FORMULARIO MATEMATICA E C - ninobixio.com · ISTITUTO SUPERIORE “N. BIXIO” ISTITUTO TECNICO A...

A cura del dipartimento di Matematica dell’Istituto Superiore “N. BIXIO”

FORMULARIO DI MATEMATICA E COMPLEMENTI

PER LE CLASSI III-IV-V

A.S. 2015/2016

ISTITUTO SUPERIORE “N. BIXIO”

ISTITUTO TECNICO A INDIRIZZO TRASPORTI E LOGISTICA

2

INDICE EQUAZIONI DI 2° GRADO ...................................................................................................................3 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI 2° GRADO CON a>0.....................................................................4 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI ......................................................................................5 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON I MODULI ...................................................................................5 GEOMETRIA PIANA...............................................................................................................................6 GEOMETRIA ANALITICA.......................................................................................................................8

Retta ...............................................................................................................................................8 Parabola ........................................................................................................................................8 Circonferenza ..............................................................................................................................9 Ellisse .............................................................................................................................................9 Iperbole .......................................................................................................................................10

GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA ...................................................................................................11 Funzioni goniometriche .........................................................................................................11 Relazioni fondamentali ..........................................................................................................11 Grafici delle funzioni goniometriche.................................................................................11 Funzioni goniometriche espresse mediante una sola di esse ................................13 Valori di angoli particolari ....................................................................................................14 Formule goniometriche .........................................................................................................15 Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo .................................................16 Relazioni tra gli elementi di un triangolo qualsiasi ....................................................16 Equazioni goniometriche ......................................................................................................17

ESPONENZIALI E LOGARITMI ............................................................................................................18 Funzione esponenziale ..........................................................................................................18 Logaritmi.....................................................................................................................................18 Funzione logaritmica ..............................................................................................................19 Equazioni e disequazioni esponenziali ............................................................................19 Equazioni e disequazioni logaritmiche ............................................................................20

CALCOLO COMBINATORIO ................................................................................................................21 Fattoriale.....................................................................................................................................21 Coefficienti Binomiali..............................................................................................................21 Disposizioni ................................................................................................................................22 Combinazioni.............................................................................................................................22 Permutazioni .............................................................................................................................22

ANALISI..............................................................................................................................................23 LIMITI.............................................................................................................................................23 DERIVATE.......................................................................................................................................25 INTEGRALI INDEFINITI ..................................................................................................................26 INTEGRALE DEFINITO ....................................................................................................................27 INTEGRAZIONE NUMERICA ............................................................................................................28 FUNZIONI IN DUE VARIABILI (DERIVATE PARZIALI, HESSIANO)................................................29 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE..........................................................................31

GEOMETRIA SOLIDA ..........................................................................................................................32



3

EQUAZIONI DI 2° GRADO

Data l’equazione ax2+bx+c=0 con a≠≠≠≠0 Se b,c≠≠≠≠0 si risolve calcolando

Discriminante ∆= acb 42 − Formula risolutiva a

acbbx

2

42 −±−=

In particolare se b è pari si può applicare la

Formula risolutiva ridotta a

acbb

x

−

±−=

2

22

Se b=0 e c≠≠≠≠0 l’equazione ax2+c=0 si definisce pura

c Soluzioni c>0

Non esistono soluzioni reali

c<0

a

cx

−±=

Se b≠≠≠≠0 e c=0 l’equazione ax2+bx=0 si definisce impura (spuria), le soluzioni sono

01 =x e a

bx

−=2

Scomposizione del trinomio Se x1 e x2 sono le soluzioni dell’equazione ax2+bx+c=0 allora

( )( )212 xxxxacbxax −−=++



4

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI 2° GRADO CON a>0 Discriminante Sol.

ax2+bx+c=0 Grafico Sol.

ax2+bx+c>0 Sol.

ax2+bx+c≥0 Sol.

ax2+bx+c<0 Sol.

ax2+bx+c≤0

∆>0 x1≠x2

due soluzioni reali e distinte

x<x1 v x>x2 x≤x1 v x≥x2 x1<x<x2 x1≤x≤x2

∆=0 x1=x2

due soluzioni reali e coincidenti

x≠x1 ℜ ∅ x=x1

∆<0 ∅

nessuna soluzione reale

ℜ ℜ ∅ ∅

N.B. Per risolvere le disequazioni con a<0 basta moltiplicare ambo i membri della disequazione per (-1) e si ritorna allo schema precedente.



5

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Equazioni irrazionali

( )xBxAn =)(

[ ] [ ]

[ ] [ ]

≥=

⇒⇒

=⇒

0B(x)

)()( esistenza di Condizioni pari èn se

)()( dispari èn se

n

n

nn

nn

xBxA

xBxA

Disequazioni irrazionali Se n è dispari

( )xBxAn <)( ⇔ [ ] ( )[ ]nnn xBxA <)(

( )xBxAn >)( ⇔ [ ] ( )[ ]nnn xBxA >)(

Se n è pari

( )xBxAn <)( ⇔

[ ]

<>≥

nxBxA

xB

xA

)()(

0)(

0)(

( )xBxAn >)( ⇔ [ ]

>≥

nxBxA

xB

)()(

0)( v

≥<

0)(

0)(

xA

xB

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON I MODULI Equazioni con moduli

)()( xBxA = ⇔

=≥

)()(

0)(

xBxA

xA v

=−<

)()(

0)(

xBxA

xA

kxA =)( con ℜ∈k ⇔

>±===<

0 se )(

0 se 0)(

0 se

kkxA

kxA

keimpossibil

Disequazioni con moduli Sia k > 0

kxA >)( ⇔

>−<kxA

kxA

)(

)( kxA <)( ⇔ -k <A(x) <k



6

GEOMETRIA PIANA Teorema di Pitagora In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

222 cba +=

Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali il rapporto fra i segmenti AB e CD individuati dalle rette del fascio su una trasversale è uguale al rapporto dei corrispondenti A’B’ e C’D’ sull’altra trasversale AB: CD = A’B’: C’D’

Teoremi di Euclide I – In un triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa CB: AB = AB: BH II - In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa CH: AH = AH: BH

Figura piana Immagine Figura Formule

Triangolo qualsiasi

ACBCABp ++=2

bhAS 2

1=

Formula di Erone

))()(( cpbpappAS −−−=

Triangolo equilatero

lp ⋅= 32

34

1 2lAS =



7

Figura piana Immagine Figura Formule

Parallelogramma

BCABp 222 +=

hbAS ⋅=

Quadrato

lp 42 = 2lAS =

2ld =

Trapezio

( )2

21 hbbAS

⋅+=

Rombo

( )2

21 ddAS

⋅=

Poligono

apAS ⋅=

Cerchio

2rAS ⋅= π

rC ⋅= π2

arco°

⋅⋅=180

απ rAB



8

GEOMETRIA ANALITICA

FORMULA DESCRIZIONE

BA xxAB −= Distanza tra due punti con la stessa ordinata

BA yyAB −= Distanza tra due punti con la stessa ascissa

( ) ( )22BABA yyxxAB −+−=

Distanza tra due punti A(xA; yA) B(xB; yB)

2BA

M

xxx

+= ;

2BA

M

yyy

+=

Coordinate del punto medio M del segmento di estremi A(xA; yA) B(xB; yB)

2CBA

G

xxxx

++= ;

2CBA

G

yyyy

++=

Coordinate del baricentro G del triangolo di vertici A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC)

Retta FORMULA DESCRIZIONE

ax+by+c=0 Equazione della retta in forma implicita y=mx+q Equazione della retta in forma esplicita

b

am

−= Coefficiente angolare nota l’eq. In forma implicita

AB

AB

xx

yym

−−

= Coefficiente angolare noti due punti della retta

A(xA; yA) B(xB; yB).

( )00 xxmyy −=− Equazione del fascio proprio di centro P(x0; y0)

y=mx+k Equazione del fascio improprio (insieme di tutte le rette parallele con coeff. angolare m)

AB

A

AB

A

yy

yy

xx

xx

−−

=−

−

Equazione della retta noti due punti A(xA; yA) B(xB; yB).

22

00

ba

cbyaxd

+

++=

Distanza da un punto P(x0; y0) ad una retta r: ax+by+c=0

( )12

00

+

+−=

m

cmxyd

Distanza da un punto P(x0; y0) ad una retta r: y=mx+q

Parabola

cbxaxy ++= 2 Equazione canonica della parabola con asse di

simmetria parallelo all’asse y

4∆−−aa

bV ;

2

Vertice della parabola cbxaxy ++= 2

4∆−−

aa

bF

1;

2

Fuoco della parabola cbxaxy ++= 2



9

a

bx

2

−= Asse di simmetria della parabola cbxaxy ++= 2

( )a

y4

1 ∆+−= Direttrice della parabola cbxaxy ++= 2

( )2VV xxayy −=− Equazione della parabola con asse di simmetria

parallelo all’asse y noto il Vertice.

cbyayx ++= 2 Equazione canonica della parabola con asse di

simmetria parallelo all’asse x

−4

∆−a

b

aV

2;

Vertice della parabola cbyayx ++= 2

−4

∆−a

b

aF

2;

1

Fuoco della parabola cbyayx ++= 2

a

by

2

−= Asse di simmetria della parabola cbyayx ++= 2

( )a

x4

1 ∆+−= Direttrice della parabola cbyayx ++= 2

( )2VV yyaxx −=− Equazione della parabola con asse di simmetria

parallelo all’asse x noto il Vertice.

Circonferenza

022 =++++ cbyaxyx Equazione canonica della circonferenza

( ) ( ) 220

20 ryyxx =−+− Equazione della circonferenza noto Centro C(xC; yC) e

raggio r

2

axC −= ;

2

byC −=

Coordinate del Centro nota l’eq. canonica della circonferenza

cba

r −+=44

22

Misura del raggio nota l’eq. canonica della

circonferenza

Ellisse

12

2

2

2

=+b

y

a

x

Equazione canonica dell’ellisse

−−=

22

22

ab

bac

se

se

ab

ba

>>

Semidistanza focale

=

b

ca

c

e se

se

ab

ba

>>

Eccentricità (è sempre minore di 1)



10

Iperbole

12

2

2

2

=−b

y

a

x

Equazione canonica dell’iperbole con i fuochi sull’asse x

12

2

2

2

−=−b

y

a

x

Equazione canonica dell’iperbole con i fuochi sull’asse y

22 bac += Semidistanza focale

xa

by ±=

Equazioni degli asintoti

=

b

ca

c

e se

se

y assesull' sono fuochi i

xassesull' sono fuochi i

Eccentricità (è sempre maggiore di 1)

222 ayx =− Equazione dell’iperbole equilatera (a=b)

kxy = Equazione dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti



11

GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA

Funzioni goniometriche

ππαα

αα

kytg

x

ysen

T

P

P

+≠=

==

2

cos

Relazioni fondamentali

1cos22 =+ ααsen ααα

cos

sentg =

Grafici delle funzioni goniometriche Funzione seno: • Dominio ℜ; codominio [-1; 1] • Periodica di periodo 2π • Funzione dispari: sen(-x)=-senx • Grafico simmetrico rispetto all’origine



12

Funzione coseno: • Dominio ℜ; codominio [-1; 1] • Periodica di periodo 2π • Funzione pari: cos(-x)=cos x • Grafico simmetrico rispetto all’asse y Funzione tangente:

• Dominio

∈+−ℜ Z,

2kkππ

; codominio ℜ

• Periodica di periodo π • Funzione dispari: tg(-x)=-tg x • Grafico simmetrico rispetto all’origine



13

Funzioni goniometriche espresse mediante una sola di esse

Espressa mediante Funzione

senα cosα tgα cotgα secα cosecα senα senα α2cos1−±

αα

21 tg

tg

+±

α2cot1

1

g+±

αα

sec

1sec2 −± αeccos

1

cosα α21 sen−± cosα

α21

1

tg+±

αα

2cot1

cot

g

g

+±

αsec

1

αα

ec

ec

cos

1cos 2 −±

tgα

αα

21 sen

sen

−±

αα

cos

cos1 2−± tgα

αgcot

1 1sec2 −± α

1cos

12 −

±αec

cotgα

αα

sen

sen21−± αα

2cos1

cos

−±

αtg

1

cotgα

1sec

12 −

±α

1cos 2 −± αec

secα

α21

1

sen−±

αcos

1 α21 tg+±

αα

g

g

cot

cot1 2+±

secα

1cos

cos2 −

±αα

ec

ec

cosecα αsen

1

α2cos1

1

−±

αα

tg

tg21+±

α2cot1 g+± 1sec

sec2 −

±αα

cosecα



14

Valori di angoli particolari

Angolo in gradi

Angolo in radianti

Seno Coseno Tangente Cotangente

0° 0 0 1 0 ±∞ 15°

12

π

4

26 −

4

26 +

32 − 32 +

18°

10

π

4

15 −

4

5210+

5

525−

525+

22°30’

8

π

2

22 −

2

22 +

12 − 12 +

30°

6

π

2

1

2

3

3

3

3

36°

5

π

4

5210−

4

15 + 525−

5

525+

45°

4

π

2

2

2

2

1 1

54°

10

3π

4

15 +

4

5210−

5

525+

525−

60°

3

π

2

3 2

1 3

3

3

67° 30’

8

3π

2

22 +

2

22 −

12 + 12 −

72°

5

2π

4

5210+

4

15 − 525+

5

525−

75°

12

5π

4

26 +

4

26 −

32 + 32 −

90°

2

π

1 0 ±∞ 0

180° π 0 -1 0 ±∞ 270°

2

3π

-1 0 ±∞ 0

360° π2 0 1 0 ±∞



15

Formule goniometriche

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE ( ) αββαβα coscos sensensen ±=± ( ) βαβαβα sensenmcoscoscos =±

( )βα

βαβαtgtg

tgtgtg

⋅±=±

m1 ( )

βαβαβαgg

ggg

cotcot

1cotcotcot

±⋅=± m

DUPLICAZIONE

ααα cos22 sensen =

−−

−=

αα

ααα

2

2

22

21

1cos2

cos

2cos

sen

sen

ααα21

22

tg

tgtg

−=

αααg

gg

cot2

1cot2cot

2 −=

BISEZIONE

2

cos1

2

αα −±=sen 2

cos1

2cos

αα +±=

+

−

+−±

=

αα

αα

αα

α

cos1

cos1

cos1

cos1

2

sen

sentg

−

+

−+±

=

αα

αα

αα

α

cos1

cos1

cos1

cos1

2cot

sen

seng

PARAMETRICHE

Posto 2

αtgt = con ( )πα 12 +≠ k con Zk ∈

21

2

t

tsen

+=α

2

2

1

1cos

t

t

+−=α

21

2

t

ttg

−=α

PROSTAFERESI

2

qpcos

2

qp2senqsen psen

−+=+ 2

q-p

2

qp2cosqsen psen sen

+=−

2

q-pcos

2

qp2cosq cosp cos

+=+ 2

q-p

2

qp2senq cosp cos sen

+−=−

WERNER

( ) ( )[ ]βαβαβα −++= sensensen2

1cos ( ) ( )[ ]βαβαβα −−+= sensensen

2

1cos

( ) ( )[ ]βαβαβα −++= coscos2

1coscos ( ) ( )[ ]βαβαβα +−−= coscos

2

1sensen



16

Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo

°= 90α βsenab ⋅= γcos⋅= ab βcos⋅= ac γsenac ⋅=

c

btg =β

b

ctg =γ

Relazioni tra gli elementi di un triangolo qualsiasi

Teorema dei seni

γβα sen

c

sen

b

sen

a ==

Teorema di Carnot o del coseno

αcos2222 ⋅−+= bccba βcos2222 ⋅−+= accab

γcos2222 ⋅−+= baabc

Teorema della corda

γsenrAB ⋅= 2

Area di un triangolo

γsenabS ⋅=2

1



17

Equazioni goniometriche

Equazioni goniometriche elementari

Funzione Equazione Soluzioni in gradi Soluzioni in radianti

bsenx= °+= 3601 kx α

°+−°= 3601802 kx α

πα kx 21 +=

παπ kx 22 +−= Seno

βα sensen = °+= 360kβα

°+−°= 360180 kβα

πβα k2+=

πβπα k2+−=

bx =cos °+±= 360kx α πα kx 2+±=

Coseno βα coscos = °+= 360kβα

°+−= 360kβα

πβα k2+=

πβα k2+−=

btgx = °+= 180kx α πα kx += Tangente βα tgtg = °+= 180kβα πβα k+=

Z∈∀k

Equazioni lineari omogenee in seno e coseno 0cos =⋅+⋅ xbsenxa con a,b≠0

Dividiamo i membri per cos x e otteniamo 0=+⋅ btgxa

Equazioni lineari non omogenee in seno e coseno cxbsenxa =⋅+⋅ cos con a,b,c≠0

Verifichiamo che l’equazione iniziale abbia come soluzione ππ kx 2+= in quanto per questo

valore non esiste 2

xtg

Poniamo tx

tg =2

usiamo le formule parametriche e otteniamo

ct

tb

t

ta =

+−+

+ 2

2

2 1

1

1

2

Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

0coscos 22 =⋅+⋅⋅+⋅ xcxsenxbxsena

Se a=0 v c=0 e b qualsiasi: applichiamo la legge di annullamento del prodotto Se a≠0 ∧ c≠0 e b qualsiasi: dividiamo ambo i membri per x2cos e otteniamo

02 =+⋅+⋅ ctgxbxtga

dxcxsenxbxsena =⋅+⋅⋅+⋅ 22 coscos

Osserviamo che ( )xxsenddd 22 cos1 +=⋅= e sostituendo otteniamo ancora un’equazione

omogenea.



18

ESPONENZIALI E LOGARITMI

Funzione esponenziale

xay = con 10 ≠∧> aa Proprietà

• Il dominio è ℜ • I valori della funzione esponenziale sono sempre positivi. • Il suo grafico interseca l’asse y nel punto (0;1) • L’asse delle ascisse è un asintoto della funzione. • Se a>1 la funzione è crescente (grafico 1) • Se 0<a<1 la funzione è decrescente (grafico 2)

Grafico 1 con a>1 Grafico 2 con 0<a<1

Logaritmi

bx alog= ⇔ bax = 0,10 >≠∧> baa

Logaritmo neperiano o naturale xxe lnlog =

Logaritmo decimale o di Briggs xx loglog10 =

Proprietà

01log =a 1log =aa caca =log 0con log >= bba ba

Operazione Proprietà Caso Particolare

Prodotto ( ) cbcb aaa logloglog +=⋅

Quoziente cbc

baaa logloglog −=

c

c aa log1

log −=

Potenza bnb an

a loglog ⋅= bn

b an

a log1

log =

Cambiamento di base a

bb

c

ca log

loglog =



19

Funzione logaritmica

xy alog= con 10 ≠∧> aa

Proprietà

• Il dominio è ( )+∞=ℜ+ ;0

• Il suo grafico interseca l’asse x nel punto (1; 0) • L’asse delle ordinate è un asintoto della funzione. • Se a>1 la funzione è crescente (grafico 1) • Se 0<a<1 la funzione è decrescente (grafico 2)

Grafico 1 con a>1 Grafico 2 con 0<a<1

Equazioni e disequazioni esponenziali Equazioni esponenziali

)()( xgxf aa = � f(x)=g(x)

)()( xgxf ba = � [ ] [ ])()( loglog xgxf ba = � bxgaxf log)(log)( ⋅=⋅ Disequazioni esponenziali Se a>1

)()( xgxf aa > � f(x)>g(x) )()( xgxf aa < � f(x)<g(x)

Se 0<a<1

)()( xgxf aa > � f(x)<g(x) )()( xgxf aa < � f(x)>g(x)

In generale

)()( xgxf ba > � [ ] [ ])()( loglog xgxf ba > � bxgaxf log)(log)( ⋅>⋅



20

Equazioni e disequazioni logaritmiche

Equazioni logaritmiche

10con )(log)(log ≠∧>= aaxgxf aa �

=>>

)()(

0)(

0)(

xgxf

xg

xf

Disequazioni logaritmiche

• 10con )(log)(log ≠∧>> aaxgxf aa Se a>1 Se 0<a<1

>>>

)()(

0)(

0)(

xgxf

xg

xf

<>>

)()(

0)(

0)(

xgxf

xg

xf

• 10con )(log)(log ≠∧>< aaxgxf aa

Se a>1 Se 0<a<1

<>>

)()(

0)(

0)(

xgxf

xg

xf

>>>

)()(

0)(

0)(

xgxf

xg

xf



21

CALCOLO COMBINATORIO

Fattoriale

( ) 1231!

1!1

1!0

⋅⋅⋅−⋅===

LLnnn

Coefficienti Binomiali

10

=

=

n

nn ( )

!

! !

n nn

k n kn k k

= = −−

Formula di Stifel 1

1 1

n n n

k k k

+ + = + +

Proprietà di ricorrenza 1 1

n n n k

k k k

−= ⋅ + +

Formula di Tartaglia – Newton ( )0

nn n k k

k

na b a b

k−

=

+ = ⋅ ⋅

∑



22

Disposizioni nel conteggio è importante l’ordine degli oggetti

(elementi uguali in ordine diverso fanno parte di raggruppamenti diversi)

Combinazioni nel conteggio non è importante l’ordine degli oggetti

(elementi uguali in ordine diverso fanno parte dello stesso raggruppamento)

Disposizioni SEMPLICI

ogni elemento non può comparire più di una

volta

Disposizioni semplici di n elementi di

classe k (a gruppi di k), k≤n

)!(

!

)1)....(2)(1(,

kn

n

knnnnD kn

−=

=+−−−=

Disposizioni con

RIPETIZIONE

qualche elemento (o tutti) può

ripetersi

Disposizioni con ripetizione

di n elementi a k a k

,r kn kD n=

Combinazioni SEMPLICI

due combinazioni sono diverse se differiscono per

almeno un elemento

Combinazioni semplici di n elementi di

classe k (a gruppi di k), k≤n

=

=+−−−==

k

nk

knnnn

k

DC kn

kn !

)1)...(2)(1(

!,

,

Combinazioni con RIPETIZIONE

due combinazioni sono diverse se differiscono

per almeno un elemento o per il numero di volte

che un elemento compare

Combinazioni con ripetizione di n

elementi a k a k, k può essere

maggiore di n

−+=

=−+++=

k

knk

knnnnC kn

r

1!

)1)...(2)(1(,

Se n=k si parla di

Permutazioni

PERMUTAZIONI SEMPLICI

si scambia semplicemente di posto agli

oggetti

( ) ( ), 1 2 3 2 1 !n n nP D n n n n= = − − ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

a 0! si attribuisce il valore 1

PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE

α uguali, β uguali, γ

uguali α+β+γ=n

( ), , !

! ! !n

nP α β γ

α β γ=



23

ANALISI

LIMITI

Calcolo dei limiti lim f(x) lim g(x) lim [f(x)+g(x)] lim [f(x)-g(x)] l1 l2 l1+ l2 l1- l2 l ∞± ∞± ∞m

∞± l ∞± ∞± ∞+ ∞+ ∞+ indeterminato ∞− ∞− ∞− indeterminato ∞+ ∞− indeterminato ∞+ ∞− ∞+ indeterminato ∞−

lim f(x) lim g(x) lim [f(x)⋅⋅⋅⋅g(x)] lim [f(x)/g(x)] l1 l2 l1⋅ l2 l1/ l2 l>0 ∞± ∞± 0 l<0 ∞± ∞m 0

∞± l>0 ∞± ∞± ∞± l<0 ∞m ∞m ∞± ∞+ ∞± indeterminato ∞± ∞− ∞m indeterminato

0 l 0 0 l 0 0 ∞ 0 ∞± indeterminato 0

∞± 0 indeterminato 0 0 0 0 indeterminato

Proprietà

Se lxf =)(lim e 2)(lim lxg = allora

lxf =)(lim lxf log)(log lim = [ ] nn lxf =)(lim [ ] 2)()(lim lxg lxf =

lxf aa =)(lim

Regola pratica per il limite in forma indeterminata ∞∞

Siano A(x) e B(x) polinomi rispettivamente di grado n ed m

<=

>∞=

∞→mn

mn

mn

xB

xAx

se 0

se massimo grado di ticoefficien dei rapporto

se

)(

)(lim



24

Limiti notevoli

1lim0

=→ x

senxx

1lim0

=→ kx

senkxx

1lim0

=→ senx

xx

0cos1

lim0

=−→ x

xx

2

1cos1lim

20=−

→ x

xx

ax

ax

xln

1lim

0=−

→ ( )

kx

x k

x=−+

→

11lim

0

ex

x

x=

+∞→

11lim

ex

x

x

111lim

0=

−→

ax

xe

x

a =

+→

1lim0

( ) ex xx

=+→

1

01lim 1

)1ln(lim

0=+

→ x

xx



25

DERIVATE

Regole di derivazione Siano f(x), g(x) funzioni derivabili

• Derivata della somma algebrica [ ] )(')(')()( xgxfxgxfD +=+

• Derivata del prodotto [ ] )(')()()(')()( xgxfxgxfxgxfD ⋅+⋅=⋅

• Derivata del quoziente [ ]2)(

)(')()()('

)(

)(

xg

xgxfxgxf

xg

xfD

⋅−⋅=

• Derivata della funzione composta ( )[ ] ( ) )(')(')( xgxgfxgfD ⋅=

Funzione Derivata Funzione

composta Derivata f. composta

y=k y’=0 nxy = 1' −⋅= nxny nxfy )(= )(')(' 1 xfxfny n ⋅⋅= −

m nxy = n mnxn

my

−⋅= 1

' m nxfy )(= )(')(

1' xf

xfn

my

n mn⋅⋅=

−

xay = aay x ln'= )(xfay = )('ln' )( xfaay xf ⋅= xey = xey =' )(xfey = )('' )( xfey xf ⋅=

xy alog= ex

y alog1

'= )(log xfy a= )('log)(

1' xfe

xfy a ⋅=

y=ln x x

y1

'= )(ln xfy = )(')(

1' xf

xfy ⋅=

xxy = )1(ln' += xxy x )()( xgxfy =

+=

)(

)(')()(ln)(')(' )(

xf

xfxgxfxgxfy xg

y= sen x y’= cos x y= sen[f(x)] y’= cos[f(x)]⋅f’(x) y= cos x y’= -sen x y= cos[f(x)] y’= -sen[f(x)]⋅f’(x)

y= tg x x

y2cos

1'= y= tg[f(x)] [ ] )('

)(cos

1'

2xf

xfy ⋅=

y= cotg x xsen

y2

1' −= y= cotg[f(x)] [ ] )('

)(

1'

2xf

xfseny ⋅−=

y= arcsen x 21

1'

xy

−= y= arcsen[f(x)] )('

)(1

1'

2xf

xfy ⋅

−=

y= arccos x 21

1'

xy

−−= y= arccos[f(x)] )('

)(1

1'

2xf

xfy ⋅

−−=

y= arctg x 21

1'

xy

+= y= arctg [f(x)] )('

)(1

1'

2xf

xfy ⋅

+=

y= arccotg x 21

1'

xy

+−= y= arccotg [f(x)] )('

)(1

1'

2xf

xfy ⋅

+−=



26

INTEGRALI INDEFINITI

Proprietà degli integrali

∫ ∫⋅=⋅ dxxfkdxxfk )()(

[ ]∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Integrali immediati

∫ += ckxkdx ∫ +⋅=⋅ cxfkdxxfk )()('

∫ ++

=+

ck

xdxx

kk

1

1

[ ] [ ]∫ +

+=⋅

+

ck

xfdxxfxf

kk

1

)()()('

1

∫ += cedxe xx ∫ += cedxexf xfxf )()()('

∫ += ca

adxa

xx

ln ∫ += c

a

adxaxf

xfxf

ln)('

)()(

∫ += cxdxx

ln1

∫ += cxfdxxf

xf)(ln

)(

)('

cxdxsenx +−=∫ cos cxfdxxsenfxf +−=∫ )(cos )()('

csenxdxx +=∫ cos cxsenfdxxfxf +=∫ )( )(cos)('

ctgxdxx

+=∫ 2cos

1 cxfdx

x

f'(x) +=∫ )( tgcos2

cxdxxsen

+−=∫ cotg 12

cf(x)dxxsen

f'(x) +−=∫ cotg

2

∫ +=+

carctgxdxx21

1 ∫ +=

+− cxarcdx

xcotg

1

12

∫ +=−

carcsenxdxx21

1 ∫ +=

−

−cxdx

xarccos

1

12

Integrale per parti Date f(x) e g(x), con g(x) derivabile ed F(x) primitiva di f(x) si ha:

∫∫ ⋅−⋅=⋅ dxxgxFxgxFdxxgxf )(')()()()()(



27

Integrale di razionali fratte

Dati f(x) e g(x) polinomi ∫ dxxg

xf

)(

)( si possono presentare due casi:

• Il grado di f(x) è minore del grado di g(x) ⇒ bisogna scomporre numeratore e denominatore.

• Il grado di f(x) è maggiore del grado di g(x) ⇒ si devono dividere numeratore e denominatore e detto Q(x) il polinomio quoziente ed R(x) il polinomio resto si ottiene:

∫ ∫∫ += dxxg

xRdxxQdx

xg

xf

)(

)()(

)(

)(

N.B. Se f(x) ha grado uno e g(x) ha grado due ⇒ bisogna studiare il ∆ del denominatore

∆>0 ⇒ g(x)=a(x-x1)(x-x2) ⇒

−+

−= ∫ ∫∫ dx

xx

Bdx

xx

A

adx

xg

xf

21

1

)(

)(

∆=0 ⇒ g(x)=a(x-x1)2 ⇒

( )

−+

−= ∫ ∫∫ dx

xx

Bdx

xx

A

adx

xg

xf2

11

1

)(

)(

INTEGRALE DEFINITO

∫ −=b

aaFbFdxxf )()()(

Proprietà

∫∫ −=b

a

a

bdxxfdxxf )()(

Teorema della media – Se f(x) è continua in [a;b] esiste almeno un punto c ∈ [a;b] tale

che ∫ ⋅−=b

acfabdxxf )()()(

Calcolo delle aree

[ ]∫∫∫ −=−=b

a

b

a

b

aS dxxgxfdxxgdxxfA )()()()(



28

INTEGRAZIONE NUMERICA

Metodo dei rettangoli

Sia f(x) continua nell’intervallo [a; b], n

abh

−= , hiaxi ⋅+= e ( )iii xxc += −12

1punto medio di

[ ]ii xx ;1− allora

)()(1

i

n

i

b

acfhdxxf ∑∫

=

⋅≈

Se la funzione f ha derivata seconda continua nell’intervallo [a;b] e k è una costante tale che

kxf ≤)('' per ogni x ∈ [a;b] l’errore stimato è ( )

2

3

24n

abkER

−≤

Metodo dei trapezi


abh

−= , hiaxi ⋅+= allora

+⋅≈ ∑∫

−

=

)(2

)()()(

1

1

0i

n

i

nb

axf

xfxfhdxxf

Se la funzione f ha derivata seconda continua nell’intervallo [a;b] e k è una costante tale che

kxf ≤)('' per ogni x ∈ [a;b] l’errore stimato è ( )

2

3

12n

abkET

−≤

Metodo delle parabole


abh

−= , hiaxi ⋅+= allora

[ ])()(4)(2)(2)(4)(2)(4)(3

1)( 1243210 nnn

b

axfxfxfxfxfxfxfxfhdxxf ++++++++≈ −−∫ L

Se la funzione f ha derivata quarta continua nell’intervallo [a;b] e k è una costante tale che

kxf ≤)(' )4( per ogni x ∈ [a;b] l’errore stimato è ( )

4

5

180n

abkET

−≤



29

FUNZIONI IN DUE VARIABILI (DERIVATE PARZIALI, HESSIANO)

Funzione in due variabili

Si definisce funzione in due variabili la funzione che associa ad ogni coppia ordinata (x;y)

appartenente ad un sottoinsieme D di ℜ2 detto dominio uno ed un solo numero reale z.

zyx

Df

→ℜ→

);(

:

Il grafico di questa funzione è l’insieme di tutte e sole le terne (x;y;z) dello spazio cartesiano

tali che z=f(x;y).

Si definiscono curve di sezione le intersezione del grafico della funzione con i piani paralleli ai

piani xz e yz.

==

ky

yxfz );(oppure

==

kx

yxfz );(

Si definiscono curve di livello le intersezione del grafico della funzione con i piani paralleli al

piano xy.

==

kz

yxfz );(

Derivate parziali

x

yxfyxxf

x

fyxfyxz

xyx

xx ∆−∆+

=

∂∂==

→∆

);();(lim);(');(' 0000

0);(

0000

00

y

yxfyyxf

y

fyxfyxz

yyx

yy ∆−∆+

=

∂∂==

→∆

);();(lim);(');(' 0000

0);(

0000

00

Piano tangente

( ) ( )0000000 );(');(' yyyxfxxyxfzz yx −⋅+−⋅=−

Derivate parziali del secondo ordine

2

2

''''x

ffz xxxx ∂

∂== xy

ffz xyxy ∂

∂==2

''''

yx

ffz yxyx ∂

∂==2

'''' 2

2

''''y

ffz yyyy ∂

∂==

Teorema di Schwarz:

Sia z=f(x;y) una funzione in due variabili con le derivate seconde continue rispetto a ciascuna

variabile , allora yxxy zz '''' =

Differenziale totale

( ) dyyxfdxyxfyxdf yx ⋅+⋅= );(');('; 000000



30

Hessiano

Sia z=f(x;y) una funzione in due variabili continua con le derivate prime e seconde continue

rispetto a ciascuna variabile, si definisce Hessiano il determinante della matrice costituita dalle

derivate del secondo ordine :

yyyx

xyxx

ff

ffyxH

''

'');( =

Massimi, minimi e punti sella

Sia z=f(x;y) una funzione in due variabili continua con le derivate prime e seconde continue rispetto a ciascuna variabile, per determinare se un punto );( 00 yxP P è punto di massimo,

minimo o punto sella è necessario che:

==

0);('

0);('

00

00

yxf

yxf

y

x

È sufficiente che Punto Condizioni

P punto di minimo 0);('' e 0);( 0000 >> yxfyxH xx

P punto di massimo 0);('' e 0);( 0000 <> yxfyxH xx

P punto sella 0);( 00 <yxH



31

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Si definisce equazione differenziale di ordine ennesimo una relazione del tipo

0),,'',',,( )( =nyyyyxF K in particolare si dice del primo ordine l’equazione 0)',,( =yyxF .

Una funzione y=f(x) che soddisfa questa equazione si chiama soluzione o integrale

dell’equazione differenziale.

Integrale generale e integrale particolare

La funzione y=f(x;c) è l’integrale generale dell’equazione 0)',,( =yyxF se per qualunque

valore del parametro c la funzione è sempre soluzione dell’equazione differenziale. Si definisce

integrale particolare dell’equazione 0)',,( =yyxF una soluzione che soddisfi una condizione

particolare per cui si deve calcolare il valore di c.

Equazioni differenziali del primo ordine y’=f(x)

L’ equazione differenziale del primo ordine y’=f(x) si risolve integrando ambo i membri

dell’uguaglianza:

∫ ∫= dxxfdxxf )()(' da cui ∫= dxxfxf )()( quindi cxFy += )( integrale generale

con F(x) primitiva di f(x)

Esempio: Determina l’integrale generale della seguente equazione differenziale y’=3x2 e poi

l’integrale particolare che soddisfi la condizione y(2)=15

cxydxxy +=⇒= ∫32 3 integrale generale

Imponiamo y(2)=15 15=23+c allora c=7

l’integrale particolare è 73 += xy

Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili

Un’ equazione differenziali del primo ordine è a variabili separabili se è del tipo 0)',,( =yyxF

e si può scrivere come )(

)(

yB

xA

dx

dy = dove A(x) e B(y) sono funzioni continue.

Esempio:

y

xy

1'

+= si può scrivere y

x

dx

dy 1+= da cui ( )dxxydy 1+=

Integrando ambo i membri si ottiene ∫ ∫ += dxxydy )1(

cxxy ++=22

22

quindi cxxy ++= 222



32

GEOMETRIA SOLIDA

Solido Figura Area della superficie

Volume

Parallelepipedo rettangolo

hbaabS

hbaS

t

l

)(22

)(2

++=⋅+=

Nota: 222 hbad ++=

hbaV ⋅⋅=

Prisma retto

blt

l

SSS

hpS

2

2

+=⋅=

hSV b ⋅=

Piramide retta

blt

l

SSS

apS

+=⋅=

hSV b ⋅=3

1

Cilindro

22

2

rSS

hrS

lt

l

ππ+=

⋅⋅= hrV ⋅⋅= 2π

Cono

2rSS

arS

lt

l

ππ

+=

⋅⋅= hrV ⋅⋅= 2

3

1π

Sfera

24 rS π= 3

3

4rV ⋅= π



33

Solido di rotazione

[ ]∫=b

adxxfV 2)(π

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