Disequazioni di primo e secondo grado

Il concetto di “disequazione” nella vita di ogni giorno

V < 50 V < 50 (velocità minore di 50 Km/h) Voto > 60 Voto > 60 (promosso!!)

6060

Il significato dei simboli…….Il significato dei simboli…….

> Maggiore> Maggiore > Maggiore uguale> Maggiore uguale

< Minore< Minore < Minore uguale< Minore uguale

Dati due numeri reali a,b a > b   e   a < b

sono disuguaglianze

Una disuguaglianza può essere:

Le disuguaglianze possibili si chiamanodisequazioni

Sono disequazioni, per esempio:             

2x < 6 

x + 2 ≤ 3x + 1 

Se al posto della x sostituiamo un numero la disequazione si trasforma in disuguaglianza che può essere Vera oppure Falsa 

Osserva: 2x+1>7Se al posto della x sostituisco il numero 4 cosa ottengo???2(4)+1>7 ovvero 8+1>7 cioè 9 > 7 è una disuguaglianza Vera

Allora 4 è una soluzione della disequazione……………..

Definizione:

Risolvere una disequazione vuol dire trovare l’insieme dei numeri che sostituiti all’incognita la trasformano in una disuguaglianza vera

Data la disequazione  

3x - 1 > 2x + 1

1. Trasporto tutti i termini al primo membro  cambiandone il segno           

3x - 1 - 2x - 1 >02. Riduco i termini simili             

x - 2 > 03. Trasporto dopo il segno maggiore il termine noto (-6)

cambiando il segnox > 2

   

Data la disequazione 3x - 1 > 2x + 1

Trasporto tutti i termini al primo membro  cambiandone il segno:            3x - 1 - 2x - 1 >0

2. Riduco i termini simili            x - 2> 0

2. Pongo x-6 uguale ad y ed ottengo y=x-2

Y= x-2 è l’equazione di una retta… la vogliamo disegnare????

   

Costruiamo la tabella x y -1 -3

0 -2 1 –1 2 0

-3 -2 -1 0 1 2

La retta è positiva per x>2

La retta è positiva nella fascia maggiore di 2 cioè la soluzione è x>2

+

+

-

-

-

Disequazione:        2(x-3)<x-5

Semplifico l’espressione                          2x-6<x-5

Porto tutti i termini al primo membro  2x-6-x+5<0

Riduco i termini simili                             x - 1  < 0

Chiamo y il valore di   x-1                  y = x-1

Costruisco la tabella per disegnare la retta (x=0; y=-1) (x=1; y=0)

Disegno la retta y= x-1                     

Osservando la retta si vede che risultaOsservando la retta si vede che risulta  “sotto l’asse x” (y<0)  cioè negativa per tutti i valori di x < 1“sotto l’asse x” (y<0)  cioè negativa per tutti i valori di x < 1

Schema risolutivo ed esercizio guida

1++

--

ax2 + bx + c > 0 

ax2 + bx + c < 0 

ax2 + bx + c ≥ 0 

ax2 + bx + c ≤ 0

Risoluzione di una disequazione di 2° grado

Le disequazioni di 2 grado si devono ricondurre sempre alla forma:

Calcoliamo il Delta D = b2-4ac

D= b2-4ac >0 soluzioni sono reali e distinte

a > 0 concavità rivolta verso l’alto

Disequazione >0 soluzione: x<x1 ed x>x2 valori esterni

x1 x2

DD > 0 > 0

x1 =x2

D= b2-4ac =0 soluzioni sono reali e coincidenti

a > 0 concavità rivolta verso l’alto

Disequazione > 0 sempre vera la parabola è al di sopra asse x cioè è sempre positiva

DD = 0 = 0

D= b2-4ac < 0 soluzioni complesse coniugate

a > 0 concavità rivolta verso l’alto

Disequazione > 0 sempre vera la parabola è al di sopra asse x cioè è sempre positiva

DD < 0 < 0

Calcoliamo il Delta D = b2-4ac

D= b2-4ac >0 soluzioni sono reali e distinte

a > 0 concavità rivolta verso l’alto

Disequazione < 0 valori negativi (al di sotto asse x)

soluzione: x1 < x < x2 valori interni

x1 x2

DD > 0 > 0

D= b2-4ac =0 soluzioni sono reali e coincidenti

a > 0 concavità rivolta verso l’alto

Disequazione <0 mai vera la parabola è al di sopra asse x cioè è sempre positiva

x1 =x2

DD = 0 = 0

D= b2-4ac < 0 soluzioni sono complesse coniugate

a > 0 concavità rivolta verso l’alto

Disequazione < 0 mai vera la parabola è al di sopra asse x cioè è sempre positiva

DD < 0 < 0

D = b2-4ac>0; 2 soluzioni reali e distinte

Disequazione > 0 soluzione: x1 < x < x2 valori interni

x1 x2

DD > 0 > 0

D = b2-4ac = 0; 2 soluzioni reali e coincidenti

Disequazione > 0 mai vera la parabola è al di sotto asse x x1=x2

DD = 0 = 0

D = b2-4ac < 0; 2 soluzioni complesse coniugate

Disequazione > 0 mai vera la parabola si trova al di sotto dell’asse delle x quindi è negativa

DD < 0 < 0

D = b2-4ac>0; 2 soluzioni reali e distinte

Disequazione < 0 soluzione: x<x1; x > x2 valori esterni

x1 x2

DD > 0 > 0

D = b2-4ac = 0; 2 soluzioni reali e coincidenti

Disequazione < 0 sempre vera la parabola è tutta al di sotto asse x

x1=x2

DD = 0 = 0

D = b2-4ac < 0; 2 soluzioni complesse coniugate

Disequazione < 0 sempre vera la parabola è sempre al di sotto dell’asse x

DD < 0 < 0

a>0 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

Δ > 0

due soluzioni reali e disstinte

x < x1  e  x > x2

Valori esterni

x1 < x < x2

Valori interni

Δ = 0

Due sol. coincidenti

Sempre vera Mai vera

Δ < 0

Nessuna soluzione reale

Sempre vera Mai vera

a<0 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

Δ > 0

due soluzioni

x1 < x < x2

Valori interni

x< x1  e  x > x2

Valori esterni

Δ = 0

Due sol. coincidenti

Mai vera Sempre vera

Δ < 0

Nessuna soluzione reale

Mai vera Sempre vera