Il dipolo elettrico

  Dipolo elettrico   Interazioni del dipolo elettrico   Sviluppo in serie di multipoli   Esempi

Dipolo elettrico   Due cariche puntiformi +q e –q distanti a

P “lontano” a/r << 1

-q

+q

P

er θ

r

!p = q

!a

VP =q4!"0

1!r !!a2

!q4!"0

1!r +!a2

=q4!"0

1!r !!a2

!1!r +!a2

"

#

$$$$

%

&

''''

f (!r +!h) ! f (!r )+

!h "!#f + " " "

1!r !!a2

!1!r +!a2

" (1r!!a2#!$1r)! (1

r+!a2#!$1r) = !

!a "!#1r=!a ! !err2a

Dipolo elettrico

VP =q4!"0

1!r !!a2

!1!r +!a2

"

#

$$$$

%

&

''''

(q4!"0

!a ) !err2

=!p ! !er4!"0r

2

V (r) =!p !!er

4!"0r2

!E = !

!"!p #!er

4!"0r2

$

%&

'

()

3

1r

∝Va a zero piu` rapidamente del potenziale di una carica puntiforme (+q, -q tendono a neutralizzarsi)

Campo elettrico del dipolo !E = !

!"!p #!er

4!"0r2

$

%&

'

() = !

14!"0

!"!p #!rr3

$

%&

'

()

= !1

4!"0r3

!p! 3(

!p "!er )!er#$ %&

!er =!rr

= !14!"0

r3!p! 3r2(

!p "!r )!er

r6

= !14!"0

!"(!p #!r )r3 ! 3r2(

!p #!r )!"r

r6

!!!p "!r( ) = !p

Campo elettrico del dipolo

P

y

z

θ er

Er

Eθ r p

•  Giace nel piano individuato da !p ed

!er•  Decresce con la distanza come 3r −

•  Nel piano mediano (!p ! !er = 0)

!E !"

!p

•  Lungo l’asse del dipolo !E !

!p•  Negli altri casi mai parallelo a

!p

Campo elettrico del dipolo

P

y

z

θ er

Er

Eθ r p

!p = pcos!

!er ! psin!

!e"

3(!p !!er )!er !!p = 2 pcos!

!er + psin!

!e!

!p !!er = pcos!

Campo elettrico del dipolo

!p = pcos!

!er ! psin!

!e"

3(!p !!er )!er !!p = 2 pcos!

!er + psin!

!e!

!p !!er = pcos!

0,θ π= asse del dipolo: campo radiale, // dipolo

y

z

θ

er p

!E(! = 0) = 1

4"#0r3 (2 p)

!er

Campo elettrico del dipolo

!p = pcos!

!er ! psin!

!e"

3(!p !!er )!er !!p = 2 pcos!

!er + psin!

!e!

!p !!er = pcos!

! ="2, 3"2

campo perpendicolare alla direzione radiale, // dipolo

y

z

θ er p

!E(! = "

2) = ! 1

4"#0r3 p!ez

Linee di forza ed equipotenziali

Dipolo elettrico in un campo elettrostatico

Energia potenziale del dipolo

U (!r ) = qV (

!r +!a )+[!qV (

!r )]= q V (

!r +!a )!V (

!r )"# $%

!r

!r +!a

-q

+q

!E

!a

! q!a !!"V (!r )

!p !

!E

! U (!r ) = "

!p #!E

Dipolo elettrico in un campo elettrostatico

Forza !E

!p

!F =

!F (!r )+

!F (!r +!a ) = !q

!E(!r )+ q

!E(!r +!a ) = q

!E(!r +!a )!

!E(!r )"

#$% " q

!a &!'( )!E

q!a =!p

Fi =!p !!"( )Ei = pk#k( )Ei!

F =!p !!"( )!E

Anche da: !F = !

!"U = !

!"(!!p #!E) =

!"(!p #!E)!

!"!E = 0

!E

!p

!p !!E = pE

!F = p

!!E

Dipolo elettrico in un campo elettrostatico

Forza !E

!p

Fi =!p !!"( )Ei = pk#k( )Ei!

F =!p !!"( )!E

Anche da: !F = !

!!U = !

!! "!p !!E( ) =

!!!p !!E( )!

!"!E = 0

!E

!p!p !!E = " pE

!F = ! p

!"E

!F =

!F (!r )+

!F (!r +!a ) = !q

!E(!r )+ q

!E(!r +!a ) = q

!E(!r +!a )!

!E(!r )"

#$% " q

!a &!'( )!E

q!a =!p

Dipolo elettrico in un campo elettrostatico uniforme

!F = p

!!E

=0   La forza e` nulla:

  Momento della forza: !M =

!r !!F"q + (

!r +!a )!

!F+q

!F±q = ±q

!E

!M =

!p!!E

Il momento fa ruotare il dipolo per

allinearlo al campo elettrostatico.

Minimo dell’energia di interazione.

Dipolo elettrico in un campo elettrostatico uniforme

!M =

!p!!Ep

E

!p!!E = p

!ez ! (Ey

!ey + Ez

!ez ) = " pE sin!

!ex

M = pE sin! = ! dUd!

dW = Md! = !dU(U = ! pE cos! )

Interazione tra due dipoli Consideriamo il primo dipolo nel campo del secondo, o viceversa: il problema e` simmetrico.

Energia di interazione

U12 = !!p1 !!E2 = !

14!"0r

3

!p1 ! 3(

!p2 !!er )!er !!p2( )

U12 =1

4!"0r3

!p1 !!p2 " 3(

!p1 !!er )(!p2 !!er )( ) =U21

! r"3 # F ! r"4