Quinta Lezione Espansione in momenti di dipolo, Metodo delle immagini, definizione e calcolo...
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Quinta Lezione
Espansione in momenti di dipolo, Metodo delle immagini, definizione e calcolo capacità
Riassunto della lezione precedente Circuitazione del campo elettrico Gabbia di Faraday Potenziale di un guscio/conduttore carico il generatore di Kelvin effetto delle punte e parafulmine calcolo del potenziale per alcune distribuzioni
L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche
Distribuzione arbitraria di cariche: il potenziale in P in prima approssimazione, a grande distanza: P
r
r’
ri
di
i0
4
1)(
i
i
r
qV
r
r
r 0ii
0 4
4
1
Ma se ci sono cariche positive e negative in ugual quantità? L’approssimazione è chiaramente insufficiente
L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche
P
r
r’
ri
di
cosii drr
Per cui il potenziale diventa
Approssimiamo meglio ri
rr ud i
rrr
rr
ii
ud i
111 1
i2
0
... 4
1)(
rq
r
QV ri
iud
r
L’approssimazione di dipolo per distribuzione arbitraria di cariche
Se definiamo momento di dipolo per una distribuzione di cariche
iiiq dp
Vediamo che il secondo termine dell’espansione è
20
4
1
rrup
Cioè esattamente il potenziale di dipolo calcolato nella scorsa
lezione Questo è importante in quanto stabilisce che qualunque distribuzione
di cariche, globalmente neutra, ad una certa distanza ha un potenziale (e quindi un campo) che dipende dal momento di dipolo
Esempio: approssimazioni a grande distanza Supponiamo di avere una distribuzione di cariche piuttosto
complicata:Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m
Q2= 3nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m
Q3= 12nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m
Q4= 8nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m
Qual è il potenziale in P (3,0,4) m? P
Esempio: approssimazioni a grande distanza
Le cariche sono tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m
Sappiamo quindi che il risultato sarà con buona approssimazione
R
RV
0ii
0 4
4
1
510854.84
102412
9
V14.43
Se avessimo fatto il conto in modo esatto avremmo ottenuto
i
i
0
4
1
ir
qV
i
i
0
4
1
RR
i
q
V37.43
….la distanza in questo caso non è poi così grande...
Esempio2: approssimazioni a grande distanza Modifichiamo lievemente i dati (le cariche) del problema
precedente:Q1= 1nC in R1 (0.01,0.01,0.02)m
Q2= 5nC in R2 (0.02,0.02,0.02)m
Q3= -4nC in R3 (0.01,0.03,0.02)m
Q4= -2nC in R4 (0.03,0.03,0.02)m
Qual è il potenziale in P(3,0,4) m? P
Esempio 2: approssimazioni a grande distanza
Le cariche sono ancora tutte vicine all’origine, da cui P dista circa 5m
Però se calcoliamo come prima
R
RV
0ii
0 4
4
1
0
Ovvero l’approssimazione è insufficiente: conta il contributo di dipolo (che sappiamo decrescere come r2)
Calcoliamo il termine di dipolo:
iiiq dp Cm0,107,10 1111
20
4
1
rV rdip
up
3
0
4
1
r
Rp
3
11
12 )5(
00103
10854.84
1
V310157.2
Esempio 2: approssimazioni a grande distanza
Se avessimo calcolato in modo “rigoroso” avremmo ottenuto
i
i
0
4
1
ir
qV
V310298.2
Metodo delle Immagini
Se sostituiamo una superficie equipotenziale con una superficie conduttrice (o un conduttore pieno) avente il corretto potenziale, il campo rimane identico!
IDEA: studiare i campi di distribuzioni di cariche in prossimità di conduttori rimpiazzando i conduttori con distribuzioni di carica appropriate, o viceversa, a seconda della difficoltà del problema
Metodo delle Immagini
Tale procedura, ovvero sostituire ad un problema, un problema equivalente più semplice, è molto generale
Ovviamente il problema è equivalente per tutto quanto è al di fuori del conduttore equivalente
Il caso più semplice: un conduttore piano a potenziale zero (massa) in prossimità di una carica. Basta sostituire con un dipolo.
Carica in prossimità di un piano conduttore
Il campo dovuto alla carica sola è
Sul piano, il campo è tutto ortogonale, con direzione -x, e la componente di r lungo x di r è -a, ovvero
P
rr
q rE
204
xar
quE
304
r
xa
a
qu
2
322
04
Aggiungiamo l’effetto della carica immagine raddoppiando il campo
xTOT a
a
quE
2
322
04
2
a
-
-
-
-
-
-
-
-
Carica in prossimità di un piano conduttore
La densità di carica indotta (Gauss) è
Notate che, se integriamo su tutto il piano (nota: () individuano un punto in coordinate polari)
P
a)()( 0 E r
a
a
q
2
3224
2
2
0 0
)( dd
2
0 2d
-
-
-
-
-
-
-
-
Come deve essere. La forza che subisce la carica è ovviamente (forza tra due cariche uguali e opposte…)
xa
quF
20
2
24
Lo stesso risultato poteva essere ottenuto integrando i contributi di forza dovuti a (molto più laborioso!!)
ATTENZIONE L’equivalenza è valida solo per la regione al di fuori del
conduttore equivalente: es. appello luglio 2007
1nC
10cm
R=1m
Flusso attraverso la sfera? NON E’ ZERO come potreste immaginare mettendo la carica immagine
Usiamo il teorema della immagini per calcolare la carica sul piano
a
a
q
2
3224
2)(
Integrata nel cerchio di 1 m
nCRa
aRaqddQ
R
9.0)(22
222
0 0
2
Quindi per Gauss: VmQE tot 238.11/)( 0
Capacità di un conduttorePer una sfera conduttrice isolata caricata con carica Q, i punti della superficie sono equipotenziali
RQ
R
QV
4
1 R
V
Q 4
Definiamo tale quantità Capacità [F]=[C]/[V]
Se il conduttore non è sferico, nelle stesse condizioni il rapporto resta invariante
C
Capacità di un sistema di conduttori
Se i conduttori sono più di uno, ricordando che
Avremo in generale
'4
')(
0
V
dVV
rrr
'4
'..
'4
'
'4
'
000 21
cncc VVV
dVdVdV
rrrrrr
Vc1
Vc2
Vc3
Q...QQ)(
Q...QQ)(
n2211
.....n121211111
nnnnnn
n
pppVV
pppVV
r
r
Dove pij si definiscono coefficienti di potenziale
Capacità di un sistema di conduttori
Quindi, un legame lineare (matrice) lega anche nel caso di più conduttori potenziali e cariche. Possiamo invertire tale matrice
I coefficienti sono scritti in minuscolo perché, per convenzione, non sono ancora le capacità, ma coefficienti di capacità. Per definire le capacità conviene valutare quali siano i coefficienti che legano le cariche alle differenze di potenziale tra i conduttori (vedremo poi perché)
NNNNNN
NN
NN
VcVcVcQ
VcVcVcQ
VcVcVcQ
2211
22221212
12121111
Sistema di conduttori
Riscrivendo i coefficienti in modo da far comparire differenze di potenziale tra i conduttori, si ha
NNNNNNNN
NN
NN
VCVVCVVCQ
VVCVCVVCQ
VVCVVCVCQ
)()(
)()(
)()(
2211
2222212212
1121121111
in pratica una matrice capacità, in cui i coefficienti sulla diagonale si definisco autocapacità e gli altri coefficienti, mutue capacità
Sistema di 2 conduttoriconsideriamo il caso di 2 conduttori
+q
-q2221212
2121111
qpqpV
qpqpV
2
1
qppV
qppV
)(
)(
22212
12111
C
qVV 12
tale sistema prende il nome di condensatore
Condensatore piano
+++++++
----
---
dx
Calcoliamo la capacità per il caso di due lamine affacciate, di area S e distanziate d
Applicando il Teorema di Gauss:
xE SQ
d
S
V
QC
ddEVV x
Capacità tra due sfere metalliche concentriche
r
QrV
4)(
ab
abQ
ba
QbVaV
4
11
4)()(
d
SS
V
QC ba
a
bd
Sa
Sb
ab
dQ
4
22 44 ba
dQ
Capacità di un tratto di cavo coassiale Consideriamo un tratto di coassiale di
lunghezza l
a
b
l
Avevamo calcolato (lezione 2) che
a
bbVaV ln
2)()(
Considerando che Q=l otteniamo
a
b
l
bVaV
QC
ln
2
)()(
Note e notazioni
Di qui in poi userò delle frecce per indicare differenze di potenziale
tali frecce ovviamente non servono ora ad indicare dei vettori
userò frecce, che vanno da un punto (potenziale di riferimento) ad un altro punto (potenziale) per evidenziare qual è il potenziale di riferimento
V
Conduttore 1 Conduttore 2
Per esempio: V indica il potenziale del conduttore 2 rispetto al conduttore 1
Legge di Kirchhoff alle maglie Tale notazione consente di riscrivere la conservatività del
campo elettrostatico in una forma molto utile che prende il nome di Seconda legge di Kirchhoff:
Prendiamo una serie di punti, o una serie di conduttori, immersi in un campo
1
2
3
V21
V32
V13
Avevamo definito la ddp tra due punti come:
2
121 lE
dV
Se quindi calcoliamo
01
3
3
2
2
1
lElElElEdddd 0133221 VVV
Ovvero: la somma algebrica delle differenze (o cadute) di potenziale lungo una maglia è nulla
Note La scelta della “maglia” è arbitraria
Consente di legare le tensioni tra loro, ovvero ricavare una in funzione delle altre: per es
Anche la scelta dei versi delle tensioni è arbitraria purché si adotti la stessa scelta per tutto il tempo (percorrere tutta la maglia nello stesso verso)
A
B
C0 ACCBBA VVV
0 CACBBA VVV
CACBBA VVV
Connessione condensatori: Serie
+q
-q+q
-q
V1
V2
V=V1+V2
La carica totale non cambiaLe differenze di potenziale si sommano
21
21 C
Q
C
QVVVTOT
21
111
CCCTOT
Il sistema si comporta come un unico condensatore con capacità
TOTTOT V
QC i
iTOT CC
11
+++++++++
---------------
+++++++++
-----------------
Connessione condensatori: Parallelo
+q1
-q1
+q2
-q2La carica totale è la somma delle cariche
La differenza di potenziale è la stessaVtot
TOTTOT VCVCqqQ 2121 21 CCCTOT
i
iTOT CC
Esercizioa
bd c
Due elettrodi sferici come da figura.L’elettrodo più interno è rivestito di dielettrico. Capacità?
Cac
Ccbcb
cbC
ac
acC
cb
ac
04
4
bacacb
abc
CC
Cr
r
cbac
)()(
411
1 0
Possiamo pensare alla struttura come composta da due condensatori in serie: aggiungere un guscio metallico lungo la superficie di separazione non cambierebbe nulla (superficie equipotenziale)
Esercizio
Una sfera di raggio R1= 1m e carica Q= 1nC viene collegata con un filo conduttore ad una sfera, lontana dalla prima, di raggio R2=0.3 m e inizialmente scarica. Quali cariche possiedono le due sfere a collegamento avvenuto?
Esercizio (cont.)
202
101
4
4
RC
RC
Conosciamo le capacità delle sfere
Al collegamento la carica si ridistribuisce ed i conduttori finiranno per assumere lo stesso potenziale
2
2
1
1
C
q
C
qV
Ma la carica totale resta la stessa (principio di conservazione della carica)
Qqq 21
nCqnCq 23.077.0 21
Dal sistema troviamo le quantità richieste
Energia di carica di un condensatoreCaricando un condensatore compiamo un lavoro: il campo contro cui compiamo il lavoro crescerà con il crescere della carica sul conduttore
+dq
+q
V
dqC
qdqVdL
22
0 2
1
2
1
2
1CVQV
C
Qdq
C
qL
Q
q(V)
VL