Equazioni goniometriche

Giacomo Palazzi

28 Novembre 2008

1 Identità goniometriche

Ricordiamo la de�nizione di identità goniometricaDe�nizione 1. Una uguaglianza fra espressioni contenente funzioni gonio-

metriche di uno o più angoli si dice "identità goniometrica" se risulta veri�cataper tutti i valori che è consentito attribuire alle misure degli angoli.

Esempio. La relazione tan� = sin�cos� è una identità goniometrica. Poichè

dev�essere cos� 6= 0 l�uguaglianza è valida per � 6= �2 + k�.

2 Equazioni goniometriche

1. Equazioni goniometriche elementari;2. Equazioni goniometriche lineari in seno e coseno;3. Equazioni goniometriche omogenee di secondo grado in seno e coseno;4. Equazioni goniometriche riconducibili a omogenee di secondo grado in

seno e coseno.

2.1 Equazioni goniometriche elementari

De�nizione 2. Si dice "equazione goniometrica" una equazione che contengaalmeno una funzione goniometrica dell�incognita.Le equazioni goniometriche elementari sono quelle del tipo seguente.sinx = a, a 2 Rcosx = b, b 2 Rtanx = c, c 2 RL�equazione del tipo sinx = a è determinata se �1 � a � 1 ed in tal caso, se

� è una sua soluzione, allora le sue soluzioni sono x = �+2k� e x = (���)+2k�(poichè la funzione seno ha periodicità 2�). E� invece impossibile se a < �1oppure se a > 1.

1

L�equazione del tipo cosx = b è determinata se �1 � b � 1 ed in tal caso, se� è una sua soluzione, allora le sue soluzioni sono x = � + 2k� e x = �� + 2k�(poichè la funzione coseno ha periodicità 2�). E�invece impossibile se b < �1oppure se b > 1.L�equazione del tipo tanx = c è in generale sempre determinata e, se è

una sua soluzione, allora le sue soluzioni sono x = + k� (poichè la funzionetangente ha periodicità �).

2.2 Equazioni goniometriche lineari in seno e coseno

De�nizione 3. Una equazione goniometrica si dice "equazione goniometricalineare in seno e coseno" se è possibile ricondurla nella forma a sinx+b cosx+c =0, con a; b; c 2 R, a 6= 0, b 6= 0.Caso c = 0: a sinx + b cosx = 0. Dividiamo ambo i membri per cosx e

otteniamo a tanx + b = 0, da cui tanx = � ba che è un�equazione goniometrica

elementare.

Esempio. Risolviamo l�equazione sinx �p33 cosx = 0. Dividendo ambo

i membri per cosx 6= 0 (dunque le soluzioni dovranno essere x 6= �2 + k�)

otteniamo tanx �p33 = 0 da cui tanx =

p33 che è una equazione goniometrica

elementare. La soluzione dell�equazione è pertanto x = �6 + k�.

Caso c 6= 0: a sinx+ b cosx+ c = 0. In questo caso vi è un procedimento disoluzione in due passi:1. Veri�care se x = � è una soluzione dell�equazione. In tal caso tutte le

soluzioni saranno del tipo x = � + 2k�;2. Se x = � non è una soluzione dell�equazione, allora si utilizzano le formule

parametriche sinx = 2 tan x2

1+tan2 x2e cosx = 1�tan2 x

2

1+tan2 x2riscrivendo l�equazione come:

a2 tan x

2

1+tan2 x2+ b

1�tan2 x2

1+tan2 x2+ c = 0. A questo punto si esegue la sostituzione

t = tan x2 ed in tal modo si riscrive l�equazione goniometrica come un�equazionedi secondo grado in t.�t2 + �t + = 0 da cui si ricavano, se esistono, le due soluzioni t1,t2. Da

ciò, ricordando la sostituzione e¤ettuata, si ottengono le due equazioni gonio-metriche elementari seguenti.

tan x2 = t1tan x2 = t2da cui si ricavano le soluzioni dell�equazione.

Esempio. Risolviamo l�equazione sinx+cosx�1 = 0. Veri�chiamo se x = �sia una soluzione dell�equazione. sin�+cos��1 = 0�1�1 = �2 6= 0. Dunquex = � non è una soluzione dell�equazione. Usando le formule parametriche eeseguendo la sostituzione t = tan x2 otteniamo l�equazione seguente.

2

2t1+tw +

1�t21+t2 � 1 = 0

2t+1�t2�1�t21+t2 = 0

2t� 2t2 = 02t(1� t) = 0Da quest�ultima relazione si ottengono le due soluzioni:t1 = 0t2 = 1Otteniamo pertanto le due equazioni goniometriche elementari seguenti.tan x2 = 0tan x2 = 1Da queste si ha che le soluzioni dell�equazione goniometrica lineare in seno

e coseno sinx+ cosx� 1 = 0 sono x = 2k� e x = �2 + 2k�.

2.3 Equazioni goniometriche omogenee di secondo gradoin seno e coseno

De�nizione 4. Una equazione goniometrica si dice "equazione goniometricaomogenea di secondo grado in seno e coseno" se è possibile ricondurla nellaforma a sin2 x+ b sinx cosx+ c cos2 x = 0, con a; b; c 2 R, a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0.

Anche in questo caso vi è un procedimento di soluzione in due passi:1. Veri�care se x = �

2 è una soluzione dell�equazione. In tal caso tutte lesoluzioni saranno del tipo x = �

2 + k�;2. Se x = �

2 non è una soluzione dell�equazione, allora si dividono ambo imembri per cos2 x. Si ottiene perciò un�equazione in tanx di secondo grado.A questo punto si esegue la sostituzione t = tanx e si ottiene l�equazione disecondo grado in t seguente.�t2 + �t + = 0 da cui si ricavano, se esistono, le due soluzioni t1,t2. Da

ciò, ricordando la sostituzione e¤ettuata, si ottengono le due equazioni gonio-metriche elementari seguenti.

tanx = t1tanx = t2da cui si ricavano le soluzioni dell�equazione.

2.4 Equazioni goniometriche riconducibili a omogenee disecondo grado in seno e coseno

De�nizione 5. Una equazione goniometrica si dice "equazione goniometricariconducibile a omogenea di secondo grado in seno e coseno" se è possibilericondurla nella forma a sin2 x + b sinx cosx + c cos2 x = d, con a; b; c; d 2 R,a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0.

Ricordando la "relazione fondamentale della goniometria" sin2 x+cos2 x = 1,l�equazione può essere riscritta nel modo seguente.

3

a sin2 x+ b sinx cosx+ c cos2 x = d�sin2 x+ cos2 x

�Da questa si ottiene:(a� d) sin2 x+ b sinx cosx+ (c� d) cos2 x = 0che è un�equazione goniometrica omogenea di secondo grado in seno e coseno

che risolve come abbiamo visto sopra.

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