Sommario

  Sistemi di riferimento   Operazioni sui vettori   Concetto di campo   Angolo solido   Flusso di un campo vettoriale

Entita` fisiche

  Grandezze fisiche

  scalari (es. temperatura, energia, ecc.)   vettoriali (es. posizione, velocita`, forza, ecc.)   tensoriali

Sistemi di riferimento

  Descrizione di un sistema fisico   sistema di riferimento   orologio

O

x (x1)

y (x2)

z (x3)

i (ex,e1) j (ey,e2)

k (ez,e3)

P

!x ( !r )

!x = xi

i =1

3

!!ei " xi

!ei (somma sugli indici ripetuti)

(modulo)

Prodotto scalare

θ u

v

(ui!ei ) ! (v j

!e j ) = uiv j!ei !!e j = uiv j d ij = uivi

nrvr

!v|| = (

!v!!n) !n

!v!=!v-!v||

Prodotto vettoriale

totalmente antisimmetrico

!p =!u!!v

!u

!vθ

Area = |!u!!v |=|!u ||!v | sin!

verso della rotazione orientamento

Ginnastica con gli indici

contrazione

!a ! (!b ! !c )Esempio:

!a ! (!b ! !c )"

#$%i= ! ijk a j (

!b ! !c )k

mknm nb cε

jk j knm n mi a b cε ε=

k j kni m j n ma b cε ε= ( )n jm m jni mi j na b cδ δ δ δ= − = bi (amcm )! ci (anbn )!a ! !c !a !!b

=!b ( !a ! !c )" !c ( !a !

!b )

k jiε

! ijr!er= ai b j! ijr

!er= ai b j!ei !!e j

!a !!b (

!a !!b )r = !rij ai b j

Ginnastica con gli indici

Si possono ritrovare quasi tutte le identita` vettoriali

Nota: 0jk kj ijk jkT T Tε= ⇒ =

0ijk jkε δ =in particolare:

(!a !!b ) " !c

(!a !!b ) " ( !a ! !c ) =| !a |2 (

!b " !c )# ( !a "

!b )( !a " !c )

non cambia per scambio ciclico

Esercizio. Dimostrare che:

Curva nello spazio e integrale di linea

!F

C! "d!x =

!F [!x (t )] " d

!xdtta

tb

! dt

!F

C! "d!x =

!F [!x (s )] " d

!xdsa

b

! ds =!F [!x (s )] "

!T

a

b

! ds

2 2 2

v dx dy dz dsdt dt dt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d!xdt

=d!xdsdsdt

=d!xdsv! d

!xds

=!T

Superficie nello spazio (u,v)=(θ,φ)

θ

φ

0 π

2π !x (! ," )

Integrale di superficie

Concetto di campo

  Esempio: interazione gravitazionale

m “sonda” il campo generato da M; m “interagisce” con il campo generato da M

campo gravitazionale =

campo vettoriale

!er =!rr

M

m

Concetto di campo

  Descrizione di una quantita` fisica in termini del campo: equazioni che governano l’evoluzione del campo nel tempo per ogni punto dello spazio (connessione con le sorgenti del campo) – la soluzione fornisce in linea di principio !

G (!x , t )

!F = m

!G (!x , t )

Concetto di campo

  Interazione nella fisica pre-relativistica

  azione a distanza   interazione con un campo

descrizioni equivalenti

velocita` infinita di propagazione delle interazioni

Concetto di campo

  Equazioni per i campi elettromagnetici (vedremo poi cosa sono, pensiamo ai fenomeni ottici ad esempio): contengono una costante c ~ 3x108 m/s (velocita` della luce nel vuoto)

  La fisica dei fenomeni elettromagnetici non e` descritta in modo equivalente in sistemi di riferimento inerziali se questi sono collegati dalle trasformazioni classiche di Galilei

Campo come entita` fisica

  Velocita` finita di propagazione delle interazioni (relativita` ristretta)

  Interazione tra sorgenti e campo

  Il campo, che trasporta energia, quantita` di moto, momento angolare diviene una entita` fisica

Nuova definizione di “metro”

  1983 – XVII Conferenza Generale di Pesi e Misure

1 m = distanza percorsa dalla luce in un 1/299 792 458 di secondo

Angolo piano e angolo solido

dθ

α

α n

er

R

ds

dl

(radianti)

dldR

θ =cosdsRα

= =ds !n ! !erR

O

d ! =dA cos!R 2

=dA !n ! !erR 2

(steradianti)

Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie

!n

!F

θ

dA

d !(!F ) "

!F #!n dA

superficie chiusa