La DisequazioneDisequazione è unadisuguaglianzadisuguaglianza

fra due espressioni matematichecontenente almenocontenente almeno

unun’’incognita:incognita:Esempio:Esempio: 3x-4>03x-4>0

Definizione

Tutorial di Paola Barberis - agg. 2011

Si risolvono applicando iPrincipi di EQUIVALENZAPrincipi di EQUIVALENZA …

MA:

Se moltiplico o dividomoltiplico o divido per un numeronegativo Il verso CAMBIAIl verso CAMBIA!!!!!!

Es: -3x+4>>0 ; +3x-43x-4<<00; +3x<4; XX<<4/34/3

DISEQUAZIONI DIDISEQUAZIONI DIPRIMO GRADOPRIMO GRADO

++aaxx22+bx+c>0+bx+c>0++aaxx22+bx+c+bx+c<<00

SE a<0 si consiglia per evitare errori dicambiare segni e verso

in modo che a diventi positivo(parabola associata concava verso l’alto)

DISEQUAZIONI DIDISEQUAZIONI DISECONDO GRADOSECONDO GRADO

Forma normale

aaxx22+b+bxx+c+c =0=0 con la formulacon la formula

�

x1,2

=!b ± b

2! 4ac

2a

bb22- 4ac- 4ac = Δ DELTADELTA

Ci sono TRE TRE casi che dipendono dal DELTADELTA Δ :Δ >0>0 Δ =0=0 Δ <0<0

PRIMA RISOLVO LL’’EQUAZIONE ASSOCIATAEQUAZIONE ASSOCIATA

Se spuria: ax2+bx=0 raccolgo x(ax+b)=0 x1=0 x2=-b/a Δ>0 2 soluzioni

Se pura: ax2+c=0 con segni discordi Δ >0 2 soluzioni opposte

se pura con segni concordi Δ negativo

Ma Attenzione:

RISOLUZIONE: DISEQUAZIONE DI II GRADORISOLUZIONE: DISEQUAZIONE DI II GRADO

L’EQUAZIONE ASSOCIATA HA 2 SOLUZIONI REALI E DISTINTE X1 e X2la parabola corrispondente è SECANTE

CONCORDANZA

+ax2+bx+c >0

DISCORDANZA+ax2+bx+c <0

VALORI VALORI EESTERNISTERNI

X<X<XX11oo X> X>XX22

XX11<X<<X<XX22

VALORI VALORI IINTERNINTERNI

DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO

I CASO: DELTA >0I CASO: DELTA >0

L’EQUAZIONE ASSOCIATA HA 2 SOLUZIONI COINCIDENTI X1= X2LA PARABOLA corrispondente è TANGENTE

+ax2+bx+c >0

+ax2+bx+c <0

SEMPRE TRANNE SEMPRE TRANNE X1 = X2

∀∀xxR-{R-{XX11}}

MAI MAI VERIFICATAVERIFICATA

NESSUN VALORE DI XNESSUN VALORE DI X

Soluzione = Soluzione = ØØ

II CASO: DELTA=0II CASO: DELTA=0

CONCORDANZA

DISCORDANZA

DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO

L’EQUAZIONE ASSOCIATA NON HA SOLUZIONIla parabola non interseca l’asse x

+ax2+bx+c >0

+ax2+bx+c <0

SEMPRESEMPRE

∀∀xx∈∈RR

MAI MAI VERIFICATAVERIFICATA

NESSUN VALORE DI XNESSUN VALORE DI X

S = Ø (insieme vuoto )S = Ø (insieme vuoto )

qualunque x appartenente ai Reali

III CASO: DELTA <0III CASO: DELTA <0

CONCORDANZA

DISCORDANZA

DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO

CONCORDANZA

+ax2+bx+c >0

DISCORDANZA+ax2+bx+c <0

X<X<XX11oo X> X>XX22

XX11<X<<X<XX22

DISEQUAZIONE DI II GRADO: axax22+bx+c>0;ax+bx+c>0;ax22+bx+c<0+bx+c<0

1) risolvo equazione associata1) risolvo equazione associata axax22+bx+c=0+bx+c=0

2) applico la2) applico la Regola del DELTARegola del DELTA

∀∀xx∈∈R-{R-{XX11}}

MAI VERIFICATAMAI VERIFICATA

S = ØS = Ø

∀∀xx∈∈RR

MAI VERIFICATAMAI VERIFICATA

S = ØS = Ø

Δ >0>0 Δ =0 =0 Δ <0<0

RIASSUMENDO, ottengo la seguente REGOLA

*NB: per risolvere con ≥≥00 o ≤≤0,0, sese Δ>0 o Δ=0, aggiungo x1 e x2 alla soluzione

Esercizi: VUOI provare ???

�

2x2

+ 5x ! 3 " 0

�

x2! 4x + 3 > 0

�

x2! 5 " 0

�

7x2

+ 2x ! 0

�

x2

+ 6x + 9 > 0

�

5x2! x +1> 0

�

x2! 4x + 3 > 0

Ricopia e risolvi le disequazioni proposte

sul tuo quaderno:Controlla poi i risultati

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Se c’è “maggiore o uguale” O “minore o uguale” il procedimento noncambia: dopo aver trovato il risultato si aggiunge l’uguale

*

*

*

esercizi

!8x2!17x ! 2 > 0

!6x2+14x > 0

7)

8)

Soluzione esercizi 1-2

�

+2x2

+ 5x ! 3 " 0

�

+x2! 4x + 3 > 01)

2)

�

x2! 4x + 3 = 0

�

2x2

+ 5x ! 3 = 0

Risolvo l’equazione associata

Risolvo l’equazione associata

Applico regola del DELTA:c’è +…> concordanza

Applico regola del DELTA:c’è +…≤ discordanza

�

x =4 ± 16 !12

2=4 ± 2

2

�

x1

=1;x2

= 3 Δ>0

�

x1

<1! x2

> 3

�

x =!5 ± 25 + 24

4=!5 ± 7

4

�

x1

= !3" x2

=1/2

Δ>0

�

!3 " x "1/2

Soluzione esercizi 3-4

�

+x2! 5 " 0

�

+7x2

+ 2x ! 03)

4)

�

7x2

+ 2x = 0

�

x2! 5 = 0

Risolvo l’equazione associata

Risolvo l’equazione associata

Applico regola del DELTAc’è discordanza

Applico regola del DELTAc’è concordanza

�

x ! (7x + 2) = 0

�

x1

= 0;x2

= !2

7Δ>0

�

0 ! x !2

7

�

x2

= 5! x1,2

= ± 5 Δ>0

�

x ! " 5 # x $ 5

Soluzione esercizi 5-6

�

+x2

+ 6x + 9 > 0

�

+5x2! x +1> 0

5)

6)

Risolvo l’equazione associata

Risolvo l’equazione associata

�

x2

+ 6x + 9 = 0

�

5x2! x +1= 0

Applico regola del DELTAc’è +…> concordanza

Applico regola del DELTAc’è +…> concordanza

�

x =!6 ± 36 ! 36

2=!6 ± 0

2

�

x1

= x2

= !3 Δ=0

�

!x " R # 3{ }

�

x =+1± 1! 20

10=

+1± !19

10

Δ<0

�

!x " R

Qualunque x appartenenteai Reali tranne x=3

Qualunque x appartenenteai Reali

Soluzione esercizi 7-87)

8)

Risolvo l’equazione associata

Risolvo l’equazione associata

8x2+17x + 2 = 0

Applico regola DELTA>0c’è +…< discordanza

Applico regola delDELTA>0

c’è +..> concordanza

x =!17 ± 289 ! 64

16=!17 ±15

2 Δ>0

!8x2!17x ! 2 > 0

+8x2+17x ! 2 < 0

Cambio segni e verso

x1= !16; x

2= !1

!16 < x < !1

!6x2+14x < 0 Cambio segni e verso

+6x2!14x > 0 +6x

2!14 = 0

2x(3x ! 7) = 0

Δ>0x1= 0; x

2= +

7

3

x < 0 ! x > +7

3