Le disequazioni di secondo grado Disequazioni frazionarie

Ricordiamo che in una disequazione frazionaria non si devono mai eliminare i denominatori dei quali non si conosce il segno.

Una volta scritta la disequazione nella forma

• studiamo i segni dei fattori che si trovano al numeratore e al denominatore

• costruiamo la tabella dei segni

• deduciamo il segno finale della frazione in base alle regole sul prodotto dei segni

• individuiamo l’insieme delle soluzioni.

Le disequazioni di secondo grado

ESEMPIO

Disequazioni frazionarie

deve essere x ≠ 0 ∧ x ≠ 2

Il dominio della disequazione è R − {0, 2}. Studiamo il segno dei polinomi al numeratore e al denominatore:

Poiché Δ < 0, la disequazione è verificata

L’equazione associata ha soluzioni x = 0 ∨ x = 2, quindi la disequazione è verificata se x < 0 ∨ x > 2

continua

Le disequazioni di secondo grado Disequazioni frazionarie

Costruiamo la tabella dei segni:

L’insieme delle soluzioni è quindi l’intervallo 0 < x < 2

0 2 R

+ + +

+

+

−

−

+

+

segno di x2 + 3

segno di x2 − 2x

frazione

S

Le disequazioni di secondo grado

ESEMPIO

Disequazioni di gradosuperiore al secondo

Qualunque disequazione di grado superiore al secondo nella forma E(x) ≥ 0 oppure E(x) ≤ 0 si risolve scomponendo in fattori al più di secondo grado l’espressione E(x) e studiando poi il segno di ciascuno di tali fattori; se E(x) non è scomponibile, la disequazione non può essere risolta per via algebrica.

Scomponiamo il polinomio al primo membro:

Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto:3 R

+ +

−

−

+

+

segno di x2 + 1

segno di x − 3

prodotto

S

Le disequazioni di secondo grado

ESEMPIO

Un sistema di disequazioni è verificato nell’insieme intersezione delle soluzioni di ciascuna disequazione; conviene quindi:

Sistemi di disequazioni

• risolvere ciascuna disequazione

• costruire la tabella delle soluzioni in modo da mettere in evidenza le eventuali intersezioni.

08012

2

2

xxxx

Risolviamo la prima disequazione: S1

Risolviamo la seconda disequazione: S2

Il sistema è verificato se 0 ≤ x ≤ 8

−1 8 R

S1

S2

S

0Tabella delle soluzioni: