Il dipolo elettrico

Dipolo elettrico

Interazioni del dipolo elettrico

Sviluppo in serie di multipoli

Esempi

Dipolo elettrico

Due cariche puntiformi +q e q distanti a

2 1cosr r a

P lontano a/r

Dipolo elettrico

Lontano dal dipolo

2

0

( )4

rp e

V rr

Va a zero piu` rapidamente del

potenziale di una carica puntiforme

(+q, -q tendono a neutralizzarsi)

2

04

rp e

Er

3

1

r

Campo elettrico del dipolo

2

04

rp e

Er

3

0

1

4

p r

r

3

0

13( )

4r r

p p e er

3

0

1

4

i ip x

r

costanti

3

04

i ip x

r

3 2

6

0

3

4

i i ip r x x r r

r

ie

re

r

re

r

r

re

r

3 2

6

0

3 ( )1

4

rr p r p r e

r

Campo elettrico del dipolo

P

y

z

e

r

Er

Erp

Giace nel piano individuato da ed r

p e

Decresce con la distanza come 3

r

Nel piano mediano ( 0)rp e E p

Lungo lasse del dipolo E p

Negli altri casi mai parallelo a p

Campo elettrico del dipolo

P

y

z

e

r

Er

Erp

cos sinr

p p e p e

3( ) 2 cos sinrr r

p e e p p pe e

cosr

p e p

Campo elettrico del dipolo

cos sinr

p p e p e

3( ) 2 cos sinrr r

p e e p p pe e

cosr

p e p

0, asse del dipolo: campo radiale, // dipolo

y

z

er

p

3

0

1( 0) (2 )

4r

E p er

Campo elettrico del dipolo

cos sinr

p p e p e

3( ) 2 cos sinrr r

p e e p p pe e

cosr

p e p

3,

2 2

campo perpendicolare alla direzione

radiale, // dipolo

y

z

e

r

p

3

0

1( )

2 4z

E per

Linee di forza ed

equipotenziali

Dipolo elettrico in un campo

elettrostatico

Energia potenziale del dipolo

( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )U r qV r a qV r q V r a V r

r

r a

-q

+q

Ea

( )qa V rp E

( )U r p E

Dipolo elettrico in un campo

elettrostatico

ForzaE

p

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F F r F r a qE r qE r a q E r a E r q a E qa p

i i k k iF p E p E F p E

Anche da:

F U p E p E 0E

Ep

p E pE

F p E

Dipolo elettrico in un campo

elettrostatico

ForzaE

p

i i k k iF p E p E F p E

Anche da:

F U p E p E 0E

Ep

p E pE

F p E

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F F r F r a qE r qE r a q E r a E r q a E qa p

Dipolo elettrico in un campo

elettrostatico uniforme

F p E =0

La forza e` nulla:

Momento della forza:

( )q q

M r F r a F

qF qE

M p E Il momento fa ruotare il dipolo per

allinearlo al campo elettrostatico.

Minimo dellenergia di interazione.

Dipolo elettrico in un campo

elettrostatico uniforme

M p E pE

( ) sin z y y z z x

p E pe E e E e pE e

sindU

M pEd

dW Md dU ( cos )U pE

Interazione tra due dipoli

Consideriamo il primo dipolo nel campo del

secondo, o viceversa: il problema e` simmetrico.

Energia di interazione

12 1 2 1 2 230

13( )

4r r

U p E p p e e pr

12 1 2 1 2 2130

13( )( )

4r r

U p p p e p e Ur

3 4 r F r

Espansione in multipoli

O

P

ri

r-ri

r

d

r >> d ( ) ( ) ( )i i

f r r f r r f r

2

1 1 1 1

| |

r

i i

i

er r

r r r r r r

2

re

r

Espansione in multipoli

2 2

0 0

1 1 1( )

4 4

ri

r

i i

i

i i

i i

ee

V r q rr

q q

r r r

r

2

0

1( )

4

rp eQ

V rr r

K0 = Q = monopolo

K1 = dipolo

K2 = quadrupolo

i

i

i i

i

Q q

p q r

Termine di dipolo

Se la carica totale e` nulla (Q=0) il momento

di dipolo non dipende dalla scelta dellorigine

delle coordinate entro la distribuzione di

carica (esercizio: dimostrarlo)

Generalizzazione a distribuzioni continue di

carica. Ad esempio:

3' ( ') 'p x x d x

H2O e` un dipolo

105o

Lato positivo

H H

O

Lato negativo

M p E

12 1 2 1 2 2130

13( )( )

4r r

U p p p e p e Ur

p1 p2

forza attrattiva

p1 p2

forza repulsiva1 2

2

0

3

4r

p pF e

forza repulsiva forza attrattiva

Esempio

Acqua

meV9 30 2

211 2

3 10 3

0

9 10 (6.2 10 )2.77 10 17.3

4 (5 10 )e

p pU J

r

Cm306.2 10p m105 10r

meV34.6e

U meV (300 K)26B

k T

N11~ 10F

Esercizio

Data la distribuzione di cariche:

Q1 1 nC in P1=(1,1,2) cm

Q2 5 nC in P2=(2,2,2) cm

Q3 -4 nC in P3=(1,3,2) cm

Q4 -2 nC in P4=(3,3,3) cm

calcolare il potenziale elettrostatico nel punto P=(3,4,0) m

nellapprossimazione di dipolo, e confrontarlo con il valore

esatto.

Termine di quadrupolo

Esercizio: calcolarlo

3

1 mm

x

r r

3 2

3 6 3

3 ( ) 31

n n m

nm m nmm

n m n

x x xr r x

x r r r

r r r r

2 2| |

nm n ma a a a

2

2 2 2

2

( )( ) cosn m

n m r

x x a ra a a e a

r r r

2

( )1

( ) ( )( )

2m n

nm n m

f r af r

a ax

f r a f rx

1

( ( ) , )i

f r a rr

suggerimenti

Termini di monopolo, dipolo e

quadrupolo