3 Campo Magnetico A

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UNITA F4 CAMPO MAGNETICO PREREQUISITI

Saper ottenere semplici formule inverse; forza e campo di forze; linee di forza; grandezza caratteristica di campo; lavoro; differenza di potenziale; forza centripeta, moto circolare uniforme; moto rettilineo uniforme, moto composto; effetto Joule; flusso di campo attraverso una superficie; campo conservativo; saper costruire ed interpretare grafici; seno e coseno di un angolo.

OBIETTIVI

Acquisire il concetto di vettore di induzione magnetica; saper determinare il vettore induzione magnetica in casi particolari; acquisire ed applicare lespressione della forza di Lorentz sulla carica e sul filo percorso da

corrente; comprendere leffetto Hall; acquisire ed applicare il concetto di forze elettrodinamiche; acquisire il teorema di equivalenza di Ampre; acquisire ed applicare il teorema della circuitazione di Ampre; acquisire ed applicare il concetto di flusso autoconcatenato; comprendere la differenza tra sostanze dia, para e ferromagnetiche; acquisire il concetto di vettore intensit magnetica.

CONTENUTI Vettore di induzione magnetica e sua espressione in casi particolari; forza di Lorentz; effetto Hall; forze elettrodinamiche; principio di equivalenza di Ampre; circuitazione e teorema della circuitazione; flusso magnetico e flusso autoconcatenato; campo magnetico nei mezzi materiali.

Autore: Prof.ssa Francesca Sorbera - 2007

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INTRODUZIONE Si gi detto che inizialmente i fenomeni di attrazione elettrostatica (lambra strofinata attira piccoli oggetti) e di attrazione magnetica (la magnetite attira il ferro) venivano accomunati e che fu solo nel XVI secolo che il fisico britannico William Gilbert fiss la distinzione tra elettricit e magnetismo. Egli scopr che la Terra un magnete permanente dando giustificazione del fatto che lago della bussola si orienta secondo una direzione precisa (in particolare, poich il polo Nord dellago della bussola si orienta in prossimit del Nord geografico terrestre, il Nord geografico in realt il polo Sud magnetico del pianeta Terra). La propriet della magnetite di attirare il ferro pu essere indotta anche in altre sostanze che prendono il nome di magneti o calamite. Le estremit opposte di un magnete (per semplicit lo si immagini di forma cilindrica e allungata) sono i poli Nord e Sud. Se si avvicinano due magneti si osserva che si possono attrarre o respingere a seconda di come vengono tra loro disposti. In particolare, poli uguali si respingono e poli diversi si attraggono. Inoltre, dividendo anche in pi parti una calamita, si nota che le forze attrattive e repulsive continuano a manifestarsi, a dimostrazione che impossibile separare i poli di una calamita. La regione di spazio attorno ad un magnete diventa un campo di forze: il campo magnetico. Come si vedr un magnete permanente ed un circuito percorso da corrente continua sono equivalenti sia come sorgenti di campo magnetico sia come elementi di prova. Il legame tra elettricit e magnetismo fu scoperto nel XIX secolo da Oersted nellosservare che un filo percorso da corrente elettrica influenza lorientamento di un ago magnetico. Questa importante scoperta port in seguito Ampre a formulare la teoria secondo la quale Ule correnti elettriche sono lunica sorgente di campi magneticUi e, secondo il principio di equivalenza da lui formulato, un magnete permanente altro non se non un insieme di microcorrenti molecolari orientate allo stesso modo. In questa unit, dopo aver definito il campo magnetico, si introdurr la grandezza caratteristica del campo, il vettore induzione magnetica e lo si definir in alcuni casi particolari. Si studier il comportamento di una carica elettrica, di un piccolo circuito, di un piccolo magnete in un campo magnetico e si giunger al principio di equivalenza di Ampre che stabilisce lequivalenza tra un magnete e un circuito percorso da corrente ai fini del campo generato e degli effetti subiti da parte di un campo magnetico. Si parler di flusso del campo magnetico attraverso una superficie e, data la caratteristica delle linee di forza del campo, di flusso autoconcatenato. Si parler infine del campo magnetico nei mezzi materiali e si introdurr il concetto di vettore intensit magnetica e quello di vettore intensit di magnetizzazione.


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IL CAMPO MAGNETICO Il campo magnetico la regione di spazio attorno ad un circuito percorso da corrente continua o attorno ad un magnete permanente. Esso si esplora indifferentemente con un circuito percorso da corrente continua (spira) o con un magnete (ago magnetico). In ogni caso, come gi visto per il campo gravitazionale e per il campo elettrico, gli elementi di prova devono essere piccoli rispetto alla sorgente per non alterare, con la loro presenza, il campo esistente. In particolare, il filo percorso da corrente (visto sia come sorgente, sia come elemento di prova) pu essere sostituito da ununica carica in movimento di moto rettilineo uniforme. Gli elementi di prova mettono in evidenza la natura vettoriale del campo magnetico ( un campo di forze). Anche il campo magnetico, come del resto il campo elettrico, presenta linee di forza (linee che hanno per tangente, in ogni punto, il vettore intensit di campo in quel punto), ma, a differenza dei campi visti precedentemente, esse sono tutte concatenate con la sorgente, cio sono linee che si chiudono su se stesse attorno alla sorgente. Le linee di forza si possono mettere in evidenza con semplici esperimenti:

1- si cosparge della polvere di ferro (limatura di ferro) su una lamina di plastica trasparente e si posiziona, sotto la lamina, una calamita (del tipo a ferro di cavallo) in modo che i due poli siano a contatto della lamina. Si osserva che la limatura di ferro si dispone in modo da formare quello che si chiama spettro magnetico, ovvero secondo linee chiuse che collegano i due poli della calamita;

2- si fa attraversare, perpendicolarmente ad essa, una lamina di plastica trasparente da un filo conduttore rettilineo, abbastanza lungo e percorso da corrente continua. Sul piano della lamina, attorno al punto in cui il filo interseca la lamina, si cosparge della limatura di ferro. Quando nel filo passa corrente si osserva che la limatura si dispone secondo circonferenze concentriche con centro nel punto di intersezione tra il filo e la lamina (lo spettro magnetico costituto dalle circonferenze).

Inoltre, come gi visto per il campo gravitazionale e per il campo elettrico, possibile definire una grandezza vettoriale caratteristica del campo magnetico che sia in grado di descrivere il campo in ogni suo punto e che abbia quindi, nella sua espressione, solo grandezze tipiche del campo (sorgente, mezzo materiale, distanza del punto dalla sorgente). Questa grandezza, per il campo magnetico, si chiama vettore di induzione magnetica e si indica con B

ur.


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LINEE DI FORZA ED ESPRESSIONE DI Bur

IN ALCUNI CASI PARTICOLARI

Campo generato da un filo rettilineo e indefinito percorso da corrente costante Si verifica che le linee di forza sono circonferenze centrate sul filo e il cui piano perpendicolare a quello del filo. Bur

tangente alle circonferenze, il suo verso quello secondo il quale le dita della mano destra avvolgono il filo percorso dalla corrente quando il pollice nel verso della corrente. Il modulo di B

ur dato dallespressione:

B =dI

2, dove:

- la permeabilit magnetica del mezzo materiale: caratterizza le sostanze dal punto di vista magnetico; la sua unit di misura risulta essere, come si vedr, 2N A . Nel vuoto si

indica con 0 ( 70 24 10 NA = ), per cui, nel vuoto, B diventa: 00 2

IBd

= .

Il vuoto il mezzo di riferimento per cui, riferita a quella del vuoto, si definisce la

permeabilit magnetica relativa 0

r = . UIl valore della permeabilit magnetica relativa

delle diverse sostanze tabulatoU (vedi tabella 18 dellAppendice in calce al testo). - I la corrente che attraversa il filo; - d la distanza del punto considerato dal filo percorso da corrente (raggio della

circonferenza). Lespressione del modulo del vettore di induzione magnetica generato dal filo rettilineo e indefinito ad una distanza d da esso prende il nome di legge di Biot e Savart: lintensit del campo magnetico generato in un punto da una corrente rettilinea direttamente proporzionale allintensit della corrente ed inversamente proporzionale alla distanza del punto dal filo percorso dalla corrente.

Lunit di misura di B risulta essere NA m = Tesla (T).

Bur

Bur

Bur

Bur

BurB

ur

I

I uscente dal foglio

I entrante nel foglio

'Visto dall alto


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Esempio Si determini, in modulo, direzione e verso il campo magnetico in un punto P distante 20 cm da un filo rettilineo, posto orizzontalmente, nel vuoto, percorso dalla corrente di 2 A da sinistra verso destra. Schematizzando con un disegno e applicando la regola della mano destra, se il punto P sul piano del foglio ed al di sopra del filo, il campo B

ur uscente dal foglio.

Il modulo di 0B

uur si determina attraverso la legge di Biot e Savart:

7 260

0 2

4 10 2 2 102 2 20 10

I N A AB Td m

= = =

Campo generato da una spira circolare percorsa da corrente costante Se si immagina di chiudere ad anello circolare il filo rettilineo precedente, le linee di forza lo seguono e, al limite, si dispongono come sotto raffigurato: Le linee di forza non sono pi circolari, si deformano, ma sono comunque chiuse su se stesse concatenate con la spira e il loro piano perpendicolare a quello del filo in quel punto. Il verso di B

ur definito dalla regola della mano destra e, in particolare, nel centro della spira B

ur

la somma di tutti i Bur

appartenenti alle linee di forza che passano di l e che risultano essere tutti paralleli e concordi. Nel centro della spira B

ur perpendicolare al piano della spira ed

orientato nel semispazio in cui si vede la corrente I, che circola nella spira, circolare in senso antiorario. Il modulo di B

ur, nel vuoto, :

00 2

IBr

= , dove r il raggio della spira.

0B uur

I

d

Bur

BurB

urBur

Bur

I

r


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Esempio Si determini, in modulo, direzione e verso, il campo magnetico nel centro di una spira circolare, di raggio 5,0 cm, posta nel vuoto e percorsa, in senso orario rispetto allosservatore, dalla corrente di 1,5 A. La rappresentazione grafica della situazione la seguente, dove, nel centro della spira, il vettore 0B

uur

entrante nel piano del foglio. Il modulo di 0B

uur :

7 250

0 2

4 10 1,5 1,9 102 2 5,0 10

I N A AB Tr m

= = = .

Campo generato da un solenoide (bobina) percorso da corrente costante Un filo conduttore avvolto a spirale d origine ad un solenoide o bobina. Si consideri un solenoide percorso da corrente costante I. Per comprendere la distribuzione delle linee di forza e lorientamento di B

ur, si immagini il

solenoide come ottenuto dallaccostamento di N spire identiche e coassiali, percorse dalla stessa corrente I. Le linee di forza generate da ogni spira interagiscono con quelle generate dalle altre spire, dando origine, al limite, alla seguente disposizione:

I

0B uur

r

Bur

Bur

Bur B

ur

Bur

Bur

Bur

+I

I

asse del solenoide


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Nella regione interna al solenoide le linee di forza si possono considerare parallele ed il campo Bur

uniforme. Sullasse del solenoide il vettore B

ur orientato in modo da uscire dalla parte in cui si vede la

corrente circolare in senso antiorario. Sullasse del solenoide, nel vuoto, il suo modulo :

0 0NB Il

= , dove: - N = n di spire del solenoide - l = lunghezza dellasse del solenoide.

Il rapporto lN si indica con n (

lN = n), da cui:

0 0B n I= ; n rappresenta il Un di spire per unit di lunghezza Esempio Si calcoli il valore del campo magnetico sullasse di un solenoide lungo 10 cm e formato da 1000 spire, posto nel vuoto e percorso dalla corrente di 2,0 A. Il numero di spire del solenoide, per unit di lunghezza, :

3 12

1000 10 1010 10

Nn ml m

= = = . Il valore del campo magnetico sullasse del solenoide :

37 3

0 0 2

10 104 10 2,0 25 10NB n I A TA m

= = = .


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FORZA DI LORENTZ Analogamente a quanto visto per il campo gravitazionale e per il campo elettrico, possibile definire il vettore caratteristico del campo magnetico, vettore B

ur, come rapporto tra la forza

che agisce sullelemento di prova e lelemento di prova stesso.

FORZA SU UNA CARICA q IN MOTO IN UN CAMPO MAGNETICO UNIFORME Si consideri una regione di spazio in cui il campo B

ur uniforme (le linee di forza sono parallele),

come si verifica, ad esempio, allinterno di un solenoide o tra le espansioni polari di una calamita (si veda, pi avanti, lequivalenza tra una calamita e un solenoide, vale a dire il teorema di equivalenza di Ampre). Si consideri la regione di spazio compresa tra le espansioni polari di una calamita. Per convenzione il verso di B

ur quello secondo il quale si dispone il Nord di un ago magnetico.

Si verifica che una carica q, ad esempio positiva, subisce, da parte del campo magnetico, una forza solo se in moto nel campo stesso e solo se la sua direzione di moto non coincide con quella del campo. Precisamente, indicando con v

r la velocit della carica q+ :

se 0 0v F= =r ur ; se 0v r , costante e // Bur , cio, detto langolo tra vr e Bur , se = 0 o = 180 Fur = 0; se 0v r , costante e 0 e 180 F qv B= ur r ur (il modulo di Fur : F = q v B sen ). In particolare, se = 90, F assume il valore massimo: F = q v B. Lespressione di F

ur attraverso il formalismo del prodotto vettoriale ( F qv B= ur r ur ) interpreta i

risultati sperimentali. Verificando infatti che: - una carica q in un campo magnetico uniforme resta in equilibrio, statico o dinamico, se la

sua velocit , rispettivamente, nulla o costante e parallela al campo magnetico Bur

; - se la velocit v

r della carica q costante e perpendicolare al campo B

ur, la carica q si mette a

ruotare attorno al campo Bur

muovendosi di moto circolare uniforme;

Bur

S

SN

N


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- se la velocit vr

della carica q costante e formante un angolo , con il campo Bur , diverso da 0, 180, 90, la carica q si muove di moto elicoidale attorno alle linee di forza del campo B

ur (si specifica che il moto elicoidale un moto composto da un moto rettilineo

uniforme e da un moto circolare uniforme che si verificano su piani perpendicolari tra loro), si deduce che comportamento della carica q la conseguenza della presenza, su di essa, di una forza Uil cui valore va da zero ad un valore massimo in funzione diU (sen ) Ue la cui direzione perpendicolare alla velocit della caricaU.(F =0 carica in equilibrio; F = MAXF carica in moto

circolare; 0< F< MAXF carica in moto elicoidale; F vur r

vr

costante in modulo).

Quindi la F qv B= ur r ur riassume in s i risultati sperimentali in quanto afferma che: - F

ur perpendicolare contemporaneamente a v

r e B

ur;

- il suo modulo F = q v B sen ; - il suo verso in quel semispazio in cui si vede v

r sovrapporsi a B

ur, descrivendo , in

rotazione antioraria. La F q v B= ur r ur detta forza di Lorentz. Si pu determinare il verso di F

uranche utilizzando la regola della mano sinistra: posizionando il

pollice, lindice, il medio della mano sinistra ortogonali tra loro come una terna di assi cartesiani, se lindice posizionato nel verso di B

ur e il medio nel verso di v

r, il pollice d il verso di F

ur.

N.B. Poich F

ur sempre perpendicolare a v

r, essa non fa lavoro sulla carica q, ma il suo

compito quello di far cambiare continuamente direzione al vettore vr

: una forza centripeta. Infatti, se = 90, q, entrata nel campo magnetico, si mette percorrere una traiettoria circolare (moto circolare uniforme); invece, se 90, q si muove di moto elicoidale: vr si scompone in due componenti, una parallela a B

ur ( 1 //v B

ur ur) e una perpendicolare a B

ur

( 2v Buur ur

). Sulla carica q nella direzione di 1vur

non agisce nessuna forza per cui 1vur

trascina la

carica parallelamente al campo, mentre su q nella direzione di 2vuur

agisce la forza massima centripeta che fa ruotare la carica attorno al campo.

Se si immette nel campo B

ur una carica q negativa ( q ), la forza su di essa ha verso contrario a

quello della forza su q+ . In particolare, se si immettono in un campo magnetico uniforme, perpendicolarmente a B

ur, un

elettrone ( e ) ed un protone (p), essi si muovono di moto circolare uniforme, ma ruotano in senso opposto.


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Comportamento di un e e di un p lanciati perpendicolarmente a Bur

: Esempio

In un campo magnetico uniforme 44,0 10B T= viene lanciata, con la velocit di 43,0 10 ms

una carica positiva 102,0 10q C= in modo che la sua velocit formi un angolo di 30 con il vettore di induzione magnetica. Si determini, in modulo, direzione e verso, la forza magnetica agente sulla carica. Vista dallalto, la situazione cos schematizzata: La forza magnetica entrante nel piano del foglio e il suo modulo :

10 4 4 102,0 10 3,0 10 4,0 10 0,5 12 10m NF qvB sen C Ns Am

= = = .

vr

q Bur

Fuur

Bur

Fur

Fur

ev uur

pvuur

pvuur

ev uur

p

e


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APPROFONDIMENTO Frequenza del ciclotrone Si definisce ciclotrone la carica q in moto circolare uniforme. Una carica q, introdotta in un campo magnetico uniforme con v

r perpendicolare a B

ur, sottoposta

alla forza di Lorentz F = q v B e si muove di moto circolare uniforme essendo la forza di Lorentz una forza centripeta. Sia m la massa di q, R il raggio della circonferenza descritta (orbita), e la velocit angolare. La forza centripeta F si pu esprimere come: F = 2m R . Uguagliando questa espressione con quella della forza di Lorentz (due espressioni della stessa forza), si ottiene:

2m R qvB = . Poich v = R , si ottiene:

q Bm

= . Essendo 2 f = , si ha: f =

mq2 B, che esprime la frequenza del ciclotrone (n di giri nellunit di tempo).

Inoltre, dalla q Bm

= , possibile ricavare il raggio dellorbita, noti m, q e v. Infatti: v q mvB RR m qB= = .


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FORZA DI LORENTZ COMPLETA Se la regione di spazio sede sia di un campo elettrico sia di un campo magnetico, una carica q viene sottoposta sia alla forza di Coulomb sia alla forza di Lorentz:

( )TOT E LF F F qE qv B q E v B= + = + = + ur uur uur ur r ur ur r ur

.

La definizione di Bur

attraverso la forza sullelemento di prova e lelemento di prova stesso si ottiene dalla: F = q vB sen . Precisamente:

1 ( )F N NB T Tesla

q v sen C ms Am = = =

FORZA SU UN FILO PERCORSO DA CORRENTE I COSTANTE Si consideri un tratto l rettilineo di filo conduttore percorso da corrente I costante, posto in un campo magnetico uniforme. Essendo la corrente un flusso di cariche positive in moto con velocit v

r costante, su ogni carica q

agisce la forza di Lorentz F = qvB sen , dove langolo tra lasse del conduttore l (si considera lr

orientato come vr

) e il campo Bur

. Poich q = i t , la F = qvB sen diventa: F I t vB sen= . Ma v t l = , lunghezza di filo conduttore attraversato dalle cariche nel tempo t. Per cui: F = I l B sen . Se = 90, F assume il valore massimo: F = I l B. Utilizzando il formalismo del prodotto vettoriale: F Il B= ur r ur . La situazione esposta rappresentata nel disegno: Il tratto l di filo conduttore si sposta perpendicolarmente al campo B

ur seguendo F

ur.

Si pu definire Bur

attraverso la F = I l B sen : FB

I l sen=

= TeslamA

N .

Fur

Il campo B uscente dal fogliour

II

l

+

tratto l di filo perpendicolare a B che chiude il circuitomediante contatti striscianti

ur


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Esempio Si determini il modulo della forza che si manifesta su un tratto di filo lungo 10 cm, posto perpendicolarmente alle linee di forza di un campo magnetico uniforme 22,0 10B T= e percorso dalla corrente di 1,5 A. Il modulo della forza di Lorentz sul filo :

2 2 31,5 10 10 2,0 10 3,0 10NF I l B A m NAm

= = = EFFETTO HALL Leffetto Hall il fenomeno per cui si manifesta una differenza di potenziale V ai lati di un filo conduttore percorso da corrente I, posto perpendicolarmente alle linee di forza di un campo magnetico B

ur uniforme.

Si consideri il tratto l, di estremi A e B, di filo conduttore appartenente al circuito, sotto rappresentato, posto in un campo magnetico uniforme uscente rispetto al foglio: Se il conduttore l, di estremi A e B, in contatto strisciante con il resto del circuito, viene sottoposto alla forza F = I l B e si sposta verso sinistra. Se invece il tratto di conduttore considerato vincolato al resto del circuito, sulle singole cariche q+ che costituiscono la corrente si manifesta la forza F = q v B verso sinistra. Le cariche q+ , man mano giungono nel tratto l, vengono spostate verso il lato sinistro del conduttore, sottoposte alla forza di Lorentz, e l si accumulano. Accumulandosi danno origine, allinterno del conduttore, perpendicolarmente al campo magnetico, al campo elettrostatico E

ur.

Le nuove cariche che sopraggiungono sono quindi sottoposte sia alla forza di Coulomb EFuur

, sia alla

forza di Lorentz LFuur

. Il fenomeno di accumulo dura fino a che L EF F> . Laccumulo di cariche aumenta il campo E

ur e origina una differenza di potenziale V sempre

crescente ai lati del conduttore la quale si stabilizza quando L EF F= : in queste condizioni le nuove cariche che sopraggiungono passano indisturbate attraverso il conduttore l.

+ Fur

HV

I

l

A

B

V

I


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Schematizzando: Se il conduttore costituito da una lamina conduttrice di spessore d (come nel disegno), risulta:

V E d = . Poich, allequilibrio, L EF F= q v B = q E v B = E , sostituendo si ottiene:

V v B d = . La differenza di potenziale cos definita detta differenza di potenziale di Hall ( HV ). Per cui:

HV v B d = . La HV direttamente proporzionale al campo magnetico B.

LFuur

EFuur

Eur

V

q+

d

+ + + + + + + + +


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APPROFONDIMENTO LESPERIMENTO DI THOMSON Lesperimento di Thomson porta a determinare il rapporto carica/massa di un elettone dallanalisi del comportamento di un e che si muove in una regione di spazio in cui sono presenti un campo magnetico B

ur e un campo elettrico E

ur che sono tra loro perpendicolari.

Lesperimento si realizza in un tubo, in cui creato il vuoto, che presenta un filamento F il quale, portato ad incandescenza per effetto Joule, emette elettroni per effetto termoionico. Se presente B

ur (ad esempio,entrante nel foglio) e se E LF F= , lelettrone procede indisturbato con v

r costante

Gli elettroni e emessi da F vengono accelerati da una V creata tra F ed una piastra A in modo da far loro acquisire una velocit v

r.

La piastra A presenta un foro in modo da essere attraversata solo da un sottile pennello di elettroni che, con velocit v

r, entrano nella regione di spazio tra le armature di un condensatore in cui

presente un campo elettrico Eur

, e tra le espansioni polari di un magnete in cui presente un campo magnetico B

ur perpendicolare a E

ur e a v

r.

In assenza del campo magnetico B

ur, allinterno del condensatore, gli elettroni descrivono una

traiettoria parabolica (si muovono infatti di moto parabolico, composto da un moto rettilineo uniforme e da un moto rettilineo uniformemente accelerato, perpendicolare al primo, dovuto alla presenza di E

ur che genera, su e , la forza eF eE=

uur ur, dove e la carica di e ) ed escono dalle

armature deviati dalla direzione di moto originaria, incidendo sullo schermo S ad unaltezza y rispetto alla direzione di moto originaria.

+++ + +++

vr

Eur

vr

EFuur

LFuur

S

V

V

F

A

A

e+ + + + +


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Schematizzando:

Si dimostra che nellespressione di y compare il rapporto me e la velocit v di e . Risulta infatti:

y =

+ LDL

vmdVe

2

2

2 , dove L la lunghezza delle piastre, D la distanza piastre-schermo e d la

distanza tra le piastre. Si determina la velocit v degli elettroni sovrapponendo, allinterno del condensatore, al campo elettrico, il campo magnetico. In presenza di B

ur gli elettroni sono sottoposti, contemporaneamente,

alla forza elettrostatica EFuur

e a quella di Lorentz LFuur

. Se Bur

tale per cui LE FF = , il pennello Unon viene deviatoU e gli elettroni escono dalle armature del condensatore incidendo su S secondo la direzione di moto originaria e con velocit costante. Dalla relazione

E LF F= , sostituendo, si ottiene:

e v B = e E v =BE .

Sostituendo la v =BE nellespressione di y, possibile ottenere il valore del rapporto carica/massa

dellelettrone. Risulta: 111,76 10e C

m kg .

+++ + +++

vr E

urEF

uury

S

D

L

d


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FORZE ELETTRODINAMICHE Si dicono forze elettrodinamiche le forze che si manifestano tra due fili percorsi da corrente continua. Si considerino due fili rettilinei 1 e 2 , paralleli tra loro, percorsi, rispettivamente, dalla corrente

1I e 2I . Si verifica che, se le correnti 1I e 2I sono nello stesso verso, tra i due fili si manifesta una forza attrattiva, mentre, se le correnti hanno verso opposto, tra i due fili si manifesta una forza repulsiva. In entrambi i casi, se d la distanza tra i due fili, la forza ha modulo dato dallespressione (nel vuoto):

0F = dlII 210

2

.

Dalla

0 1 20 2

I I lFd

= si deduce la definizione di Ampre come unit di misura della corrente elettrica.

Essendo, nel S.I., 2

0 = 27102

AN ( 270 104 A

N= ), si definisce lAmpre come la corrente che, circolando in due conduttori paralleli di lunghezza infinita, posti a 1 m di distanza luno dallaltro, fa s che i due conduttori si attraggano o si respingano (a seconda che I sia equiversa oppure no), per ogni metro di lunghezza, con la forza di N7102 . Il manifestarsi della forza elettrodinamica trova spiegazione nel fatto che si pu considerare ciascun filo conduttore nel campo magnetico dellaltro, in modo da poter applicare, per ogni tratto l di esso, la forza F = I l B.

2Fuur

1Fuur

2Fuur

1Fuur

22 11

1I 2I 1I 2I

dd

l l


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Esempio Due fili rettilinei e tra loro paralleli sono posti, nel vuoto, in un campo magnetico uniforme perpendicolarmente alle linee di forza del campo, come nel disegno raffigurato. Se le correnti che circolano nei due fili hanno la stessa intensit di 2,0 A e lo stesso verso, si determini la forza risultante su ogni metro di filo, per entrambi i fili, nel caso in cui il campo magnetico sia

45,0 10B T= e la distanza tra i fili sia 5,0 cm. Nel disegno il campo magnetico uscente rispetto al piano del foglio e sono state rappresentate, per ogni filo, la forza elettrodinamica, la forza di Lorentz dovuta al campo e la loro risultante. Il modulo della forza elettrodinamica elF :

27 50 1 2

2 2

2,0 2,0 1,02 10 1,6 102 5,0 10el

I I l N A mF Nd A m

= = = . Il modulo della forza di Lorentz LF :

4 32,0 1,0 5,0 10 1,0 10LF I l B A m T N = = = .

Per il filo 1 il modulo della forza risultante : 5 3 3 3

1 1,6 10 1,0 10 (0,016 1,0) 10 1,0 10R el LF F F N N N N = + = + = + = .

Per il filo 2 il modulo della forza risultante : 3 5 3 4

2 (1,0 10 1,6 10 ) (1,0 0,016) 10 9,8 10R L elF F F N N N = = = = .

2RFuur

1RFuur

elFuur

elFuur LF

uurLF

uur

1I 2Id

21

1Buur

Fur

1 2I e I sono uscenti dal foglio

21

d


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LEGGE BI BIOT E SAVART Il tratto l del filo 2, posto nel campo 1B

uur del filo 1, che sempre perpendicolare a l, sottoposto alla

forza F data da 2 1F I l B= . Essendo per anche 0 1 22I I lF

d= , uguagliando si ottiene:

0 1 22 1 2

I I lI l Bd

= , da cui, semplificando 2I ed l:

0 11 2

IBd

= , che d lespressione del campo magnetico 1B generato dal filo 1 ad una distanza d da

esso.

La 0 11 2IBd

= , come gi visto precedentemente, prende il nome di legge di Biot-Savart.

COMPORTAMENTO DI UNA SPIRA PERCORSA DA CORRENTE POSTA IN UN CAMPO MAGNETICO Si consideri un piccolo circuito (spira), percorso da corrente I costante, posto in un campo magnetico uniforme. Poich su ogni tratto lr del conduttore agisce la forza F Il B= ur r ur , la spira viene sottoposta ad un momento M

uur (in tratti l opposti la corrente va in senso opposto, per cui le rispettive forze,

essendo parallele, discordi e di modulo uguale, danno origine ad un coppia) che fa oscillare la spira fino a che, per effetto degli attriti, essa non assume la posizione di equilibrio. Tale condizione si realizza quando il campo magnetico SB

uur, generato dalla spira, parallelo e concorde con il campo

magnetico Bur

in cui essa posta. Nella situazione raffigurata, la spira in equilibrio in quanto le forze F

ur rappresentate sui quattro lati della spira si

annullano a due a due. Se si associa alla spira un versore n

r parallelo e concorde con SB

uur, M

uur risulta descritto

dallespressione: M I Sn B= uur r ur . Il modulo del momento M

uur risulta dato da:

M = I S B sen , dove S larea della spira e langolo tra nr e il campo esterno Bur . Infatti, se per semplicit di calcolo, si considera una spira quadrata di lato l, posta, come nel disegno, tra le espansioni polari di una calamita, in modo che il suo piano formi langolo con le linee di campo, dallalto la situazione la seguente:

Bur

SBuur

SN I S


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La coppia di forze che si manifesta sulla spira ha momento dato da: M = F b, dove F il modulo della forza di Lorentz sui lati della spira percorsi dalla corrente I: F =I l B, e b il braccio della coppia dato da b l sen= , essendo langolo tra il piano della spira e la perpendicolare alle linee di campo, o, che lo stesso, langolo tre il versore n

r e il campo B

ur.

Risulta quindi: 2M F b I l B lsen I l B sen I S B sen = = = = , poich 2l d la superficie S della spira.

Il momento ha valore massimo quando il piano della spira parallelo alle linee di campo o, che lo stesso, quando il versore n

r perpendicolare al campo ( 90 , 1)B sen = =ur . In tali condizioni:

M = I S B. Esempio Una spira quadrata di lato 3,0 cm, percorsa dalla corrente di 2,0 mA, viene posta in un campo magnetico uniforme di intensit 42,0 10B T= . Se il piano della spira forma un angolo di 120 con le linee di campo, quanto vale il momento che si esercita sulla spira? Vista dallalto, la situazione la seguente: Se langolo tra la spira e il campo magnetico , langolo tra il versore nr e il campo magnetico

90 = , quindi, nel caso in questione, 120 90 30 = = . La superficie della spira 2 2 2 4 2(3,0 10 ) 9,0 10S l m m = = = . Il modulo del momento cui la spira sottoposta risulta quindi:

3 4 2 4 112,0 10 9,0 10 2,0 10 36 10NM I S B sen A m N mAm

= = = .

nr Bur

Fur

Fur

I

Bur

Fur

Fur

I

l

b

nr


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3 Campo Magnetico A

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