

Per semplicit dora in poi considereremo il circuito con tensione di rotorenulla (rotore cortocircuitato), condizione che peraltro rappresenta la maggio-ranza dei casi; inoltre senza alcuna velleit di rigore ci dimenticheremo deltermine mozionale rotorico (rotore bloccato), salvo poi aggiungerlo, con unacerta sfrontatezza, alla fine del ragionamento. Queste scelte sono motivatedalla volont di dare risalto alle linee essenziali del percorso che porta a scri-vere circuiti equivalenti della stessa forma di quelli gi visti nella precedentesottosezione, senza complicare troppo le cose.

2Operazione che pu essere paragonata a quella di riadattare il vestito di un ragazzo aduna persona adulta, aggiungendo in qualche modo della stoffa; questo modo di procederenon affatto ridicolo in ambito ingegneristico, evitando la spesa (spesso inutile) di unvestito su misura.

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3c


Per ridefinire la parte magnetica necessario descrivere il campo magneti-co allinterno della macchina. Anche ragionando in termini di vettori spaziali lecito pensare che il flusso generato da una forza magnetomotrice (stato-rica o rotorica che sia) dopo aver attraversato il nucleo ferromagnetico (nonlineare) in parte si richiuda in aria e in parte passi il traferro coinvolgendolaltro avvolgimento.

Tenuto conto di queste considerazioni possibile, sotto opportune ipote-si3, modellizzare il sistema magnetico con il circuito in figura 1.11.

M s M r

r

RsFe

s

RrFe

Rsd

d1

Rrd

d2

RTRM

M

Figura 1.11: Rete magnetica statore-rotore

immediato il passaggio al circuito elettrico duale in figura 1.12, chepu essere semplificato notevolmente attraverso una trasformazione stella-triangolo come visualizzato in figura 1.13.

LsFe

Lsd

LTR

Lrd

LrFe

Figura 1.12: Circuito elettrico duale

3In proposito si veda la nota a pi di pagina nellappendice C a pag. 68.

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3c


Figura 1.13: Elaborazione del circuito elettrico duale

Pur trascurando listeresi magnetica bene tenere conto, almeno dal pun-to di vista energetico, delle perdite nel ferro. Data la complessit dei feno-meni dissipativi nel materiale ferromagnetico, la valutazione delle perdite nelferro si basa solitamente su osservazioni sperimentali; usualmente si tieneconto di esse aggiungendo dei termini dissipativi la cui potenza assorbita proporzionale alla forza elettromotrice dellavvolgimento4.

Alla luce di quanto visto dovrebbe essere chiaro il percorso che porta allascrittura del circuito in figura 1.14(a), il quale tiene conto, seppur grossola-namente, della non-linearit del materiale ferromagnetico e delle perdite nelferro.

da notare che le perdite nel ferro rotoriche, costituite in parte dal-leffetto joule delle correnti parassite indotte nel materiale ferromagnetico,saranno soggette, come le perdite joule nelle resistenze rotoriche, al termi-ne mozionale: questo giustifica laccorpamento della conduttanza rotorica edella resistenza di rotore in un unico parametro dissipativo rotorico, come infigura 1.14(b).

Successivamente completiamo il circuito aggiungendo il termine moziona-le, ottenendo il circuito definitivo in figura 1.14(c).

Il circuito a cui siamo pervenuti ha la stessa forma5, a meno della condut-tanza del ferro statorica, del circuito originario in figura 1.6; di conseguenzai parametri circuitali hanno il medesimo significato.

4La potenza persa in un volume V di materiale ferromagnetico diviso in lamierini dispessore s , sottoposto ad uninduzione sinusoidale di valor efficace B e frequenza f , data dalla formula empirica:

PFe = Pist + Pcp = k1VfB n + k2V (sfB)2 , n = 1, 6 2

Dove k1 e k1 sono coefficienti dipendenti dalla natura del materiale. Valutando la forzaelettromotrice con E = kfB scriviamo:

PFe GE2

Dove evidentemente G ha le dimensioni di una conduttanza.5Salvo un banale passaggio triangolo-stella.

Septe

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n: 0.4

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Rs

GsFe L1

L3

L2 GrFe

Rris

vs

(a) Sostituzione del quadripolo magnetico

Rs

GsFe L1

L3

L2

RRis

vs

(b) Accorpamento della conduttanza e resistenza di rotore

Rs

GFe L1

L3

L2

RR

jmr

is

vs

(c) Completamento con il termine mozionale

Figura 1.14: Circuito equivalente con saturazione e perdite nel ferro

Septe

mber

16, 2

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doc r

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n: 0.4

3c


Analogamente a come si fatto nella precedente sottosezione, possibileridursi a circuiti con un numero ridotto di parametri. Lassenza del terminemozionale permette di effettuare questo passaggio in modo pi semplice,basandosi sullequivalenza dei bipoli in figura 1.15.

b

b

La1

La2

Ra

b

b

Lb1

Lb2 Rb

Figura 1.15: Due bipoli

Lequivalenza tra i due bipoli in figura 1.15 si esprime con lequazione:

pLa1 + (Ra pLa2) = pLb1 (Rb + pLb2)

Dalla quale, uguagliando i coefficienti di p :

Rb =

(1 +

La1

La2

)2Ra

Lb1 = La1 + La2

Lb2 =

(1 +

La1

La2

)La1

Ra =

(1 +

Lb2

Lb1

)2Rb

La1 =Lb1Lb2

Lb1 + Lb2

La2 =

(1 +

Lb2

Lb1

)1Lb1

(1.37)

evidente come si giunga al circuito equivalente con dispersione a valle(in figura 1.16(a), completato con il termine mozionale) sostituendo il bipoloevidenziato in figura 1.14(b) con il suo equivalente e successivamente facendoil parallelo delle due induttanze trasversali. Guardando le (1.37) si compren-de perch questo passaggio sia sensato solo ammettendo che L2 sia costante:in caso contrario la non-linearit si diffonderebbe su tutti gli altri parametri,complicando il modello anzich semplificarlo.

Un secondo ulteriore passaggio, sempre basato sullequivalenza dei bipo-li in figura 1.15, porta al circuito equivalente con dispersione a monte (infigura 1.16(b), completato con il termine mozionale).

Septe

mber

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n: 0.4

3c


Questa volta necessario ignorare anche la non-linearit statorica, al-trimenti essa si diffonderebbe sui tre parametri finali. Questo circuito sidistingue da quello in figura 1.9 solo per la presenza delle conduttanze delferro (quella rotorica accorpata con la resistenza di rotore).

Rs

GsFe Ls

Lkr RR

jmr

is ir

vs

(a) dispersione a valle

Rs

GsFe

Lks

Lr

RR

jmr

is ir

vs

(b) dispersione a monte

Figura 1.16: Circuiti equivalenti ridotti (con saturazione e perdite nel ferro),completati con il termine mozionale

Septe

mber

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doc r

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n: 0.4

3c


Potenze

Riferendoci al modello su assi fissi (1.35) (in esso non figurano ancorale perdite nel ferro) moltiplichiamo le equazioni di statore e rotore per ilcomplesso coniugato del rispettivo vettore spaziale della corrente:

vs is = Rs i

2s + ps is

vr ir = Rr i2r + pr ir jm r ir

I termini nelle equazioni che otteniamo sono potenze complesse di Park(1.26); la parte reale di queste equazioni rappresenta il bilancio delle potenzeistantanee della macchina.

Osservando lequazione statorica non difficile individuare la potenzaelettrica in ingresso dalla rete elettrica, la potenza persa per effetto Joule(ovviamente sempre reale) e la potenza in ingresso al mutuo induttore.

Nella equazione rotorica la potenza scambiata attraverso le porte elettri-che posta a zero pensando gli avvolgimenti in corto circuito; al secondomembro si riconosce la potenza persa negli avvolgimenti e la potenza chearriva dal mutuo induttore, chiamata potenza trasmessa perch fluente dallostatore al rotore.

Lultimo termine merita una certa attenzione; la sua parte reale :

e{ jm r ir} = m m{r ir} 6= mCen (1.38)

evidente che la potenza istantanea legata a questo termine coincide conla potenza meccanica che la macchina eroga sullasse.

6Ricordando le relazioni (1.28), in particolare:

Ce = n m{r ir

}

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n: 0.4

3c

Macchina asincrona - 1.7. Modelli in forma normale 44 di 80

1.7 Modelli in forma normale

Riscriviamo per comodit linsieme completo delle equazioni che descri-vono il sistema. Per la parte elettrica scegliamo le equazioni nei vettori spa-ziali trasformate su assi coincidenti (1.30), dimenticandoci delle componentiomopolari.

vs = Rs is + ps + js svr = Rr ir + pr + jr rs = Ls is + LM irr = Lr ir + LM is

Ce = nLM m{is ir

}m = mm =

nJ (Ce Cm)

(1.39)

Ci proponiamo ora di scegliere un insieme di variabili di stato e por-re le equazioni in forma normale, pronte per essere integrate e fornire coslevoluzione del sistema noti gli ingressi e lo stato iniziale.

Pensando ad un funzionamento da motore gli ingressi sono rappresentatidalla tensione di alimentazione vs ( vr di norma nulla) e dalla coppiaresistente dellutilizzatore meccanico, contenuta nel termine Cm .

Per quanto riguarda lordine del sistema, abbiamo quattro variabili di sta-to elettriche e due meccaniche, quindi un sistema del sesto ordine. Tenendoben presente che nessuna elucubrazione pu ridurre lordine di un siste-ma12, notiamo che langolo meccanico m , pur essendo una variabile distato meccanica, utile solo per determinare r (equazione (1.34) a pag. 31), il quale a sua volta serve nel caso si voglia calcolare le grandezze rotoricheeffettive mediante antitrasformazione (caso piuttosto raro, visto che spessonon si nemmeno interessati a conoscere quelle trasformate).

Nei modelli che seguono ignoriamo la parte del sistema descritta dallaposizione meccanica m e quindi essi saranno del quinto ordine.

2Ercole Bottani

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n: 0.4

3c


Modello del quinto ordine nei flussi

Scegliamo i flussi come variabili di stato. Sostituendo nelle (1.39) i legamiflussi-correnti invertiti (equazione (1.23) a pag. 26 ) otteniamo:

p s = vs (Rs

Lks+ js

)s +

RsLM

LksLrr

p r = vr [RrLs

LksLr+ j (s m)

]r +

RrLM

LksLrs

Ce = nLM

LksLrm{s r

}m =

nJ (Ce Cm)

(1.40)

Riordinando in forma matriciale le equazioni elettriche e dando un nomeai coefficienti:

p

sr

=

( + js)

[ + j (s m)]

sr

+

vsvr

Ce = nLM

LksLrm{s r

}m =

nJ (Ce Cm)

(1.41)

Con

=Rs

Lks= 1scc =

RsLM

LksLr=

LM

Lr

=RrLs

LksLr=

Rr

Lkr= 1rcc =

RrLM

LksLr=

LM

Ls (1.42)

Ricordando le definizioni (1.31) e (1.32) a pag. 30.Il calcolo dei coefficienti , , e si semplifica notevolmente riferen-

dosi ai circuiti equivalenti a quattro parametri (di cui si parlato nellintorno

Septe

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n: 0.4

3c


della pag. 34):

circuito condispersionea valle(figura 1.8)

=Rs

Lks

=Rs

Lkr

= =1

rcc

circuito condispersionea monte(figura 1.9)

= =Rs

Lks

=1

rcc

=k2

rcc

Modello nelle correnti di statore e nei flussi di rotore

Scegliamo come variabili di stato le correnti di statore ed i flussi di rotore.Protagoniste in queste operazioni sono le relazioni flussi-correnti trattate3 apag. 25.

In questo caso sar molto utile la prima equazione delle (1.25), che legail flusso di statore alla corrente di statore ed al flusso di rotore:

s = Lks is +LM

Lrr (1.43)

Inoltre derivando rispetto il tempo la prima delle (1.23) otteniamo unbuon punto di inizio per scrivere lequazione di stato relativa alla corrente distatore:

p is =1

Lksp s

LM

LksLrp r

In essa sostituiamo le equazioni del modello nei flussi, ossia le prime duedelle (1.40), e successivamente sostituiamo il flusso di statore con lespressione

3Tenendo presente che grazie alla scelta degli assi di trasformazione ora :

m + r s = 0

Septe

mber

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doc r

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n: 0.4

3c


(1.43), ottendendo:

p is =1

Lks

vs

(Rs

Lks+ js

)(Lksis +

LM

Lrr

)

s(1.43)

+RsLM

LksLrr

ps

+

LMLksLr

vr

(RrLs

LksLr+ js jm

)r +

RrLM

LksLr

(Lksis +

LM

Lrr

)

s(1.43)

pr

Per quanto riguarda lequazione nel flusso di rotore basta sostituire alflusso di statore nella seconda delle (1.40) lespressione (1.43).

Infine otteniamo:

p is =1

Lksvs LM

LksLrvr

{1

Lks

[Rs +

(LM

Lr

)2Rr

]+ js

}is +

LM

LksLr

(Rr

Lr jm

)r

p r = vr [Rr

Lr+ j (s m)

]r +

RrLM

Lris

Ce = nLM

Lrm{is r

}

m =n

J (Ce Cm)

Riordinando in forma matriciale le equazioni elettriche:

p

[is

r

]=

(

1

Lks

"

Rs +

LM

Lr

2

Rr

#

+ js

)

LM

LksLr

Rr

Lr jm

RrLM

Lr

Rr

Lr+ j (s m)

[ is

r

]+

[1

Lks LMLksLr

0 1

] [vs

vr

]

Ce = nLM

Lrm{is r

}

m =n

J (Ce Cm)

Septe

mber

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005

doc r

evisio

n: 0.4

3c


Pu essere comodo introdurre le seguenti definizioni:

Ek =LM

Lr

[vr

(Rr

Lr jm

)r

]Rk = Rs +

(LM

Lr

)2Rr

Il significato di queste grandezze intuibile riferendoci al circuito equivalentecon dispersione a monte (figura 1.9 a pag. 36): Rk rappresenta la resistenzadi corto-circuito lato statore, mentre Ek pu essere riscritto anche cos:

Ek =LM

Lrvr + jm

(LM

Lrr

)(LM

Lr

)2Rr

(Lr

LMir + is

)

Ek ha qualcosa a che vedere con la forza elettromotrice lato statore dicorto-circuito.

Introducendo queste definizioni le equazioni elettriche diventano:

p is =1

Lks

(vs Rk is Ek

) js isp r =

Lr

LM

[Ek + (Rk Rs) is

] js rCome si pu notare il modello in forma mista pi complicato di quello

nei flussi; il suo utilizzo giustificato dal fatto che le correnti si statore sonotra le grandezze di maggior interesse nelle simulazioni.

Septe

mber

16, 2

005

doc r

evisio

n: 0.4

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Macchina asincrona - 1.8. Applicazioni 49 di 80

1.8 Applicazioni

In questa sezione adoperiamo la descrizione matematica a cui siamo per-venuti per prevedere il comportamento della macchina.

Ci accorgiamo che, pur trascurando la non-linearit del ferro, questa de-scrizione intrinsecamente non-lineare poich in alcuni coefficienti delle va-riabili elettriche compare la variabile di stato meccanica m ; le soluzioni delmodello potranno quindi essere determinate unicamente per via numerica.

Per avere risultati generali non si pu fare altro che linearizzare le equa-zioni per renderle risolvibili analiticamente; nonostante sottenda ulteriori ap-prossimazioni, questa operazione comunque di grande importanza poichoffre una visione globale del sistema, permettendo di riconoscerne gli aspettifondamentali fornendo un metro di lettura dei comportamenti del sistemareale1.

La lettura ed il confronto delle soluzioni numeriche con le soluzioni appros-simate costituisce un buon metodo per la comprensione del funzionamentodel sistema, ed lo scopo principale delle esercitazioni di questa materia.

Il sistema linearizzato studiabile con il potente strumento della trasfor-mata di Laplace, che consente di rappresentare il sistema come interconnes-sione di blocchi algebrici; questo studio fornisce inoltre utili criteri di stabilitin piccolo e getta le basi del progetto di sistemi di regolazione.

possibile eliminare le non-linearit del sistema considerando piccolevariazioni dello stato attorno ad uno stato di equilibrio.

Un modo pi radicale per rendere lineare il sistema ipotizzare che ladinamica della parte meccanica sia cos lenta rispetto quella della parte elet-trica da poter essere trascurata; questa approssimazione tanto pi validaquanto pi sono elevate le inerzie meccaniche:

m =n

J (Ce Cm) 0 , per J 0

In questo modo la velocit meccanica costante ed il sistema lineare.

Regime sinusoidale

Consideriamo una macchina asincrona a regime, alimentata con una ternasinusoidale simmetrica diretta di tensioni di valor efficace Vfs e pulsazione

1Astrarre le propriet fondamentali della realt rappresentandole con costruzioni ideali il processo sul quale si basa la conoscenza; ad esempio la geometria tratta oggetti ideali,non esistenti, che possiamo vedere come approssimazioni della realt.

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. Tale terna di tensioni statoriche sintetizzata dal vettore spaziale:

vs = V s ej(s)t ,

V s = 3VfsPer generalit stata considerata una trasformazione rispetto assi di velo-

cit s . La fase del numero complesso costante V s dipende dalle condizioniiniziali (in altre parole arbitraria).

Si osservino le equazioni alle maglie nei vettori spaziali trasformate ri-spetto assi a velocit s (rotore in corto-circuito):{

vs = Rs is + ps + js s0 = Rr ir + pr + j (s m) r

Trascurando la dinamica della parte meccanica il sistema lineare e, se levariabili di stato di regime avranno la stessa forma degli ingressi. Ad ingressosinusoidale avremo a regime flussi e correnti sinusoidali; matematicamentequesto si esprime con:{

V s ej(s)t = Rs Is ej(s)t + p

[s e

j(s)t] + js s ej(s)t0 = Rr Ir + p

[r e

j(s)t] + j (s m) r ej(s)tDove i simboli maiuscoli sono numeri complessi costanti. Calcolando le

derivate e semplificando lesponenziale otteniamo:{V s = Rs Is + j ( s) s + js s0 = Rr Ir + j ( s) r + j (s m) r

Ed infine, semplificando i termini simili:{V s = Rs Is + j s0 = Rr Ir + j ( m) r (1.44)

Questi passaggi evidenziano come le equazioni di regime non dipendanodagli assi di trasformazione. Allo stesso modo, considerando le equazioni incui figurano i flussi come variabili di stato:{

p s = ( + js) s + r + vsp r = s [ + j (s m)] r

In regime sinusoidale diventano:{ ( + j) s + r + V s = 0s [ + j ( m)] r = 0 (1.45)

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La seconda delle (1.44) stabilisce un legame diretto tra flusso e corrente terminemozionale

rotorico

rotorica; in particolare si ha:

r = jRr

( m) Ir2

= jRr

gIr

Il termine mozionale rotorico nei circuiti equivalenti (vedi ad esempiofigura 1.5) diviene:

jmr = Rr m( m) Ir

3

= Rr (1 g)g

Ir

Quindi il generatore pilotato si comporta come una resistenza variabilecon lo scorrimento.

In regime sinusoidale definita la potenza attiva ed possibile quantificare bilancioenergeticoil bilancio energetico ed il rendimento della macchina.

Il bilancio delle potenze attive si ottiene prendendo la parte reale delle(1.44) dopo averle moltiplicate per il complesso coniugato della rispettivacorrente: { e{V sIs} = Rs I2s + e{j s Is}

0 = Rr I2r + e

{j ( m) r Ir

} (1.46)Calcoliamo i termini nei flussi:

e{j s Is

}= m

{ s Is

}= m

{Is s

} 4=

Ce

n

e{j ( m) r Ir

}= ( m) m

{r Ir

}= ( m) Ce

n

Otteniamo infine lequazione di bilancio sommando membro a membro leequazioni(1.46):

e{V sIs

}= Rs I

2s + Rr I

2r +

m

nCe (1.47)

2Introducendo lo scorrimento: g = m

3Non difficile constatare che: m = (1 g)4Ricordando le (1.28):

Ce = n m{is s

}= n m

{r ir

}

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Il termine nCe che si semplificato la potenza trasmessa al rotore

dal campo rotante. Nella (1.47) leggiamo che la potenza attiva entrantedalle porte statoriche bilancia le perdite joule negli avvolgimenti e la poten-za meccanica uscente; in uno schema pi completo possiamo rappresentaregraficamente il bilancio di potenze attive come in figura 1.17.

Pe

Rs I2s

GFeE2s

RR I2r

PTR =

nCe

attriti

m

nCe Pu

Figura 1.17: Un bilancio delle potenze attive nella macchina asincrona inregime sinusoidale (funzionamento da motore)

Si definisce il rendimento della macchina il rapporto tra la potenza uscentee la potenza entrante.

In questo contesto possibile scrivere unespressione analitica della ca- caratteristicameccanicaratteristica meccanica della macchina, ossia il legame tra coppia e velocit

durante il funzionamento a regime.La seconda delle (1.45) stabilisce un legame diretto tra il flusso statorico

e rotorico:

r =

+ j ( m) s

quindi possibile esprimere la coppia elettromagnetica solo nel flusso di

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statore5:

Ce = nLM

LksLrm{s r

}=

= n

Rrm{s

j ( m) s}

=

= n2 2sRr

m{ + j ( m)2 + ( m)2

}=

= n2 2sRr

( m)2 + ( m)2

Volendo riferirsi allo scorrimento anzich alla velocit meccanica:

Ce = n2 2sRr

g

2 + (g)2= n

k2 2sLks

(g

)

1 +

(g

)2Questa equazione stabilisce un legame tra coppia e velocit (scorrimento)

quando il flusso di statore costante, condizione che si verifica con buona ap-prossimazione durante il funzionamento a regime con tensione di alimentazio-ne costante (stiamo parlando di grandezze trasformate); infatti, trascurandola caduta di tensione statorica, :

V s = Rs Is + j s s Vs

(1.48)

Da questa considerazione segue che, poich il funzionamento della mac-china caratterizzato in genere da tensione statorica costante, la funzionein forma chiusa che abbiamo trovato si avvicina, per scorrimenti non troppoelevati, alla caratteristica meccanica effettiva. Non questo il contesto persottolineare limportanza di questa informazione, di cui sono ben consa

Modello matematico asincrono

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