Campo magnetico

  Potenziale vettore   Applicazioni della legge di Ampere   Discontinuita` del campo magnetico

attraverso uno strato di corrente superficiale   Doppio strato di corrente superficiale   Espansione multipolare del potenziale vettore

Esempio: potenziale vettore del campo magnetico generato da un filo rettilineo percorso da corrente

O P r

ez

z

!B = µ0i

2! r!e"

!B =!!"!A

In coordinate cilindriche

B! = (!!"!A)! =

#Ar#z

$#Az#r

Tilo rettilineo percorso da corrente

O P r

ez

z

B! = (!!"!A)! =

#Ar#z

$#Az#r

Prendendo !A = A(r)

!ez

!"Az!r

=µ0i2! r

! A(r) = ! µ0i2!ln r = ! µ0i

!ln r2

Esempio: filo rettilineo percorso da corrente

O P r

ez

z

  Abbiamo visto che !B = µ0i

2! r!e" =

µ0i2!

!sin!!ex + cos!

!ey

x2 + y2

=µ0i2!

! y!ex + x

!ey

x2 + y2!A = !

µ0i!ln(x2 + y2 )

!ez

a meno di un campo con rotore nullo

singolare all’infinito e nell’origine

Esempio: solenoide rettilineo indefinito

  Campo magnetico diretto lungo l’asse del solenoide

  Fuori dal solenoide

!! "!B = 0

!!"!B = 0

!B = cost=0

all’infinito il campo

tende a zero

Esempio: solenoide rettilineo indefinito

  Solo componente assiale   Fuori dal solenoide

!B = cost=0

dll 1

2 Non c’e` corrente concatenata

per cui la circuitazione e` nulla

B1l ! B2l = 0 ! B1 = B2

Esempio: solenoide rettilineo indefinito

dll1

2B1l ! B2l = 0

! B1 = B2 Campo uniforme all’interno

Bintl = µ0 ikk conc

! = µ0nliBint = µ0ni

Discontinuita` del campo del solenoide rettilineo indefinito

!Best !

!Bint = 0!µ0in

!ez

!ez

!!B = ±µ0in

!ez

Esempio: cilindro percorso da una corrente i omogenea

J = i!R2

lunghezza indefinita

!J

R

r r R>!B !d!l = 2! rB(r)!" = µ0i

B(r) = µ0i2! r

Esempio: cilindro percorso da una corrente i omogenea

J = i!R2

!B !d!l = 2! rB(r)!" = µ0iconc

iconc = J! r2 =

i!R2

! r2 = i r2

R2

2! rB(r) = i r2

R2! B(r) = µ0ir

2!R2lunghezza indefinita

!J

R

r R<r

Esempio: cilindro percorso da una corrente i omogenea

B(r) =

µ0ir2!R2

r ! R

µ0i2! r

r > R

"

#$$

%$$

lunghezza indefinita

!J

R

B

R r

Esempio: cilindro indefinito con foro interno cilindrico

R rO 'O

OO ' = d

J = iA=

i!R2 ! ! r2

!J

!!J

i1 = !R2J i2 = ! r2J

Campo asse cavita` ?

1i2i

Esempio: cilindro indefinito con foro interno cilindrico

R rO 'O OO ' = d

!J

!!J

1i = !R2J 2i = ! r2J

i1i2

2i non contribuisce

1i B =µ0i1OO '2!R2

=µ0i1d2!R2

=µ0!R

2Jd2!R2 =

µ0i

!R2 ! ! r2d

2

Esempio: cilindro indefinito con foro interno cilindrico

R rO 'O

!J

!!J

1i = !R2J 2i = ! r2J

1i2i

2i non contribuisce

1i B =µ0i1OO '2!R2

=µ0i1d2!R2

=µ0!R

2Jd2!R2

=µ0id

2! (R2 ! r2 )

OO ' = d

Discontinuita` del campo B   In certe situazioni il campo magnetico non e`

rappresentabile da una funzione vettoriale derivabile

x

y

z

J

  Lamina nel piano xy percorsa da una corrente superficiale omogena

!J = J

!ex

  Lo spazio e` diviso in 2 regioni, z>0 e z<0

  Biot e Savart: B perpendicolare alle correnti ! Bx = 0

  I contributi lungo z da y>0 e y<0 si elidono ! Bz = 0

Discontinuita` del campo B   Unica componente diversa da zero:

x

y

z

J

By  Circuitazione lungo un rettangolo

con lato che taglia la corrente l

l

Bl + (!B)(!l) = µ0Jl

2Bl = µ0Jl

B = µ0J2

Discontinuita` del campo B

x

y

z

J l

!B(z

+) = !

µ0J2!ey

!B(z

!) =

µ0J2!ey

!!B =!B(z

+)"!B(z

") = µ0J

!ey

Esempio: doppio strato

!!B =!B1 "

!B2 = "µ0J

!ey

Le due lamine danno contributi di segno opposto al campo

x

y

z

1

2

3

A B

!B1,3(A) = !

!B1,3(B)!

!B1,3 = 0

!B2 = !"

!B = µ0J

!ey

=0

Discontinuita` del campo B

x

y

z

J

  Lamina nel piano xy percorsa da una corrente superficiale omogena

!J = J

!ex

  Lo spazio e` diviso in 2 regioni, z>0 e z<0

Discontinuita` della componente tangenziale del campo magnetico

Nel caso di una distribuzione superficiale di carica elettrica la discontinuita` e` nella componente normale del campo elettrico

!!B =!B(z

+)"!B(z

") = µ0J

!ey

Espansione multipolare

!J (!r ')! dV '" i dl '

C!!

!A(!r ) = µ0

4!

!J (!r ')!r !!r '! dV '

Circuito chiuso !A(!r ) = µ0i

4!d!l '!r !!r 'C

!"

Espansione multipolare

  Corrente in un circuito chiuso di dimensioni lineari d

  Potenziale vettore a grande distanza r>>d

1!r !!r '

=1r+!r '!!" ' 1!r !!r ' !

r '=0

+"=1r+!r '!!rr3

+"

!A(!r ) ! µ0i

4!

!r !!r 'r3C!! d

!r ' = µ0i

4! r2!er !!r '

C!! d

!r '

Espansione multipolare

!Adip(!r ) = µ0i

4! r2!er !!r '

C!! d

!r '

f d!r

C!! = "

"#f $

!ndA

%C

!

= !µ0i4! r2

!" '(!er #!r ')$

!ndA

%

&

= !µ0i4! r2

!er "

!ndA

#

$ = !µ04! r2

!er "!m

!Adip(!r ) = µ0

4! r2!m!!er =

µ04!

!m!!r

r3