Diciassettesima Lezione

Potenziali ritardati e dipolo Hertziano

Riassunto della lezione precedente

Potenze Vettore di Poynting in campo complesso Coefficiente di trasmissione, ROS Calcoli con le linee Onde piane e linee Onde piane in mezzi stratificati

Radiazione: condizioni al contorno nel tempo Cosa succede quando la regione S in cui si risolvono le eq di

Maxwell è all’infinito?

Campi e variazioni, nonché le interazioni si propagano con velocità finita

Quindi la condizione al contorno su un contorno infinito, nel tempo, è che il campo all’infinito sia sempre nullo

Radiazione: condizioni al contorno in frequenza In frequenza all’infinito vale la condizione di radiazione di

Sommerfield

Sostituisce le condizioni su S fissando un flusso di potenza reale attraverso S all’infinito

Stabilisce che E ed H vadano a zero almeno come 1/r

0)()(lim r

rr urHrE

Stabilisce che E ed H all’infinito approssimino un’onda piana

Uso del potenziale vettoreAbbiamo già introdotto e studiato il potenziale vettore: vediamo come usarlo nei problemi di radiazione

Avevamo visto infatti che essendo 0 B

E’ possibile scrivere AB

e che il potenziale vettore può essere definito a meno del gradiente di un campo scalare (potenziale)Sostituiamo nell’equazione di Faraday

t

B

E

A

t t

A

Quindi due grandezze con ugual rotore sono uguali a meno di un gradiente, per cui

t

AE

Uso del potenziale vettore

Ora usiamo tale espressione nella legge di Gauss

D

Quindi

Ora sostituiamo nella legge di Ampère

D’altro canto sappiamo che

At

2

At

2

t

DJA

t

EJ

tt

2

2AJ

AAA

2e che la divergenza del potenziale vettore è un nostro grado di libertà (lezione 10). Quindi scegliamo

t

A

Scelta (o Gauge) di Lorenz (..non Lorentz)

Ludvig Valentine Lorenz, matematico

danese, da non confondere con Hendrik Antoon Lorentz il fisico olandese delle trasformate di Lorentz, premio Nobel 1902 con Pieter Zeeman

Uso del potenziale vettoreCon tale scelta, il potenziale vettore soddisfa ad un’equazione d’onda, come la conosciamo

Ed anche l’eq per il potenziale scalare diventa

Nota: la scelta di Lorenz non solo semplifica i conti, ma ha un significato fisico: esprime in modo diverso la continuità della carica

JA

A

2

22

t

2

22

t

Soluzione del potenziale vettore: staticoNel caso statico abbiamo già visto come fare; vediamo cosa succede con le formule attuali

Come ci aspettavamo. Queste le abbiamo risolte (sempre lezione 10, anche se con notazione lievemente diversa)

JA 2

2

dV

V

'4

')(

rrr

dV

V

'4

')(

rr

JrA

Soluzione del potenziale vettore: DinamicoUsiamo un approccio euristico: sappiamo che la differenza principale tra caso statico e dinamico è che le interazioni si propagano in tempo finito

Proviamo a determinare le soluzioni considerando solo questo fatto: quindi sostituendo alle equazioni possiamo verificare che funziona. Avremo allora

dVv

t

tV

'4

''

),(rr

rr

r

dVv

t

tV

'4

''

),(rr

rrJ

rA

essendo v uno sulla radice di , r il punto di osservazione ed r’ la variabile di integrazione

V

P

r

r’

r-r’

dV

Soluzione del potenziale vettore: Dinamico sinusoidaleLe funzioni del tempo divengono semplicemente

per cui

ev

tfv

tj

''

rrrr

dVe

V

jk

'4

')(

'

rr

JrA

rr

ee jktj 'rr

va sottinteso

dVe

V

jk

'4

')(

'

rrr

rr

Il dipolo HertzianoE’ il più semplice esempio di radiatore: ideato da Heinrich Rudolf Hertz ed utilizzato nel suo esperimento del 1887

1857-1894

Trasmettitore

Ricevitore

Il dipolo HertzianoIn modo più schematico

Trasmettitore Ricevitore

Il dipolo HertzianoSupponiamo di avere una corrente filiforme orientata lungo z, di lunghezza piccola rispetto alla lunghezza d’onda (lunghezza h), e costante nello spazio. Immaginiamo che sia sinusoidale nel tempo (usiamo i fasori)

La continuità della carica impone che agli estremi vi siano due cariche uguali ed opposte, anch’esse variabili nel tempo

z

y

),,( zyxP

x

0Ih

rsin

Vista l’ipotesi di elemento “corto” l’integrale diventa semplicemente I0h, e l’unica componente non nulla è lungo z

r

heIA z

jkr

z uurA

4

)( 0

Il dipolo Hertzianoquindi abbiamo già tutto…l’unica difficoltà è passare alle coordinate sferiche

non c’è componente angolare lungo vista la simmetria cilindrica

A questo punto basta calcolare i campi

r

sinheIsinAA

r

heIAA

jkr

z

jkr

zr

4

4

coscos

0

0

ArsinrAA

rrsinsinr

r

r

r uuu

AB

1112

rrrr ArAr

Arsin

rAsinr

uuu

11)(

12

Il dipolo HertzianoQuindi B (ed H) ha solo componente lungo

Considerazioni: in condizioni statiche k=0: il secondo termine, che rimane, è quello statico: ci potete riconoscere la formula di Laplace

rjk

r

esin

hIBH

jkr 1

40

rdr

IulB

24

lu dh z in cui

Quindi: il termine statico decresce come 1/r2, quello dinamico come 1/r

Il dipolo HertzianoCalcoliamo il campo elettrico (un po’ di conti…)

Vedete un termine che decresce come r3, che è quello del dipolo elettrostatico in cui I0/j è proprio la carica (per continuità)

20 22

cos4 rjrr

ehIE

jkr

r

A grande distanza dominano solo i termini in 1/r (quindi Er è trascurabile); quindi a grande distanza

rrjj

r

esin

hIE

jkr

20 1

4

Il dipolo Hertzianoa grande distanza

come un’onda piana!

r

ehIjkH

jkr

sin

40

r

ehIjE

jkr

sin4

0

kH

E

Il dipolo Hertziano I campi di un dipolo hertziano, posto all’incrocio dei

piani

I grafici calcolati da Hertz!