Sorgenti del campo magnetico. - INFN Bolognastessa struttura del dipolo elettrico a grande distanza...

Sorgenti del campo magnetico.

n  Campo magnetico prodotto da una corrente n  Prima legge elementare di Laplace n  Legame campo elettrico e magnetico

Campo magnetico prodotto da una corrente

n  Prima legge elementare di Laplace q  campo magnetico prodotto da un elemento dl di

filo percorso dalla corrente i, alla distanza r

dli

r P!er

d!B

d!B = µ0

4!id!l !!er

r2

µ04!

= 10!7 TmA

= 10!7 Hm

µ0 = 4! !10"7 ! 1.26 !10"6 H

mPermeabilita` magnetica del vuoto

2

ir

∝ regola vite destrorsa


n  Prima legge elementare di Laplace q  strumento di calcolo della sovrapposizione dei

contributi al campo magnetico

dli

r P!er

d!B

d!B = µ0

4!id!l !!er

r2

!B = µ0i

4!d!l !!er

r2!"


n  Prima legge elementare di Laplace q  strumento di calcolo della sovrapposizione dei

contributi al campo magnetico

dli

!r !!r '

P!erd!B

O

!r

!r ' !

B = µ0i4!

d!l (!r ')! (

!r "!r ')

!r "!r '

3!#


n  Distribuzioni tridimensionali di corrente

!B = µ0i

4!d!l (!r ')! (

!r "!r ')

!r "!r '

3!#

!B = µ0

4!

!J !!err2" dV

id!l !

!JdV

Carica puntiforme in moto !B =

µ04!

!J !!err2

" d 3x!J = nq

!v

Contributo di ciascuna singola carica (campo generato da una carica puntiforme)

!B = µ0

4!q!v!!er

r2

Campo elettrico E!LAB = E!

q

E!LAB = !E

!q

se v! c! ! ! 1! ! ! 1!ELAB "

!Eq

!E ! q

!er

4!"0r2

!B = !0µ0

!v!!E (! ! 1)

Carica puntiforme in moto

!B = !0µ0

!v!!E collega i campi elettrico e magnetico di una

carica puntiforme in moto

!0µ0 =1c2! c = 1

!0µ0! 3 "108 m

s

B ! vEc2

= !Ec

( 1)β <<

Esempio: filo rettilineo percorso da corrente

n  Filo percorso da corrente i. Determinare il campo magnetico a distanza h dal filo.

d!B = µ0i

4!d!l !!r

r3In P il campo e` ortogonale e diretto verso l’interno del foglio

d!l !!r = rdz sin!

dB = µ0i4!sin"dzr2

=µ0i4!cos"dzr2

O P

dz

h

r θ

φ

ez

z

i



dB = µ0i4!cos"dzr2

O P

dz

h

r θ

φ

ez

z

z = htan!! dz = h(tan! )'d! = h d!

cos2!r = hcos!



dB = µ0i4!

cos"h2

cos2"

h d"cos2"

O P

dz

h

r θ

φ

ez

z dB = µ0i

4!cos"hd"



O P

dz

h

r θ

φ

ez

z

B = µ0i4!h

cos! d!!1

!2!B = µ0i

4!hsin!2 ! sin!1( )

mandando la lunghezza del filo all’infinito

1

2

2

2

πϕ

πϕ

→ −

→ +

sin!2 ! sin!1" 2 B = µ0i2!h

Esempio: spira quadrata n  Campo nel centro del quadrato

P

a

a a

a Ogni lato e` un filo di lunghezza a

Dista a/2 dal centro del quadrato

B = µ0i

4! a2

sin !2( )! sin !1( )"#

$%

un lato =µ0i2!a

2

!1=!"4,!2=

"4

=µ0i

4! a2

22! !

22

"

#$$

%

&''

(

)**

+

,--

Esempio: spira quadrata n  Campo nel centro del quadrato

un lato !B = µ0i

2!a2 22

!

"##

$

%&&

moltiplicando per 4 !B = 2 2µ0i

!a!ez

(corrente antioraria) B = 2 2µ0ia2

!a !a2=2µ0 2m!a3

P

a

a a

a i

Esempio. Spira circolare.

n  Spira circolare piana di raggio r. Campo sull’asse passante per il centro, a distanza z.

d!l = Rd!

!e!

d!B = µ0i

4!d!l !!r

r3

!r = !R

!e! + z

!ez

=µ0i4!Rd!!e! ! "R

!e! + z

!ez( )

r3

P

i

dl

R

dϕ

!r z



P

i

dl

R

dϕ

!r d!B = µ0i

4!Rd!!e! ! "R

!e! + z

!ez( )

r3

eρr

eϕrze

r!e! !!e! = "

!ez

!e! !!ez =!e"



P

i

dl

R

dϕ

!r d!B = µ0i

4!Rd!!e! ! "R

!e! + z

!ez( )

r3

=µ0i4!Rd! R

!ez + z

!e!( )

r3



P

i

dl

R

dϕ

!r!B = µ0iR

4!d!

R !ez + z

!e!

r3!

"##

$

%&&0

2!

'

d!!e!r3= 0

0

2!

!

Bz =µ0iR4!

d! Rr30

2!

! =µ0iR

2

4! r3d!

0

2!

! =µ0iR

2

2r3



P

i

dl

R

dϕ

!rBz =

µ0iR2

2r3=

µ0iR2

2 R2 + z2( )3/2

z = 0! Bz (0) =µ0iR

2

2 R2( )3/2 =

µ0i2R

z ! R! Bz (z) !µ0iR

2

2 z2( )3/2 =

µ0iA2! z3

=µ04!2mz3

Dipolo magnetico – dipolo elettrico

Bz (z) !µ04!2mz3

stessa struttura del dipolo elettrico a grande distanza rispetto alle dimensioni lineari della distribuzione

campo elettrostatico di un dipolo elettrico !E = 1

4!"0r3 3(!p !!er )!er "!p#$ %&

energia potenziale di interazione tra due dipoli elettrici

U12 = !!p2 "!E1 =

14!"0r

3

!p1 "!p2 ! 3(

!p1 "!er )(!p2 "!er )#$ %&


Bz (z) !µ04!2mz3

stessa struttura del dipolo elettrico a grande distanza rispetto alle dimensioni lineari della distribuzione

campo magnetico del dipolo !B = µ0

4! r33(!m !!er )!er "!m#$ %&

energia potenziale di interazione tra due dipoli magnetici

U12 = !!m2 "!B1 =

µ04! r3

!m1 "!m2 ! 3(

!m1 "!er )(!m2 "!er )#$ %&


Bz (z) !µ04!2mz3

stessa struttura del dipolo elettrico a grande distanza rispetto alle dimensioni linari della distribuzione

forza tra due dipoli

!F = !

!"U

M! = !"U!!

momento rispetto all’asse di rotazione

Solenoide rettilineo n  Conduttore avvolto secondo un’elica cilindrica di

passo piccolo rispetto alla sua lunghezza d

singola spira 03

24

mBr

µπ

=spira

20

3

24

R ir

µ ππ

=2

032R ir

µ=

Nnd

=

spire per unita` di lunghezza

z zP P

dz

z R r

φ

Solenoide rettilineo

z zP P

dz

z R r

φ

dB = Bspirandz =µ0nR

2i2r3

dz lungo l’asse del solenoide

r sin! = R

(zP ! z)tan! = Rdz = Rd!

sin2!


dB = µ0nR2i

2r3dz = µ0ni

2sin!d!

B = µ0ni2

sin! d!!1

!2

! =µ0ni2

cos!1 ! cos!2( )

zP P 1ϕ

2ϕ


B = µ0ni2

cos!1 ! cos!2( )

misurando z dal centro del solenoide

zP P 1ϕ

2ϕ


Se d ! R!!1" 0!2 " !

#$%

&%

zP P 1ϕ

2ϕ

! cos!1 " cos!2 # 2

B = µ0ni2

cos!1 ! cos!2( ) " B#= µ0ni


-d/2 d/2

Per R/d << 1 il campo e` approssimativamente costante in una vasta zona. Al crescere di R/d la zona si restringe e si estende la zona all’esterno in cui il campo differisce apprezzabilmente da zero.

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