Onde 1 29 novembre 2012 Campi e onde Equazione donda e sue proprietà Soluzioni dellequazione delle...

Onde 129 novembre 2012

Campi e onde

Equazione d’onda e sue proprietà

Soluzioni dell’equazione delle onde

Onde sferiche

Tipologia

Onde stazionarie

Fronti d’onda, raggi

(Energia di un’onda meccanica)

Campi

• Matematicamente sono funzioni reali (o complesse) che rappresentano grandezze fisiche

• Sono definiti nello spazio tridimensionale (o in opportuni sottoinsiemi 3-D, 2-D, 1-D) e nel tempo

• Se non dipendono dal tempo sono detti statici

• Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di definizione) lo stesso valore sono detti uniformi

),,,( tzyxF

),,( zyxG

2

Campi • Se basta una sola funzione a definirli

completamente, il campo è detto scalare (campo della temperatura)

• Se occorre una funzione per ogni dimensione spaziale, il campo è detto vettoriale (campo della velocità di un fluido)

),,,( tzyxfAx

),,,( tzyxf

),,,( tzyxhAz ),,,( tzyxgAy

ktzyxAjtzyxAitzyxA

tzyxAtzyxAtzyxAtzyxA

zyx

zyx

ˆ,,,ˆ,,,ˆ,,,

,,,,,,,,,,,,,,

3

Onde

• Sono perturbazioni delle condizioni di equilibrio statico di un campo, generate da una sorgente e che si propagano nello spazio e nel tempo

• Possono essere periodiche o impulsive

• Possono richiedere un mezzo materiale (onda meccanica) oppure possono propagarsi nel vuoto (onda elettromagnetica)

• Si propagano con una velocità che dipende dalla natura del campo e del mezzo

4

Funzione d’onda

• Un’onda viene rappresentata matematicamente con una funzione dello spazio e del tempo detta funzione d’onda

),,,( tzyxf

5

Equazione d’onda

• L’equazione che descrive il moto di un’onda

• prende il nome di equazione d’onda o di d’Alembert e descrive in generale tutte le onde che dipendono da una sola variabile spaziale e dal tempo f=f(x,t)

• Può essere generalizzata al caso di due o tre variabili spaziali cioè f=f(x,y,z,t)

0

,1,2

2

22

2

t

txf

vx

txf

011

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

t

f

vf

t

f

vz

f

y

f

x

f

6

Proprietà dell’eq. d’onda

• Nell’eq. le derivate della funzione incognita f compaiono con esponente 1, inoltre esse sono operazioni lineari

• Questo ha l’importante conseguenza che se f e g sono due soluzioni, allora è soluzione anche qualunque loro combinazione lineare h=f+g

• Vediamolo:

x

g

x

fgf

xx

h

2

2

2

2

2

2

2

2

x

g

x

fgf

xx

h

7


• E similmente per le derivate rispetto alle altre variabili

• Se moltiplichiamo per l’equazione• e per l’equazione• e le sommiamo, otteniamo

• Sfruttando la proprietà vista

01

2

2

2

t

f

vf

01

2

2

2

t

g

vg

011

2

2

22

2

2

t

g

vg

t

f

vf

0

12

2

2

t

gf

vgf

8


• Cioè anche h è soluzione:• Questa proprietà permette trattare il problema di

sorgenti multiple:– Si considera un problema distinto per ogni sorgente e

se ne trovano le soluzioni odulatorie– Si sommano poi queste soluzioni, cioè le onde delle

singole sorgenti– Tale somma è soluzione del problema in cui le

sorgenti agiscono contemporaneamente

• Questo è il principio di sovrapposizione delle onde

01

2

2

2

t

h

vh

9

Soluzioni dell’eq. delle onde

• Abbiamo visto che le soluzioni dell’eq.

• sono dette onde piane e che una qualunque funzione di argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione

0,1

,2

2

22

2

txftv

txfx

)( vtxg )( vtxh

10


• Vogliamo ora dimostrare questo risultato• Eseguiamo il cambiamento di variabili

• La cui trasformazione inversa è

x vt

x 2

x vt

t 2v

11


• Diciamo F la funzione f espressa in termini delle nuove variabili

• Esprimiamo le derivate rispetto alle nuove variabili

F , f x , ,y ,

x

x

x

1

1

t

t

t

v

v

v

12


• Le derivate seconde divengono

• Sostituendo nell’eq. delle onde otteniamo

2

x 2

2

22

2

2

2

2

t 2v 2

v 2

2

2 2

2

2

2

2F2

22F

2F2

2F2

22F

2F2

0

13


• E semplificando

• L’integrazione di questa eq. è molto semplice: se la derivata rispetto alla variabile è nulla

• allora la funzione tra parentesi può dipendere solo dall’altra variabile,

• ove g è una funzione arbitraria di

2F ,

0

F ,

0

F ,

g

14


• Per trovare F(, ) basta infine integrare rispetto a , operazione che dà una funzione di (la primitiva di g) più un’arbitraria funzione di

• Ritornando alle variabili iniziali, ne segue la tesi

F , F ,

d g d H G H

f x, t g x vt h x vt

15

Soluzioni dell’equazione delle onde

• Vogliamo ora studiare un’eq. un po’ piu` complicata

• In cui f sia funzione del tempo e del modulo del vettore posizione, cioe` f abbia simmetria sferica

• Dobbiamo esprimere il laplaciano in coordinate sferiche

• Poiche’ f non dipende dalle variabili angolari e , gli operatori corrispondenti danno risultato nullo, rimane quindi da calcolare solo il primo addendo

16

0,1

,2

2

2

2

trftc

trf

trfOtrfOr

trfr

rrtrf ,,

,1, 2

2

2

Onde sferiche

• A tal fine esprimiamo f come• Il laplaciano diventa

• e l’eq. d’onda

• Moltiplicando per r otteniamo l’eq. delle onde piane per F• Poiche’ tale eq. ha per soluzioni• L’eq. di partenza ha per soluzioni• Tali soluzioni sono dette onde sferiche• Ad es. per onde sinusoidali

17

2

22

2

,1,1

r

trF

rr

trfr

rr

r

trFtrf

,,

0

,1,12

2

22

2

r

trF

tcr

trF

r

vtrFtrF ,

r

vtrFtrf

,

r

vtrAtrf

sin,

Tipologia

• Onde meccaniche: hanno bisogno di un mezzo materiale per essere prodotte e per propagarsi

• Onde elettromagnetiche: si propagano anche nel vuoto

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Tipologia

• Onde longitudinali: l’oscillazione microscopica del mezzo è parallela alla direzione del moto macroscopico di propagazione dell’onda

• Onde trasversali: l’oscillazione microscopica del mezzo è perpendicolare alla direzione del moto macroscopico di propagazione dell’onda; sono dunque possibili due direzioni indipendenti dell’oscillazione (ovvero due polarizzazioni)

19

Onde sismiche di volume

Tipologia

• Onde:– Trasversali

• sulla superficie di un liquido o su una membrana

• su una corda• nel vuoto: onde e.m.

– Longitudinali• sonore in un fluido

20

– Miste • sonore in un solido• onde sismiche: le onde p, o primarie, sono longitudinali e

le onde s, o secondarie, sono trasversali; le onde p sono piu` veloci delle onde s

Soluzioni sinusoidali• L’importanza delle soluzioni sinusoidali è dovuto

alla teoria di Fourier, secondo cui qualunque funzione periodica si può esprimere come serie di funzioni sinusoidali di periodo uguale o multiplo intero e qualunque funzione si puo` esprimere come integrale di funzioni sinusoidali

• Ci si può quindi sempre ridurre al solo studio di funzioni sinusoidali; il prezzo da pagare è che, in generale, lo sviluppo contiene infiniti termini

21

Onde stazionarie

• La sovrapposizione di un’onda progressiva e di una regressiva di ugual ampiezza costituisce un’onda stazionaria

2222

Onde stazionarie sinusoidali

• Sono del tipo

• Sviluppando i seni, otteniamo

• Cioè la dipendenza dallo spazio e dal tempo è fattorizzata

• I massimi e i minimi della funzione spaziale si dicono ventri, mentre gli zeri si dicono nodi

tkxAtkxAtxf sinsin,

tkxAtxf cossin2,

23

Onde stazionarie. Due estremi vincolati

• n=1, frequenza fondamentale

• n=2, prima armonica

• n=3, seconda armonica

24

L2

L

L3

2

• Relazione tra lunghezza d’onda , frequenza f e lunghezza L della corda

2

nL

L

vn

vf

2

L

vf

20

L

vf 1

L

vf

2

32

Nn

1 ventre, 2 nodi

2 ventri, 3 nodi

3 ventri, 4 nodi

• Relazione tra lunghezza d’onda e lunghezza L della corda

25

• 1 ventre, 1 nodo

• 2 ventri, 2 nodi


Onde stazionarie. Un estremo vincolato

4

12

nL

L4

L3

4

L5

4

Nn

26

• 2 ventri, 1 nodo



Onde stazionarie. Estremi liberi• Relazione tra lunghezza d’onda

e lunghezza L della corda2

nL

L2

L

L3

2

Nn

Onde piane

• Le onde piane sinusoidali (p.e. progressive) sono del tipo

• Studiamo la varietà geometrica definita quando la fase è costante

• Ad un determinato istante di tempo questa eq. rappresenta una superficie piana

• Per un’onda piana le superfici di ugual fase sono piani

27

tkxA sin

.consttkx

x

Onde sferiche

• Le onde sferiche sinusoidali (p. e. progressive) sono del tipo

• Studiamo la varietà geometrica definita quando la fase è costante

• Ad un determinato istante di tempo questa eq. rappresenta una superficie sferica di raggio r

• Per un’onda sferica le superfici di ugual fase sono superfici sferiche

28

tkrrA sin

.consttkr

r

Superfici di egual fase

• A seconda del valore della fase le superfici possono essere superfici di massimo, di minimo o di altra fase

• Vengono anche dette fronti d’onda• La direzione localmente perpendicolare alla superficie di

egual fase è la direzione di propagazione dell’onda in quel punto

• Se scegliamo un punto sulla superficie d’onda e lo seguiamo nel tempo, esso traccia una linea localmente perpendicolare, istante per istante, alla superficie d’onda

• Tali linee vengono dette raggi

29

Raggi

• Per le onde piane i raggi sono rette parallele,

• per le onde sferiche sono semirette con origine comune

30

x

r

Energia delle onde• Vogliamo calcolare l’energia associata ad un’onda• Per semplicità ci limiteremo ad onde piane di tipo

sinusoidale• In tutta generalità considereremo un’espressione

valida sia per onde trasversali (T) che longitudinali (L)• Faremo il calcolo per i due casi

– Onda progressiva– Onda stazionaria

31

Energia di un’onda progressiva• Consideriamo una piccola quantità di materia di volume V e

massa m di dimensione x nella direzione x di propagazione• Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di

equilibrio x* con legge• Per onde T, f rappresenta l’oscillazione trasversale rispetto a x• Per onde L, f rappresenta l’oscillazione lungo x• L’energia potenziale dell’elemento materiale è

32

tkxAtxf ** sin,

tkxAmtxfm

fdfmdftkxAm

dft

fmFdffdFU

ff

fff

*222*22

0

2

0

*2

02

2

00

sin2

1,

2

1

sin**

***

Energia di un’onda progressiva

• L’energia cinetica

• L’energia meccanica totale è dunque

• Per trovare le energie corrispondenti ad una lunghezza L dell’onda, integriamo rispetto alla massa, supposta distribuita con densità uniforme lungo x

33

tkxAmt

fmK

*222

2

cos2

1

2

1

22

2

1AmUKE

dxdm


• Otteniamo

• Per semplicità scegliamo cioè una regione spaziale di estensione multipla di lunghezza d’onda. Posto che l’integrale in U (e in K, scambiando sin con cos) diventa

34

L

dxAE0

22

2

1

L

dxtkxAU0

222 sin2

1 L

dxtkxAK0

222 cos2

1

nL

nnnk

udukudukdxtkxtn

t

tkL

t

L

2

1

2

sinsinsin2

22

0

2

nnkL 22


• Infine

• Quindi l’energia dell’onda è proporzionale – al quadrato dell’ampiezza dell’onda– al quadrato della frequenza dell’onda– alla massa della materia coinvolta L

35

2222

4

1

2

1

2

1 ALnAKU

22

2

1 ALE

Energia di un’onda stazionaria

• Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio x* con legge

• L’energia potenziale dell’elemento materiale m è

• L’energia cinetica

• L’energia totale

36

tkxAtxf cossin, **

tkxAmtxfmU 2*222*22 cossin2

1,

2

1

tkxAmt

fmK 2*222

2

sinsin2

1

2

1

*222 sin2

1kxAmE

Energia di un’onda stazionaria

• L’energia dell’onda, su una lunghezza multipla, p.e., di mezza lunghezza d’onda, si trova integrando su x

• Poiche’ l’onda è una sovrapposizione di due onde di ugual ampiezza A’, abbiamo A=2A’, ne segue che la sua energia è uguale alla somma delle energie delle onde componenti

37

tALLtAdxkxtAUL

222222

0

2222 cos4

1

2

1cos

2

1sincos

2

1

22

0

222

4

1sin

2

1 ALdxkxAEL

2nL

tALLtAdxkxtAKL

222222

0

2222 sin4

1

2

1sin

2

1sinsin

2

1

'2'44

1

4

1 2222 EALALE

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