Appunti on-line del Corso di Onde e Oscillazioni · Mazzoldi, Nigro, oVci: Elementi di Fisica-Onde,...

Appunti on-line del

Corso di Onde e Oscillazioni

Docente Carlo Pagani

http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani/

Anno accademico 2009-2010

Redazione di Daniele Sertore degli appunti del docente per il corso tenutopresso la Facoltà di Fisica dell'Università di Milano nell'anno accademico2008-2009.

Capitolo 1

Introduzione

�Oscillation and Waves� è un corso di�uso in tutto il mondo da moltidecenni, introdotto recentemente in Itala (Fisica3).

Il corso tratta due argomenti trasversali, oscillazioni e onde, che inte-ressano moltissimi campi della �sica. Una trattazione indipendente genera,attraverso la matematica che li descrive, importanti legami tra campi moltodiversi della �sica. Le proprietà fondamentali delle oscillazioni e delle onderisultano valide per fenomeni e grandezze �siche molto diversi e in campidisparati.

Le oscillazioni e le onde sono quindi due modi essenziali attraverso i qualinoi interpretiamo e diamo �forma� alla realtà di cui facciamo parte.

1.1 Oscillazioni

Sono fenomeni �sici in cui un �sistema �sico�, o anche una �grandezza�sica� (scalare o vettoriale) oscilla in funzione del tempo nell'intorno di unpunto (o valore) nel quale (o per il quale) l'energia potenziale presenta unminimo.

1.2 Onde

Sono perturbazioni, materiali o di campo, che si propagano trasportandoenergia ad una certa velocità.

Le onde sono tutte descritte da funzioni dello spazio e del tempo, conun particolare legame tra di loto che fa si che la perturbazione si propaghi,trasportando energia ad una velocità ben de�nita.

1

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 2

• Onde materiali (acustiche) necessitano di un mezzo materiale elasticoper propagare. Le onde sonore sono una sottospecie delle onde acustiche

• Onde elettromagnetiche non necessitano di alcun mezzo per propagar-si. Ci occuperemo principalmente delle onde luminose con l'Otticageometrica e ondulatoria, con accenni alla duplice natura: ondulatoriae corpuscolare.

1.3 Testi consigliati

• Resnick, Halliday, Krane: Fisica 1 e Fisica 2, V edizione, Casa Ed.Ambrosiana

• Mazzoldi, Nigro, Voci: Fisica, vol. 1 e vol. 2, II edizione, EdiSES

1.3.1 Altri testi di supporto

• Focardi, Mazza, Uguzzoni: Fisica Generale-Onde, CEA

• Alessandro Bettini: Le onde e la luce, decibel, Zanichelli

• Mazzoldi, Nigro, Voci: Elementi di Fisica-Onde, EdiSES

Capitolo 2

Oscillazioni

Sono fenomeni �sici in cui un sistema �sico, o anche semplicemente una(o più) grandezza �sica (scalare o vettoriale) oscilla in funzione del tempo.Oscillare signi�ca muoversi alternativamente nell'intorno di un punto, ovvero,nel caso di una grandezza �sica, nell'intorno di un certo valore. Come nelcaso del pensiero umano.

Esempi: il pendolo, il bilanciere di orologio, una pallina in una conca, unpeso collegato ad una molla, gli atomi in un reticolo cristallino nell'intornodella posizione di equilibrio, la membrana di un tamburo, la corda di unostrumento musicale a corda, la corrente e la tensione in ogni componente diun circuito RLC.

Nel campo della Fisica le oscillazioni sono periodiche, almeno nell'inter-vallo di tempo in cui sono prese in considerazione. Se non c'è attenuazione,cioè consumo di energia, vale la relazione f(t + nT ) = f(t) con n intero eT = periodo fondamentale, cioè il valore minimo di T per cui vale la rela-zione. Se c'è attenuazione il periodo è ancora identi�cabile ma la relazioneprecedente non è più esatta.

Se la f(t) è esprimibile con una funzione seno o coseno, l'oscillazione sidice �armonica�

2.1 Oscillazioni Meccaniche: moti periodici e

armonici

L'espressione generale di un moto periodico in 3D è

~r(t+ nT ) = ~r(t)

Corollario 1. Poiché~r = x~i+ y~j + z~k

3

CAPITOLO 2. OSCILLAZIONI 4

deve anche essere

x(t+ nT ) = x(t)

y(t+ nT ) = y(t)

z(t+ nT ) = z(t)

tutte con lo stesso periodo T

e anches(t+ nT ) = s(t)

dove s è la coordinata curvilinea che descrive la traiettoria.

Un moto periodico qualunque in 3D può essere molto complicato da de-scrivere, ma non lo è nella maggior parte dei casi in cui è riconducibile ad unmoto armonico o a una combinazione lineare di moti armonici.

2.2 Moto armonico semplice: monodimensio-

nale senza smorzamento

• Il moto circolare uniforme è la sovrapposizione di due moti armonicisemplici su due assi ortogonali ta di loro

• il moto di un atomo (molecola) vibranti in un reticolo può essere vi-sto come la sovrapposizione di oscillazioni armoniche semplici, ciascu-na delle quali è rappresentata da una funzione trigonometrica seno ocoseno.

Preso un atomo come origine degli assi, l'energia potenziale dell'atomo nelreticolo sarà esprimibile (in x,y,z) 1 come

U(x) = a0 + a2x2 + a3x

3 + a4x4 + ....

Infatti ~F = −~∆U e ~F |x=0 = 0.Nell'intorno della posizione di equilibrio l'energia potenziale di ogni atomo

nel reticolo deve essere minima, ovvero stazionaria, ovvero la risultante delleforze agenti sull'atomo deve essere nulla.

Se il movimento è piccolo nell'intorno della posizione di equilibrio si pos-sono trascurare i termini di ordine superiore. Si ha quindi U ≈ a0 + a2x

2 e~∆U = −~F = −2 a2x~i = −k x~i se k = 2a2 da cui segue mx = −kx la cuisoluzione è la legge del moto x(t) = xm cos(ωt+ φ).

1Nota: si è supposto che i moti lungo i tre assi (x, y, z) siano disaccoppiati.Questa èun'ottima approssimazione per piccoli spostamenti nell'intorno del punto di equilibrio. Chele forze interatomiche siano elastiche per piccoli spostamenti è provato dal comportamentoelastico dei materiali.


Figura 2.1: Moto Armonico

2.3 Moto Circolare Uniforme

Descriviamo il moto circolare uniforme nel x,y e centrato nell'origine. Sia

~r(t+ nT ) = ~r(t) ∀t |~r| = costante

il vettore che descrive il moto nel piano e

φ(t) = φ0 + ω0t eq. di una retta

la sua fase.Allora possiamo scrivere il moto proiettato sugli assi come{

x(t) = r cos(ω0t+ φ0)y(t) = r sin(ω0t+ φ0)

da cui segue che le equazioni del moto diventanox(t) =

d2x

dt2= −ω2

0x(t)

y(t) =d2y

dt2= −ω2

0y(t)

Possiamo scrivere le seguenti equazioni di�erenziali la cui soluzione è appuntoquella che descrive il moto circolare uniforme

d2~r

dt2= −ω2

0~r ovvero

{d2xdt2

= −ω20x(t)

d2ydt2

= −ω20y(t)


Figura 2.2: Moto Circolare Uniforme

le equazioni x(t) e y(t), proiezioni del moto circolare uniforme, sonoequazioni di un moto periodico e armonico:{

x(t+ nT ) = x(t)y(t+ nT ) = y(t)

∀t e con T =2π

ω0

e ν =1

T=ω0

2π

t è nell'argomento delle funzioni seno e coseno che si ripetono ogni 2π:

cosα = cos(α + n(2π)) sinα = sin(α + n(2π))

In sintesiUn generico moto armonico in una dimensione è descritto dall'equazione

x(t) = A cos(ωt + φ1) ovvero x(t) = A sin(ωt + φ2) con φ2 = φ1 + π2cioè le

due φ sono diverse ma entrambe le descrizioni sono valide. Se non c'è unaragione speciale si consiglia il coseno.

L'equazione di�erenziale che ha per soluzione un moto armonico è: delsecondo ordine, lineare, omogenea, a coe�cienti reali, costanti e positivi emanca del termine di 1o grado.

x+ ω2x = 0 ovvero ax+ bx = 0 con a e b reali e positivi

Nota 1. ω ha le dimensioni ω[s−1]. a e b devono essere congruenti a questox[m] ma la stessa equazione può rappresentare l'oscillazione armonica di unagenerica grandezza �sica che si porterà dietro le sue dimensioni.


Nota 2. Due moti armonici ortogonali (stessa ω) danno un moto ellittico.

2.4 Dinamica moto oscillatorio (unidimensio-

nale)

Consideriamo un sistema formato da una molla di costante k a cui ecollegato una corpo di massa m.

Figura 2.3: Esempio di oscillatore armonico semplice, senza dissipazione

Quando spostiamo il corpo dalla sua posizione di quiete e ad esso vieneapplicata una forza ~F = −kx~i. Le equazioni del moto sono:

~a =~F

m=d 2x(t)

dt2~i = − k

mx~i

che quindi è unidimensionale e possiamo scriverla come

d 2x(t)

dt2= x(t) = − k

mx

ovverod 2x(t)

dt2+k

mx = 0

k

m> 0

k

m= ω2

L'equazione diventa quindi l'equazione di�erenziale del secondo ordine

d 2x(t)

dt2+ ω2x(t) = 0


la cui soluzione èx(t) = A cos(ωt+ φ)

con m e k che sono dati dal sistema �sico in esame e quindi permettono dicalcolare ω mentre A e φ dipendono dalle condizioni iniziali all'istante t = 0.

Supponiamo che all'istante t = 0 sia x(t)|t=0 = xm e v(t)|t=0 = 0 alloraavremo

x(0) = A cosφ = xm =⇒ A = xm

dx

dt

∣∣∣t=0

= 0 = −Aω0 sin(ω0t+ φ) = −Aω0 sinφ = 0 =⇒ φ = 0

e quindi l'equazione del moto, includendo le condizioni al contorno, diventa

x(t) = xm cosω0t

Se avessimo scritto l'equazione del moto in seno allora:

x(t) = A sin(ω0t+ φ){A sinφ = xmAω0 cosφ = 0

implica che φ = ±π2ed essendo A e xm positive abbiamo che la fase corretta

è φ = π2e l'equazione del moto diventa quindi

x(t) = xm sin(ω0t+

π

2

)2.4.1 Bilancio Energetico

Se non c'è dissipazione l'energia totale del sistema si conserva. Essendole energie potenziale e cinetica di una molla date rispettivamente da

U(t) =1

2kx2 K(t) =

1

2mv2 =

1

2mx2

applicando le condizioni iniziali

U(x)|x=0 = 0 K(x)|x=xm = 0

abbiamo che, essendo x = x(t)

U(t) +K(t) = cost = Umax = Kmax = Etot


Sostituendo la legge del moto nelle espressioni dell'energia cinetiche e poten-ziale otteniamo

U(t) =1

2k [xm cos(ω0t+ φ)]2

K(t) =1

2m [−xmω sin(ω0t+ φ)]2

e quindi l'energia totale del sistema diventa

Etot =1

2kx2m cos2 α +

1

2mx2mω

20 sin2 α

=1

2x2m(k cos2 α +mω0 sin2 α

)Tuttavia ricordiamo che ω0 = k

movvero k = mω2

0 e quindi

Etot =

12kx2m

12x2mmω

20 = 1

2mv2

Dare le condizioni iniziali equivale a fornire il bilancio energetico del sistema:

• Energia totale + una delle due o U o K a t = 0

• U e K a t = 0

L'oscillazione avviene attraverso lo scambio tra le due forme possibilidi energia del sistema. Questo vale anche nel caso in cui siano presentidissipazioni di energia. In questo caso lo scambio periodico avviene sullabase dell'energia totale disponibile che diminuirà a causa della dissipazione.

Ricapitolando: moto armonico semplice

~F = −kx~i ~F = m~a ~a =d 2x

dt2~i

Equazioni del moto armonico

md 2x

dt2= −kx =⇒ m

d 2x

dt2+ kx = 0

d 2x

dt2+ ω2

0x = 0

Veri�ca dimensionale di ω0

ω0 =

√k

mω0[s

−1] =

√k[m−1N ]

m[kg]=

√k[m−1 · kg ·m · s−2]

m[kg]=⇒ [s−1]

ω0 è la pulsazione o frequenza angolare.


Figura 2.4: Scambio Energetico nell'oscillatore armonico

Legge del moto

x(t) = xm cos(ω0t+φ) ovvero x(t) = xm sin(ω0t+φ1) e il periodo T =2π

ω0

[s]

Possiamo ora dimostrare che x(t+ nT ) = x(t). Infatti

x(t+ nT ) = xm cos

[ω0

(t+ n

2π

ω0

)+ φ

]= xm cos [ω0t+ n2π + φ]

= xm cos [ω0t+ φ]

ν = 1T

[s−1] è il numero di volte che l'oscillazione si ripete nell'unita ditempo: frequenza

xm[m] è l'ampiezza dell'oscillazione.φ[rad] è l'argomento all'istante t = 0.Energia associata

Etot(x) = U(x) +K(x) = cost ∀x

U(x) =1

2kx2 K(x) =

1

2mv2x =

1

2m

(dx

dt

)2


dare le condizioni iniziali x(0) = x0 e x(0) = x0 equivale a dare ladistribuzione dell'energia, cinetica e potenziale, nel sistema all'istante t = 0.

Nota 3.~F = −~∇U

2.4.2 Sintesi del moto armonico semplice (senza smor-zamento) nel caso unidimensionale

Equazione generale 2

d 2x

dt2+ ω2x = 0 m

d 2x

dt2= −kx dove ω2 =

k

m

Legge del moto 3

x(t) = xm cos(ωt+ φ)

ω è una caratteristica del sistema.xm e φ dipendono dalle condizioni iniziali x0 e v0 = dx

dt|t=0 e si ricavano

dalle relazionix(t)

∣∣∣x=0

= x(0) = xm cosφ = x0

x(t)

dt

∣∣∣x=0

= x(0) = −xmω sinφ = v0

Energie in gioco

U = U(x) = 12kx2 K = K(x) = 1

2mv2 Etot = U(x) + K(x) = cost e

anche esplicitando la dipendenza temporale attraverso la legge del moto

U(t) =1

2kx2m cos2(ωt+ φ)

K(t) =1

2mx2mω

2 sin2(ωt+ φ)

=1

2mv2m sin2(ωt+ φ)

Um =1

2kx2m =

1

2mv2m = Km = Etot

2L'equazione generale, di�erenziale, è quella che detta le regole del moto lungo x (o delcomportamento in t di una certa grandezza �sica).

3è la soluzione generale, o integrale generale, ed è quella che descrive la lagge del moto(o come la grandezza �sica varia in t). E' de�nita a meno di due costanti (eq. di�. del 20

ordine) che si calcola sulla base delle due condizioni iniziali (condizioni al contorno) delproblema speci�co.


U(t) +K(t) = Etot =1

2kx2m[cos2(ωt+ φ) + sin2(ωt+ φ)] =

1

2kx2m

U(t) +K(t) = Etot =1

2mv2m[cos2(ωt+ φ) + sin2(ωt+ φ)] =

1

2mv2m

basta ricordare che ω2 = kmovvero k = ω2m.

2.4.3 Equazione generale del moto armonico dalla pro-prietà Etot=cost

Se l'energia totale di un sistema meccanico si conserva o è a riposo, o èsoggetto ad un moto armonico senza attenuazione. Questo vale su qualunqueasse noi si proietti il movimento. Ciò vuol dire, nel caso monodimensiona-le, che le proprietà di base: ~F = kx~i ovvero Etot = cost sono equivalen-ti, entrambe permettono di ricavare l'equazione generale del moto armonicosemplice.

F = −kx =⇒ md 2x

dt2+ kx = 0 =⇒ d 2x

dt2+ ω2x = 0

Etot = cost = U(x) +K(x) = U(t) +K(t) ci porta alla stessa equazione.Infatti

Etot = U(x) +K(x) =1

2kx2 +

1

2mv2 = cost

{x = x(t)v = v(t) = dx

dt

Poiché la derivata di una costante è identicamente nulla, possiamo scriverela conservazione dell'energia del sistema come:

dEtotdt

= 0

e ricordando ched

dtv2 = 2v

dv

dt= 2v

d 2x

dt2

d

dtx2 = 2x

dx

dtallora

d

dtEtot = kx

dx

dt+mv

d 2x

dt2= 0

e quindi

md 2x

dt2+ kx = 0


ovvero d 2xdt2

+ ω2x = 0 con ω = km.

In sintesi il fatto che le forze in gioco siano solo del tipo F = −kx (in

generale ~F = −~∇U) equivale a dire che il sistema non dissipa energia e quindil'energia totale del sistema si conserva.

2.5 Moto armonico smorzato

Se esistono forze di attrito che dissipano l'energia totale del sistema ilmoto risulta sempre oscillante ma la sua ampiezza si riduce nel tempo.Smorzamento o attenuazione, il periodo T aumenta.

Figura 2.5: Esempio di moto oscillatorio smorzato con Fsm = −bdxdt

Tutto è semplice se lo smorzamento dipende linearmente dalla velocità.E' questo un caso molto comune e questa approssimazione risulta buona

o ottima nella maggior parte dei casi.La forza di attrito (o meglio di smorzamento) avrà quindi la forma:

~Fsm = −bdxdt~i b reale e positivo

L'equazione del moto armonico smorzato diventa

md 2x

dt2+ b

dx

dt+ kx = 0

cioè un'equazione di�erenziale del secondo ordine, lineare, omogenea, a coef-�cienti reali, costanti e positivi.

La soluzione di un'equazione di�erenziale lineare ed omogenea a coe�-cienti costanti si ottiene attraverso la soluzione dell'equazione caratteristica.


Nel nostro caso4:

mλ2 + bλ+ k = 0 λ2 +b

mλ+

k

m= 0

Dobbiamo quindi risolvere un'equazione del secondo ordine. La soluzioneè data da

λ = − b

2m±

√(b

2m

)2

− k

mcon

km

= ω20

b2m

= γ =⇒ bm

= 2γ

Sostituendo i nuovi parametri nella soluzione dell'equazione di secondogrado otteniamo:

λ = −γ ±√γ2 − ω2

0

Dobbiamo ora considerare le possibili soluzioni in funzione del segno delladi�erenza sotto radice:

• γ2 > ω20 =⇒ λ1 6= λ2 reali negativi

• γ2 = ω20 =⇒ λ1 = λ2 = −γ reali negativi

• γ2 < ω20 =⇒ λ1 = λ2 complessi coniugati

Notiamo che m, b e k sono reali e positivi =⇒ deve valere sempre

λ1 + λ2 = − b

mreale negativo e λ1 · λ2 =

k

mreale e positivo

La soluzione generale dell'equazione di�erenziale di secondo ordine è quindi

x(t) = Ae−tτ1 +Be

−tτ2

dove A e B dipendono dalle condizioni iniziali.Calcoliamo A e B nei due casi con γ2 ≥ ω2

0

• γ2 > ω20.

Sia x(0) = xm e x(0) = 0. L'equazione del moto è data da

x(t) = Ae− tτ1 +Be

− tτ2

x(t) = −(Aτ1e− tτ1 + B

τ2e− tτ2

)Poste le condizioni al contorno si ottiene, assumendo τ1 > τ2:{

A+B = xmAτ1

+ Bτ2

= 0

{B = −A τ1

τ2

A(

1− τ2τ1

)= xm

{A = τ1

τ1−τ2xmB = − τ2

τ1−τ2xm


Figura 2.6: Moto Smorzato nel caso γ2 > ω20

• ω20 = γ2 Sia x(0) = xm e x(0) = 0. L'equazione del moto è data da:

x(t) = (A+Bt) e−tτ

x(t) = Be−tτ +

(−1

τ

)(A+Bt) e−

tτ

Dalle condizioni al contorno ricaviamo che{A = xmB = A

τ

e quindi possiamo scrivere l'equazione del moto come:

x(t) = xm

(1 +

1

τ

)e−

tτ

4x(t) deve essere della forma eλt per poter �riprodursi� per derivazione infatti x(t) = eλt,x(t) = λeλt e x(t) = λ2eλt


Figura 2.7: Moto Smorzato nel caso γ2 = ω20

Vediamo ora il caso ω20 > γ2

Si hanno in questo caso oscillazioni smorzate.

λ = −γ±√γ2 − ω2

0 = −γ±i√ω20 − γ2 = −γ±iω con ω =

√ω20 − γ2 > 0

L'equazione del moto in questo caso diviene

x(t) = Aeλ1t +Beλ2t = Ae−γteiωt +Be−γte−iωt

poiché λ1 = λ2 anche A e B devono essere complessi coniugati 5

x(t) = e−γt(Aeiωt +Be−iωt

)posto A =

xm2eiφ B =

xm2e−iφ =⇒

5La somma Aeiωt+Be−iωt deve essere reale e quindi la somma deve essere tra numericomplessi coniugati. Siccome il prodotto ordinato di numeri complessi coniugati produceuna coppia complessa coniugata, anche A e B sono complessi coniugati.Nota: se A=B essisono reali e anche complessi coniugati. Infatti

z1 = ρ1eiθ1 z1 = ρ1e

−iθ1

z2 = ρ2eiθ2 z2 = ρ2e

−iθ2

z = z1z2 = ρ1ρ2ei(θ1+θ2)

z = ρ1ρ2e−i(θ1+θ2) = ρ1e

−iθ1ρ2e−iθ2 = z1z2


x(t) = e−γtxm2

(eφeiωt + e−φe−iωt

)= xme

−γt(ei(ωt+φ) + e−i(ωt+φ)

2

)= xme

γt cos(ωt+ φ)

= xme− tτ cos(ωt+ φ)

ricordiamo che ω =√ω20 − γ2 =

√km−(b

2m

)2< ω0 e che τ = 1

γ= 2m

b. Il

caso dell'oscillatore semplice, cioè senza smorzamento, lo si ottiene ponendob = 0 da cui segue che γ = 0 e quindi ω = ω0.

Figura 2.8: Moto Smorzato nel caso γ2 < ω20


2.5.1 Considerazioni sull'energia totale dell'oscillatorearmonico smorzato

In questo caso la forza di attrito dissipa energia. Vale comunque larelazione

Etot = Etot(t)

Etot(t) = U(t) +K(t) = 12kx2(t) + 1

2m(dx(t)dt

)2∀t

Etot(t) = 12kx2m(e−γt)2 = 1

2kx2me

−2γt = 12kx2me

−2 tτ

=⇒ Etot(t) = Etot(0)e−2 tτ τ = 1

γ

L'energia totale del sistema decresce più rapidamente dell'ampiezza delleoscillazioni (dipendenza quadratica da x)

τenergia =τampiezza

2=

1

2γ

2.6 Oscillazioni forzate con smorzamento

md2x

dt2+ b

dx

dt+ kx = Fm cos(ωf t)

La soluzione di questa equazione di�erenziale del secondo ordine è da-ta dalla soluzione dell'equazione omogenea associata più una soluzione par-ticolare dell'equazione completa 6. Consideriamo la soluzione associata altermine forzante:

xforz(t) =F

Gcos(ωf t− β)

{G2 = m2(ω2

f − ω2)2 + b2ω2f

β = arccos(b ωfG

)dove, ricordiamo, ω2 = ω2

0 + γ2 e per b = 0 si ottiene G = 0 se ωf = ω0.Questa è una situazione a regime, quando si è esaurita l'energia iniziale

immagazzinata nel sistema a t = 0. L'equazione del moto è quindix(t) = xlib(t) + xforz(t) con xlib(t) −→ 0 per t� τ .Consideriamo ancora il caso in cui b = 0. A regime l'equazione del moto

diventa:

xforz(t) = x(t) =F

m

1

|ω2 − ω20|

cos(ωf t)

6xlib(t) + xforz(t)


exforz(t)→∞ per ωf → ω0

Nel caso in cui b 6= 0, l'ampiezza massima si ha per ωf = ω, cioé quandoil sistema è in risonanza. In risonanza si ha:

x(t) =F

bωfcos (ωt)

Figura 2.9: Curva di Risonanza. L'ampiezza cresce al diminuire di b

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