Concetto di funzione Funzione y = ax² + bx + c Equazione ax² + bx + c = 0 Disequazioni 2° grado...

Concetto di funzione

Funzione y = ax² + bx + c

Equazione ax² + bx + c = 0

Disequazioni 2° grado

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Dati due insiemi A e B, si dice funzione ( f : A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B

1 2 3 5

4

3 74 5

A B

ore 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Temp -5 -5 -4 -3 -2 0 1 2 4

Esempi

Continua

SommarioSommario

Quando i due insiemi A e B sono insiemi di numeri allora si parla di funzioni numeriche. Spesso in questi casi la relazione è esprimibile con espressioni algebriche.

.dipendente variabile detta viene y ed teindipenden

variabile detta vienex variabile la casi questi In

4) y 2x ; 1 y 1x Se : Es. (

di valore un di valore ogni ad associa si cioè

come enormalment Indicata

R R :f

reali numeri dei insieme nell' definita f funzione la

:Esempio

y.x

2 -3x y 2-3x x

Si può farne il grafico sul piano cartesiano :

Sommario

Funzione y = ax² + bx + c

Se b = 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax²

Disegniamo una parabola generica :

Possiamo notare un puntosignificativo detto vertice

E una retta rispetto alla quale la figura è simmetrica, detta asse di simmetria.

Vertice

Asse simmetria

Vediamo come si presenta il grafico assegnando ad a valori diversi (Clicca qui) Se b è diverso da 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax² + bx Vediamo come agisce b sul grafico(Clicca qui)

Poniamo b e c diversi da 0 la funzione diventa : y=ax² + bx + c

Vediamo come agisce c sul grafico.(Clicca qui) Sommario

y = ax²a=1/4

a=1/2

a=1

a=2

a=4

a=8

a= -1/4

a= -1/2

a= -1a= -2a= -4

a= -8

Funzione y=…..Tanto più piccolo è a tanto più la concavità è ampia

Se a>0 la concavità è rivolta verso l’ alto, se a < 0 la concavità è verso il basso. SommarioSommario

y = x² + bxFacciamo variare b osservando grafico e vertice

b= - 4 ;V(2,-4)

b=-3;V(3/2,-9/4)

b= - 2;V(1,-2)b=-1;V(1/2,-1/4)b= 0;V(0,0)

b= 1;V(-1/2,-1/4)

b= 2;V(1,-2)

b= 3;V(-3/2,-9/4)

Vertice

Vertice

Vertice

Vertice

Vertice

Vertice

Vertice

Dato che abbiamo posto a = 1

al variare di b possiamo dire che la coordinata x del Vertice si può calcolare V(- b/2a, …..) Funzione y = … SommarioSommario

y= x² - 2x + cc = - 3c = - 2c = - 1c = 0c = 1

c = 2

C

Il parametro c mi dà l’ ordinata del punto di incontro della

parabola con l’asse y.

Se c non compare la parabola passa per l’origine. Funzione y=….

SommarioSommario

Prendiamo il sistema :

x assel' e parabola Una

0

322

y

xxy

Risolviamolo graficamente

Punti di incontro :

A( -1, 0)

B( 3, 0)A B

Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x –3 =0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita)

e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è soddisfatta

con x= - 1, ed x=3 che sono proprio le ascisse dei punti di incontro della parabola con l’ asse x.

ContinuaSommarioSommario

Consideriamo ora il sistema :

x assel' e parabola una Ancora

0y

2x2xy 2


La parabola e l’asse x non hanno punti in comune.

Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x + 2 =0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita)

e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso non è

soddisfatta da alcun valore di x. L’ equazione è impossibile.

ContinuaSommarioSommario

Consideriamo infine il sistema :

x assel' e parabola una Ancora

0y

1x2xy 2


La parabola e l’ asse x si toccano e quindi hanno un punto in comune.

A( 1, 0)Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x + 1 =0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita)

e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è

soddisfatta da un solo valore di x. L’ equazione ha una soluzione x=1Continua

SommarioSommario

Ma per risolvere un’equazione del tipo ax² + bx + c = 0 dobbiamo far tutti

questi disegnini ? Noooo !!!!C’è una formula un po’ complicata :

a

acbbx

2

42

2,1

Dove a, b, c sono i coefficienti che compaiono nell’equazione.

Come facciamo a sapere se l’equazione ha 2, 1, o nessuna soluzione ?

Nella formula c’è l’espressione b²- 4ac sotto radice quadrata, questa espressione viene detta discriminante ed indicata con (delta).

Se b²- 4ac>0 posso estrarre la radice ed avrò due soluzioni. (La parabola taglia l’asse x)

Se b²- 4ac=0 posso estrarre la radice ed avrò una soluzione. (La parabola tocca l’asse x)

Se b²- 4ac<0 non posso estrarre la radice (indice 2, radicando negativo) e non avrò alcuna soluzione. (La parabola non tocca, né taglia l’asse x)

Esempi Sommario

Esem

pi

2

1

4

2

4

13 1

4

4

4

134

893

22

124)3()3(

0132

21

2

2

xx

x

xx

2

1

4

2

4

53 2

4

8

4

534

1693

22

)2(24)3()3(

0232

21

2

2

xx

x

xx

14

44

04

4

16164

22

224)4()4(

02422

2

x

x

xx

e.impossibil azioneradice.Equ la estarre può si Non 4

74

4

1694

22

224)3()3(

02322

2

x

xx

2 Soluzioni

2 Soluzioni

1 Soluzione

Nessuna Soluzione

Grafico

Grafico

Grafico

Grafico

Sommario

Introduzione



Sommario

Definizione

Una disequazione è disuguaglianza tra due espressioni algebriche con una quantità incognita.

Risolvere una disequazione significa trovare i valori o gli intervalli di valori, che sostituiti all’incognita, verificano la disuguaglianza.

A differenza delle equazioni, quindi, le soluzioni di una disequazione sono intervalli di numeri o, se si sta lavorando a livello grafico, intervalli di punti.

Tali intervalli possono essere :

Limitati, Illimitati

Aperti, Chiusi

Come per le equazioni si parla di grado.

Il grado di una disequazione è l’esponente maggiore con cui compare l’incognita.

a seconda che un estremo o tutti e due siano + o - infinito

a seconda che comprendano o no gli estremi

DisequazioniSommarioSommario

Disequazioni 1º grado

Si presentano sotto questa forma :

altre. le risolvono si teanalogamena

bx

a

b

a

ax -bax

:prima la Risolviamo

0bax

0bax

0bax

0bax

destra a illimitato sinistra, a chiuso e limitato Intervallo

2x 2

4

2

2x 42x 042 c)

destra a limitato e aperto sinistra, a illimitato Intervallo2

3x

2

3

2

2x 32x 032 b)

destra a illimitato sinistra, a aperto e limitato Intervallo2

3x

2

3

2

2x 32x 032 a)

: Esempi

x

x

x

Risoluzione con metodo grafico

Grafico

Grafico

GraficoDisequazioni

SommarioSommario

Disequazioni 2º grado

Si presentano sotto questa forma :

0 cbxax

0 cbxax

0 cbxax

0 cbxax

2

2

2

2

L’ espressione ax² + bx + c l’abbiamo già incontrata .

y = ax² + bx + c è una parabola

ax² + bx + c = 0 è un’equazione di 2° grado

Per risolvere una disequazione di 2° grado prenderemo in considerazione sia l’ equazione che la parabola associate.

Ricordiamo solo che la parabola può avere la concavità rivolta verso

l’alto o verso il basso a seconda che il coefficiente a sia positivo o negativo.

Ricordiamo inoltre che una equazione di 2° grado può avere nessuna, 1 o 2 soluzioni a seconda del valore del discriminante.

Continua SommarioSommario

In qualsiasi forma si presenti una disequazione di 2° grado si procede sempre nello stesso modo :

1) Si risolve l’equazione associata2) Si fa un grafico approssimativo della parabola associata3) Dal grafico si leggono le soluzioni della disequazione

Considerando l’ espressione ax² + bx + c distinguiamo due situazioni : la prima con a > 0 , la seconda con a < 0 .

Supposto a > 0 vediamo cosa succede quando l’equazione ax² + bx + c = 0 ha:

Due soluzioni

Supposto a <0 vediamo cosa succede quando l’equazione ax² + bx + c = 0 ha:

Una soluzione Nessuna soluzione

Due soluzioni Una soluzione Nessuna soluzione

DisequazioniSommarioSommario

Ipotesi : a>0 ; due soluzioni (discriminante >0)

Ne consegue che :

• la parabola è rivolta verso l’alto

• taglia l’asse x in due punti

Soluzioni per

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c > =0

ax² + bx + c <= 0

Scelta SommarioSommario

Ipotesi : a>0 ; una soluzione (discriminante =0)

Ne consegue che :


• tocca l’asse x in un punto

Soluzioni per

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c > =0

ax² + bx + c <= 0


Ipotesi : a>0 ; nessuna soluzione (discriminante <0)

Ne consegue che :


• E’ tutta nel semipiano positivo delle y

Soluzioni per

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c > =0

ax² + bx + c <= 0


Ipotesi : a<0 ; due soluzioni (discriminante >0)

Ne consegue che :

• la parabola è rivolta verso il basso

• taglia l’asse x in due punti

Soluzioni per

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c > 0

2 1x x x

Un solo intervallo limitato e aperto da ambo i lati

ax² + bx + c < =0

ax² + bx + c >= 0


Ipotesi : a>0 ; una soluzione (discriminante =0)

Ne consegue che :


• tocca l’asse x in un punto

Soluzioni per

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < =0

ax² + bx + c <= 0


Ipotesi : a>0 ; nessuna soluzione (discriminante <0)

Ne consegue che :


• E’ tutta nel semipiano positivo delle y

Soluzioni per

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < =0

ax² + bx + c <= 0


Concetto di funzione Funzione y = ax² + bx + c Equazione ax² + bx + c = 0 Disequazioni 2° grado...

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