CORSO DI MATEMATICA - hoepli.it · 2.3 Disequazioni equivalenti e principi di equivalenza delle...

CORSODI MATEMATICA

Per il primo biennio

Algebra 2

MARIOLINA CAPPADONNA

EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO

Frazioni algebriche 2

1.1 Monomi frazionari 2

1.2 Elevamento a potenza, avente per

esponente un numero relativo,

di un monomio 3

1.3 Frazioni algebriche 5

Operazioni con le frazionialgebriche 8

2.1 Minimo comune multiplo

di più monomi interi 8

2.2 Minimo comune multiplo

di più polinomi 9

2.3 Operazioni con le frazioni

algebriche 10

2.4 Espressioni contenenti frazioni

algebriche 14

2

1

ESERCIZI

INDICE

Sapere 15

Saper fare 17

Riepilogativi 29

ESERCIZI

Radicali 44

1.1 Radicali numerici e letterali 44

1.2 Condizioni di esistenza di un

radicale letterale 44

1.3 Operazioni con i radicali 45

1.4 Espressioni irrazionali 56

1.5 Razionalizzazione del

denominatore di una frazione 56

1.6 Radicali quadratici doppi 59

Semplici equazioni numerichedi primo grado contenenticoefficienti irrazionali 60

Semplici sistemi di equazioninumeriche di primo gradocontenenti coefficienti irrazionali 60

3

2

1

I radicali2Calcolo letterale(2ª parte)1

Presentazione IX

RECUPERO 32 RECUPERO 99

Sapere 62

Saper fare 63

Riepilogativi 89

Sapere 212

Saper fare 213

Riepilogativi 222

INDICE

IV

Equazioni numeriche interedi secondo grado 124

1.1 Equazioni numeriche intere

di secondo grado monomie 125


di secondo grado pure 125


di secondo grado spurie 127


di secondo grado complete 128

1.5 Formula risolutiva ridotta

di un’equazione numerica intera

completa di secondo grado 131

1.6 Relazioni tra i coefficienti e le

soluzioni di un’equazione

numerica intera di secondo

grado determinata in R 132

1.7 Scomposizione di un trinomio

completo di secondo grado 133

Problemi di secondo grado in una sola incognita 135

Regola di Cartesio 1363

2

1

ESERCIZI

Sapere 140

Saper fare 143

Riepilogativi 161

Equazioni di secondo gradoin una sola incognita3

Equazioni di gradosuperiore al secondo 180


di grado superiore al secondo 180


di grado superiore al secondo

riconducibili a più equazioni

di grado inferiore mediante

scomposizione 180

1


monomie 182


binomie 182


trinomie 184

1.6 Equazioni reciproche 185

Sapere 187

Saper fare 188

Riepilogativi 197

Equazioni di gradosuperiore al secondo4

RECUPERO 168

ESERCIZI

ESERCIZI

RECUPERO 199

RECUPERO 224

Equazioni numeriche frazionarie 206

1.1 Principi di equivalenza e loro

conseguenze 206

1.2 Risoluzione di un’equazione

numerica frazionaria 207

Equazioni di quarto grado reciproche di prima specie 209

2

1

Equazioni frazionarie5

Sistemi di equazioni di secondo grado 230

1.1 Sistemi numerici interi

di secondo grado in

due incognite 230

1.2 Sistemi simmetrici 233

Sistemi numerici interi di grado superiore al secondo 234

2

1

Sistemi di equazioni6

INDICE

V

Disequazioni numeriche interedi secondo grado 304

Disequazioni di grado superioreal primo risolvibili con ilmetodo della scomposizione 311

2

1

Disequazioni numeriche interedi grado superiore al primo8

Disuguaglianze e loroproprietà 276

Disequazioni 277

2.1 Classificazione delle

disequazioni 277

2.2 Risoluzione di una

disequazione 278

2.3 Disequazioni equivalenti e

principi di equivalenza delle

disequazioni 278

2.4 Grado di una disequazione 279

2.5 Ricerca delle soluzioni di una

disequazione numerica intera

di primo grado in una sola

incognita 280

2

1

Disequazioni numericheintere di primo grado7

ESERCIZI

ESERCIZI

RECUPERO 298

RECUPERO 327

RECUPERO 266

Disequazioni numeriche frazionarie 336

1

Disequazioni frazionarie9

Sistemi di disequazioninella stessa incognita 354

1

Sistemi di disequazioni10

Sistemi numerici frazionari 2373

Sapere 239

Saper fare 240

Riepilogativi 257

Sapere 286

Saper fare 288

Riepilogativi 297

Sapere 314

Saper fare 315

Riepilogativi 324

Sapere 340

Saper fare 341

Riepilogativi 347

Sapere 359

Saper fare 359

Riepilogativi 368

ESERCIZI

Equazioni con valore assolutoin una sola incognita 376

Disequazioni con valoreassoluto in una sola incognita 377

2

1

Semplici equazioni e disequazioni con valore assoluto11

ESERCIZI

RECUPERO 348

ESERCIZI

RECUPERO 371

ESERCIZI

Sapere 379

Saper fare 379

Riepilogativi 381

INDICE

VI

Esercizi per le prove PISA 443

Sapere 393

Saper fare 394

Riepilogativi 405

ESERCIZI

ESERCIZI

Cenni di calcolodelle probabilità 410

1.1 Introduzione 410

1.2 Operazioni logiche fra eventi 410

1.3 Frequenza di un evento 413

1.4 Probabilità di un evento 414

1.5 Differenza tra frequenza e

probabilità 415

1.6 Teoremi sul calcolo delle

probabilità 416

Cenni di statistica 419

2.1 Introduzione 419

2.2 Rappresentazioni grafiche 419

2

1

Cenni di probabilità e statistica13

Sapere 425

Saper fare 427

Riepilogativi 437

Equazioni letterali 384

1.1 Equazioni letterali in una

sola incognita 384


letterale intera di primo grado

in una sola incognita 384


letterale intera di secondo grado



letterale frazionaria


Disequazioni letterali 391

2.1 Disequazioni letterali in una

sola incognita 391

2.2 Risoluzione di una disequazione

letterale intera di primo grado


2

1

Semplici equazioni e disequazioni letterali12

VII

Il libro di testo è uno strumento didattico principalmente rivolto agli studenti ma, contem-

poraneamente, deve rispondere in modo completo alle richieste di tipo metodologico del

docente che intende usarlo.

Questo Corso di matematica tiene conto sia delle segnalazioni e delle informazioni perve-

nute nel corso degli anni da studenti e docenti di matematica, sia dell’esperienza didattica

maturata nella quotidianità dell’insegnamento.

L’impostazione metodologica dell’opera presenta sfaccettature particolari e innovative.

Aspetti originali sono ravvisabili nell’anticipazione, rispetto alla loro trattazione approfon-

dita, di alcuni concetti o temi, sia perché utilizzati come strumenti propedeutici di quelli suc-

cessivi, sia al fine di facilitare il loro apprendimento (come, per esempio, risolvere semplici

equazioni di primo grado già dal capitolo dei numeri naturali), nel ricorso a schemi, grafici,

figure geometriche o tabelle per risolvere esercizi proposti, nell’utilizzo dei numeri “sotto il

segno di radice” sin dal primo capitolo sui numeri, nell’utilizzo di concetti e nelle trattazio-

ni di temi spesso dimenticati dai libri della scuola media superiore (per esempio le operazio-

ni con i numeri decimali, i problemi contenenti cambiamenti di unità di misura, le percen-

tuali, gli sconti, le formule inverse).

Tutto questo tenendo sempre ben presente che è lo studente il soggetto al centro del lavo-

ro di tutti i giorni e che l’obiettivo principale e costante deve essere il creare successi

didattici.

Il Corso di matematica è suddiviso in tre volumi: Algebra 1, Algebra 2 e Geometria ed è

rivolto agli studenti del primo biennio dei licei e degli istituti tecnici. I tre volumi percor-

rono infatti tutti i temi di matematica previsti dalle linee ministeriali per i primi due anni.

Le nozioni sono presentate con linguaggio chiaro e conciso, tuttavia rigoroso come richie-

de la disciplina, e sono sempre accompagnate da esempi esplicativi.

PRESENTAZIONE

PRESENTAZIONE

VIII

Nei due volumi di algebra, dopo la trattazione di

alcuni argomenti già noti agli studenti, viene dato

ampio spazio agli insiemi numerici, al linguaggio

algebrico, alle applicazioni in ambito algebrico, non

solo prettamente orientate in ambito matematico, ma

anche verso contesti più generali. All’interno dei due

volumi vengono infatti proposti problemi di

Matematica pratica, problemi e compiti che ogni

studente può incontrare nella vita di tutti i giorni e in

cui è necessario applicare principi e ragionamenti

matematici. Essi hanno l’obiettivo di disabituare i

giovani a risolvere solo problemi di tipologia classi-

ca (dato x, calcola y) e puntano a sviluppare la capa-

cità degli studenti di utilizzare le loro conoscenze per

affrontare compiti e prove di vita quotidiana. VIII

1Richiami diinsiemistica

CAPITOLO

ESERCIZI

unpo’ diaiuto

Marco ha ricevuto un sacchetto con 495 caramelle, 110 al limone e 385

all’arancia. Marco non riesce a dividere le caramelle in più sacchetti in modo

che tutti i sacchetti contengano la stessa composizione di caramelle al limone e

all’arancia e, inoltre, che tutte le caramelle vengano utilizzate. Qual è la soluzione del

problema di Marco?

Il problema è risolvibile mediante l’applicazione del MCD.

Il numero di sacchetti deve essere un divisore comune di 110 e di 385:

110 = 2 · 5 · 11 385 = 5 · 7 · 11

per cui MCD(110, 385) = 5 · 11 = 55.

Ciascuno dei 55 sacchetti dovrà contenere 495 : 55 = 9 caramelle in tutto.

Il dirigente scolastico e i suoi stretti collaboratori si riuniscono ogni 14 giorni, i docen-

ti ogni 16 giorni e il personale non docente ogni 24 giorni. Se oggi le tre categorie si

sono riunite, tra quanto si riuniranno nello stesso giorno?

Il problema si risolve con l’aiuto del mcm infatti, la risposta al quesito è il più picco-

lo multiplo comune tra 14, 16 e 24, ossia:

mcm(14, 16, 24) = 336

Risolvere i seguenti problemi con l’ausilio del MCD e del mcm

Una lavanderia possiede tre lavabiancheria. Una deve essere revisionata tra 30 gior-

ni, un’altra tra 15 giorni e la terza tra 20 giorni. Oggi sono state revisionate tutte e

tre. Tra quanto tempo ricapiterà la revisione contemporanea?

Quattro colleghi di lavoro si recano nella filiale della loro azienda con le seguenti

modalità:

• il primo ogni cinque giorni;

• il secondo ogni quindici giorni;

• il terzo ogni venti giorni;

• il quarto ogni venticinque giorni.

Oggi si sono ritrovati tutti insieme nella filiale. Tra quanto tempo si ritroveranno

ancora tutti e quattro nella filiale?

Una parte di corridoio cieco della casa di Giulia è un quadrilatero avente i lati lun-

ghi rispettivamente 200 cm, 120 cm, 130 cm, 150 cm. Giulia vuole illuminarlo con

dei faretti, in modo che all’inizio e alla fine di ogni lato del corridoio ce ne sia sem-

pre uno e che, inoltre, la distanza tra due faretti consecutivi sia costante sui quattro

lati e la più grande fra tutte le possibilità. A quale distanza deve installare i faretti?

Quanti faretti saranno necessari?

[10 cm; 60]

Paolo deve riporre in una cassettiera 15 paia di calzini neri, 25 paia di calzini grigi

e 20 paia blu. Se li vuole riporre in modo da occupare il maggior numero possibile

di cassetti e che in ognuno di essi vi siano tre tipi diversi di calzini e lo stesso nume-

ro di paia per colore, di quanti cassetti deve disporre? Quante paia di calzini di cia-

scun colore saranno riposti in ogni cassetto?

[5; 3, 5, azioni elementari in N

265

264

263

262Matematica

PRATICA

In fondo ai volumi di algebra è

presente la sezione Esercizi per le

prove PISA, esercizi strutturati e

costruiti secondo i criteri di indagi-

ne e valutazione su cui si basano le

prove OCSE-PISA che hanno l’obiet-

tivo di sviluppare la capacità degli stu-

denti di misurare le proprie scelte e di

prendere decisioni mediante l’applica-

zione, a contesti extrascolastici, di quan-

to viene da loro appreso a scuola.

Il primo volume di algebra contiene anche

una panoramica sull’evoluzione storica

dei numeri, dall’antichità fino ai giorni

nostri.

La storiadei numeri

n Gli uomini preistoriciconoscevano i numeri?

n I sistemi di numerazione

nell’antichitàn Curiosità sui numeri

n I nomi dei grandi numeri

in Europan Una conquista numerica

dei nostri giorni

Esercizi per

le prove PISA

n I sette ponti di Könisberg

n Il tuono

n Il segnale luminoso

n Il cambio

n La scala

n La TV

n Il compleanno di Andrea

n Il mago matematico

n Il dado

n La classifica

n I fusi orari

n Il cioccolatino

n La multa

n I poligoni

n Il tempo libero

n Le zampe

n I piccioni

n L’età

n La verifica di matematica

n Le caramelle

1Costruzioni geo-

metriche

CAPITOLO

TEORIA

VIII

1 Poligoni inscritti in una circonferenza

1.1 Poligoni inscritti in una circonferenza

DEFINIZIONE

Un poligono avente tutti i vertici su una circonferenza prende il nome di poligono inscritto nella cir-

conferenza.

Una circonferenza che contiene un poligono in essa inscritto prende il nome di circonferenza circo-

scritta al poligono.

DEFINIZIONE

Un poligono è inscrittibile in una circonferenza quando esiste una circonferenza passante per tutti i

suoi vertici.

Se tutti i vertici di un poligono sono punti di una semicirconferenza e uno dei lati del poligono è il diametro

della semicirconferenza, il poligono si dice inscritto nella semicirconferenza.

■ Un triangolo qualsiasi è sempre inscrittibile.

■ Se gli assi dei lati di un poligono si intersecano in uno stesso punto allora il poligono è inscrittibile

in una circonferenza.

Il punto di intersezione degli assi dei lati di un poligono inscritto in una circonferenza è il centro della cir-

conferenza circoscritta.

Sia ABC un triangolo qualsiasi.

Ipotesi: ABC è un triangolo qualsiasi.

Tesi: ABC è inscrittibile.

Dimostrazione:

Il circocentro di un triangolo qualsiasi è equidistante dai tre vertici quindi la circonferenza avente per rag-

gio tale distanza è circoscritta al triangolo. Tale circonferenza è unica poiché per tre punti non allineati (i

1.2 Poligoni inscrittibili

ABCD è un poligono (trapezio) inscrittoin una semicirconferenza di diametro AB.A B

D C

O

ABCDEF è unpoligono (esagono)inscritto nellacirconferenza.A

B

D

C

E

F

O

Il poligono ABCD

(quadrilatero)non è inscritto nellacirconferenza.

D

A

C

B

O

Il volume di geometria fornisce la trattazione com-

pleta della geometria euclidea (piana e solida) ed è

corredato di molte figure esemplificative nonché di

dimostrazioni guidate, al fine di accompagnare lo

studente nell’applicazione dei teoremi appresi a

casi concreti. Le dimostrazioni di teoremi presenti

nel volume solo in forma enunciata sono fornite

nella guida per il docente.

PRESENTAZIONE

IX

Ogni volume è suddiviso in capitoli a loro volta strut-turati in paragrafi e sottoparagrafi.Nella pagina di apertura sono elencate le conoscenze(sapere) e le competenze (saper fare) che lo studiodegli argomenti permetterà di acquisire.In basso sono indicate le attività di laboratorio e diesercizi e/o approfondimenti disponibili online,collegate al capitolo stesso.

Ogni nuovo concetto e ciascuna delle proprietà introdotte sono inoltre corredati di una seriedi esempi chiarificatori nei quali ogni passaggio è spiegato in modo articolato e puntuale.All’interno di molti paragrafi dei volumi di algebra sono presenti i Casi particolari cheaccompagnano gli studenti nell’immediata applicazione a casi specifici, spesso a loro giànoti, delle nozioni teoriche apprese.

SAPERE

Al termine di questo capitolo, avrai appreso:

n le definizioni di quoziente di due monomi

n la definizione di elevamento a potenza

di un monomio

n la definizione di monomio frazionario

n il significato di valore numerico

di un monomio frazionario

n la definizione di frazione algebrica

n il significato di valore numerico

di una frazione algebrica

n la definizione di frazione algebrica

irriducibile

n la definizione di mcm di più monomi

n la definizione di mcm di più polinomi

n la definizione delle operazioni tra frazioni

algebriche

SAPER FARE

Al termine di questo capitolo, sarai in grado di:

n riconoscere un monomio frazionario

n distinguere un monomio frazionario da una

frazione algebrica

n determinare il dominio di una frazione

algebrica

n calcolare il valore numerico di una frazione

algebrica per particolari valori numerici

attribuiti alle sue lettere

n semplificare una frazione algebrica

n ridurre ai minimi termini una frazione

algebrica

n determinare il mcm di più monomi

n determinare il mcm di più polinomi

n ridurre più frazioni algebriche allo stesso

denominatore

n addizionare algebricamente più frazioni

algebriche

n moltiplicare più frazioni algebriche

n dividere due frazioni algebriche

n elevare a potenza una frazione algebrica

n calcolare espressioni contenenti frazioni

algebriche

Calcolo letterale

(2ª parte) 1CAPITOLO

Risorse online

Laboratorio con

EXCEL

Laboratorio con

DERIVEESERCIZI

CLILMath

1Richiami di

insiemistica

CAPITOLO

TEORIA

IX

Gli insiemi

1.1 Il concetto di insieme

Non è possibile dare una definizione di insieme perché per farlo sarebbe necessario far uso di

suoi sinonimi. Il concetto di insieme è quindi intuitivo e per assimilarlo è sufficiente pensare

a una collezione di elementi, a una raccolta di oggetti ben definiti, a un elenco di nomi ecc.

1.2 Gli insiemi e i simboli

Gli insiemi si indicano solitamente con lettere maiuscole dell’alfabeto (A, B, C, ...) e i loro

elementi con lettere minuscole (a, b, c, ...).

Per indicare che x è uno degli elementi di un certo insieme Y, si scrive: x ∈Y e si legge: x

appartiene all’insieme Y; per indicare che x non è un elemento di Y, si scrive: x ∉Y e si

legge: x non appartiene all’insieme Y. Non tutti gli insiemi contengono elementi. L’in-

sieme dei voti insufficienti della pagella di fine anno di uno studente ammesso alla classe

successiva, per esempio, è un insieme privo di elementi.

esempio

Sono insiemi: gli alunni di una stessa classe, gli abiti contenuti in un armadio, i numeri

naturali, gli oggetti contenuti in un astuccio, i nomi degli studenti di una classe.

esempio

• L’insieme dei numeri pari è sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri naturali.

• L’insieme degli studenti della classe I A è un sottoinsieme proprio dell’insieme degli

alunni della scuola frequentata dalla I A.

DEFINIZIONE

• Un insieme che non possiede elementi si dice vuoto e si indica con il simbolo ∅.

• Se gli elementi di un insieme si possono contare e il conteggio ha termine, l’insieme

si dice finito; altrimenti, si dice infinito.

• Se tutti gli elementi di un insieme A sono anche elementi di un insieme B e, vicever-

sa, tutti gli elementi di B sono anche elementi di A, allora A e B si dicono uguali. In

simboli: A = B. Se due insiemi A e B non sono uguali, si scrive: A ≠ B.

• Dati due insiemi A e B, se ogni elemento di A è anche elemento di B e B contiene

almeno un elemento (ne può contenere più di uno) che non appartiene ad A, allora si

dice che A è un sottoinsieme proprio dell’insieme B. In simboli: A ⊂ B e si legge: A

è incluso in B, A è contenuto in B.

Con A ⊆ B si intende che A è un sottoinsieme improprio di B, ossia che A può esse-

re un sottoinsieme di B o coincidere con B.

È possibile scrivere la relazione A ⊂ B anche nella forma: B A che si legge: B contiene A.

Il simbolo ⊂ deve essere sempre preceduto e seguito da insiemi o da simboli che indicano

insiemi. Scrivere x ⊂ Y o 1 ⊂ N è errato. Scrivere X ⊂ Y o {x, y, z} ⊂ Y è corretto.

Se gli elementi di un insieme sono solo numeri, l’insieme prende il nome di insieme

numerico. Con la lettera N si indica l’insieme dei numeri naturali; con Z l’insieme dei

numeri interi relativi, con Q l’insieme dei numeri razionali e con R l’insieme dei numeri

reali. N0, Z0, Q0 e R0 indicano gli stessi insiemi numerici, ma privati dello zero. Gli insie-

mi numerici saranno studiati nei capitoli successivi.

Scrivere x ⊂ Y o 1 ⊂ N è errato. Scrivere X ⊂ Y o {x, y, z} ⊂ Y è corretto.

⊂


CAPITOLO

TEORIA

IX

1.3 Rappresentazione di un insieme

Un insieme può essere rappresentato mediante:

• elencazione, scrivendo uno di seguito all’altro i suoi elementi tra due parentesi graffe:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5};• proprietà caratteristica, specificando tra due parentesi graffe la proprietà che caratteriz-

za i suoi elementi: X = {n ∈N 0 ≤ n ≤ 50}, per esempio, rappresenta l’insieme dei nume-

ri naturali minori o uguali a 50 (dove la barra si legge tale che);

• rappresentazione grafica, con i diagrammi di Eulero-Venn ovvero con linee chiuse entro

le quali si racchiudono gli elementi dell’insieme.

CASIPARTICOLARIn Per rappresentare, mediante i diagrammi di Eulero-Venn, che un insieme è con-

tenuto in un altro, si devono:

• disegnare le due linee chiuse, corrispondenti ai due insiemi, l’una interna

all’altra; • distribuire nella parte comune (quella “più interna”), gli elementi che apparten-

gono a entrambi gli insiemi;

• distribuire gli elementi che appartengono solo all’insieme, ma non al sottoin-

sieme, al di fuori della linea del sottoinsieme.

gommamatita

penna

esempio

Se A = {matita, penna} ⊂ B = {matita, penna, gomma, pennarello}, la rappresentazione

sarà:

CASIPARTICOLARIn L’insieme vuoto è considerato sottoinsieme proprio di qualsiasi altro insieme non

vuoto: ∅ ⊂ A, ∀A ≠ ∅ (dove il simbolo ∀, che prende il nome di quantificatore

universale e il cui significato sarà studiato nel prossimo capitolo, si legge per

ogni, per tutti).n Ogni insieme è sottoinsieme improprio di se stesso: A ⊆ A.

pennarello

matita

penna

gomma

A

B

PRESENTAZIONE

X

I testi propongono un elevato numero di eserci-

zi, articolati secondo la scansione dei capitoli,

dei paragrafi e dei sottoparagrafi. Gli esercizi

sono suddivisi in tre tipologie: Sapere, Saper

fare e Riepilogativi.

Gli esercizi del Sapere (completa, rispondi,

vero/falso, scelta multipla) sono prove di tipo

cognitivo e possono essere svolti in classe, con

la guida del docente, o in modo autonomo a

casa. In entrambi i casi permettono allo stu-

dente di gestire attivamente il processo di

apprendimento e l’acquisizione delle cono-

scenze, di memorizzare quanto appreso

durante la spiegazione, di utilizzare corretta-

mente il linguaggio matematico.

Gli esercizi del Saper fare (completa, scelta multipla, vero/falso, domande aperte) consento-

no di applicare le conoscenze acquisite nonché di verificare l’avanzamento del proprio pro-

cesso formativo. Ogni gruppo di esercizi è introdotto da Un po’ di aiuto, una raccolta di

esempi risolti e commentati, creata al fine di aiutare lo studente a gestire autonomamente la

propria capacità risolutiva.

Gli esercizi Riepilogativi sono collocati in fondo a ogni capitolo e offrono un concreto aiuto

nel processo di consolidamento e di rafforzamento delle conoscenze nonché nell’acquisi-

zione di una preparazione adeguata prima di una verifica sommativa.

X

1Richiami di

insiemistica

CAPITOLO

ESERCIZI

Esprimere i seguenti numeri nei sistemi di base n di seguito indicati

(228)10

n = 2, 16[(11100100)2; (E4)16]

(437)10

n = 2, 8, 16[(110110101)2; (665)8; (1B5)16]

(11111)2

n = 10, 16

[(31)10; (1F)16]

(52)10

n = 2, 3, 4[(110100)2; (1221)3; (310)4]

(8C)16

n = 2, 10[(10001100)2; (140)10]

(11111101)2n = 5, 10, 16

[(2003)5; (253)10; (FD)16]

(13000)5

n = 2, 3, 4, 10, 16

[(1111101000)2; (1101001)3; (33220)4; (1000)10; (3E8)16]

(125)6

n = 2, 10, 16[(110101)2; (53)10; (35)16]

(437)10

n = 4, 5[(12311)4; (3222)5]

(10111)2

n = 10, 16

[(23)10; (17)16]

(581)10

n = 2, 3, 5[(1001000101)2; (210112)3; (4311)5]

(7BC)16

n = 2, 10 [(11110111100)2; (1980)16]

(19260)10

n = 2, 3, 16

[(100101100111100)2; (4B3C)16; (222102100)3]

318

317

316

315

314

313

312

311

310

309

308

307

306

Stabilire se il risultato delle seguenti espressioni è un numero naturale

89 – 43

43 – 89

32 + 13 – 44

12 : 4 – 2

2 – 10 : 2

4 · 2 – 7

2 · 3 – 6

5 – 3 · 2

[10 – 10 : 10 – 9] : (1 – 1)[4 · 5 – (12 – 7)] : 3 · 5 – 1

Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false

01 = 0

V F

00 = 1

V F

218 : 29 = 218:9 = 22

V F

(12 + 3) – 5 è la somma di dodici con tre e cinque.V F

34 – (2 · 3 + 1) è la sottrazione tra il quadruplo di tre

e il precedente del doppio di tre.

V F

4 : 2 + 23 è l’addizione tra la metà di quattro e il cubo di due.V F

21 non è divisibile per 2 perché 21 : 2 = 10 con resto non nullo. V F

19

18

17

16

15

14

13

8 53 +12

27 163 +11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ESERCIZI RIEPILOGATIVI

X


CAPITOLO

ESERCIZI

Qualsiasi siano gli insiemi A e B: A ∪ B = B ∪ A. V F

Qualsiasi siano gli insiemi A e B: A × B = B × A. V F

Qualsiasi siano gli insiemi A e B: A – B = B – A. V F

Qualsiasi siano gli insiemi A, B e C: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). V F

SCELTA MULTIPLA

Se A ⊂ B ∧ A ≠ ∅ ⇒

a) A ∩ B = B b) A ∩ B = A

c) A ∩ B ≠ ∅ d) A ∪ B = ∅

Dati tre insiemi A, B e C, allora A ∩ (B ∪ C) è uguale a:

a) (A ∪ B) ∪ (A ∪ C) b) (A ∪ B) ∪ (A ∪ C)

c) (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Dato un insieme universo U, il complementare del complementare di un insieme A

è uguale:

a) all’insieme A b) all’insieme vuoto

c) all’intersezione tra A e U d) all’unione tra A e U

30

29

28

27

26

25

24

1.2 Gli insiemi e i simboli

SAPER FARE

unpo’ diaiutoInserire il simbolo mancante < , > o = tra le seguenti coppie di numeri:

45…65; 909…901; 488…478; 20…52; 10…2 ⋅ 5

I simboli < e >, da sinistra verso destra, si leggono minore e maggiore, per cui:

45 < 65; 909 > 901; 488 > 478; 20 < 52; 10 = 2 · 5

Inserire il simbolo mancante

–1 … N

12 … N

{0, 1, 2} … N

{0, 1, 2} … {n ∈N ⎢0 ≤ n ≤ 4}

{n ∈N ⎢n < 6} … {0}

{n ∈N ⎢n < 5} … {0, 1, 2, 3, 4}

Individuare la risposta giusta tra quelle proposte

Quattro è compreso tra uno e venti.

Il triplo della somma di due con il suo successivo è minore del cubo di tre e mag-

giore del doppio di 5.

80

79

6

5

4

3

2

1

SAPERE

COMPLETA

Un insieme è ……………………………..

Un insieme si dice finito se ……………………………..

Un insieme si dice infinito se ……………………………..

Due insiemi si dicono uguali se ……………………………..

Un insieme è sottoinsieme di un altro insieme se ……………………………..

I sottoinsiemi si distinguono in sottoinsiemi ……………………………. e ……………………………..

L’intersezione tra due insiemi è l’insieme costituito ……………………………..

L’unione tra due insiemi è l’insieme costituito ……………………………..

La differenza tra due insiemi è l’insieme costituito ……………………………..

Il complementare di un insieme A è l’insieme costituito ……………………………..

Il prodotto cartesiano di due insiemi è l’insieme costituito ……………………………..

Due insiemi si dicono disgiunti se ……………………………..

RISPONDI

Come si può rappresentare il prodotto cartesiano tra due insiemi?

La differenza tra due insiemi può essere uguale all’insieme vuoto?

A – B ⊆ A?

Come si possono rappresentare gli insiemi?

Un insieme finito può essere rappresentato con un diagramma di Eulero-Venn?

Che cos’è la proprietà caratteristica di un insieme?

Come si rappresentano, mediante i diagrammi di Eulero-Venn, due insiemi di cui

uno sottoinsieme dell’altro?

VERO/FALSO

L’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme.V F

L’insieme unione tra due insiemi non è mai uguale all’insieme vuoto. V F

Il prodotto cartesiano tra due insiemi è uguale all’insieme vuoto

solo se ciascuno degli insiemi coinvolti nel prodotto è uguale

all’insieme vuoto.

V F

Se almeno uno dei due insiemi è uguale all’insieme vuoto, allora

l’insieme intersezione è uguale all’insieme vuoto.V F

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

ESERCIZI

PRESENTAZIONE

XI

Algebra 1 e Algebra 2 contengono, alla fine dialcuni capitoli, delle sezioni di recupero.Ogni sezione di recupero segue la struttura deicapitoli cui si riferisce. È infatti corredata di unripasso teorico, di esercizi del Sapere, del Saper

fare e Riepilogativi e costituisce un valido stru-mento per colmare le lacune eventualmente crea-tesi nella preparazione di base degli studenti.Le sezioni di recupero possono essere di gran-de aiuto anche per consolidare e rafforzarequanto già appreso.

Nelle pagine web:www.hoeplieditore.it/4432-0 (per i volumi di algebra) e www.hoeplieditore.it/4431-3

(per il volume di geometria) i contenuti dei volumi sono integrati da:• laboratorio di matematica con Excel e con Derive per i capitoli di algebra;• due capitoli di geometria analitica di base, con laboratorio Excel-Derive;• ulteriori esercizi per ogni capitolo;• lezioni di ripasso di argomenti di Algebra 1, propedeutici al programma di Algebra 2;• esercizi di matematica in lingua inglese basati sull’approccio metodologico CLIL;• laboratorio di geometria con GeoGebra per i capitoli di geometria;• un excursus dei momenti significativi del pensiero matematico fino ai giorni nostri.

In una sezione riservata al docente sono disponibili online per ogni capitolo ulteriori veri-fiche da somministrare in classe, con la possibilità di avere, tramite software di riordino,una ventina di prove differenti per ciascuna batteria di esercizi, nonché la traduzione deiquesiti e delle letture in inglese proposti nella sezione CLIL Math.

Ciascuno dei tre volumi del Corso di matematica è corredato di una Guida per il docente

contenente al suo interno tutti i risultati degli esercizi e dei problemi proposti nel testo.Nella guida relativa al volume di geometria sono fornite anche le dimostrazioni della mag-gior parte dei teoremi dei quali è presente nel testo solo la forma enunciata. Nelle guiderelative ai volumi di algebra il docente avrà a disposizione ulteriori verifiche di algebra perdiversi capitoli. Alcune pagine descrivono le modalità di svolgimento e il tipo di prepara-zione richiesto per le prove OCSE-PISA.

MARIOLINA CAPPADONNA

XI

7Equazioni

numeriche intere

di primogrado

CAPITOLO

RECUPERO

RECU

PERO

unpo’ diaiutoPer scomporre 225 in fattori primi, si traccia una linea verticaleimmediatamente alla destra del numero e, a destra della linea,si scrive il suo più piccolo divisore primo ovvero 3: 225 3Si divide 225 per 3 e si scrive il quoziente sotto il dividendo: 225 3

75Il procedimento si itera fino a quando il resto non diventa nullo:225 3

75 325 55 51 Per cui: 225 = 32 · 52

3.1 Numeri primi e numeri composti - 3.2 Criteri di divisibilità3.3 Scomposizione di un numero in fattori primiScomporre in fattori primi i seguenti numeri125, 236, 825 2222, 242, 4356 4840, 1100, 660 36360

5958

57

unpo’ diaiuto24, 48, 20Si scompone ogni numero in fattori primi:

24 = 23 · 3; 48 = 24 · 3; 20 = 22 · 5Per calcolare il MCD, si devono moltiplicare i fattori primi comuni ai numeri, ciascu-

no preso una sola volta e col minor esponente:MCD(24, 48, 20) = 22 = 4Per calcolare il mcm, si devono moltiplicare i fattori primi comuni e non comuni ai

numeri, ciascuno preso una sola volta e col maggior esponente:mcm(24, 48, 20) = 24 · 3 · 5 = 240

480252

3780132

1250900

346530 030

2401800

5401350

20 79048 510

3.4-3.5 MCD e mcmCalcolare il MCD e il mcm dei seguenti gruppi di numeri

7473

7271

7069

6867

6665

6463

6261

25, 35, 1514, 22, 28

12, 18, 4825, 45, 60

16, 8, 12818, 24, 36

12, 8, 2410, 25, 55

38, 19, 11420, 12, 36, 60

12, 48, 144, 1440 21, 42, 49, 7715, 30, 60, 45, 50 18, 9, 45, 27, 36

8887 86

8584 83

8281 80

7978 77

7675

Risorse online

Laboratorio con

EXCELLaboratorio con

DERIVE ESERCIZI CLILMath

Laboratorio con

GEOGEBRA

SAPERE

Al termine di questo capitolo, avrai appreso:

la definizione di disequazione frazionaria

i diversi tipi di disequazioni

SAPER FARE

Al termine di questo capitolo, sarai in grado di:

distinguere un’equazione da una disequazione

distinguere una disuguaglianza numerica da

una disequazione

riconoscere e risolvere una disequazione

numerica frazionaria

Disequazioni frazionarie

9CAPITOLO

Risorse online

Laboratorio con

EXCELLaboratorio con

DERIVE ESERCIZI CLILMath

9Disequazioni

frazionarie

CAPITOLO

TEORIA

336

Disequazioni numeriche frazionarie

Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se l’incognita compa-

re in almeno uno dei denominatori presenti nella disequazione.

Una disequazione frazionaria, dopo aver individuato il suo dominio, aver eseguito le eventua-

li operazioni in essa contenute, nel rispetto dei tre principi di equivalenza, e ridotto entrambi

entrambi i membri allo stesso denominatore, può essere ricondotta alla forma: o

.

Risolvere una disequazione di questo tipo significa studiare il segno della frazione algebrica

e questo, com’è noto, è dato dal prodotto del segno del numeratore per il segno del

denominatore.

Per far ciò, è necessario seguire la seguente procedura:

1. studiare separatamente il segno del numeratore e il segno del denominatore;

2. schematizzare entrambi i segni e precisamente:

• rappresentare sulla retta reale tutti i valori di x che annullano sia il numeratore, sia il

denominatore; se nella disequazione è presente anche il simbolo di uguaglianza, si

traccia un cerchio pieno in corrispondenza del valore che annulla il numeratore; in

tutti gli altri casi, si traccia un cerchio vuoto;

• tracciare due linee parallele alla retta reale, una corrispondente al segno del numera-

tore e l’altra a quello del denominatore, che sarà un tratto continuo, negli intervalli in

cui ciascun termine della frazione assume segno positivo, e non continuo, negli inter-

valli in cui assume segno negativo;

3. applicare la regola del segno di un prodotto (procedendo con la moltiplicazione in “ver-

ticale”, rispetto al lettore), individuando così l’insieme S delle soluzioni.

Se la disequazione di partenza assume la forma , allora S è costituito dai valori

reali corrispondenti agli intervalli in cui nella schematizzazione del segno del prodotto è

presente il segno “+”; altrimenti è costituito da quelli corrispondenti agli intervalli in cui

nella schematizzazione è presente il segno “−”.

CASIPARTICOLARI

Se una disequazione assume la forma e nella schematizzazione dei

segni è presente solo il segno negativo o, viceversa, se la disequazione assume la

forma e nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno posi-

tivo, evidentemente l’insieme delle soluzioni è vuoto: S = ∅.

Se nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno indicato dal testo,

nessun valore reale escluso, allora S = R.

A prescindere dal verso della disequazione di partenza, quando si studiano separatamente

il segno del numeratore e il segno del denominatore, al fine di utilizzare una procedura

comune, si è soliti studiare solo il segno positivo, ponendo maggiore di 0 sia il numerato-

P x

Q x

( )

( )< 0

P x

Q x

( )

( )> 0

P x

Q x

( )

( )> 0

P x

Q x

( )

( )

P x

Q x

( )

( )< 0

P x

Q x

( )

( )> 0

1

9Disequazionifrazionarie

CAPITOLO

TEORIA

337

re, sia il denominatore. Se il verso della disequazione contiene anche il simbolo di ugua-

glianza, si pone maggiore o uguale a 0 solo il numeratore (il denominatore non può assu-

mere valore nullo).

Gli esempi che seguono esemplificano le considerazioni operate nel presente paragrafo.

esempioRisolvere le seguenti disequazioni frazionarie:

•

Il dominio della frazione algebrica è D = {∀ x ∈R | 6x − 2 ≠ 0} = {∀ x ∈R | x ≠ }.

Non ci sono operazioni da eseguire. Il segno della frazione dipende dal segno del suo

numeratore e dal segno del suo denominatore, per cui è necessario studiarli separata-

mente. Si indichi con N il numeratore e con D il denominatore:

Studio del segno di N.

4x − 8 > 0 ⇒ x > 2. N assume segno positivo se a x si attribuiscono valori maggiori

di 2; N assume segno negativo se a x si attribuiscono valori minori di 2; N si annulla

se x = 2.

Studio del segno di D.

6x − 2 > 0 ⇒ x > .

Schematizzazione dei segni:

Se si esamina la schematizzazione dei segni, si deduce che l’insieme delle soluzioni

della disequazione di partenza è: .

•

Il dominio della frazione algebrica è l’insieme:

D = {∀ x ∈R | x2 − 25 ≠ 0} = {∀ x ∈R | x ≠ ± 5}Non ci sono operazioni da eseguire.


5x − 1 ≥ 0 ⇒


x2 − 25 > 0 ⇒ x < −5 ∨ x > 5

x ≥1

5

5 1

250

2

x

x

−

−≤

S x R x x= ∀ ∈ < ∨ >⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∪ +1

32

1

32 , ( , ∞ ∞∞)

2

+ +–

Segno di N

Segno di D

Segno della frazione

13

Il cerchio è vuoto perché la disequazione iniziale non contiene il simbolo di uguaglianza

1

3

1

3

4 8

6 20

x

x

−−

>

9Disequazioni

frazionarie

CAPITOLO

TEORIA

338


L’insieme delle soluzioni è quindi dato da:

S = {∀ x ∈R | x < −5 ∨ ≤ x < 5} =

(la parentesi è tonda in corrispondenza dei valori esclusi dal dominio; è quadra in cor-rispondenza del valore che annulla il numeratore e che non è escluso dal dominio).

•

Il dominio della frazione algebrica è l’insieme:

D = {∀ x ∈R | 3x2 − 5x + 2 ≠ 0} = {∀ x ∈R | x ≠ , x ≠ 1}.

Non ci sono operazioni da eseguire.


2x2 − 3x + 1 > 0 ⇒


3x2 − 5x + 2 > 0 ⇒


•

È necessario ricondurre la disequazione alla forma . Se si scompongono idenominatori, si ottiene:

P x

Q x

( )

( )≤ 0

3 3

2 10

2 2

+

++

−

− +≤

x

x x

x

x x

S x R x x x= ∀ ∈ < ∨ < < ∨ >⎧⎨⎩

⎫⎬

⎭= −

⎛⎝⎜

1

2

2

31 1

1

2 , ∞

⎞⎞⎠⎟

∪⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∪ + , ( , )2

31 1 ∞

1

+ + +–

Segno di N

Segno di D


12

23

x x< ∨ >2

31

x x< ∨ >1

21

2

3

2 3 1

3 5 20

2

2

x x

x x

− +

− +>

( , ) , − − ∪⎡

⎣⎢

⎞⎠⎟

∞ 51

55

1

5

5–5

– – ++

Segno di N

Segno di D


15


CAPITOLO

TEORIA

339

. D = {∀ x ∈R | x ≠ 0, x ≠ −1, x ≠ 1}.


3x2 − 2x + 3 ≥ 0. ∆ < 0. Il trinomio non si annulla mai ed è positivo ∀ x ∈R.


x(x + 1)(x − 1)2 > 0. Per studiare il segno del polinomio, non conviene eseguire le mol-

tiplicazioni, ma avvalersi della scomposizione già presente studiando il segno di cia-

scun fattore:

1° fattore: x > 0

2° fattore: x + 1 > 0 ⇒ x > −1

3° fattore: (x − 1)2 > 0 ⇒ ∀ x ∈R | x ≠ 1 (per x = 1 il binomio x − 1 si annulla).

Il denominatore è quindi positivo ∀ x ∈R | x < −1 ∨ 0 < x < 1 ∨ x > 1, mentre è negativo

∀ x ∈R | −1 < x < 0.

Ora è possibile schematizzare il segno di N e di D per individuare il segno della fra-

zione e trovare, così, l’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza:

S = {∀ x ∈R | −1 < x < 0} = (−1, 0).

1–1 0

+ + +–

Segno di N

Segno di D


1–1 0

+ + +–

Segno di x

Segno di x + 1

Segno di (x – 1)2

Segno del denominatore

( )( ) ( )( )

( )( ) .

3 1 1 3

1 10

2

2

+ − + + −

+ −≤ ⇒

x x x x x

x x x

... ( )( )

⇒− +

+ −≤

3 2 3

1 10

2

2

x x

x x x

3

1

3

10

2

+

++

−

−≤

x

x x

x

x( ) ( )

COMPLETA

Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se ………………………..

Risolvere la disequazione significa ……………………………..

L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria, se nella schematizzazio-

ne del prodotto dei segni è presente solo il segno indicato dal testo, nessun valore

reale escluso, è uguale a ……………………………..

SCELTA MULTIPLA

Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se:

a) l’incognita compare in tutti i denominatori presenti nella disequazione

b) l’incognita compare in almeno uno dei denominatori presenti nella disequazione

c) l’incognita non compare in nessun denominatore presente nella disequazione

d) l’incognita compare in almeno uno dei numeratori presenti nella disequazione

L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria verificata da tutti i valo-

ri reali è:

a) (−∞, +∞) b) (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

c) (−∞, 1) ∪ (1, +∞) d) (−∞, 2) ∪ (2, +∞)

L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria verificata da nessun valo-

re reale è:

a) (−∞, +∞) b) (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

c) ∅ d) R

L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria verificata da tutti i valori

reali escluso il numero 1 è:

a) [−∞, 1] ∪ [1, +∞] b) [−∞, 1) ∪ (1, +∞]

c) (−∞, 1) ∪ (1, +∞) d) (−∞, 1] ∪ [1, +∞)

VERO/FALSO

Il segno di coincide con il segno di P(x). V F

Nella schematizzazione dei segni, un tratto continuo corrisponde

al segno negativo. V F

Se nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno opposto

a quello indicato dal testo allora S = ∅. V F

10

9

P x

Q x

( )

( )8

7

6

5

4

3

P x

Q x

( )

( )> 02

1

340

Esercizi

SAPERE

341


CAPITOLO

ESERCIZI

Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzio-

ne è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo grado)

[x > 0] [x < 0]

[x > 0] [x > 0]

[x < 3 ∨ x > 4] [−6 < x < −5]

[−2 ≤ x < 0] [x ≤ 0 ∨ x > 7]

[x < 2 ∨ x > 3]

[S = ∅] [0 < x < 1]

[1 < x < 3]

x x< − ∨ ≥⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥2

1

2

5

21

x

x +≥22x x≤ − ∨ >

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥1

72

5 25

6 122

x

x

−

−≤21

x x< − ∨ >⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥6

1

3

5 8

2 61

x

x

−

−> −20

10

36≤ <

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥x

x

x

+

−≥

2

6219

x x≤ ∨ >⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥3

22

x

x

−

−≤

1

2118− < <

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥3

50x

x

x

−>

3617

− < < −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥1

1

2x

2

12

x

x +< −16

2

11

x −>15

01

5< ≤

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥x

15

x≥14− < <

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥1

20x

12

x< −13

11

x>12

9 18

20

x

x

−

−≤11

5 10

7 210

x

x

−

−>10

1

2

3

2< <

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥x

2 3

14 70

x

x

−

−<9

x

x −≥

70 8

x

x

+≤

207

x

x

+

+<

5

606

x

x

−

−>

3

405

100

x≥40

5<x

3

− >3

0x

21

0x

>1

unpo’ diaiuto

Studio del segno del numeratore N (si ricorda che si è stabilito di porre sia N, sia D

maggiori di 0): x − 1 > 0 ⇒ x > 1

Studio del segno del denominatore D: x + 2 > 0 ⇒ x > −2


Dalla schematizzazione dei segni, si deduce che l’insieme delle soluzioni della dise-

quazione di partenza è uguale all’insieme: S = {∀ x ∈R | −2 < x < 1} = (−2, 1).

1–2

+ +–

Segno di N

Segno di D


x

x

−

+<

1

20

SAPER FARE

342

9Disequazioni

frazionarie

CAPITOLO

ESERCIZI

unpo’ diaiuto

Studio del segno di N: x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4.

Studio del segno di D: x2 − 1 > 0 ⇒ x < −1 ∨ x > 1.

x

x

−

−≤

4

10

2

[x < 1 ∨ x > 2]

[x < 0 ∨ x > 1]

[−1 < x < 8] [x < 2]

[x > 3]

[−5 ≤ x < −3]

[3 ≤ x < 5]

[ −4 ≤ x < −2]

[x < −6 ∨ x > 2]

− < <⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

221

8x

( ) ( )( ) ( )x

x

x x

x

x

x

x x−+

−− +

++

++

>−1

2 4

2 2

4 8

3

12 24

12 2

33 6x+41

− < <⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

11

31x

( ) ( ) ( )( ) ( )x

x

x x

x

x x

x

x

x

+−

−−

−<

− +−

−+1

1

2 1

1

2 2

1

2 32 2

−−140

x

x

x

x

x

x

x

x

+−

−−

−>

−−

−+−

10

2

2 1

2

3

2

6

3 639

x x< − ∨ >⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1

30

x

x

x

x

x

x6 23

15 5

3

3 1++ > −

++

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

38

x x< ∨ ≥⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1

4

4

3

2

16 4

3

4 11

4

8 2

x

x

x

x x−−

−−

≤ −−

37

2

2 41

5 10

3 64

x

x

x

x+− ≤

−+

−36

x

x

x

x−≤

−−

−5

1

2 10135

4

2 6

1

32

x

x

x

x+≥

−+

+34

x x< − ∨ > −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

423

12

1 2

43

2 1

2 8

−+

− <++

x

x

x

x

33

x x< ∨ >⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

211

2

x

x

x

x

+−

<+−

4

2

5 1

3 632

x x< ∨ >⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

3

73

3 4

31

2 3

3

−−

− <+−

x

x

x

x

31

x

x

x

x−+ <

+−3

12 3

330

x x< ∨ ≥⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1

21

x

x

x

x

−−

−+−

− ≤3

2 4

1 2

1 24 029

2 3

2

3

21

x

x

x

x

−−

≥−−

−28x

x

x

x

−+

<−+

+5

1

1 2

1227

x

x

x

x1

2

1−<

−26− < < −

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1

2

5

11x

x

x2 15 0

++ <25

42

10−

−>

x

x

24x x< − ∨ > −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

13

4 −

+<

x

x 1323

Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzione è

riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo o secondo grado)

[x ≠ 0] [R]

[x > 0] [x < −2 ∨ 0 < x < 2]

[x = 0] [−3 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 3]

[x < −1 ∨ x > 1] [x ≤ −1 ∨ x ≥ 1]

[∅] [x ≠ 2 ∧ x ≠ 0]

x x x< ∨ > ∧ ≠⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥1

4

2

51

4 5 1

5 7 20

2

2

x x

x x

− +

− +>54

− ≤ ≤ ∨ < <⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥1

2

1

21 2x x

4 1

3 20

2

2

x

x x

−

− +≤53

x x x< − ∨ − < < − ∨ >⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥3

2

3

21 1

4 12 9

10

2

2

x x

x

+ +

−>52

x x

x

2

2

4 40

− +>51

x x

x

2

2

2 10

− +<50

x

x

2

2

10

−≥49

x

x

2

2 10

−>48

x

x

2 9

30

−≥47

x

x

2

2 10

+≤46

x

x2 4

0−

<456 12

02x

x

+>44

1

10

2x +

>431

02x

>42

343


CAPITOLO

ESERCIZI


S = {∀ x ∈R | x < −1 ∨ 1 < x ≤ 4} = (−∞, −1) ∪ (1, 4]

Studio del segno di N: 4 − x2 ≥ 0 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2.

Studio del segno di D: x2 − 3x + 2 > 0 ⇒ x < 1 ∨ x > 2.


S = {∀ x ∈R | −2 ≤ x < 1} = [−2, 1).

21–2

– – –+

Segno di N

Segno di D


4

3 20

2

2

−

− +≥

x

x x

41–1

– – ++

Segno di N

Segno di D


[−12 ≤ x ≤ 1]

[−4 ≤ x < −1]

− < <⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥7

2

1

3x

6 17 5

4 4 350

2

2

x x

x x

− +

+ −<71

x x< − ∨ >⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥3

21

8 15 7

16 10 210

2

2

x x

x x

− +

+ −>70

− < ≤ ∧ ≠⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥5

3

3

2

1

4x x

8 14 3

12 17 50

2

2

x x

x x

− +

+ −≤69

x x< − ∨ ≥⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥5

2

7

3

15 41 14

10 21 100

2

2

x x

x x

− +

+ −≥68

x x x< ∨ > ∧ ≠ −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥2

32

1

2

2 3 2

6 20

2

2

x x

x x

− −

− −>67

6

53< <

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥x

5 4 12

60

2

2

x x

x x

+ −

− −<66

x x< − ∨ >⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥2

31

9 7 2

27 24 40

2

2

x x

x x

− −

+ +>65

3 6 24

20

2

2

x x

x x

+ −

− −≤64

1

3

5

2< ≤

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥x

2 10

3 5 20

2

2

x x

x x

− −

+ −≤63

x x< − ∨ >⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥1

3

2

2 3

2 10

2

2

x x

x x

− −

+ +>62

x x≠ ∧ ≠ −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥2

3

5

2

36 180 225

9 12 40

2

2

x x

x x

+ +

− +>61

x x

x x

2

2

+ −

− +≤

11 12

16 40 25060

x x x≤ − ∨ − < < − ∨ ≥⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥5 1

5

70

20 100

7 12 50

x x

x x

2

2

+

+ +≥59

− < < −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥5

3

4

11x

33 4

9 12 50

x x

x x

2

2

+ −

+ −<58

1

7

1

3≤ <

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥x

12

2

4 9 1

6 5 10

x x

x x

− +

− + −≥57

− < < − ∨ − ≤ ≤⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥10 6 1

2

5x x

5 3 2

3

2

2

x x

x x

+ −

+ +≤

48 180056

− < < − ∨ < <⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥6

1

3

1

21x x

2 11 6

3 1

2

2

x x

x x

+ −

− −<

2055

344

9Disequazioni

frazionarie

CAPITOLO

ESERCIZI

345


CAPITOLO

ESERCIZI

unpo’ diaiuto


Studio del segno di D: 3x3 + 5x2 + 2x > 0 ⇒ x(3x2 + 5x + 2) > 0 ⇒ … ⇒

⇒


S = {∀ x ∈R | x ≤ −2 ∨ −1 < x < ∨ 0 < x ≤ 2} = ( , ] , ( , ]− − ∪ − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∪∞ 2 12

30 2−

2

3

20–1–2

+ + – + ––

Segno di N

Segno di D


23

–

− < < − ∨ >12

30x x

16

3 5 20

4

3 2

−

+ +≥

x

x x x

[x < −1 ∨ 0 < x < 1 ∨ x > 1]

[−1 < x < 1]

[−10 < x < −5 ∨ 0 < x < 5]

[x < −3 ∨ x > −2 ∧ x ≠ 2]

[x ≤ −3 ∨ x ≥ 5]

[∅]

[x ≠ −4]

[∅]

[−1 < x < 1]2 1

1

3 5

1

4

1

3

12

x

x

x

x

x

x

x

x

−

−>

++

−−−

+−+

81

3

4 2

2

3 6

1

5 10 4 42

++

−+

≤++

++ +

x

x x

x

x

x

x x

80

x

x

x

x x

x

x+−

+ +≤

++4 8 16

2 1

2 8

2

279

x

x

x

x x

x

x

++

−+ +

≤++

−3

2 4 4 4

1

22

278

x

x x

x

x

x x

x

2

2 2

16

2 1

2 1

1

3 2

1

−

− +−

+−

≥−

−

( )

( )77

x

x

x

x

x

x

−−

++

<−

3

2 2 4

2

276

x

x

x

x

x

x+>

−+

−5 5 25

2

275

x x≠ ∧ − < <⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1

2

1

41

2

2 1

1

4 4 12

x

x

x

x x−<

+

− +74

x

x

x

x

−−

−−+

>2

1

2 3

1073

x

x

x

x x

−−

−

+>

1

3

2 1

3 30

2

( )72


ne è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo grado, di secondo grado o di grado

superiore)

[x > −1] [x < 1]

[x < 0 ∨ x > 1] [x > 2]

[x > −2 ∧ x ≠ 0] [−3 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 3]

[x = 0 ∨ x < −2 ∨ x > 2] [x < 2 ∧ x ≠ 0]

[−2 < x ≤ −1 ∨ x ≥ 1] [x < 1]

[x ≥ −1]

[x < −1 ∨ x > 1 ∧ x ≠ ± 2]

[−1 < x < 0]

[−1 < x < 0 ∨ x > 1]

[x < 0 ∧ x ≠ −2]

[−15 ≤ x ≤ 0 ∨ x > 1]

[x > −1 ∧ x ≠ 1]

[x ≤ −1 ∨ 1 < x ≤ 2]

[x < 0]x

x

x

x x x

x

x x

x

x3

3

2 2

2

21 1 1 2 1 1−+

− + +>

− +−

−( ) ( )102

x

x

x

x

x

x x

2

3

2

21

2

1 1−≤

−

−+

+ +101

x

x

x

x

x

x x x2 21 1 1

2

2 1−+

+<

−+

− +100

1

115

16

13

47

3x

x

x

x−≤ − −

+

−99

4 34 2

23 2−

+ < −x

x

x x98

x x

x x

6 3

5

2 1

3 30

− +

−≥97

x x x x

x x

4 3 2

4

2 3 4 40

+ − − +

+<96

x x

x x

4 2

4 2

4

5 40

−

− +>95

x x≤ − ∨ ≤ <⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥2

5

2

5

5

2

625 16

8 1250

4

3

x

x

−

−≤94

x x< − ∨ < <⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥1

2

1

23

16 1

3 810

4

3

x

x

−

−<93

x

x

3

6

1

10

+

+≥92

x

x

4

3

1

10

+

−≤91

x

x

2

3

1

80

−

+≥90

x

x

2

3 80

−<89

x

x

6

2 40

−≥88

90

2

7

−≤

x

x

87x

x

2

3 80

+>86

x

x

2

3 80

−>85

x

x3 1

0−

>84

1

10

5x −

<831

10

3x +

>82

346

9Disequazioni

frazionarie

CAPITOLO

ESERCIZI

Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni

[1 < x ≤ 6 ∨ −3 < x ≤ −2]

[x ≠ 0 ∧ −1 < x < 1 ∨ x > 2]

[x < −2 ∨ x > 2]

[x ≠ 2]x x

x x

16 8

2

3 2

4 40

+ +

− +>10

x x x< − ∨ − < < ∨ >⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥4

31 1

4

3

x x

x

8 4

2

2

9 160

+ −

−>9

− < < − ∨ − < <⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥11 1

1

2

1

2

3x x

x x

x

6 3

2

12 11

4 10

+ +

−<8

3 7 4

40

6 2

2

x x

x

+ +

−≥7

x x= ∨ <⎡⎣ ⎤⎦2 1 x x

x

4 2

3

4 4

10

− +

−≤6

x

x

x

x

x

x

x

x x

2 3

2

2 2

2

1

2

2

1

1

1

1

3 2

−

−−

−

−<

−

−+

−

− +

( )5

x x x< − ∨ < < ∨ >⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥2 1 2

11

2

( ) ( )( )x

x

x x

x

x

x

−

+−

+ −

+<

−

−

1

3 6

1 1

2 4

1

6 24

2 3

4

( ) ( )( )x

x

x x

x

x

x x

+

+−

− +

−+

+

+ −≥

2

3 9

2 2

2 2

8

6 12 180

2 3

23

− ≤ < − ∨ < ≤⎡⎣ ⎤⎦2 1 1 2x x x

x x

x

x

x x

x x2 2 22 1

2 1

1

3 2

1

1

1− +−

−

−≤

−

−+

−

( )

( )2

x x≠ ∧ − ≤ ≤⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥0

1

21

( ) ( )( )( )x

x

x x x x

x

x x

x

x−−

+ − − +≥

− ++

−1 1 1 1

3

2 1

2

2 2

2

2 2 11

6 2x

1

347


CAPITOLO

ESERCIZI

ESERCIZI RIEPILOGATIVI

L’ESSENZIALE

Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se l’incognita com-

pare in almeno uno dei denominatori presenti nella disequazione.

Per risolvere una disequazione frazionaria della forma o (assume

tale forma dopo aver eseguito le eventuali operazioni in essa contenute e ridotto entram-

bi i membri allo stesso denominatore, tutto nel rispetto dei tre principi di equivalenza)

è necessario seguire la seguente procedura:

1. studiare separatamente il segno del numeratore e il segno del denominatore;

2. schematizzare entrambi i segni e precisamente:

• rappresentare sulla retta reale tutti i valori di x che annullano sia il numeratore,

sia il denominatore; se nella disequazione è presente anche il simbolo di ugua-

glianza, si traccia un cerchio pieno in corrispondenza del valore che annulla il

numeratore; in tutti gli altri casi, si traccia un cerchio vuoto;

• tracciare due linee parallele alla retta reale, una corrispondente al segno del nume-

ratore e l’altra a quello del denominatore, che sarà un tratto continuo, negli inter-

valli in cui ciascun termine della frazione assume segno positivo, e non continuo,

negli intervalli in cui assume segno negativo;

3. applicare la regola del segno di un prodotto (procedendo con la moltiplicazione in

“verticale”, rispetto al lettore), individuando così l’insieme S delle soluzioni.

è verificata dai valori reali corrispondenti agli intervalli in cui nella sche-

matizzazione del segno del prodotto è presente il segno “+”; altrimenti, da quelli cor-

rispondenti agli intervalli in cui nella schematizzazione è presente il segno “−”.

Se una disequazione assume la forma e nella schematizzazione dei segni è

presente solo il segno negativo o, viceversa, se la disequazione assume la forma

e nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno positivo, eviden-

temente l’insieme delle soluzioni è vuoto: S = ∅. Se nella schematizzazione dei segni è

presente solo il segno indicato dal testo, nessun valore reale escluso, allora S = R.

P x

Q x

( )

( )< 0

P x

Q x

( )

( )> 0

P x

Q x

( )

( )> 0

P x

Q x

( )

( )< 0

P x

Q x

( )

( )> 0

348

9Disequazioni

frazionarie

CAPITOLO

RECUPERO

RECU

PER

O

SAPERE

COMPLETA

Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se ………………………..

Risolvere la disequazione significa ……………………………..P x

Q x

( )

( )< 02

1

Recupero

L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria, se nella schematizzazio-

ne del prodotto dei segni è presente solo il segno opposto di quello indicato dal testo,

nessun valore reale escluso, è uguale a ……………………………..

SCELTA MULTIPLA

Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se:

a) l’incognita compare in almeno uno dei denominatori presenti nella disequazione

b) l’incognita compare in tutti i denominatori presenti nella disequazione

c) l’incognita compare in almeno uno dei numeratori presenti nella disequazione

d) l’incognita non compare in nessun denominatore presente nella disequazione

L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria non verificata da alcun

valore reale è:

a) (−∞, +∞) b) (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

c) (−∞, 1) ∪ (1, +∞) d) ∅

L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria verificata da tutti i valori

reali escluso il numero 0 è:

a) (−∞, 0) ∪ (0, +∞) b) (−∞, 0] ∪ [0, +∞)

c) [−∞, 0] ∪ [0, +∞] d) [−∞, 0) ∪ (0, +∞]

VERO/FALSO

Il segno di coincide con il segno di Q(x). V F

Nella schematizzazione dei segni, un tratto non continuo corrisponde

al segno negativo. V F

Se nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno indicato

dal testo allora S = ∅. V F

9

8

P x

Q x

( )

( )7

6

5

4

3

349

RECU

PER

O


CAPITOLO

RECUPERO

unpo’ diaiuto

Il segno del numeratore e il segno del denominatore devono essere studiati separata-

mente. Poiché il verso della disequazione contiene anche il simbolo di uguaglianza, il

numeratore si pone maggiore o uguale a 0 e il denominatore maggiore di 0 (data una

frazione: se si annulla il suo numeratore, si annulla anche la frazione; se si annulla il

suo denominatore, la frazione perde significato in R).

Studio del segno del numeratore N: x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ −5.

Studio del segno del denominatore D: x − 4 > 0 ⇒ x > 4.

x

x

+

−≤

5

40

SAPER FARE


ne è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo grado)

3

4 8

2

7 14

1

8 16

2 1

15 30

23

840

x

x

x

x

x

x

x

x

x

−−

−− −

−− +

−≤ −

(xx − 2)16

x

x

x

x x8 8 4 4

1

2 2−≥ −

−−

−15

10

3 6

8

2

6

2 40

x

x

x

x x+−

+−

+<14

2

1

3

4 45

x

x

x

x+−

+> −13

2

31

3

x

x

x

x−+ <

−12

−−

<2

12 60

x

x11

4

16 80

x

x +≥10

x

x

−−

>409

10 5

50

x

x

+−

≤83

20

−+

<x

x7

x

x

−+

<2

606

10

+ ≥x

x50

1>x

4

− <40

x3− >2

0x

21

0x

>1

350

9Disequazioni

frazionarie

CAPITOLO

RECUPERO

RECU

PER

OSchematizzazione dei segni:

Dalla schematizzazione dei segni, si deduce che l’insieme delle soluzioni della dise-

quazione di partenza è: S = {∀x ∈R | −5 ≤ x < 4} = [−5, 4).

4–5

+ +–

Segno di N

Segno di D


unpo’ diaiuto

Studio del segno di N: x2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ −1 ∨ x ≥ 1.

Studio del segno di D: 2x − 5 > 0 ⇒ x > .


L’insieme delle soluzioni è: .S x R x x= ∀ ∈ − ≤ ≤ ∨ >⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= − ∪ +⎛⎝⎜

1 15

21 1

5

2 [ , ] , ∞

⎞⎞⎠⎟

1–1

– – ++

Segno di N

Segno di D


52

5

2

x

x

2 1

2 50

−−

≥

351

RECU

PER

O


CAPITOLO

RECUPEROStudio del segno di N: x2 > 0 ⇒ ∀ x ∈R | x ≠ 0.

Studio del segno di D: x2 − 5x + 6 > 0 ⇒ x < 2 ∨ x > 3.


S = {∀ x ∈R | 2 < x < 3} = (2, 3).

20 3

–+ ++

Segno di N

Segno di D


x

x x

2

2 5 60

− +<

unpo’ diaiuto


Studio del segno di D: 6x3 + 5x2 + x > 0.

x(6x2 + 5x + 1) > 0 ⇒ … ⇒


S x R x x x= ∀ ∈ ≤ − ∨ − < < − ∨ < ≤⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= − −31

2

1

30 3 ( , ∞ 33

1

2

1

30 3] , ( , ]∪ − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∪

30–3

+ + – + ––

Segno di N

Segno di D


13

–12

–

− < < − ∨ >1

2

1

30x x

81

6 50

4

3 2

−

+ +≥x

x x x

Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzione è ricon-

ducibile alla risoluzione di disequazioni di primo o secondo grado)

x x

x x

2

2

5 21

2 5 30

+ +

− +≤31

2 5 3

7 4 30

2

2

x x

x x

+ +

− +>30

4 60 225

9 12 40

2

2

x x

x x

+ +

+ +>29

x x

x x

2

2

30 225

9 4 190

+ +

− +≥28

x x

x x

2

2

5 32

6 90

+ +

− +<27

6 7 2

4 40

2

2

x x

x x

− +

− +>26

6 5 1

4 140

2

2

x x

x x

− +

− +<25

x x

x x

2

2

3 2

4 30

− +

− +>24

2 3 1

90

2

2

x x

x

+ +

−<23

9 6 1

40

2

2

x x

x

+ +

−>22

9 1

4 10

2

2

x

x

−

+≤21

x

x

2

2

10

− ≤20

x

x

2 40

− <19x

x2 1

0−

>186

02x

<17


ne è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo grado, di secondo grado o di grado

superiore)

4 13 90

6 4 2x x x

x

− +>41

x x x

x x x x

7 5 3

8 7 6 5

5 4

3 6

0− +

+ − −

≤40

x x

x x x

4 2

3 2

3 4

5 6

0− −

− +

≥39

x x

x x x

4 2

3 2

9

6 9

0−

− +

<38

x x

x

4

4

8

1

0−

−

≤37

x

x

3

4

1

1

0−

+

>36

x

x

3

38

0

+

<35

x

x

2

31

0

+

≥34

x

x

2

38

0

−

<33

x

x27 8

03

−

>32

352

9Disequazioni

frazionarie

CAPITOLO

RECUPERO

RECU

PER

O

CORSO DI MATEMATICA - hoepli.it · 2.3 Disequazioni equivalenti e principi di equivalenza delle...

Documents

Transcript of CORSO DI MATEMATICA - hoepli.it · 2.3 Disequazioni equivalenti e principi di equivalenza delle...