La DisequazioneDisequazione è unadisuguaglianzadisuguaglianza
fra due espressioni matematichecontenente almenocontenente almeno
unun’’incognita:incognita:Esempio:Esempio: 3x-4>03x-4>0
Definizione
Tutorial di Paola Barberis - agg. 2011
Si risolvono applicando iPrincipi di EQUIVALENZAPrincipi di EQUIVALENZA …
MA:
Se moltiplico o dividomoltiplico o divido per un numeronegativo Il verso CAMBIAIl verso CAMBIA!!!!!!
Es: -3x+4>>0 ; +3x-43x-4<<00; +3x<4; XX<<4/34/3
DISEQUAZIONI DIDISEQUAZIONI DIPRIMO GRADOPRIMO GRADO
++aaxx22+bx+c>0+bx+c>0++aaxx22+bx+c+bx+c<<00
SE a<0 si consiglia per evitare errori dicambiare segni e verso
in modo che a diventi positivo(parabola associata concava verso l’alto)
DISEQUAZIONI DIDISEQUAZIONI DISECONDO GRADOSECONDO GRADO
Forma normale
aaxx22+b+bxx+c+c =0=0 con la formulacon la formula
�
x1,2
=!b ± b
2! 4ac
2a
bb22- 4ac- 4ac = Δ DELTADELTA
Ci sono TRE TRE casi che dipendono dal DELTADELTA Δ :Δ >0>0 Δ =0=0 Δ <0<0
PRIMA RISOLVO LL’’EQUAZIONE ASSOCIATAEQUAZIONE ASSOCIATA
Se spuria: ax2+bx=0 raccolgo x(ax+b)=0 x1=0 x2=-b/a Δ>0 2 soluzioni
Se pura: ax2+c=0 con segni discordi Δ >0 2 soluzioni opposte
se pura con segni concordi Δ negativo
Ma Attenzione:
RISOLUZIONE: DISEQUAZIONE DI II GRADORISOLUZIONE: DISEQUAZIONE DI II GRADO
L’EQUAZIONE ASSOCIATA HA 2 SOLUZIONI REALI E DISTINTE X1 e X2la parabola corrispondente è SECANTE
CONCORDANZA
+ax2+bx+c >0
DISCORDANZA+ax2+bx+c <0
VALORI VALORI EESTERNISTERNI
X<X<XX11oo X> X>XX22
XX11<X<<X<XX22
VALORI VALORI IINTERNINTERNI
DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO
I CASO: DELTA >0I CASO: DELTA >0
L’EQUAZIONE ASSOCIATA HA 2 SOLUZIONI COINCIDENTI X1= X2LA PARABOLA corrispondente è TANGENTE
+ax2+bx+c >0
+ax2+bx+c <0
SEMPRE TRANNE SEMPRE TRANNE X1 = X2
∀∀xxR-{R-{XX11}}
MAI MAI VERIFICATAVERIFICATA
NESSUN VALORE DI XNESSUN VALORE DI X
Soluzione = Soluzione = ØØ
II CASO: DELTA=0II CASO: DELTA=0
CONCORDANZA
DISCORDANZA
DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO
L’EQUAZIONE ASSOCIATA NON HA SOLUZIONIla parabola non interseca l’asse x
+ax2+bx+c >0
+ax2+bx+c <0
SEMPRESEMPRE
∀∀xx∈∈RR
MAI MAI VERIFICATAVERIFICATA
NESSUN VALORE DI XNESSUN VALORE DI X
S = Ø (insieme vuoto )S = Ø (insieme vuoto )
qualunque x appartenente ai Reali
III CASO: DELTA <0III CASO: DELTA <0
CONCORDANZA
DISCORDANZA
DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO
CONCORDANZA
+ax2+bx+c >0
DISCORDANZA+ax2+bx+c <0
X<X<XX11oo X> X>XX22
XX11<X<<X<XX22
DISEQUAZIONE DI II GRADO: axax22+bx+c>0;ax+bx+c>0;ax22+bx+c<0+bx+c<0
1) risolvo equazione associata1) risolvo equazione associata axax22+bx+c=0+bx+c=0
2) applico la2) applico la Regola del DELTARegola del DELTA
∀∀xx∈∈R-{R-{XX11}}
MAI VERIFICATAMAI VERIFICATA
S = ØS = Ø
∀∀xx∈∈RR
MAI VERIFICATAMAI VERIFICATA
S = ØS = Ø
Δ >0>0 Δ =0 =0 Δ <0<0
RIASSUMENDO, ottengo la seguente REGOLA
*NB: per risolvere con ≥≥00 o ≤≤0,0, sese Δ>0 o Δ=0, aggiungo x1 e x2 alla soluzione
Esercizi: VUOI provare ???
�
2x2
+ 5x ! 3 " 0
�
x2! 4x + 3 > 0
�
x2! 5 " 0
�
7x2
+ 2x ! 0
�
x2
+ 6x + 9 > 0
�
5x2! x +1> 0
�
x2! 4x + 3 > 0
Ricopia e risolvi le disequazioni proposte
sul tuo quaderno:Controlla poi i risultati
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Se c’è “maggiore o uguale” O “minore o uguale” il procedimento noncambia: dopo aver trovato il risultato si aggiunge l’uguale
*
*
*
esercizi
!8x2!17x ! 2 > 0
!6x2+14x > 0
7)
8)
Soluzione esercizi 1-2
�
+2x2
+ 5x ! 3 " 0
�
+x2! 4x + 3 > 01)
2)
�
x2! 4x + 3 = 0
�
2x2
+ 5x ! 3 = 0
Risolvo l’equazione associata
Risolvo l’equazione associata
Applico regola del DELTA:c’è +…> concordanza
Applico regola del DELTA:c’è +…≤ discordanza
�
x =4 ± 16 !12
2=4 ± 2
2
�
x1
=1;x2
= 3 Δ>0
�
x1
<1! x2
> 3
�
x =!5 ± 25 + 24
4=!5 ± 7
4
�
x1
= !3" x2
=1/2
Δ>0
�
!3 " x "1/2
Soluzione esercizi 3-4
�
+x2! 5 " 0
�
+7x2
+ 2x ! 03)
4)
�
7x2
+ 2x = 0
�
x2! 5 = 0
Risolvo l’equazione associata
Risolvo l’equazione associata
Applico regola del DELTAc’è discordanza
Applico regola del DELTAc’è concordanza
�
x ! (7x + 2) = 0
�
x1
= 0;x2
= !2
7Δ>0
�
0 ! x !2
7
�
x2
= 5! x1,2
= ± 5 Δ>0
�
x ! " 5 # x $ 5
Soluzione esercizi 5-6
�
+x2
+ 6x + 9 > 0
�
+5x2! x +1> 0
5)
6)
Risolvo l’equazione associata
Risolvo l’equazione associata
�
x2
+ 6x + 9 = 0
�
5x2! x +1= 0
Applico regola del DELTAc’è +…> concordanza
Applico regola del DELTAc’è +…> concordanza
�
x =!6 ± 36 ! 36
2=!6 ± 0
2
�
x1
= x2
= !3 Δ=0
�
!x " R # 3{ }
�
x =+1± 1! 20
10=
+1± !19
10
Δ<0
�
!x " R
Qualunque x appartenenteai Reali tranne x=3
Qualunque x appartenenteai Reali
Soluzione esercizi 7-87)
8)
Risolvo l’equazione associata
Risolvo l’equazione associata
8x2+17x + 2 = 0
Applico regola DELTA>0c’è +…< discordanza
Applico regola delDELTA>0
c’è +..> concordanza
x =!17 ± 289 ! 64
16=!17 ±15
2 Δ>0
!8x2!17x ! 2 > 0
+8x2+17x ! 2 < 0
Cambio segni e verso
x1= !16; x
2= !1
!16 < x < !1
!6x2+14x < 0 Cambio segni e verso
+6x2!14x > 0 +6x
2!14 = 0
2x(3x ! 7) = 0
Δ>0x1= 0; x
2= +
7
3
x < 0 ! x > +7
3
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