Le disequazioni di secondo grado Disequazioni frazionarie
Ricordiamo che in una disequazione frazionaria non si devono mai eliminare i denominatori dei quali non si conosce il segno.
Una volta scritta la disequazione nella forma
• studiamo i segni dei fattori che si trovano al numeratore e al denominatore
• costruiamo la tabella dei segni
• deduciamo il segno finale della frazione in base alle regole sul prodotto dei segni
• individuiamo l’insieme delle soluzioni.
Le disequazioni di secondo grado
ESEMPIO
Disequazioni frazionarie
deve essere x ≠ 0 ∧ x ≠ 2
Il dominio della disequazione è R − {0, 2}. Studiamo il segno dei polinomi al numeratore e al denominatore:
Poiché Δ < 0, la disequazione è verificata
L’equazione associata ha soluzioni x = 0 ∨ x = 2, quindi la disequazione è verificata se x < 0 ∨ x > 2
continua
Le disequazioni di secondo grado Disequazioni frazionarie
Costruiamo la tabella dei segni:
L’insieme delle soluzioni è quindi l’intervallo 0 < x < 2
0 2 R
+ + +
+
+
−
−
+
+
segno di x2 + 3
segno di x2 − 2x
frazione
S
Le disequazioni di secondo grado
ESEMPIO
Disequazioni di gradosuperiore al secondo
Qualunque disequazione di grado superiore al secondo nella forma E(x) ≥ 0 oppure E(x) ≤ 0 si risolve scomponendo in fattori al più di secondo grado l’espressione E(x) e studiando poi il segno di ciascuno di tali fattori; se E(x) non è scomponibile, la disequazione non può essere risolta per via algebrica.
Scomponiamo il polinomio al primo membro:
Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto:3 R
+ +
−
−
+
+
segno di x2 + 1
segno di x − 3
prodotto
S
Le disequazioni di secondo grado
ESEMPIO
Un sistema di disequazioni è verificato nell’insieme intersezione delle soluzioni di ciascuna disequazione; conviene quindi:
Sistemi di disequazioni
• risolvere ciascuna disequazione
• costruire la tabella delle soluzioni in modo da mettere in evidenza le eventuali intersezioni.
08012
2
2
xxxx
Risolviamo la prima disequazione: S1
Risolviamo la seconda disequazione: S2
Il sistema è verificato se 0 ≤ x ≤ 8
−1 8 R
S1
S2
S
0Tabella delle soluzioni:
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