Campo elettromagnetico

in regime sinusoidale

Correnti impresse sinusoidali, agenti in um mezzo lineare e stazionario, generano campi sinusoidali oscillanti alla loro stessa frequenza

J 0 =ℜe J 0 (r) ejωt⎡⎣ ⎤⎦

E =ℜe E(r) e jωt⎡⎣ ⎤⎦

D =ℜe D(r) e jωt⎡⎣ ⎤⎦

H =ℜe H(r) e jωt⎡⎣ ⎤⎦

B =ℜe B(r) e jωt⎡⎣ ⎤⎦

J c =ℜe J c(r) ejωt⎡⎣ ⎤⎦

Equazioni di Maxwell per i fasori

∇×E =−

∂B∂t

∇×H =

∂D∂t

+ J c + J 0∇×H = jω D + Jc + J0

∇×E = − jω B

Equazioni costitutive dei mezzi lineari, stazionari, isotropi, dispersivi nel tempo

am

∂mD∂tm

+K +a1

∂D∂t

+a0D =bn

∂nE∂tn

+K +b1

∂E∂t

+b0E

cp

∂pB∂tp

+K + c1

∂B∂t

+ c0B =dq

∂qH∂tq

+K +d1

∂H∂t

+d0H

em

∂rJ c

∂ts+K +e1

∂J c

∂t+e0J c = fs

∂sE∂ts

+K + f1∂E∂t

+ f0E

am

∂mD∂tm

+K +a1

∂D∂t

+a0D =bn

∂nE∂tn

+K +b1

∂E∂t

+b0E

am jω( )m D+K + jωa1D+a0D=bn jω( )

n E +K + jωb1E +b0E

Jc =

jω( )s fs +K + jω f1 + f0

jω( )r em+K + jωe1 +e0

E

D =

jω( )n bn +K + jωb1 +b0

jω( )mam+K + jωa1 +a0

E

B =

jω( )q dq +K + jωd1 +d0

jω( )p cp +K + jωc1 + c0

H

Analogamente:

Equazioni costitutive in regime sinusoidale

In regime sinusoidale

• le equazioni costitutive, scritte per i fasori, assumono forma algebrica, anche nel caso di mezzi dispersivi nel tempo;

• D, B e Jc sono variabili dipendenti da E e da H attraverso “funzioni di trasferimento”, generalmente complesse e dipendenti dalla frequenza;

• D, B e Jc possono essere eliminati dalle equazioni fondamentali

∇×H = jω D + Jc + J0 = jω D +Jc

jω

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ J0∇×E = − jω B

Eliminazione di D, B, Jc

D +J c

jω=εE

ε @

jω( )nbn +K + jωb1 + b0

jω( )m

am +K + jωa1 + a0

+1

jω

jω( )s

fs +K + jω f1 + f0

jω( )rem +K + jωe1 + e0

B =μH

μ @

jω( )qdq +K + jωd1 + d0

jω( )pcp +K + jωc1 + c0

(permittività elettrica complessa)

(permeabilità magnetica complessa)

“Equazioni di Maxwell” in regime sinusoidale

∇×H = jω ε E + J0

∇×E = − jω μ H

Poiché i rotori sono solenoidali, le equazioni ai rotori implicano le equazioni alle divergenze

∇⋅εE( ) = −∇ ⋅J0

jω= ρ 0

∇⋅μH( ) = 0

(densità della carica impressa)

Se ε non dipende dalla posizione

∇⋅E =ρ 0

ε

∇⋅H = 0

∇⋅εE( ) = ρ 0

∇⋅μH( ) = 0

Se il mezzo è omogeneo il campo magnetico è solenoidale.In assenza di cariche impresse anche il campo elettrico è solenoidale.

Se μ non dipende dalla posizione

Condizioni sulle superfici di discontinuità

E+ ,H + ,B + ,D +

E−,H − ,B − ,D −

n̂

n̂× H + −H −( ) =J S

n̂× E + −E−( ) =0

n̂× H + −H−( ) =J S

n̂× E+ −E−( ) =0

Sostituiscono le equazioni di Maxwell sulle superfici di discontinuità

Spettri elettrici e magnetici dei materiali

ε =ε0 ′ε − j ′′ε( ) μ =μ0 ′μ − j ′′μ( )

′ε = ′ε (ω )

′′ε = ′′ε (ω )

′μ = ′μ (ω )

′′μ = ′′μ (ω )

spettro elettrico

spettro magnetico

Esempio 1 - Spettro elettrico dell’acqua

D =ε0ε rE

J c =σE

D =ε0εrE

Jc =σED +

J c

jω= ε0εr +

σjω

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

E

′ε =εr ′′ε =σ

ω ε 0

Esempio 2 - Isolanti non-polari e semiconduttori fino ad alcune decine di gigahertz

ε

D +J c

jω= ε0εr +

σjω

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

E ≈σjω

E

′ε ≈0 ′′ε =σ

ω ε 0

Esempio 3 - Conduttori metallici ad alta conducibilità fino ad alcune migliaia di gigahertz

Materiale Conducibilità [S/m]

Argento

Rame

Alluminio

Bronzo

6.289 107

5.714 107

3.3 107 – 3.57 107

4.0 107 – 5.5 107

D +J c

jω=ε0 1+

ω p2

jω ν + jω( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟E

Esempio 4 - Plasma freddo

D ≈ε0E

∂J c

∂t+ν J c = ω p

2ε 0E

D ≈ε0E

jω +ν( ) J c =ω p2ε0E Jc =

ω p2ε0

ν + jωE

ε =ε0 1+ω p

2

jω ν + jω( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Esempio 4bis - Plasma freddo senza collisioni

ε =ε0 1+ω p

2

jω ν + jω( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟≈ ε 0 1−

ω p2

ω 2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

′ε ≈1−ω p

2

ω 2 ′′ε ≈0

Se la frequenza di lavoro supera di molto la frequenza di collisione (ω >> ν) l’effetto delle collisioni può essere trascurato (plasma senza collisioni). Si ha:

Se la frequenza di lavoro supera di molto la frequenza di plasma si ha ε ≈ ε0. L’effetto della ionizzazione tende a scomparire.

Esempio 5 - Spettro magnetico di una ferrite

Grandezze energetiche in regime sinusoidale

Le grandezze energetiche dipendono da prodotti scalari o vettoriali di campi.

Esempi:

E ⋅J

J 2

σ=

J ⋅Jσ

ε0E2

2=

ε 0E ⋅E2

E ×H

Se si considerano due vettori sinusoidali

F =<e Fe jωt⎡⎣ ⎤⎦ G=<e Ge jωt⎡⎣ ⎤⎦si ottiene

F ⋅G=<e

F ⋅G*

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥+ <e

F ⋅G2

e j 2ωt⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

F ×G=<e

F × G*

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥+ <e

F × G

2e j 2ωt⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

F ⋅G=<e

F ⋅G*

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥+ <e

F ⋅G2

e j 2ωt⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

F ⋅G =<e

F ⋅G*

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

F ⋅G

t

T =2πω

F ⋅G =<e

F ⋅G*

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Molti degli effetti macroscopici dell’interazione elettromagnetica in regime sinusoidale dipendono dai valori medi delle grandezze energetiche

F ×G =<e

F × G*

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

J c2

σ=ℜe

J c⋅J c*

2σ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=

J c⋅J c*

2σ= J c

2

2σ

densità media di potenza termica sviluppata per effetto Joule

densità media del flusso di potenza elettromagnetica

E ×H =<e

E × H*

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= <e S[ ]

S @

E ×H *

2densità di potenza complessa

Esempi:

Bilancio energetico per i valori medi

− E ⋅∂D∂t

+ H ⋅∂B

∂t+ E ⋅ J c + J 0( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟V∫ dV = S ⋅n̂

SV

∫ dSV

− E ⋅J 0

V∫ dV

= E ⋅∂D

∂t+ J

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟dV +

V∫ H ⋅

∂B

∂tV∫ dV + S ⋅n̂

SV

∫ dSV

E ⋅J 0 = ℜe

E ⋅J0*

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

E ⋅∂D∂t

+ J c⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= ℜe

E ⋅ jω D + Jc( )*

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= ℜeE ⋅ jω ε E( )

*

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=ℜeE ⋅ - jω ε0 ′ε + j ′′ε( ) E*

( )

2

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=ω ε0 ′′ε E 2

2

H ⋅

∂B∂t

= ℜeH ⋅ jω B( )

*

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= ℜeH ⋅ jω μ H( )

*

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=ω μ0 ′′μ H 2

2

S =ℜe

E × H*

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= ℜe S[ ]

−ℜeE ⋅J0

*

2dV

V∫=

ω ε0 ′′ε E 2

2+

ω μ0 ′′μ H 2

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

V∫ dV + ℜe S[ ]⋅n̂ dSVSV

∫

Bilancio delle potenze medie

potenza “generata” dalle correnti impresse

potenza dissipata (perdite elettriche + perdite magnetiche)

potenza “uscente”

J0

n̂

V

SV

Se le correnti impresse sono distribuite su lamine l’integrale di volume viene sostituito da un analogo integrale di superficie

Densità della potenza dissipata

Wdiss =ω ε0 ′′ε E 2

2+ω μ0 ′′μ H 2

2 [W/m3]

La potenza dissipata per perdite elettriche o magnetiche non può essere negativa. Pertanto

′′ε ≥0 ′′μ ≥0

In un mezzo ideale “senza perdite”

′′ε = ′′μ =0