S

Disequazioni

3° Liceo Scientifico – 3° Liceo Scientifico sez. Scienze Applicate A.S. 2016/2017

Prof. Andrea Pugliese

Definizione ed esempi

S  Date due espressioni algebriche A e B contenenti numeri e lettere (incognite o parametri), si chiama disequazione una delle seguenti scritture:

S  Una disequazione contenente solo numeri ed incognite si chiama numerica.

S  Una disequazione contenente altre lettere oltre alle incognite si chiama letterale o parametrica.

A > B A ≥ B

A < B A ≤ BA ≠ B

Definizione ed esempi

S  Una disequazione in cui le incognite compaiono solo al numeratore si chiama disequazione intera…

S  …altrimenti, se le incognite compaiono anche al denominatore, si chiama disequazione frazionaria.

x −1(x +1)

+2− xx2 − 4

≥1

x − 2

6kx −3k ≤ 5(k2 +1)3x2 + x > x3 − 2x +1

mx +1(m−1)x

<mx2

(m+1)x

Definizione ed esempi

S  Una disequazione in una incognita si dice scritta in forma canonica o forma normale quando è scritta nella forma A(x) > 0, A(x) ≥ 0, A(x) < 0, A(x) ≤ 0 o A(x) ≠ 0 A(x) è un polinomio i cui termini sono ordinati secondo potenze decrescenti della variabile x.

S  Si chiama grado di una disequazione in una incognita il grado massimo dell’esponente con cui appare l’incognita all’interno della disequazione.

Esempi.

2x − 4x2 ≤ 2− 6x2 + 4x 2x2 − 2x − 2 ≤ 0

3x2 + 2x +1> 0 ha grado 2.

6x2 + 4x4 −3x + 5x5 > 0 ha grado 5.

Esempio. Consideriamo la seguente equazione.

Soluzioni di una disequazione

S  Si chiama soluzione di una disequazione un valore che, sostituito ad ogni occorrenza dell’incognita, trasforma la disequazione in una diseguaglianza vera.

5x +3< 6x − 4 5(7)+3< 6(7)− 4 38< 38

5x +3< 6x − 4

FALSO

5x +3< 6x − 4 5(8)+3< 6(8)− 4 43< 44 VERO

Verifichiamo che x = 7 non è soluzione.

Verifichiamo che x = 8 è soluzione.

Soluzioni di una disequazione

S  Si chiama insieme delle soluzioni, e si indice generalmente con S, l’insieme costituito da tutte le soluzioni di una disequazione.

S  Le disequazioni sono classificate in base al numero delle loro soluzioni.

S  Una disequazione che non ha nessuna soluzione si dice impossibile.

S  Una disequazione che ha soluzioni si dice possibile. In particolare

S  si dice determinata se l’insieme delle soluzioni è un intervallo

S  si dice indeterminata se l’insieme delle soluzioni è l’insieme dei numeri reali.

Intervalli

S  Per scrivere o rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione sono spesso necessari intervalli di numeri reali. Un intervallo può essere

S  limitato se è costituto da tutti i numeri compresi tra due numeri,

S  illimitato inferiormente, se è costituito da tutti i numeri che precedono un certo numero,

S  illimitato superiormente, se è costituito da tutti i numeri che seguono un certo numero.

S  Il numero o i numeri con i quali inizia o termina l’intervallo si dicono estremi. Rispetto ad un estremo un intervallo può essere chiuso, se comprende l’estremo considerato, o aperto, se non lo comprende.

intervallo limitato chiuso -2 ≤ x ≤ 5 [-2,5]

intervallo illimitato chiuso a sinistra x ≥ 4 [4,+∞[

intervallo illimitato aperto a destra x < -5 ]-∞,-5[

intervallo limitato aperto 0 < x < 3 ]0,3[

Intervalli

-2 5

-5

4

0 3

Disequazioni equivalenti

S  Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Esempi.

3x + 4 > 7

5x −3> 2

ha soluzione x > 1.

ha soluzione x > 1. sono equivalenti!

x2 − 5x + 6 < 0(x − 2)(x −3)< 0

ha soluzione 2 < x < 3 sono equivalenti!

ha soluzione 2 < x < 3

Principi di equivalenza

S  I principi di equivalenza sono delle regole che permettono di trasformare una disequazione assegnata in una ad essa equivalente. S  Principio preliminare di equivalenza. Se si svolgono i calcoli in uno o

in entrambi i membri di una disequazione si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

S  Primo principio di equivalenza. Se si somma o si sottrae ad entrambi i membri di una disequazione lo stesso numero o la stessa espressione algebrica si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

S  Secondo principio di equivalenza. S  Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione

per uno stesso numero o una stessa espressione algebrica positivi si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

S  Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero o una stessa espressione algebrica negativi e cambiando il verso della diseguaglianza si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

Disequazioni di 1° grado (anche dette disequazioni lineari)

caso 1: ax - b > 0

S  In una disequazione di 1° grado l’incognita ha al massimo esponente 1.

S  A seconda dei coefficienti a e b, l’equazione ammette soluzioni diverse.

ax − b > 0 a < 0

a = 0

x < ba

b ≥ 0

b < 0

l’equazione è impossibile.

l’equazione è indeterminata.

a > 0 x > ba

l’equazione è determinata.

Disequazioni di 1° grado (anche dette disequazioni lineari)

caso 1: ax - b ≥ 0

S  In una disequazione di 1° grado l’incognita ha al massimo esponente 1.

S  A seconda dei coefficienti a e b, l’equazione ammette soluzioni diverse.

ax − b ≥ 0 a < 0

a = 0

x ≤ ba

b > 0

b ≤ 0

l’equazione è impossibile.

l’equazione è indeterminata.

a > 0 x ≥ ba

l’equazione è determinata.

Disequazioni di 1° grado (anche dette disequazioni lineari)

caso 1: ax – b < 0

S  In una disequazione di 1° grado l’incognita ha al massimo esponente 1.

S  A seconda dei coefficienti a e b, l’equazione ammette soluzioni diverse.

ax − b < 0 a < 0

a = 0

x > ba

b ≤ 0

b < 0

l’equazione è indeterminata.

l’equazione è impossibile.

a > 0 x < ba

l’equazione è determinata.

Disequazioni di 1° grado (anche dette disequazioni lineari)

caso 1: ax – b ≤ 0

S  In una disequazione di 1° grado l’incognita ha al massimo esponente 1.

S  A seconda dei coefficienti a e b, l’equazione ammette soluzioni diverse.

ax − b ≤ 0 a < 0

a = 0

x ≥ ba

b ≥ 0

b < 0

l’equazione è indeterminata.

l’equazione è impossibile.

a > 0 x ≤ ba

l’equazione è determinata.

Sistemi di disequazioni

S  Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni, nella stessa incognita, per le quali cerchiamo tutte le soluzioni in comune.

S  Come si risolve? Risolvo singolarmente ciascuna disequazione del sistema ed infine cerco la soluzione comune.

Esempio.

x −1< 33x +15≥ 04x ≤ 28

x < 4x ≥ −5x ≤ 7

-5 -4 7

La soluzione del sistema è -5 ≤ x < 4

Studio del segno di un prodotto

S  Consideriamo una disequazione costituita dal prodotto di binomi di primo grado. Per risolverla studiamo singolarmente il segno di ogni fattore e successivamente vediamo come varia il segno del prodotto.

Esempio.

(x −1)(3x + 2)(x + 4)> 0-4 -2/3 1

La soluzione della disequazione è

x −1> → x >1

3x + 2 > 0 → x > − 23

x + 4 > 0 → x > −4

- + - +

- + + +

- - + +

- - - +

−4 < x < − 23∨ x >1

Segno di un trinomio di 2° grado (regola dei segni)

S  Consideriamo un trinomio di secondo grado e consideriamo la funzione associata che nel piano cartesiano ha per grafico una parabola. In particolare il primo coefficiente (che deve essere necessariamente non nullo) indica il verso nel quale la parabola volge la sua concavità:

ax2 + bx + c, a ≠ 0

y = ax2 + bx + c

a > 0 a < 0

Segno di un trinomio di 2° grado (regola dei segni)

S  Chiamiamo x1 e x2 le radici dell’equazione associata (i valori in cui il trinomio si annulla ed il grafico della funzione incontra l’asse delle ascisse) e vediamo le possibili posizioni della parabola.

ax2 + bx + c = 0

Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0

a > 0

a < 0

Segno di un trinomio di 2° grado (regola dei segni)

S  Chiamiamo intervallo delle radici l’intervallo dei valori compresi tra x1 e x2.

S  Quando l’equazione associata ha Δ > 0, il trinomio ed il primo coefficiente hanno S  segno concorde per valori di x esterni all’intervallo delle radici, S  segno discorde per valori di x interni all’intervallo delle radici.

S  Quando l’equazione associata ha Δ = 0, il trinomio ed il primo coefficiente hanno segno concorde per tutti i valori di x diversi dalla soluzione dell’equazione.

S  Quando l’equazione associata ha Δ < 0, il trinomio ed il primo coefficiente hanno segno concorde per ogni valore di x.

Disequazioni di 2° grado

S  Per risolvere una disequazione di secondo grado

1) Portiamo la disequazione in forma normale (ad es. ) scegliendo per comodità a > 0.

2) Risolviamo l’equazione associata, determinando il segno del discriminante e (se esistono) le radici.

3) Applichiamo la regola dei segni individuando l’intervallo o gli intervalli in cui il trinomio è positivo o negativo, a seconda delle radici dell’equazione.

ax2 + bx + c > 0

S  Esempio. Risolviamo la disequazione

Consideriamo l’equazione di secondo grado associata che ha discriminante Δ= 25 > 0 e quindi ammette due soluzioni distinte Il trinomio di secondo grado ha segno concorde con il primo coefficiente (3 > 0) per valori di x esterni all’intervallo delle radici, mentre ha segno discorde per valori di x interni all’intervallo delle radici.

Poiché la disequazione chiede che il trinomio sia negativo la soluzione è

3x2 − x − 2 < 0

3x2 − x − 2 = 0

x1 = −23e x2 =1

−23< x <1

S  Esempio. Risolviamo la disequazione

Consideriamo l’equazione di secondo grado associata che ha discriminante Δ= 0 e quindi ammette due soluzioni uguali Il trinomio di secondo grado ha segno concorde con il primo coefficiente (2 > 0) per tutti i valori di x diversi dalla soluzione e si annulla proprio nella soluzione. Poiché la disequazione chiede che il trinomio sia positivo o nullo la soluzione è

2x2 −12x +18 ≥ 0

2x2 −12x +18 = 0

x1 = x2 = 3

∀x ∈ R