Potenziale elettrostatico e lavoro

  Potenziale elettrostatico   Energia potenziale elettrostatica   Esempi   Moto di una carica in un potenziale e.s.

Potenziale elettrostatico

  Campo e.s. generato da una carica puntiforme

!E = q

4!"0

!err2= !!"

q4!"0

1r

#

$%

&

'( = !

!"V (r)

V (!r ) -V (

!r0 ) =

!!V "d

!r = -

!r0

!r

#!E "d!r

!r0

!r

# =!E "d!r

!r

!r0

#

V (r) = q4!"0r

+C scegliendo lo zero all’infinito: C=0

Potenziale elettrostatico

  In base al principio di sovrapposizione

Il potenziale generato da un insieme di cariche puntiformi e` dato dalla somma dei potenziali generati da ciascuna di esse.

V (!r ) =

!E !d!r =

!r

"

#!Ei !d

!r

!r

"

#i$ =

14!"0i

$ qi|!r %!ri |

Potenziale elettrostatico (defininizone operativa)

  Le forze elettrostatiche sono conservative   Cariche in posizioni fissate   Carica di prova q da A a B: ferma in A, ferma

in B non cambia la sua energia cinetica   No scambi energetici tra q e le cariche che

generano il campo   W=Wext

AB+WelAB=Wext

AB+q(VA-VB)=0 extAB

B AWV Vq

− = VB =WAB

ext

q+VA

Lavoro e forza elettromotrice

!F

A

B

! "d!x =UA #UB

energia potenziale elettrostatica

!E

A

B

! "d!x =VA #VB

potenziale elettrostatico

U = q V

= 0

campo elettrostatico

  In un campo elettrostatico la f.e.m. e` sempre uguale a zero

tensione elettrica

(forma locale: eq. di Maxwell)

forza elettromotrice f.e.m.

Forza elettromotrice !F forza su una carica q (anche meccanica, chimica) !F = q

!E campo elettromotore

A

B

C1

lavoro compiuto dalla forza per spostare la carica da A a B lungo la curva C1 tensione

elettrica tra A e B relativa a C1

In generale: f.e.m. relativa al circuito

Differenza di potenziale

  In presenza di un insieme discreto di cariche puntiformi

Lavoro della forza elettrostatica per lo spostamento di una carica q da A a B

!U =Ufinale "U iniziale =UB "UA !W = "!U

VA !VB =qi4!"0i

" 1rAi!1rBi

#

$%%

&

'((

!WA"B =UA #UB = #!U

Potenziali da distribuzioni continue di carica elettrica

dV =dq4!"0r

Unita` di misura

[ ][ ][ ]WVQ

=1 J1 V = 1 C

Volt

!F = q

!E

[E]= [F ][q]

=NC

[E]= [V ][L]

=Vm

Potenziale

  Calcolo del campo elettrico:   3 integrali sulle distribuzioni di carica (~ xi/r3)   potenziale 1 integrale (~ 1/r) + 3 derivate

  Differenze di potenziale (gradiente) = forza

  Concetto primitivo rispetto a quello di forza

Esempio

VC =V1 +V2 +V3 =14!"0

q1r1+q2r2+q3r3

!

"#

$

%&=

34!"0a

(q1 + q2 + q3 )

Cariche ai vertici di un triangolo equilatero. Calcolare il potenziale nel centro C del triangolo.

q1

q3

q2

C

3a

r1 r2

r3

Esempio Potenziale elettrostatico generato sull’asse di un filo uniformemente carico

P

x -l +l

2l

y

dx

dq=λdx

2 2r x y= +y

x

!E = !

!"V # E( y) = ! dV

dyV ( y) = !4"#0

logy2 + l 2 + l

y2 + l 2 ! l

oppure ... formulario: ( )∫ ++=+

2

1

2

1

22

22ln

x

x

x

xdxx

dxdx

dV =dq4!"0r

E( y) = ! dVdy

= !!4"#0

ddylog

y2 + l 2 + l

y2 + l 2 ! l

E( y) = 2!l4"#0 y l 2 + y2

=q

4"#0 y l 2 + y2

V ( y) ! !4"#0

log2l + y

2

2ly2

2l

!!4"#0

log 4l2

y2=

!2"#0

log(2l)! log y"# $%

termine formalmente infinito si elide nelle differenze di potenziale

V(y) singolare per l→∞ E(y) regolare per l→∞

dA = 2! rdr

Esempio   Potenziale sull’asse centrale di un disco sottile uniformemente

carico con densita` superficiale di carica σ

V (z) = !2"0

R2 + z2 ! z( )

2 2d r z= +

dV =dq4!"0d

=! dA4"#0d

=! 2" rdr4"#0d

=! 2" rdr

4!"0 r2 + z2=!2"0

rdrr2 + z2

(per z>0)

Esempio: potenziale tra due piani indefiniti con densita` di carica +σ e -σ

dV = !Edz

V = !Ez +C

V = !!"0z +C

V (z1 )!V (z2 ) =!"0h

+σ

-σ

z

z1

z2 !E = !

"0

!ezh

z

V

z1 z2

V1

V2

Energia potenziale elettrostatica

Nel campo elettrostatico generato dalla carica Q, l’energia potenziale di una carica q e`:

U (r) = qV (r) = q Q4!"0r

!W elettrAB = "

!F #d!r

A

B

$ =UA "UB = "!U

!Welettrr"#

=!F $d!r

r

#

% = &!'U $d!r

r

#

% = & U#&U (r)() *+,U (r)

Energia potenziale elettrostatica

!Welettrr"#

=!F $d!r

r

#

% = &!'U $d!r

r

#

% = & U#&U (r)() *+,U (r)

Energia potenziale elettrostatica di una carica q = lavoro compiuto dalla forza elettrostatica per portare la carica q dal punto in cui si trova all’infinito

Energia potenziale elettrostatica

!Welettrr"#

=!F $d!r

r

#

% = &!'U $d!r

r

#

% = & U#&U (r)() *+,U (r)

Energia potenziale elettrostatica di una carica q = lavoro compiuto da una forza esterna per portare la carica q dall’infinito al punto considerato

  Cariche dello stesso segno (qQ > 0)

Energia potenziale elettrostatica

  forza elettrostatica repulsiva   nell’allontanamento l’energia potenziale diminuisce   lavoro fornito dalla forza elettrostatica verso l’esterno   (lavoro negativo della forza esterna)

  Cariche di segno opposto (qQ < 0)

U (r) < 0   forza elettrostatica attrattiva   nell’allontanamento l’energia potenziale aumenta   lavoro compiuto dalla forza per allontanarle

U WΔ = −Δ

U (r) > 0

Energia potenziale di un sistema di N cariche fisse

Sistema = carica q + N sorgenti di campo elettrostatico

Energia potenziale del sistema: Uq+Usorgenti

Le sorgenti sono fisse: Usorgenti sparisce dalle differenze di potenziale

!U = !Uq

Energia potenziale di un sistema di N cariche fisse

(qi ,qj )!Uij =qiq j4!"0rij

Somma sulle coppie e divisione per due (double counting)

Ignoriamo il termine di “autoenergia”

U =12

Uiji , j=1

N

! =12

qiqi4!"0riji , j=1

N

! =12

qiq j

4!"0riji , j=1

N

! =12

qiViji , j=1

N

!

Moto di una carica in un campo elettrostatico

  Carica q in un campo elettrostatico !E

!a = d

2 !xdt 2

=qm

!E

  In un campo elettrostatico possiamo usare la conservazione dell’energia meccanica totale

!F = q

!E = m

!a

Moto di una carica in un campo elettrostatico   Campo elettrostatico costante lungo l’asse z

U = qV (z) = !qEz +C

12mvB

2 ! qEzB =12mvA

2 ! qEzA

12mvB

2 +UB =12mvA

2 +UA

vB2 = vA

2 +2qmE(zB ! zA )

L’elettronvolt (eV)   Energia cinetica acquistata da una carica e

accelerata da una differenza di potenziale di 1 V 1 eV = e!V = (1.6"10#19 C)" (1 V) = 1.6"10#19 J

Scale energetiche tipiche

  membrana cellulare: 10-2 - 10-1 eV

  elettrone atomo H 27 eV

  energia delle reazioni nucleari (stelle): MeV (1 MeV = 106 eV)

  energia della “unificazione” elettrodebole: 100 GeV (1 GeV = 109 eV)

  energia di “Grande Unificazione”: 1015 GeV (Forza forte ~ elettrodebole)

  energia di Planck: 1019 GeV (Forza gravitazionale ~ come le altre)