T 12 LE DISEQUAZIONI LINEARI -...

500

T

CAPITOLO

12 LE DISEQUAZIONI LINEARI

Le disuguaglianze numeriche

Le disuguaglianze numeriche stabiliscono relazioni fra numeri utilizzando i simboli:

2 (maggiore),

$ (maggiore o uguale),

1 (minore),

# (minore o uguale).

Come nelle uguaglianze, il primo membro è l’espressione che sta a sinistra del sim-bolo di relazione e il secondo membro quello a destra.

Due disuguaglianze con lo stesso simbolo (1 o 2) sono dello stesso verso (o dello stesso senso); altrimenti sono di verso (o di senso) contrario.

ESEMPIO

- 2 1 5 e 12 1 27 sono dello stesso verso,

- 3 2 - 8 e 0 1 10 sono di verso contrario.

La disuguaglianza a b2 è equivalente a b a1 , la disuguaglianza a b$ è equivalen-te a b a# . Per esempio è equivalente scrivere 8 72 oppure 7 81 .

Le disuguaglianze numeriche godono di tre proprietà. Esaminiamole.

Monotonia dell’addizioneSommando uno stesso numero, positivo o negativo, a entrambi i membri di una disuguaglianza numerica si ottiene una disuguaglianza con lo stesso verso.

a bc c1+ +

a b1a bc c1- -

ESEMPIO Consideriamo la disuguaglianza: - 9 1 5.

Aggiungiamo + 10 a entrambi i membri:

- 9 + 10 1 5 + 10,

cioè 1 1 15.

1|▶ Esercizi a p. 517

Listen to it

You can express strict ine-

qualities between numbers

with the symbols 1 and 2.

Paragrafo 1. Le disuguaglianze numeriche

501

TEORIA

T

Moltiplicazione (divisione) per un numeroMoltiplicando (o dividendo) entrambi i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero:

• se è positivo, si ottiene una disuguaglianza con lo stesso verso:

a c b c$ $1

se a b1 e c 02

ca

cb

1

• se è negativo, si ottiene una disuguaglianza con verso contrario:

a c b c$ $2

se a b1 e c 01

ca

cb

2

ESEMPIO Consideriamo la disuguaglianza: 2 1 5.

Moltiplichiamo per + 3 entrambi i membri: 2 $ 3 1 5 $ 3, cioè 6 1 15.

Moltiplicando invece per - 4, dobbiamo cambiare il verso della disuguaglianza:2 $ ( - 4) 2 5 $ ( - 4), cioè - 8 2 - 20.

La proprietà non vale se si moltiplica o si divide per zero. Partendo da 2 1 5 si avrebbe

2 $ 0 1 5 $ 0,

cioè 0 01 , che è una disuguaglianza non vera, oppure 02

05

1 , disuguaglianza priva di significato.

Caso particolare. Data la disuguaglianza a 1 b, se moltiplichiamo entrambi i mem-bri per - 1, otteniamo: - a 2 - b. Per esempio:

9 2 4 " - 9 1 - 4.

Possiamo quindi cambiare i segni nei due membri di una disuguaglianza, ma dob-biamo anche cambiare il verso.

Proprietà dei reciproci di numeri concordiDati due numeri concordi e diversi da 0, la disuguaglianza fra i loro reciproci ha verso contrario rispetto a quella fra i numeri stessi.

ESEMPIO

2 31 e 21

31

2 ; 2 11- - e 21 12- - .

La proprietà dei reciproci non è vera se i numeri sono discordi.

Per esempio, da - 4 1 8 si ottiene: 41

81

1- .

▶ Scrivi la disuguaglianza che si ottiene da quella data, operando sui due membri come indicato.

a. 5 81- + , aggiungi 2

b. 4 82- - , dividi per 4

c. 9 62+ - , moltiplica per 31

-

d. 3 21- - , considera i reciproci

e. 51

61

2+ + , considera i reciproci

f. 21

31

2+ + , eleva al cubo

Animazione

Capitolo 12. Le disequazioni lineari

502

TEORIA

T

Le disequazioni

■ Che cos’è una disequazione

Consideriamo una disuguaglianza in cui compare una variabile. Per esempio: x - 3 1 5.

Procedendo per tentativi, attribuiamo alla lettera x alcuni valori e verifichiamo se la disuguaglianza che otteniamo è vera o falsa:

x = 1: 1 - 3 1 5 vera, x = 5: 5 - 3 1 5 vera,

x = 8: 8 - 3 1 5 falsa, x = 9: 9 - 3 1 5 falsa, …

Come si può intuire, la disuguaglianza è vera per tutti i valori di x minori di 8, mentre è falsa per i valori di x maggiori o uguali a 8.

DEFINIZIONE

Una disequazione è una disuguaglianza in cui compaiono espressioni letterali per le quali cerchiamo i valori di una o più lettere che rendono la disuguaglianza vera.

Le lettere per le quali si cercano i valori che rendono vera la disuguaglianza sono le incognite della disequazione.

Tutti i valori che soddisfano una disequazione costituiscono l’insieme delle soluzio-ni. Di solito, cercheremo le soluzioni nell’insieme R dei numeri reali.

ESEMPIO Nella disequazione

x - 3 1 5

l’insieme delle soluzioni è

x x 8R 1!# -,che per brevità indicheremo con:

x 1 8.

■ La rappresentazione delle soluzioni

Spesso le soluzioni delle disequazioni sono sottoinsiemi di R costituiti da tutti i valori che precedono un certo numero, o da quelli che lo seguono, o dai valori compresi fra due numeri. Per scrivere o rappresentare graficamente le soluzioni di una disequa-zione è necessario spiegare che cosa è un intervallo.

Dati due numeri reali a e b, con a b1 , si dice:

• intervallo limitato l’insieme dei numeri reali compresi fra a e b, con a estremo inferiore e b estremo superiore;

• intervallo illimitato l’insieme dei numeri che precedono un certo numero a

(intervallo illimitato inferiormente) o seguono a (intervallo illimitato superior-mente).

L’intervallo limitato si rappresenta graficamente con un segmento; se gli estremi sono compresi l’intervallo è chiuso, se gli estremi non sono compresi l’intervallo è aperto.

2 |▶ Esercizi a p. 518

Listen to it

In an inequality letters can

appear on both sides, and

you can look for numbers

that, substituted to the

letters, make the inequality

true.

Paragrafo 2. Le disequazioni

503

TEORIA

T

L’intervallo illimitato si rappresenta graficamente con una semiretta. Per indicare che una semiretta è illimitata a destra si utilizza il simbolo 3+ (si legge «più infini-to»), per indicare che è illimitato a sinistra si utilizza 3- («meno infinito»).

L’intervallo può essere indicato dalla coppia degli estremi, ordinati dal più piccolo al più grande, racchiusi fra parentesi quadre. Per esempio, l’intervallo comprendente gli estremi a e b, con a 1 b, si indica [a; b].

L’orientamento delle parentesi indica se gli estremi sono inclusi o esclusi:

• [a; b] estremi inclusi, intervallo chiuso;

• ]a; b[ estremi esclusi, intervallo aperto;

• [a; b[ estremo di sinistra incluso (chiuso a sinistra), mentre è escluso quello di destra, (aperto a destra);

• ]a; b] estremo di sinistra escluso (aperto a sinistra), mentre è incluso quello di destra (chiuso a destra).

- 3 e + 3 non sono numeri, quindi, come estremi di un intervallo, vanno sempre esclusi. L’intervallo ]- 3; + 3[ è l’insieme R.

In ognuno degli esempi della figura sono proposti i tre modi di rappresentare le soluzioni della rispettiva disequazione.

c.a. b. 12—

[−2; + ∞ [

x −2 4 x < 10

[4; 10[

4 10

x < − —12

−∞ ; − —12

−2 è compreso fra le soluzioni:

sulla retta è rappresentato da un cerchietto pieno; la parentesi quadra è rivolta verso −2.

− non è soluzione: il simbolo

è rappresentato da un cerchiettovuoto; la parentesi è rivolta dalla

parte opposta a − —.

La scrittura 4 x < 10 significa che devono essere contemporaneamente il simbolo di disuguaglianza è , vere le due condizioni 4 x e x < 10. Le soluzioni sono comprese fra 4 (incluso) e 10 (escluso).

12

−2 +∞ −∞ 2

− 1

di disuguaglianza è <, sulla retta

—

>

<

<

<

<

È possibile anche scrivere le soluzioni di una disequazione utilizzando i simboli della logica o degli insiemi.

ESEMPIO Per scrivere le soluzioni

52

possiamo usare la scrittura:

x 1 2 0 x 2 5,

dove 0 è il simbolo di disgiunzione logica;

oppure ]- 3; 2[ , ]5; + 3[ ,

dove , è il simbolo di unione di insiemi.

■ I vari tipi di disequazioni

Buona parte della terminologia e delle definizioni usate per le disequazioni è analoga a quella usata per le equazioni.

▶ Indica le caratteristi-

che dei seguenti intervalli

e rappresentali grafica-

mente.

• x 32-

• x2 61#

• x51

#


504

TEORIA

T

Una disequazione è:

• intera se l’incognita non compare nei denominatori, altrimenti è fratta;

• numerica se non contiene altre lettere oltre all’incognita, altrimenti è letterale e, in questo caso, le altre lettere sono i parametri della disequazione.

ESEMPIO

x3 1 51- è una disequazione numerica intera;

ax

a5 2 11

$++

, nell’incognita x, è una disequazione letterale intera con para-

metro a;

x x17

15

#+ -

è una disequazione numerica fratta;

x b12 , nell’incognita x, è una disequazione letterale fratta, con parametro b.

Dato un polinomio P x^ h, ridotto in forma normale, ossia che non presenta monomi simili fra loro, ponendo P x 02^ h o P x 01^ h , otteniamo una disequazione scritta in forma normale o forma canonica.

Per esempio, x x3 5 7 022+ + è una disequazione scritta in forma normale.

Il grado della disequazione è il grado del polinomio ridotto, ossia il massimo espo-nente dell’incognita presente nella disequazione ridotta in forma canonica.

In questo capitolo ci occupiamo della risoluzione di disequazioni di primo grado, dette anche disequazioni lineari, a un’incognita.

■ Le disequazioni equivalenti

Per risolvere le disequazioni utilizziamo concetti e princìpi analoghi a quelli già visti per le equazioni.

DEFINIZIONE

Due disequazioni definite nello stesso insieme sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

ESEMPIO La disequazione x + 1 1 3 è equivalente alla disequazione x 1 2.Infatti sono entrambe soddisfatte per tutti i valori di x minori di 2.

Per risolvere le disequazioni, si usano regole che derivano dalle proprietà delle disu-guaglianze numeriche, che abbiamo esaminato nel paragrafo 1.

Primo principio di equivalenzaData una disequazione, si ottiene una disequazione a essa equivalente aggiun-gendo a entrambi i membri uno stesso numero o una stessa espressione che abbia significato nello stesso insieme di definizione.

ESEMPIO La disequazione 2x - 3 2 x + 5 è equivalente alla disequazione x - 3 2 5, ottenuta aggiungendo - x a entrambi i membri.

Listen to it

Two inequalities are equiv-

alent if they have the same

solutions.

Paragrafo 3. Le disequazioni intere

505

TEORIA

T

Dal primo principio si deduce che:

• un termine può essere trasportato da un membro all’altro cambiandogli il segno;

• un termine può essere cancellato se presente in entrambi i membri.

Secondo principio di equivalenza

Per trasformare una disequazione in una equivalente si può:

• moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per uno stesso numero positivo;

• moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per uno stesso numero negativo e cambiare il verso della disequazione.

Dal secondo principio si deduce che:

se si cambia il segno di tutti i termini, si deve cambiare il verso della disequazione.

x x2 5 2 5"1 2- + - - .

Se si moltiplica o si divide per un’espressione letterale, oltre alle C.E., occorre aggiun-gere la condizione che l’espressione non si annulli e distinguere se assume segno positivo o negativo.

se :a aax

a x a0 2 2"2 2 2

ax 22 a 0C.E.: ! .

se :a aax

a x a0 2 2"1 1 1

Le disequazioni intere

■ Le disequazioni numeriche intere

Per risolvere una disequazione di primo grado numerica intera, utilizziamo i prin-cìpi di equivalenza fino a giungere a una delle forme seguenti:

ax b1 , ax b# , ax b2 , ax b$ .

Per l’insieme delle soluzioni distinguiamo tre casi: la disequazione può essere deter-minata, impossibile o sempre verificata.

ESEMPIO

1. Risolviamo la disequazione:

x xx

31 4 2 2

32- ++ .

Eliminiamo i denominatori, moltiplicando entrambi i membri per 6 (il mcm dei denominatori); dato che moltiplichiamo per un numero positivo, il verso della disequazione non cambia:

2x - 24 + 12x 2 9 + 3x.

Trasportiamo i termini con l’incognita al primo membro, quelli noti al secon-do membro e poi sommiamo i termini simili:

11x 2 33.

▶ Indica il principio di equivalenza applicato

quando le disequazioni sono equivalenti. Se non lo

sono, spiega l’errore commesso.

• x x9 6 3 9 3 6"# #- -

• x

x2 2

55"1 1- -

• x x5 735

37

"2 2

3 |▶ Esercizi a p. 522


506

TEORIA

T

Dividiamo i due membri per 11, cioè per il coefficiente di x:

x 2 3.

3

L’insieme delle soluzioni è l’intervallo illimitato ]3; + 3[.


xx x

23 4 2

25

5 31-

-+

+^ ^h h15x - 40 1 5x - 10 + 10x + 6

0 $ x 1 36.

Qualunque valore sostituiamo a x, il prodotto 0 $ x vale sempre 0. Poiché la disuguaglianza 0 1 36 è vera, la disequazione di partenza risulta sempre ve-rificata. In tal caso, l’insieme delle soluzioni è R.


3x - 2 - x 2 4 + 2x + 1

2x - 2 2 5 + 2x

2x - 2x 2 5 + 2

0 $ x 2 7.

Qualunque valore sostituiamo a x, otteniamo sempre 0 2 7, che è una disu-guaglianza falsa, quindi la disequazione di partenza non risulta mai verificata. L’insieme delle soluzioni è l’insieme vuoto; la disequazione è impossibile e come soluzione scriviamo:

7Y x ! R.

▶ Risolvi la seguente disequazione, indicando i princìpi di equivalenza

applicati.

( ) ( )x

x x x x3

21 1

652

1-++ + - +

Animazione

■ Le disequazioni letterali intere

Per risolvere le disequazioni letterali intere di primo grado dobbiamo trasformarle in una delle forme normali:

Ax B2 ; Ax B$ ; Ax B1 ; Ax B# ;

dove con A e B indichiamo delle espressioni che non contengono l’incognita, ma possono contenere altre lettere.Giunti a una di queste forme, studiamo il segno del coefficiente A di x, considerando separatamente i casi:

A 02 ; A 01 ; A 0= .

▶ Ogni valore di x mag-

giore di 3 è soluzione

della disequazione data

nell’esempio. Verifica

che 6 e 10 sono solu-

zioni.

▶ Risolvi le seguenti disequazioni.

a. ( )x x3 1 5 7#- + + -

b. ( )x x x6 3 1 5 32- + +

c. ( ) ( )x x x2 4 1 62 21- - + - -

Animazione


507

TEORIA

T

Questo studio va fatto perché, se in una disequazione si dividono ambo i membri per un numero negativo, è necessario cambiare il verso della disequazione. Per esempio, considerando la generica disequazione Ax B1 :

• se A 2 0, si ottiene x AB

1 ;

• se A 1 0, si ottiene x AB

2 ;

• se A = 0, la disequazione 0 $ x 1 B è sempre verificata se B $ 0; non è mai veri-ficata se B 1 0.

Per gli altri tipi di disequazione valgono considerazioni analoghe.

ESEMPIO La disequazione, nell’incognita x,

k(x - 3) 1 2x + 1

è intera perché l’incognita non compare al denominatore; è letterale perché pre-senta altre lettere oltre all’incognita.

Svolgiamo i calcoli:

kx - 3k 1 2x + 1 " kx - 2x 1 3k + 1 " (k - 2)x 1 3k + 1.

La disequazione

(k - 2)x 1 3k + 1

è del tipo Ax 1 B, in cui A = k - 2 e B = 3k + 1.

Il segno del coefficiente di x dipende dal valore di k; pertanto è necessaria la di-scussione, distinguendo i tre casi: k - 2 2 0, k - 2 = 0, k - 2 1 0.

• Se k - 2 2 0, ossia se k 2 2, possiamo dividere entrambi i membri per k - 2, ottenendo una disequazione dello stesso verso:

xkk

23 1

1-

+ .

• Se k - 2 = 0, ossia se k = 2, otteniamo:

x(2 - 2) 1 3 $ 2 + 1

0 $ x 1 7;

la disequazione è sempre verificata, 6 x ! R.

• Se k - 2 1 0, ossia se k 1 2, dividendo i due membri per una quantità negativa, dobbiamo invertire il senso della disequazione:

xkk

23 1

2-

+ .

MATEMATICA INTORNO A NOI

Ad alta quota! Non

sempre un’equilibrata

uguaglianza è una con-

dizione desiderabile. Nel

mondo fisico, solo le

disuguaglianze possono

produrre movimento ed

energia: dislivelli, varia-

zioni, tensioni, spinte

verso il basso e contro-

spinte verso l’alto.

▶ Fino a che quota può

volare una mongolfiera?

La risposta

▶ Uno stesso valore

numerico può essere

soluzione della dise-

quazione nell’esempio

per un valore di k e non

esserlo per un altro. Per

esempio, se k = 0, il

numero 11 è soluzione

della disequazione? E se

k = 3?

▶ Risolvi la seguente

disequazione nell’inco-

gnita x.

( ) ( ) ( )a x x a1 2 2 11- - -

Animazione

PROBLEMA

Pensieri e parole Le società Rapid Translate e Velo Finnish offrono il servizio di traduzione dal finlandese all’italiano a due

diverse tariffe:

Tariffa RT: 0,3 euro a parola e in più costo fisso di 7 euro;

Tariffa VF: 0,8 euro a parola.

▶ Qual è il numero di parole oltre il quale conviene la tariffa RT?

Scheda di lavoro


508

TEORIA

T

I sistemi di disequazioni

Date le disequazioni x - 1 2 0 e 4 - x 2 0 ci chiediamo se esistono valori di x chesoddisfano contemporaneamente le due disequazioni.

Per esempio: , , , ,2 23 3 3

7f sono soluzioni di tutte e due le disequazioni?

Un modo più rapido di procedere è quello di risolvere le disequazioni e rappresen-tare gli intervalli delle soluzioni in uno schema come quello della figura.La prima disequazione è soddisfatta per x 2 1, la seconda per x 1 4.

x > 1

41

x < 4

soluzionidella primadisequazione

soluzionidella secondadisequazione

soluzionicomuni

La semiretta di origine 1 rappresenta le soluzioni della prima disequazione; la semi-retta di origine 4 rappresenta le soluzioni della seconda. Sottintendiamo i simboli -3 e +3. Le soluzioni comuni alle due disequazioni sono rappresentate dal tratto comune alle due semirette.

Le due disequazioni sono soddisfatte contemporaneamente nell’intervallo aperto ]1; 4[. Diremo che i valori di x tali che 1 1 x 1 4 risolvono il sistema formato dalle due disequazioni.

DEFINIZIONE

Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni in cui com-paiono le stesse incognite, per il quale si cercano i valori da attribuire alle inco-gnite che verificano contemporaneamente tali disequazioni.

Un sistema per il quale non esistono soluzioni è detto impossibile.

ESEMPIO Per risolvere il seguente sistema di tre disequazioni determiniamo le soluzioni di ognuna delle disequazioni:

x

x

x

x

x

x

2 4 03 0

5 0

235

"

2

2

2

1

$ $

+

-

-

-* *5 5

b. Determiniamo l’intersezione dei treinsiemi di soluzioni, segnando in colorela zona del grafico in cui abbiamosoluzioni comuni alle tre disequazioni.

a. Costruiamo uno schema grafico congli intervalli che rappresentano gliinsiemi delle soluzioni.

x > −2

x 3

−2 3

x < 5

x > −2

x 3

−2 3

x < 5

> >

Le soluzioni del sistema di disequazioni sono date dall’intervallo [3; 5[, ossia dai valori di x tali che 3 # x 1 5.

4 |▶ Esercizi a p. 529MATEMATICA INTORNO A NOI

Spese e ricavi nella

produzione Quando

un’impresa produce

qualcosa - bulloni o

automobili, libri o pizze -

deve cercare di avere un

utile da questa produzio-

ne. Deve cioè evitare di

andare in perdita.

▶ In generale, quali sono

i limiti che deve tenere in

considerazione?

La risposta

▶ Risolvi il seguente

sistema.

x x

x

x

2 3

4 2 6

3 1 0

1

1

$

+

-

+

* Video

▶ Risolvi il seguente

sistema.

( )

( )

x x

x x x

3 2

8 3 2 2

2 2

1

#+ +

- -)

Animazione

Paragrafo 5. Le equazioni con valori assoluti

509

TEORIA

T

Le equazioni con valori assoluti

Le disequazioni sono utili anche nella risoluzione di equazioni che contengono espressioni in valore assoluto. Ricordando la definizione di valore assoluto, se f(x) è l’espressione analitica di una funzione, abbiamo che:

f(x) se ( )f x 0$

( )f x =

( )f x- se ( )f x 01

Chiamiamo argomento la funzione f(x) di cui calcoliamo il valore assoluto.

ESEMPIOx2 3+ se x x2 3 0 2

3"$ $+ -

Se ( )f x x2 3= + , ( )f x x2 3+ ==

( )x2 3- + se x x2 3 0 23

"1 1+ -

Sono utili queste proprietà del valore assoluto:

a. ( ) ( )f x f x0 0)= = ; c. ( ) ( )f x f x= - ;k+

b. R( )f x x06$ ! ; d. ( )f x k= , con ( )k f x0 "2 =

k-

Vediamo con un esempio come possiamo risolvere un’equazione che contiene una espressione in valore assoluto.

ESEMPIO Risolviamo l’equazione:

x x4 8 3 2 9- - = - .

Studiamo il segno dell’argomento :x4 8-

4x - 8 $ 0 " 4x $ 8 " x $ 2.

Pertanto

x x x4 8 4 8 4 8- =- - =- +^ h se x 1 2 e x x4 8 4 8- = - se x $ 2.

Le soluzioni dell’equazione sono date dall’unione delle soluzioni dei due sistemi.

Primo sistema

x

x x

2

4 8 3 2 9

1

- + - = -(

x

x x

2

4 2 9 8 3

1

- - =- - +(

x

x

2

6 14

1

- =-(

x

x

2

614

37

1

= =*

Secondo sistema

x

x x

2

4 8 3 2 9

$

- - = -(

x

x x

2

4 2 9 8 3

$

- =- + +(

x

x

22 2$

='

x

x

21$

='


2

0

8 – 4x 4x – 84x – 8

segno di 4x – 8 – +

2

NO

7—3

21

NO


510

TEORIA

T

Nel primo sistema, 37 non è accettabile, perché non è minore di 2.

Nel secondo sistema, 1 non è accettabile, perché non è maggiore o uguale a 2.Nessuno dei due sistemi ha soluzione; quindi, l’equazione data è impossibile.

Le disequazioni con valori assoluti

Per risolvere disequazioni con valori assoluti, procediamo in modo analogo a quello visto per le equazioni con valori assoluti.

Per le disequazioni valgono le seguenti proprietà del valore assoluto.Se k 02 :

a. x k k x k)1 1 1- ; c. x k x k x k) 02 1 2- ;

b. ( ) ( )f x k k f x k)1 1 1- ; d. ( ) ( ) ( )f x k f x k f x k) 02 1 2- .

ESEMPIO Risolviamo la disequazione:

x x2 3 61- + .

Studiamo il segno dell’argomento x 2- :

x - 2 $ 0 " x $ 2.

x x2 2- =- + , se x 1 2;

x x2 2- = - , se x $ 2.

Le soluzioni della disequazione sono l’unione delle soluzioni dei due sistemi, che risolviamo:

Primo sistema

x

x x

2

2 3 6

1

1- + +(

x

x

2

4 4

1

1-(

x

x

21

1

2-'

x < 2

x > –1

–1 2

La soluzione è - 1 1 x 1 2.

Secondo sistema

x

x x

2

2 3 61

$

- +(

x

x

2

2 81

$

-(

x

x

2

42

$

-(

x 2

x > – 4

–4 2

La soluzione è x $ 2.

Uniamo le soluzioni ottenute, rappre-sentandole insieme sulla stessa retta.

La soluzione della disequazione da ta è x 2 - 1.


2

0

2 – x x – 2x – 2

segno di x – 2 – +


disequazione con valore

assoluto.

x x2 4 11- +

Video


disequazione con valore

assoluto.

x x5 2 21- +

Animazione

2Ð1

soluzioni del

primo sistema

soluzioni del

secondo sistema

Paragrafo 7. Lo studio del segno di un prodotto

511

TEORIA

T

Lo studio del segno di un prodotto

Consideriamo la disequazione seguente, di secondo grado, in cui il primo membro si presenta come prodotto di binomi di primo grado:

(x - 3)(2x + 5) 2 0.

Possiamo risolvere la disequazione studiando il segno del prodotto al variare di x. Sappiamo che il segno del prodotto di due fattori è positivo se i fattori sono concordi.Studiamo perciò il segno dei due fattori singolarmente e rappresentiamo i risultati in uno schema grafico:

x - 3 2 0 " x 2 3;

x x2 5 0 25

"2 2+ - .

segno di x – 3

a. Rappresentiamo i valori – – e 3 sulla retta orientata e, per

indicare il segno di x – 3 e di 2x + 5, mettiamo il segno + negli intervalli con segno positivo e il segno – negli intervallicon segno negativo. Scriviamo 0 dove i binomi si annullano.

52

b. Applichiamo la regola dei segni in ognuno degli

intervalli. Per esempio, per x < – – , si ha – : – = + .

Per x = – – e x = 3, il prodotto è 0.

525

2

– –52

3

0

segno di 2x+5 0

segno di x–3

– –52

3

0

segno di 2x+5 0

segno di (x – 3)(2x+5) 0 0

− +−

+− +

− +−

+− +

– ++

La disequazione richiede che il prodotto sia positivo, quindi l’insieme delle soluzioni è dato da:

x x25 301 2- .

Possiamo rappresentare le soluzioni anche negli altri modi che conosciamo:

• rappresentazione grafica:

3 +∞–∞ – –52

• rappresentazione con intervalli:

x ] –∞ ; – [ ]3; +∞[52– ,∈


▶ Risolvi le seguenti di-

sequazioni.

• x x2 2 02- +^ ^h h• x x4 2 3 2 0#- +^ ^h h


512

TEORIA

T

Le disequazioni fratte

Le disequazioni sono fratte (o frazionarie) quando contengono l’incognita in al-meno un denominatore.

■ Le disequazioni numeriche fratte

Le disequazioni fratte sono sempre trasformabili applicando i princìpi di equivalenza in una forma normale, del tipo:

D x

N x01

^̂ hh , D x

N x02

^̂ hh , oppure D x

N x0#

^̂ hh , D x

N x0$

^̂ hh ,

dove N(x) e D(x) rappresentano due polinomi nella variabile x.

ESEMPIO Scriviamo la disequazione xx

12 4 12-

- nella forma D x

N x02

^̂ hh :

xx1

2 4 1 02-

-- .

Riduciamo allo stesso denominatore:

xx x

xx

12 4 1 0 1

3 5 0"2 2-

- - +

-

- .

La disequazione è scritta nella forma D x

N x02

^̂ hh , con:

N(x) = 3x - 5 e D(x) = 1 - x.

Quando abbiamo una disequazione nella forma D x

N x02

^̂ hh , non possiamo elimina-

re il denominatore, come quando operiamo con le equazioni, perché il segno com-plessivo della frazione dipende anche dal segno del denominatore.

Per risolvere la disequazione dobbiamo determinare per quali valori di x la frazione è positiva, nulla o negativa.

Questa parte della risoluzione prende il nome di studio del segno della frazione.

Per esaminare il segno di una frazione del tipo D x

N x^̂ hh , occorre studiare separata-

mente il segno del numeratore e quello del denominatore.

Studiare il segno di un polinomio nella variabile x vuol dire cercare per quali valori di x il polinomio è positivo, per quali è negativo, per quali si annulla.

■ La risoluzione di una disequazione fratta

Per risolvere la disequazione

D x

N x02

^̂ hh ,

si può porre N(x) 2 0 e D(x) 2 0, e controllare in quali intervalli risultano concordi i segni di N(x) e D(x).Per brevità indichiamo N(x) con N e D(x) con D .

8 |▶ Esercizi a p. 539 Listen to it

If the unknown is in the

denominator, the inequality

is called a rational inequal-

ity.

Paragrafo 8. Le disequazioni fratte

513

TEORIA

T

ESEMPIO Risolviamo la seguente disequazione:

xx1

3 5 02-

- .

Studiamo il segno del numeratore N, ponendo N 2 0.Per studiare il segno, è del tutto equivalente porre N 1 0 e D 1 0.

N x x0 3 5 0 35

""2 2 2- .

Analogamente, studiamo il segno del denominatore D, ponendo D 2 0.

D 2 0 " 1 - x 2 0 " x 1 1.

Rappresentiamo i risultati con uno schema grafico, che ci permette di studiare

facilmente il segno di DN .

b. Applichiamo le regole dei segni in ognuno degliintervalli. Per esempio, per x < 1 si ha – : + = – . Poiché

per x = 1 si ha D = 0, –– non esiste. Per x = – , N = 0,

quindi anche –– = 0. L’insieme delle soluzioni è 1; – .

53

N

DN

D

53

segno di N

a. Rappresentiamo sulla retta orientata i valori di x per i quali

N = 0, cioè – , e D = 0, cioè 1. Mettiamo il segno + negli

intervalli con segno positivo e il segno – negli intervalli con segno negativo. Scriviamo 0 dove si annullano N e D.

53

–53

1

0

segno di D 0

segno di N

–53

1

0

segno di D 0

segno di ––ND

0

– +–

+ – –

– +–

+ – –

–– +∃

] [

La disequazione richiede che la frazione sia positiva, quindi l’insieme delle solu-zioni è l’intervallo aperto:

;1 35 8B .

▶ Spiega le differenze nella risoluzione del sistema di disequazioni e della disequazione fratta

seguenti.

• x

x

5 0

2 0

2

2

-

+( •

xx

25

02+

-

Video

▶ Risolvi le seguenti disequazioni.

a. x

x7

402

+

-b.

x x

x 102

2

$+

-

Animazione


514

TEORIA

T

■ Le disequazioni letterali fratte

Per imparare a risolvere le disequazioni letterali fratte, consideriamo un esempio.

ESEMPIO Risolviamo la disequazione x a12 nell’incognita x.

Essa è equivalente alla disequazione xax1 02- .

Per lo studio del segno poniamo N 2 0 e D 2 0, tenendo conto che i segni variano al variare di a e che quindi è necessaria la discussione.

N 2 0 " 1 - ax 2 0 " ax 1 1.

• Se a 2 0, N 2 0 quando x a1

1 .

• Se a = 0, si ha 0 $ x 1 1, quindi N 2 0 per qualsiasi valore di x.

• Se a 1 0, N 2 0 quando x a1

2 .

D 2 0 " x 2 0.

Prepariamo tre schemi, a seconda dei valori di a.

segno di N

–1a0

0

segno di D 0

segno di ––ND

0

a > 0

a. Se a > 0, –––––– > 0 per 0 < x < – .1– ax x

1a

b. Se a = 0, –––––– > 0 per x > 0.x

c. Se a < 0, –––––– > 0 per x < –

oppure x > 0.x

1a

segno di N

–1a

0

segno di D 0

segno di ––ND

0

a < 00

segno di N

0

segno di D 0

segno di ––ND

a = 0

–

–– +

+ +

– + +

+

– +

– +

–

+ – +– +

+ +

– +

∃ ∃ ∃

1– ax 1– ax

Dunque lo stesso numero può essere o non essere soluzione dell’equazione, a seconda del valore di a.

Listen to it

A rational inequality may

also contain letters other than

the unknown in its denomi-

nator. To solve rational ine-

qualities you need to consider

separately the cases for when

the denominator is positive or

negative.

▶ Risolvi la seguente disequazione nell’in-

cognita x.

ax3

2 22

-

Animazione

▶ Risolvi la seguente disequazione nell’in-

cognita x.

ax

a a

ax5 5

2258

22-++ -

-

Animazione

In sintesi

515

TEORIA

T

■ Le disuguaglianze numeriche

Proprietà delle disuguaglianze, valide ,a b R6 ! :

• monotonia dell’addizione:

a bc c1+ +

a b1a bc c1- -

c R6 !^ h;

• moltiplicazione per un numero positivo:

a c b c$ $1

se a b1 e c 02

ca

cb

1

c R6 !+^ h;

• moltiplicazione per un numero negativo:

a c b c$ $2

se a b1 e c 01

ca

cb

2

c R6 !-^ h;

• reciproci di numeri concordi:

a b a b1 1

"1 2 ( ,a b6 concordi, non nulli).

■ Le disequazioni

Una disequazione è una disuguaglianza in cui compaiono espressioni letterali per le quali cer-chiamo i valori di una o più lettere che rendono la disuguaglianza vera.Tutti i valori che soddisfano una disequazione costituiscono l’insieme delle soluzioni della dise-quazione, che può essere rappresentato in diversi modi.

esempio L’insieme delle soluzioni della disequazione x 3 02- è:

x > 3 oppure ]3; +∞ [

3 +∞

Per risolvere le disequazioni applichiamo i prin-cìpi di equivalenza, trasformando la disequazio-ne data in disequazioni a essa equivalenti, via via più semplici.

Se in una disequazione moltiplichiamo (o divi-diamo) ambedue i membri per uno stesso nume-ro negativo, dobbiamo cambiare il verso della disequazione.

■ Le disequazioni intere

Una disequazione è intera se non contiene l’in-cognita al denominatore. Può avere soluzioni, oppure no. In alcuni casi può essere sempre veri-ficata.

esempio L’intervallo delle soluzioni di x 3 02+ è x 32- ;

x0 2$ 1 è sempre verificata;x0 2$ 1- non è mai verificata.

■ I sistemi di disequazioni

Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni in cui compaiono le stesse incognite, per il quale si cercano i valori da attri-buire alle incognite che rendono tali disequazio-ni verificate contemporaneamente. Per trovare le soluzioni di un sistema di disequa-zioni si rappresentano su rette orizzontali le soluzioni di ogni disequazione. Le soluzioni del sistema sono date dagli intervalli comuni a tutte le soluzioni.

esempio x

x

x

013

2

1

$-

*–3 1

x > 00

x < 1

x –3

0 < x < 1 ovvero ]0; 1[

Un sistema che non ha soluzioni si dice impossi-bile.

IN SINTESILe disequazioni lineari


516

TEORIA

T

■ Le equazioni con valori assoluti

Il valore assoluto di un’espressione è uguale al l’espressione stessa se è positiva o nulla, mentre è uguale all’opposto del l’espressione se è negativa.

esempio

x 2+ se x 2 0$+

x 2+ =

x 2- +^ h se x 2 01+

Un’equazione contenente un valore assoluto è equivalente all’unione di due (o più) sistemi misti, formati da una disequazione e da un’equa-zione.

esempio

x x2 7+ = equivale a:

x

x x

22 7$-

+ =' 0

x

x x

22 7

1-

- - ='

Risolviamo:

x

x

2

31

$-

=) 0

x

x

2

41

1-

=-)

Il primo sistema ha soluzione 31 , il secondo è

impossibile, quindi l’equazione ha soluzione 31 .

■ Le disequazioni con valori assoluti

Una disequazione contenente un valore assoluto è equivalente all’unione di due (o più) sistemi di disequazioni.

esempio

x x1 6 21- + equivale a:

x

x x

11 6 21

$

- +' 0

x

x x

11 6 2

1

1- + +'

Risolviamo:

x

x

1

53

2

$

-) 0

x

x

1

71

1

2-)

x 1$ 0 x71 11 1-

Unendo le soluzioni, otteniamo come soluzioni

della disequazione iniziale: x 71

2- .

■ Lo studio del segno di un prodotto

Una disequazione che al primo membro presen-ta il prodotto di binomi di primo grado si risolve studiando singolarmente il segno di ciascun fat-tore e rappresentandolo con uno schema grafico. L’insieme delle soluzioni è dato dall’unione degli intervalli dove compare il segno complessivo dei fattori che verifica la disequazione data.

■ Le disequazioni fratte

In una disequazione fratta non si possono elimi-nare i denominatori contenenti l’incognita. Biso-gna invece:

1. trasformare la disequazione in modo che il primo membro sia una frazione del tipo

D x

N x^̂ hh , in cui N x^ h e D x^ h sono polinomi in

x, e il secondo membro sia 0;

2. risolvere N x 02^ h e D x 02^ h per studiare il segno del numeratore e del denominatore;

3. studiare graficamente il segno della frazione, come nell’esempio seguente.

esempio

x xx5 2 0 5 2 0"1 1-

-

N x x x0 5 2 0 25

" "2 2 1-^ h ;

D x x0 0"2 2^ h .

segno di N

–520

0

segno di D 0

segno di ––ND

0

+

–– +

+ + –

– +

∃

Soluzioni: x x0 25

01 2 .

Se una disequazione fratta è letterale, si procede come per le disequazioni fratte numeriche, però occorre aggiungere la discussione sui parametri letterali quando si risolvono le due disequazioni N x 02^ h e D x 02^ h .

Paragrafo 1. Le disuguaglianze numeriche

517

ESERCIZ

I

E

Le disuguaglianze numeriche

Le disuguaglianze come relazioni tra numeri

inserendo i simboli 1, 2.

37 2; 0 4- ; 4

131 ; 5

2- 1.

8- 3- ; 6- 0; 76

85 ; 3- 5- .

Se a b2 : a3- b3- ; a- b- ; a 4- b 4- .

Se a b1 : a51 b5

1 ; a 9+ b 9+ ; a- b- .

ESEMPIO DIGITALE Una tra le seguenti proposizioni, in cui x e y rappresentano numeri reali qualsiasi, è falsa. Quale?

A x è maggiore del suo opposto se e solo se x è positivo. C Se x y2 , allora x y3 32 .

B Poiché 5 32 , allora x x5 32 . D Se x y2 , allora x y1- - .

YOU & MATHS From words to symbols Translate the following sentences into mathematical sentences.

a. Roger’s father must be at least 40 years old.

b. Silvia scored 64 500 points and John beat her by less than 200 points.

Le proprietà delle disuguaglianze

VERO O FALSO?

a. Se due disuguaglianze hanno lo stesso verso, allora hanno entrambe il simbolo 1 o 2. V F

b. Aggiungendo un numero negativo a entrambi i membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza di verso opposto. V F

c. Moltiplicando entrambi i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso. V F

d. Dividendo entrambi i membri di una disuguaglianza per un numero positivo si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso. V F

e. La disuguaglianza fra i reciproci di due numeri negativi ha verso contrario rispetto a quella fra i numeri stessi. V F

È data la disuguaglianza 2 31- .

a. Trova un numero che, sommato a entrambi i membri della disuguaglianza, consenta l’applicazione della proprietà dei reciproci.

b. Determina un numero che, sottratto a entrambi i membri della disuguaglianza, non consenta di appli-care la proprietà dei reciproci.

1 |▶ Teoria a p. 500

COMPLETA

1••

2••

3••

4••

5••

6••

7••

8••

CAPITOLO 12

ESERCIZI


518

ESERCIZ

IE

TEST Se fra tre numeri , ,x y z R! vale la relazione x y z0 1 1 1 , quale delle seguenti affermazioni è falsa?

A z x1 11 B z y 02- C x y2 2

1 D z y x2 02- - E x y2 02-

Per ogni disuguaglianza fra due numeri concordi, scrivi quella soddisfatta dai reciproci dei numeri. Verifica le due disuguaglianze seguenti posizionando i quattro numeri su una stessa retta.

1 21 ; 8 102- - .

Solo Se p e q sono interi positivi, x e y sono interi negativi, e p q2 e x y2 , quale delle seguenti espres-sioni deve risultare minore di 0?

i) q p- ; ii) qy; iii) p x+ .

A solo i). B solo iii). C solo i) e ii). D solo i) e iii). E i), ii) e iii).(USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 1999)

Di sicuro Supponiamo che siano entrambe vere le seguenti disuguaglianze, con a, b, c, d R! :

a b2 , c d2 .

Quali tra le seguenti disuguaglianze sono sicuramente vere e quali no?

a. a c b d2+ + . b. a c b d2- - . c. a c b d$ $2 . d. a d b c2+ + .[a) vera; b) falsa; c) falsa; d) falsa]

MATEMATICA E STORIA

Numeri perfetti, abundanti, diminuiti Come scriveva nel Cinquecento il matematico Francesco Galigai, alcuni numeri

sono perfetti, altri abundanti, altri diminuiti. L’idea era tutt’altro che nuova: come ricordava pochi decenni prima Luca Pacioli

(ca. 1445-ca. 1517), essa risale a Euclide (il quale, a sua volta, riprendeva conoscenze ancora precedenti).

Luca Pacioli, Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità, c. 3.

Vediamo quali numeri naturali sono perfetti, quali abundanti, quali diminuiti:

• prendi un numero naturale n, elenca i suoi divisori (n escluso) e trova la loro somma s;

• il numero naturale n si dice allora abundante se n s1 , diminuito se n s2 , perfetto se n s= .

Considera i numeri naturali da 2 a 20 e stabilisci quali sono perfetti, quali abundanti e quali diminuiti. Giustifica le tue risposte.

Risoluzione - 4 esercizi in più - Attività di ricerca: Numeri perfetti, abbondanti e difettivi.

Le disequazioni

Le soluzioni di una disequazione

VERO O FALSO?

a. Se in una disuguaglianza è presente una lettera variabile, allora si ha una disequazione. V F

b. Nelle disequazioni non valgono le proprietà delle disuguaglianze. V F

c. In generale, le disequazioni hanno come soluzione un unico valore. V F

d. Le disequazioni possono essere intere, numeriche, letterali o fratte, analogamente alle equazioni. V F

e. L’insieme delle soluzioni di una disequazione lineare contiene un numero infinito di valori. V F

9••

10••

EUREKA!

11••

12••


13••


519

ESERCIZ

I

E

TEST Solamente uno dei seguenti numeri appartiene all’insieme delle soluzioni della disequazione x 61- - . Quale?

A 10 B 6 C 61 D 6

1- E 6-

Di fianco a ogni disequazione sono scritti alcuni valori. Determina quali sono soluzioni e quali non lo sono.

a 3 52- a 8= ; a 29

= ; a 217

= ; a 328

= .

y 4 6#+ y 2= ; y 23

= ; y 31

= ; y 0= .

x xx4

3 22 2 32

+- - x 1= ; x 2

3= ; x 2=- ; x 0= .

xx

x23

52

31 2#- + - + x 2

1= ; x 2

1=- ; x 1= ; x 4

3= .

xx

x3 23

5 6$+ - + - x 21

=- ; x 2= ; x 1=- ; x 0= .

La rappresentazione delle soluzioni

ESERCIZIO GUIDA Scriviamo i seguenti intervalli (o unioni di intervalli) utilizzando le parentesi quadre e rappresentiamoli graficamente:

a. x 12 ; b. x0 21 1 ; c. x1 1# #- ; d. x x3 50# $ .

a. ] ; [1 3+

1 +∞

L’estremo 1 è escluso: abbiamo scritto ; []1 3+ ; graficamente, 1 è rappresentato da

un cerchietto vuoto.Poiché 3+ non è un numero reale, ma un simbolo che rappresenta una quantità «più grande» di qualsiasi numero reale, abbiamo scritto ] ; [1 3+ .

b. ] ; [0 2

20

I due estremi sono esclusi: abbiamo scritto ;] [0 2 e i due cerchietti sono vuoti.

c. ;1 1-6 @

1Ð1

Gli estremi e1 1- sono inclusi: abbiamo scritto ;1 1-6 @ e i due cerchietti sono pieni.

d. x x3 50# $ è l’unione dei due intervalli x 3# e x 5$ :

] ; ] [ ; [3 5,3 3- +

53–∞ +∞

Anche in questo caso i numeri 3 e 5 sono inclusi nell’intervallo e i cerchietti sono pieni. Il simbolo , indica l’unione di insiemi.

ESEMPIO DIGITALE Rappresenta i seguenti intervalli con le parentesi quadre e sulla retta orientata.

x 21

#- ; x3 21 #- ; x x1 37

0 2# .

14••

15••

16••

17••

18••

19••

20

21••


520

ESERCIZ

IE

Rappresenta graficamente gli insiemi dei valori di x R! che soddisfano le seguenti disuguaglianze. Scrivili poi

mediante le parentesi quadre.

x0 11 1 ; x3 1# #- ; x54

45

1 # ; x21 61#- .

x 32 ; x 0# ; x 57

$ ; x 57

1 .

x x3 310

01 $ ; x x1 10# $- ; x x23 301 2 ; x a x

b201 2 .

Correggi la notazione dei seguenti intervalli, scritti mediante parentesi quadre, in modo che

siano corrispondenti alle disuguaglianze poste a fianco.

] ; ]1 3+ , x 12 ; ] ; [23- , x 2# ; ;43

21B B, x2

143

1# .

; ;1 23

,3 3+ +6 8@ B , x x1 23

01 2 ; ;3 3+6 6, x 32 ; ;0 16 6, x0 11 # .

È dato un intervallo di estremi 2- e 3, dove 2- è escluso e 3 è incluso. Rappresenta l’intervallo mediante le parentesi quadre e poi graficamente.

scrivendo accanto a ogni grafico l’intervallo corrispondente.

—56

+∞

–1 3

—37

2

– —12

–∞

– — b13

–∞

ca

Per ogni rappresentazione grafica scrivi il corrispondente intervallo sia mediante le parentesi quadre sia

mediante le disuguaglianze.

– 6 4 2 3– 2

a b c d

1– —2

72 – 4

a b c d

5– 1– 31—4

1—5

Le disequazioni equivalenti

VERO O FALSO?

a. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. V F

b. Due disequazioni con le stesse soluzioni possono non essere equivalenti. V F

c. Se moltiplico entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero diverso da 0, ottengo una disequazione a essa equivalente. V F

d. Due disequazioni equivalenti hanno lo stesso verso. V F

22••

23••

24••

CACCIA ALL’ERRORE

25••

26••

27••

COMPLETA

28••

29••

30••

31••

32••

33••

34••

35••

36••


521

ESERCIZ

I

E

SPIEGA PERCHÉ La disequazione x 02- è equivalente a x 01 ? Perché? E la disequazione x2 01- è equivalente a x 22 ?

ASSOCIA ogni disequazione della prima riga con la sua equivalente della seconda riga.

1. x2 1 1- 2. x2 11 3. x2 11- - 4. x1 22-

a. x 21

1- b. x 21

2 c. x 11 d. x 21

1

COMPLETA le seguenti affermazioni.

a. Applicando il principio di equivalenza, la disequazione x3 4 2#+ diventa x3 # .

b. Applicando il principio di equivalenza, la disequazione x 3#- diventa x $ .

c. Applicando il primo principio di equivalenza e poi il secondo, la disequazione x2 3 #- + diventax2 #- e poi x .

d. Applicando il secondo principio di equivalenza e poi il primo, la disequazione x31

32 1#- diventa

x 2 #- e poi x # .

TEST Sono date le tre disequazioni:

a. x x3 3 7 52- +^ h ; b. 3 3 72-^ h ; c. x x3 3 7 32- -^ ^h h.Fra le seguenti, qual è l’unica affermazione vera?

A x 0= appartiene alle soluzioni di a.

B x 5= appartiene alle soluzioni di b.

C x 4= non appartiene né alle soluzioni di a, né a quelle di b, né a quelle di c.

D a e b sono equivalenti perché hanno il primo membro uguale.

E a e c sono equivalenti perché hanno lo stesso verso.

Indica in base a quale principio le seguenti coppie di disequazioni sono equivalenti.

x2 31- x 23

2-

x31 02+ x 3

12-

x6 1$+ - x 7$-

x 61- x2 122-

x9 02 x2 1 12- -

x6 2 01+ x 31

1-

VERO O FALSO?

a. Se x2 2- , allora x 21 . V F

b. Se x4 31

2 , allora x 121

2 . V F

c. Se x 1- , allora x2 81- . V F

d. Se x21 31 , allora x 61 . V F

e. Se x6 181- - , allora x3 1 . V F

f. Se x3 02 , allora x 31

2 . V F

YOU & MATHS Make up an inequality Write at least 3 inequalities that have the following interval as their solution: x 52 .

EUREKA! Quale? a, b e c sono numeri reali tali che comunque se ne scelgano due la loro somma è mag-giore o uguale a zero. Quale delle seguenti affermazioni è certamente vera?

A a b c 0$ $ $ .

B Almeno uno dei tre numeri è zero.

C Almeno uno dei tre numeri è strettamente minore di zero.

D a, b e c sono tutti maggiori o uguali a zero.

E a b c 0$+ + . (Giochi di Archimede, 2010)

37••

38••

39••

40••

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44••

45••

46••

47••

48••

49••


522

ESERCIZ

IE

Le disequazioni intere

Le disequazioni numeriche intere

VERO O FALSO?

a. Se una disequazione è equivalente a 2 02 , allora x deve essere uguale a 0. V F

b. Una disequazione che non è verificata per alcun valore di x è detta impossibile. V F

c. La disequazione x x1 è impossibile. V F

d. La disequazione x x$ è verificata x R6 ! . V F

Le seguenti disequazioni sono tutte verificate x R6 ! , tranne una. Quale?

A x x 11 + B x x 1# + C x x2 1 2 12 - -^ h D x x2 1 2 1$ - -^ h E x x3 1 2 11+ +^ ^h hQuale, fra le seguenti disequazioni, ha come soluzione ;3

23+8 8?

A x2 3 02- B x2 3# C x3 2 01- D x3 2# E Nessuna delle precedenti.

Quale, fra le seguenti disequazioni, non ha come soluzione ;21

3- + 8B ?

A x2 11- B x 21

2- C x x 12- +^ h D x2 41- E x2 11-

ASSOCIA ogni disequazione della prima riga con l’intervallo delle sue soluzioni sulla seconda riga.

1. x4 62 2. x 4 1- - 3. x4 61- + 4. x 4 62- + -

a. ;23

3- + 8B b. ;23

3+ 8B c. ;10 3- + 6@ d. ;103- 6@

YOU & MATHS Solve for :yy y9 4 5

511+

-+ .

A y 451 B y 452 C y 11- D y 12- E y 91(CAN Canadian Open Mathematics Challenge, 1996)

CACCIA ALL'ERRORE Qual è l’errore nella seguente sequenza di passaggi? Motiva la risposta.

x x x x x x x x x1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 12" " "1 1 1+ - - + - - + - -^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h

x x x x3 2 1 2 1 21

" "1 1 1- -

[nel secondo passaggio i due membri sono stati divisi per x 1+ , ma...]

ESERCIZIO GUIDA Risolviamo la seguente disequazione: x xx

x3

52

2 7 6 8 43 2

#--

+- -

- .

Eliminiamo i denominatori, moltiplicando entrambi i membri per il loro minimo comune multiplo: mcm ; ;2 3 4 12=^ h .

x x x x4 5 6 2 7 12 6 12 8 3 3 2$ $#- - + - - -^ ^ ^h h hx x x x4 20 12 42 72 96 9 6#- - - - - +

x x x x x8 62 63 90 8 63 90 62 71 28" "# # #- - - - - - + - -

Cambiamo segno, invertendo il verso della disequazione:

x x71 28 7128

"$ $ oppure ;7128

3+8 8. 2871

+∞


50••

TEST

51••

52••

53••

54••

55••

56••

57


523

ESERCIZ

I

E

Risolvi le seguenti disequazioni numeriche intere.

x3 5 21- - x 116 @

x x2 71- x 31

2-: D

x x5 1 2 31- -^ ^h h x 31

1-: D

x x4 2 1 3 5 12- - +^ h6 @ x 135

1-8 B

xx

21

21 02- - ++

x 016 @

x x4 3 5 12- + x 41-6 @

x x7 2 3 12- - x 41

28 B

x x2 1 3 2 71- + - -^ ^h h x 51

1: D

x x21 1 2

32- +^ h x 51-6 @

x x4 3 32 31- - + x 7

91: D

x x x x x4 2 2 3 4#- + - - -^ ^h h6 @ x R6 !6 @

x x x1 31 1 23

21- - +` j x 216 @

x x6 7 31 9 32+ -^ h x 3

82-8 B

x x x23

21 2 2

121

21

2+ + - -` ` `j j j[impossibile]

x x31 2 2

31- -` j x 3

828 B

x x x3 3 31 71+ +^ h8 B x 326 @

x x2

7 14

2 12

--

+x 16

12: D

xx x10

321

32

32

21

2-+ - -` `j j x 2

91-8 B

x x x x x1 2 1 2 3 2 2#- + + - + -^ ^ ^ ^h h h h

x R6 !6 @

x x xx5 3 4 14 6

11 10 310

208 15

1- + - - --^ `h j x 21-6 @

x x x1 1 3 321- + - -^ ^ ^h h h x 6

131: D

x x x x1 3 3 321- - - +^ ^ ^h h h x 226 @

x x x x x4 5 1 2 3 1 3 6 5 2 322- + + + - -^ ^ ^h h h x 19

12-: D

x x x x x2 1 3 2 2 3 2 3 2 32#- - + + - + +^ ^ ^ ^ ^h h h h h x 9

2$-: D

x x x x x3 1 3 1 1 21

41 1 9 0

22 2

1- + - - + + -^ ^ ` ^h h j h x 67

18 B

x x x x x x2 2 5 1 2 2 1 1 22 3#- + - - - + + -^ ^ ^ ^ ^h h h h h x 2#6 @

x xx x

21 1 1 6

2 13

1 2221- - + - -

+++` ^ `j h j: D x 16

12-: D

x x x x x x31

35

95 2 9

4 421- - + -` ^ `j h j [impossibile]

x x xx

x2

1 14

521 1 2

30

2

2- +

+-- + -

-^ ^ ` ^h h j h: D x 1129

28 B

xx x x x

21

34 3 2 4 3

12

2 5 22 21- + - +

--

++` `j j x 526 @

xx

x x x94

43 1

31

31

31 2

2$+

-+ + + - +

^ ` ` ^h j j h: D x 21

#8 B

x x x x x x x x2 2 1 2 1 6 2 3 3 3 3 2 1 12 2#- + - - - - + - - + -^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h h h6 @ x 3

1#: D

x x x x x x3 31 2 5 1 9 3

1 1 40 5 12 21- + + - - + + +` ^ ^ ` ^j h h j h x 72-6 @

58••

59••

60••

61••

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90••


524

ESERCIZ

IE

x xx x x3

1 9 23

52

215 5 3 2 2 1 2 1 62

2- -+

- - + - -` ` ^ ^ ^j j h h h x 218

28 B

x x x x x x3 4 5 8 3 3 12 13 3 2 22+ - + - + - + + +^ ^ ^ ^ ^h h h h h6 @ x 82-6 @

x x x x x x x1 1 2 2 6 2 1 1 2 23 3 2 22- - + - - + + - - -^ ^ ^ ^ ^h h h h h x 116 @

xx

xx3 1 1 3

23

11- -

-- -

-^ `h j x 109

18 Bx

x x3 21

32

31 2 3

11- + - +` `j j x 016 @

xx x x

x25

32 2

31

23 1 2 2

3$+

----

++` j [impossibile]

ESEMPIO DIGITALE xx x x

73

143 2

25 1

76

2-+ +

--

xx

x xx

x32 2 2

1 1 32

32

2 2 32 1$- -

-- - - + -` ` `j j j x R6 !6 @

xx

x x xx

41 3 5 2

13

132 7 3

14

11- +

+- - - -

+^ ` ^ `h j h j [impossibile]

xx

x x x x1 3

11

1 31

1 32

7 1 1 122

-

-+

+

-

+ - - + -^ ^ ^h h h x 281

1: D

x x x x2

14

62

1 22 2 2

$-

-- -

-^ `h j x 4

9$-8 B

xx

xx

21

31 2 1 1 6

3 122

#- --

+ - --` ^ `j h j x 34

1$: D

x x x x x2 21

41 2 2

1212

#- + - + - -` ` ^ `j j h j x 0$6 @

YOU & MATHS Which values? What values of a would make the following inequality true?

a a9 5 3 5$- +

Represent the solutions on the real number line.

ESEMPIO DIGITALE Tra le seguenti coppie di disequazioni, una sola è formata da disequazioni non equivalenti tra loro: quale?

Ax x

23 5

32 1

2- - ; x x

25 3

31 2

1- - . C ( )x x3 1 2- - ; x4 32 .

B x x1 2 32- - ; x3 41 . D x x2 3 2#- - ; x x2 5 3 4#+ + .

INVALSI 2015 Lorenza afferma: «La disequazione x x211 è soddisfatta per ogni numero reale x».

Lorenza ha ragione?

Scegli la risposta corretta e completa la frase.

Lorenza ha ragione perché…

Lorenza non ha ragione perché…

91••

92••

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106••


525

ESERCIZ

I

E

MATEMATICA INTORNO A NOI

Un problema di costi Un artigiano, per produrre vasi in ceramica, deve acquistare

una nuova attrezzatura e ha due possibilità:

A) spendere subito € 256 e avere poi un costo di produzione stimato in € 3,50 al

pezzo, oppure

B) spendere subito € 110 e poi € 3,75 per ogni pezzo prodotto.

Egli riflette: «Se il numero delle formelle sarà basso, il costo minore ce l’avrò con

l’opzione B, ma producendone un buon numero diventerebbe minore il costo A...».

a. Riporta in una tabella i costi sostenuti nei due casi al variare del numero x di pezzi

prodotti (per esempio per x = 0, 100, 200, …, 800).

b. Illustra con un diagramma in quale intervallo il «costo A» è sicuramente superiore

al «costo B» e in quale intervallo è vero il contrario.

c. Traduci in disuguaglianze la situazione illustrata dal diagramma.

Risoluzione - 3 esercizi in pi•.

Le disequazioni letterali intere

VERO O FALSO?

a. La disequazione letterale, in ,x ax b2 ha come soluzione x ab

1 se a 01 . V F

b. La disequazione, in ,x x a3 2 ha come soluzione x a31 se a 01 . V F

c. Le disequazioni letterali richiedono la discussione solo se, quando sono scritte in forma normale, la variabile è moltiplicata per una lettera. V F

d. La disequazione, in ,x ax a$ non può essere impossibile. V F

e. La disequazione, in ,x k x k1 12- -^ ^h h non richiede la discussione perché si può semplificare il coefficiente k 1-^ h. V F

È data la disequazione in x: a x ax 2#+ - . Per quale valore di a risulta impossibile?

A a 2=- D a 1=

B a 0= E a 2=

C a 1=-

È data la disequazione in x: ax a a2# + .

Se a 01 , qual è l’intervallo delle so luzioni?

A ;a 13- +@ @ D ;a23+6 6

B ;a 1 3+ +6 6 E Nessuno dei precedenti.

C ;a23-@ @

ESERCIZIO GUIDA Risolviamo la disequazione nell’incognita x , con a R! :

x a a x a2 1 2 3 3 41+ - + -^ ^ ^h h h.Eseguiamo i calcoli che ci permettono di arriva-re alla forma ax b1 :

ax x a a ax x2 2 2 3 3 121- + - + -^ hax x a a ax x2 4 2 4 3 3 121- + - + -

x ax a8 4 51- -

x a a8 4 51- -^ h .Discussione

• Se a8 02- , ossia a 82- - , a 81 , allora possiamo dividere per a8 - senza cambiare

il verso della disequazione e troviamo le solu-

zioni: x aa

84 5

1-

- .

• Se a 8= , sostituendo, otteniamo x 0 36$ 1- , che non è mai verificata: la disequazione è impossibile e come soluzione possiamo scri-vere: x R7 ! .

• Se a 82 , dividiamo per a8 01- cambian-

do il verso della disequazione, e troviamo le

soluzioni: x aa

84 5

2-

- .

107••

TEST

108••

109••

110


526

ESERCIZ

IE

Risolvi le seguenti disequazioni letterali intere nell’incognita x con a R! .

ax a a ax3 6 2 42- - - + , ; , ; ,a x aa

a x aa

a x0 2 7 0 2 7 0 R62 1 1 2 !- -

=: D

a x x1 1 22- +^ h , ; , ; , impossibilea x aa

a x aa

a2 21 2 2

1 22 2 1 1-

+

-

+=: D

ESEMPIO DIGITALE ( ) ( ) ( )a x a ax 4 2 24 7 1- + + -+

ax a x3 92$- - , ; , ; ,a x a a x a a x3 3 3 3 3 R62 1$ # !+ + =6 @

a x2 31-^ h , ; , ; ,a x a a x a x a2 23 2 2 2

3R61 2 2 1!

-=

-: D

x a a x4 2#- +^ h , ; , ; ,a x aa

a x a x aa4 4

3 4 4 43

R61 2# ! $-

=-

: D

a x a a1 1 1 01- - - +^ ^ ^h h h , ; , ; ,a x a a x a x a1 1 1 1 1R72 1 1 2!- + = - +^ ^h h6 @

a x x a x1 1 2 1#- + - + -^ ^ ^h h h , ; , ; ,a x a a x a x a0 23 0 0 2

3R72 1$ ! #=: D

a x x3 11- -^ h , ; , ; ,a x aa

a x a x aa1 1

3 1 1 1 13 1

R62 1 1 2!-

-=

-

-: D

b x x b2 1 2 4$- - + +^ h , ; , ; ,b xbb

b x b xbb1

12 1 1

12

R72 1$ ! #-+

+=- -

+

+: D

x a x a a a a3 1 1 41- - - + + +^ ^ ^h h h , ; , ; ,a x aa

a x aa

a x3 33 3 3

3 3 R62 2 1 1 !-

+

-

+=: D

x bx x x b x b1 1 121+ + - + +^ ^ ^ ^h h h h , ; , ; ,b x

bb

b xbb

b x111 1

11 1 R61 1 2 2 !

-

+

-

+=: D

x a ax a x x x a a x4 23 2 32+ - - + + -^ ^ ^ ^h h h h [impossibile]

La risoluzione dei problemi mediante le disequazioni lineari

ESERCIZIO GUIDA La somma di tre numeri naturali dispari consecutivi è minore di 27. Determiniamo il massimo valore possibile dei tre numeri.

• Indichiamo con x il minore di tre numeri dispari.

• Il secondo numero, dispari consecutivo di x , è: x 2+ .

• Il terzo numero, dispari consecutivo di x 2+ , è: x 4+ .

• La somma dei tre numeri è minore di 27:

x x x2 4 27 "1+ + + +^ ^h hx3 6 27 "1+

x3 21 "1

x 71 .

Il più grande numero naturale dispari minore di 7 è 5; quindi, i tre numeri richiesti sono 5, 7 e 9.

Problemi numerici

Determina il massimo valore che possono assumere tre numeri naturali pari consecutivi affinché la loro somma sia minore di 60. [16; 18; 20]

111••

112••

113••

114••

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116••

117••

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122••

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125••


527

ESERCIZ

I

E

Determina quei numeri naturali il cui quadruplo è minore del loro doppio aumentato di 7.

[0; 1; 2; 3]

Aggiungendo alla somma di due numeri pari consecutivi il triplo del maggiore dei due nume-ri, si ottiene una quantità maggiore di 108. Cal-cola quali sono i valori più piccoli che possono assumere i due numeri. [22; 24]

La somma di due numeri dispari consecutivi è maggiore di 45. Trova quali sono i due numeri naturali più piccoli che soddisfano la relazione.

[23; 25]

La somma di due numeri naturali, di cui uno è il quadruplo dell’altro, è minore di 75. Determi-na il massimo valore possibile dei due numeri.

[14; 56]

Determina i valori di x R! tali che la somma tra x, la sua metà e la metà della sua metà superi il triplo di x di almeno 10. [ x 8#- ]

Quali sono quei numeri interi la cui metà è mag-giore della terza parte del loro successivo?

n 226 @

Determina per quali valori di k l’equazione

k x3 5 0- - =^ hammette soluzione positiva. k 316 @

Sono dati tre numeri interi consecutivi, x y z1 1 , tutti diversi da 0.

a. Il loro prodotto è multiplo di 6? Perché?

b. Se x 01 , il loro prodotto è positivo o nega-tivo? Perché?

c. Se la loro somma è maggiore di 55, che valo-ri può assumere y?

[a) sì; b) negativo; c) y 19$ ]

Sottraendo alla somma di due multipli di 3 con-secutivi la metà del numero minore, si ottiene un numero minore o uguale a 30. Trova i più grandi multipli di 3 che soddisfano la condizio-ne. [18; 21]

Problemi geometrici

Un’aiuola rettangolare deve essere costruita con un perimetro minore o uguale a 18 m. Sapendo che la lunghezza dovrà superare di 3 m la larghezza, determina quale può essere la larghezza massima dell’aiuola.

[3 m]

I lati di un triangolo misurano, in metri, rispettivamente x2 , x 2+ e 8. Per quali valori di x il triangolo ha perimetro minore di 100 m? x2 101 16 @

I lati di un rettangolo misurano, in centimetri, rispettivamente x2 e x 1+ . Se il perimetro del rettangolo deve risultare maggiore di 42 cm, come deve essere scelto il valore di x? x 3

2028 B

In un triangolo isoscele, la lunghezza della base è 31 di quella del lato diminuita di 2 cm. Quale valore de-

ve assumere la misura x del lato af finché il perimetro sia minore di 19 cm? x6 91 16 @

Le diagonali di un rombo sono lunghe rispettivamente cmx6 2-^ h e cmx5 10+^ h . Quali valori può assu-mere x affinché la prima diagonale sia maggiore della metà della seconda? x 226 @

Sono dati due percorsi: il primo lungo un triangolo equilatero di lato x3 1+^ h cm; il secondo lungo un triangolo isoscele di base 5 cm e lato x2 1+^ h cm. Stabilisci per quale valore di x il primo percorso è più lungo del secondo. x 5

42: D

In un triangolo ABC l’angolo AW ha ampiezza pari ai 54 dell’angolo BV . Determina quali valori può assu-

mere l’ampiezza di AW affinché CW sia maggiore di 90°. [ ° °]A0 401 1W

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T 12 LE DISEQUAZIONI LINEARI -...

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