111

Parte III – A.A. 2012/2013

Una funzione del tempo u(t) è detta periodica se è possibile individuare un intervallo di tempo, detto periodo T, tale per cui l’intero andamento della funzione nel tempo può essere ottenuto ripetendo indefinitamente l’andamento della funzione all’interno di tale periodo:

u(t) = u(t + kT) per ogni k intero u(t) periodica con periodo: T e frequenza: f = 1/T

Una funzione periodica del tempo u(t) è detta alternata se il suo valor medio Um è nullo all’interno del periodo: Una funzione del tempo u(t) è detta sinusoidale se il suo andamento è esprimibile mediante un seno o un coseno con opportuno angolo di fase:

u(t) = UM cos (ωt +ϑ) = UM sen (ωt +ϑ + π/2) ω ≡ 2π/T = 2πf pulsazione [rad/s], frequenza angolare

0 )(1

== ∫+Tt

t

m

o

o

dttuT

U

Grandezze periodiche, alternate, sinusoidali

222

Parte III – A.A. 2012/2013

Per una grandezza periodica u(t) si definisce il valore efficace U come la radice quadrata della media dei quadrati della grandezza nel periodo:

Valore efficace di una grandezza periodica

∫+

=Tt

t

o

o

dttuT

U

2 )(1si ha ovviamente: U ≥ 0

Per una grandezza sinusoidale si ha che il valore medio è nullo, mentre il valore efficace U è il valore massimo UM (ampiezza) diviso per √2:

∫∫π+ω

ω

+

ωϑ+ω+π

=ϑ+ω=2

2

22 2

)2(212

)(1o

o

o

o

t

t

MTt

tM tdtcosUdttcosU

TU

2MUU =

333

Parte III – A.A. 2012/2013

Circuiti in regime sinusoidale

Per circuito in regime sinusoidale si intende una rete elettrica dove tutte le grandezze elettriche, tensioni e correnti di lato, hanno un andamento sinusoidale isofrequenziale. Si considerano nella trattazione reti lineari.

Con riferimento ad una rete algebrica, è immediato verificare che se tutti i generatori indipendenti hanno andamento sinusoidale isofrequenziale, allora anche tensioni e correnti di lato hanno lo stesso tipo di andamento. Questo in virtù del principio di sovrapposizione degli effetti: tensioni e correnti sono infatti esprimibili come combinazione lineare delle gran-dezze impresse dai generatori.

Proprietà trigonometrica: una combinazione lineare di funzioni sinuosi-dali isofrequenziali è anch’essa una funzione sinusoidale avente la mede-sima frequenza.

vedi lavagna dimostrazione: sen+cos

444

Parte III – A.A. 2012/2013

Circuiti in regime sinusoidale: transitorio iniziale

Nel caso di una rete dinamica, è ancora possibile dimostrare che se tutti i generatori indipendenti hanno andamento sinusoidale isofrequenziale, allora anche tensioni e correnti di lato hanno lo stesso tipo di andamento. In questo caso però è necessario attendere l’estinguersi del cosiddetto “transitorio iniziale” dovuto agli elementi dinamici.

Con riferimento ad una rete con n elementi dinamici, la trattazione delle reti dinamiche mostra che è possibile pervenire ad una formulazione risolutiva in termini di un’equazione differenziale di ordine n, non omogenea, dove il termine forzante rappresenta una combinazione lineare delle grandezze impresse dai generatori e delle loro derivate. Nel caso di generatori sinusoidali isofrequenziali, il termine forzante è quindi anch’esso rappresentato da una sinusoide isofrequenziale.

Proprietà: la derivata e l’integrale di una grandezza sinusoidale sono funzioni sinusoidali con la stessa frequenza della grandezza originaria.

555

Parte III – A.A. 2012/2013

Circuiti in regime sinusoidale: transitorio iniziale

L’equazione differenziale risolutiva è quindi del tipo:

)()( 2121 txekekektx p

tsn

tsts n ++++= L

)( 11

1

1 ϑ+ω=++++ −

−

− tcosUxadtdxa

dtxda

dtxd

Mon

n

nn

nL

Se le radici del polinomio caratteristico sono distinte ed a parte reale negativa (rete stabile), l’integrale generale è del tipo:

In base alla proprietà di derivazione delle funzioni sinusoidali, l’integrale particolare è rappresentato da una funzione sinusoidale isofrequenziale con opportuni valori di ampiezza e fase (si veda a seguire il metodo dei fasori):

)()( 2121 ϕ+ω++++= tcosXekekektx M

tsn

tsts nL

666

Parte III – A.A. 2012/2013

Circuiti in regime sinusoidale: transitorio iniziale

Come mostrato nella trattazione delle reti dinamiche, la soluzione tende a all’integrale particolare per t→∞, quando il transitorio dovuto agli espo-nenziali si è esaurito:

Se le variabili di stato hanno andamento sinusoidale e tali sono anche i generatori, tutte le grandezze di rete saranno sinusoidi isofrequenziali. Si parla in questo caso di regime sinusoidale instaurato dopo un transito-rio iniziale. La durata del transitorio iniziale è proporzionata alle costanti di tempo della rete dinamica, ovvero, all’inverso delle parti reali delle radici sk del polinomio caratteristico (frequenze naturali).

Nota: anche nel caso di radici multiple (che saranno in questo caso reali e negative) si ha un transitorio tendente a zero per t→∞ con andamento simile a quello esponenziale di cui sopra (vedi circuiti del II ordine).

)()( ϕ+ω=∞→

tcosXtxlim Mt

777

Parte III – A.A. 2012/2013

Circuiti in regime sinusoidale: fasori

Lo studio dei circuiti in regime sinusoidale si riconduce quindi, sia per reti algebriche che per reti dinamiche, all’analisi di grandezze sinusoidali isofrequenziali sia per i generatori indipendenti, sia per le tensioni e le correnti di lato.

Trattandosi di sinusoidi isofrequenziali, è possibile caratterizzare ciascu-na grandezza y(t) con due soli parametri: l’ampiezza YM e la fase ϑ. In particolare, per ragioni che saranno evidenziate nel seguito, si è soliti considerare il valore efficace Y in luogo del valor massimo YM:

)(2)( ϑ+ω= tcosYty

Risulta quindi immediato associare ad ogni sinusoide una grandezza vettoriale a 2 dimensioni, detta fasore, avente per modulo il valore effi-cace della sinusoide e per argomento la sua fase.

ϑ∠= YY

888

Parte III – A.A. 2012/2013

Circuiti in regime sinusoidale: numeri complessi

Il fasore può quindi essere matematicamente descritto con un numero complesso, la cui rappresentazione può essere quella polare (o esponen-ziale) o quella cartesiana:

321321)()(

Eulero di Formula

YImYRe

senYjcosYYeYY j ϑ+ϑ= →= ϑ

Im

Re

Y

ϑ

Re(Y)

Im(Y)22 )()( YImYReY +=

)()(

YReYImtgarc=ϑ

999

Parte III – A.A. 2012/2013

Circuiti in regime sinusoidale: metodo simbolico

Il metodo simbolico, detto anche trasformata di Steinmetz, consiste nel considerare al posto di ciascuna sinusoide (isofrequenziale) un numero complesso, secondo la corrispondenza precedentemente descritta. In questo modo è possibile dimostrare che tutte le equazioni di legame valide per le grandezze istantanee sinusoidali si traducono in corrispon-denti equazioni algebriche tra numeri complessi stazionari (scompare la dipendenza dal tempo). In particolare:

un’equazione lineare tra grandezze sinusoidali diviene un’equazione lineare con gli stessi coefficienti tra i corrispondenti fasori;

l’operazione di derivazione nel tempo della grandezza sinusoidale, d/dt, diviene una moltiplicazione del corrispondente fasore per jω;

l’operazione di integrazione nel tempo della grandezza sinusoidale diviene la divisione del corrispondente fasore per jω.

111000

Parte III – A.A. 2012/2013

anti-trasformatadi Steinmetz

trasformata di Steinmetz

Applicazione del metodo simbolico

Sistema di equazioni integro-differenziali con variabili reali

Soluzione permanente in termini di valori

istantanei (sinusoidali)

Sistema di equazioni algebriche con

variabili complesse

Soluzione in termini di fasori (complessi)

)(2)( ϑ+ω= tcosYty ϑ= jeYY

analisi dinamica trascurando il

transitorio iniziale

analogia con la trasformata di Laplace

111111

Parte III – A.A. 2012/2013

Formulazione analitica della trasformata di Steinmetz

L’associazione tra un segnale sinusoidale y(t) ed il corrispondente fasore Y (numero complesso) può essere formalizzata analiticamente con una trasformazione simile a quella di Laplace, già precedentemente introdotta per lo studio dei sistemi dinamici, che ora diviene:

∫ ω−==T

tj dttyeT

tyY S

0

)(2)]([

Trasformata di Steinmetz

∫π

α− ααπ

=α=2

0

)(2

2)]([ dyeyY jS α = ωt

YeYtY jS ==ϑ+ω ϑ)](cos2[

111222

Parte III – A.A. 2012/2013

Trasformata di Steinmetz

Ponendo: )(2)( ϑ+ω= tcosYty

)(2)( ϑ+α=α cosYy

ovvero:

[ ])()(

22)(2)( ϑ+α−ϑ+α +=ϑ+α=α jj eeYcosYy

[ ]∫∫π

ϑ+α−ϑ+αα−π

α− α+π

=ααπ

=α2

0

)()(2

0

2

)(22)]([ deeeYdyey jjjjS

[ ] YeYdeeYy jjjS ==α+π

=α ϑπ

ϑ+α−ϑ ∫2

0

)(21 2

)]([

= 2π = 0

, essendo: α = ωt

formula di Eulero

111333

Parte III – A.A. 2012/2013

Trasformata di Steinmetz: proprietà

linearità:

derivata:

integrale:

22112211 )]()([ YaYatyatyaS +=+

Yjdt

tdyS ω=])([

ω=

∫ jYdtty

t

S

0

)(

∫ ω−==T

tj dttyeT

tyY S

0

)(2)]([

(non occorre)

vedi dimostrazione

111444

Parte III – A.A. 2012/2013

Trasformata di Steinmetz: linearità

221122112211 )]([)]([?

)]()([ YaYatyatyatyatya SSS +=+=+

∫∫ =+= ω−ω−T

tjT

tj dttyeT

adttyeT

a

0

22

0

11 )(2)(2

22112211 )]([)]([ YaYatyatya SS +=+=

∑∑∑ ==

kkk

kkk

kkk Yatyatya SS ])([)(In generale:

111555

Parte III – A.A. 2012/2013

Yjtyjdt

tdy SS ω=ω= ])([?

])([

Trasformata di Steinmetz: derivata

[ ] ∫∫∫ ω−ω−ω− ω+==T

tjT

tjT

tj dttyeT

jdttyedtd

Tdt

dtdye

T

0

0

0

)(2)(22

[ ] YjtyjtyeT

STtj ω=ω+= ω− ])([)(20

integrando per parti:

= 0

111666

Parte III – A.A. 2012/2013

Anti-trasformata di Steinmetz

La trasformazione inversa, che associa un fasore Y (numero complesso) al corrispondente segnale sinusoidale y(t), può essere formalizzata analiticamente con la seguente operazione di anti-trasformazione:

[ ] [ ]tjtjtj- eYeYeYeS Yty ω−ωω +=ℜ== *1

222][)(

Anti-trasformata di Steinmetzα = ωt

[ ] [ ]α−αα +=ℜ==α jjj- eYeYeYeS Yy *1

222][)(

)(cos2][][ 11 ϑ+ω== ϑ−− tYeYY jSS

111777

Parte III – A.A. 2012/2013

anti-trasformatadi Steinmetz

trasformata di Steinmetz

Applicazione del metodo simbolico

Sistema di equazioni integro-differenziali con variabili reali

Soluzione permanente in termini di valori

istantanei (sinusoidali)

Sistema di equazioni algebriche con

variabili complesse

Soluzione in termini di fasori (complessi)

)(2)( ϑ+ω= tcosYty ϑ= jeYY

analisi dinamica trascurando il

transitorio iniziale

111888

Parte III – A.A. 2012/2013

Metodo simbolico: LKC e LKV

In regime sinusoidale, le leggi di Kirchhoff delle correnti e delle ten-sioni costituiscono equazioni che rappresentano combinazioni lineari tra correnti o tensioni con andamento sinusoidale isofrequenziale. In base alla precedente proprietà, tali equazioni si trasformano diretta-mente in relazioni tra i fasori rappresentativi di correnti o tensioni.

Valgono quindi tutte le proprietà introdotte con le matrici topologiche.

In questo caso, LKC e LKV danno origine ad equazioni con i fasori, ovvero, con variabili complesse (fasori delle correnti di lato [I] o di anello [J], fasori delle tensioni di lato [V] o di nodo [E]):

[A][I] = 0

[A]T [E] = [V] [B][V] = 0

[B]T [J] = [I] [C][V] = 0

[C]T [Ic] = [I]

[D][I] = 0

[D]T [Vr] = [V]

111999

Parte III – A.A. 2012/2013

Metodo simbolico: relazioni costitutive algebriche

Per quanto riguarda i generatori indipendenti, sono per ipotesi tutti sinusoidali ed isofrequenziali. Per ciascuno di questi si ha pertanto un fasore rappresentativo:

io(t) = √2 Io cos (ωt+ϑi) ⇔ Io = Io ∠ϑi [A]

vo(t) = √2 Vo cos (ωt+ϑv) ⇔ Vo = Vo ∠ϑv [V] Per quanto riguarda generatori pilotati e resistori, le relazioni algebri-che tra tensioni e/o correnti si traducono nelle corrispondenti relazioni tra fasori:

v(t) = R i(t) ⇔ V = R I oppure: I = G V Analogamente per i generatori pilotati.

222000

Parte III – A.A. 2012/2013

Metodo simbolico: relazioni costitutive dimamiche

Per quanto riguarda i componenti dinamici, condensatore ed induttore, le relazioni costitutive si traducono in termini di fasori applicando le proprietà di derivazione e/o integrazione:

iC(t) = C dvC/dt ⇔ IC = jωC VC

vL(t) = L diL/dt ⇔ VL = jωL IL In questo caso, si ha una trasformazione di relazioni di tipo dinamico in relazioni di tipo algebrico.

L’applicazione del metodo simbolico porta quindi alla trasformazione delle reti dinamiche in corrispondenti reti di tipo algebrico, introducen-do variabili complesse (fasori) in luogo di variabili del tempo con an-damento sinusoidale isofrequenziale.

222111

Parte III – A.A. 2012/2013

Sulla base delle considerazioni precedenti, si giunge ad una relazione di proporzionalità (complessa) tra i fasori rappresentativi delle tensioni e delle correnti di condensatori ed induttori. Tale relazione è formalmente simile alla legge di Ohm valida per i resistori:

IC = jωC VC ⇔ VC = −j XC IC XC = 1/ωC reattanza capacitiva

VL = jωL IL ⇔ VL = j XL IL XL = ωL reattanza induttiva Nel caso di resistori, condensatori ed induttori è quindi sempre possibile ricondursi alla formulazione:

V = Z I

che assume il nome di Legge di Ohm simbolica.

Legge di Ohm simbolica

Z = R

Z = −j XC

Z = j XL

222222

Parte III – A.A. 2012/2013

Legge di Ohm simbolica: impedenza

Il numero complesso Z è detto impedenza. Da un punto di vista dimen-sionale, il suo modulo esprime una proporzionalità tra i valori efficaci di tensione e corrente. Si ha quindi per il modulo dell’impedenza:

[|Z|] = [Z] ≡ Omh = Ω

Altrettanto vale per le reattanze: [XC] = [XL] ≡ Omh = Ω

In luogo della conduttanza, G, è ora introdotta l’ammettenza Y:

Y = 1/Z I = Y V [|Y|] = [Y] ≡ Ω-1 = S

E’ quindi possibile trattare resistori, condensatori ed induttori tutti allo stesso modo, come impedenze. Le combinazioni serie/parallelo e stella/ /triangolo sono estese alle impedenze, operando con numeri complessi. Analogamente, si introduce il concetto di impedenza equivalente (prin-cipio di sostituzione), i bipoli equivalenti di Thévenin/Norton, il teorema di Millman ed, in generale, tutti i teoremi delle reti lineari algebriche.

222333

Parte III – A.A. 2012/2013

Nel caso di un semplice circuito RL serie si ha quindi:

Zeq = ZR + ZL = R + j XL

V = Zeq I , V = Zeq I Per un circuito RLC serie:

Zeq = R + j XL – j XC = R + j (XL – XC) Nel caso di un circuito RLC parallelo:

Yeq = 1/R + 1/(j XL) + 1/(−j XC) = G + j (1/XC − 1/XL )

I = Yeq V Nota: il tetmine B = 1/X è detto suscettanza. vedi schemi lavagna

Legge di Ohm simbolica: esempio RLC

22222 LRXRZZ Leqeq ω+=+==

( )22 11 LC X/X/GYY eqeq −+==

( )22CL XXRZZ eqeq −+==

222444

Parte III – A.A. 2012/2013

L’impedenza (o l’impedenza equivalente) può essere scomposta in parte reale ed in parte immaginaria, ovvero, in una componente resistiva ed in una componente reattiva. Si è quindi soliti rappresentare graficamente l’impedenza con il cosiddetto triangolo dell’impedenza:

Z = R + j X = Z ∠ϕ

R = Z cos ϕ , X = Z sen ϕ

V = Z I = Z I ∠(ϕ+ϑi) Nota: Se la parte immaginaria è positiva, come nel caso di figura, si tratta di una reattanza induttiva, (I in ritardo su V). Se la parte immaginaria è negativa si ha una reattanza di tipo capacitivo (I in anticipo su V).

Triangolo dell’impedenza

Z j X

R

ϕ

V

I

Re

Im

ϕ

222555

Parte III – A.A. 2012/2013

)(2)( ϑϕ ==⇔ϕ+ω= jjp eUU,eXXtcosXtx

Determinazione dell’integrale particolare

Come preannunciato, l’utilizzo del metodo simbolico consente di determinare piuttosto agevolmente con i fasori l’integrale particolare nel caso di rete dinamica con generatori sinusoidali isofrequenziali, ovvero, la soluzione permanente in condizioni di regime sinusoidale:

)(2 11

1

1 ϑ+ω=++++ −

−

− tcosUxadtdxa

dtxda

dtxd

on

n

nn

nL

UXajajaj on

nn )()()( ][ 1

11 =+ω++ω+ω −

− L

)( , )()()(

1

11

txXajajaj

UeXX po

nn

nj ⇒ϕ⇒

+ω++ω+ω== −

−

ϕ

L