Le equazioni di secondo grado Forma dellequazione Unequazione di secondo grado si può sempre...

Le equazioni di secondo grado Forma dell’equazione

Un’equazione di secondo grado si può sempre ricondurre alla sua forma normale

(se a = 0 l’equazione bx + c = 0 è di primo grado)

Se i coefficienti b e c sono diversi da zero l’equazione si dice completa.

Termine noto

Se i coefficienti b o c sono nulli l’equazione si dice incompleta.

Un’equazione incompleta può quindi avere la forma

ax2 bx 0 se b ≠ 0 e c = 0 in questo caso si dice spuria

ax2 c 0 se b = 0 e c ≠ 0 in questo caso si dice pura

ax2 0 se b = 0 e c = 0 in questo caso si dice monomia

1

ax2 bx c 0

a0con

Le equazioni di secondo grado Forma dell’equazione

Per esempio:

è completa l’equazione

4x2 3x 10 dove è a = 4, b = −3, c = 1

è incompleta spuria l’equazione

3x2 5x 0 dove è a = 3, b = −5, c = 0

è incompleta pura l’equazione

x2 60 dove è a = 1, b = 0, c = −6

è monomia l’equazione

7x2 0 dove è a = 7, b = 0, c = 0

2

Le equazioni di secondo grado Risoluzione di equazioni incomplete

Si raccoglie x a fattore comune:

x ax b 0

Si applica la legge di annullamento del prodotto:

x 0 ax b0

x 0 x = ba

L’equazione spuria ammette sempre due soluzioni di cui una è zero.

ESEMPIO

3x2 4x 0

x 3x 4 0

x 0

3x 40 3x 4 x 43

34 ,0S

3

Regole generali per la risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete.

Equazione della forma

ax2 bx 0

Le equazioni di secondo grado

Si scompone il polinomio, se possibile, e si applica la legge di annullamento del prodotto.

Primo metodo

Secondo metodo

Dopo aver scritto l’equazione nella forma

x2 ca

si calcola la radice quadrata dei due membri:

x2 ca

ca0

x ca

x ca

ca 0 l’equazione è impossibile

4

Risoluzione di equazioni incomplete

Equazione della forma

ax2 c 0

Equazione della forma monomia

ax2 0L’unica soluzione è x = 0.


ESEMPI

x2 40

Primo metodo

x 2 x 2 0

x 20

x 2

x 20

x 2

Secondo metodo

x2 4

x 4

x 2

x2 40

Primo metodo

La somma di due quadrati non è scomponibile e non si annulla mai.

Secondo metodo

x2 4

x 4equazione impossibileequazione impossibile

5

Risoluzione di equazioni incomplete

Le equazioni di secondo grado Formula risolutiva

L’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0, nell’ipotesi che sia a ≠ 0 ∧ b2 − 4ac ≥ 0, ammette come soluzioni i numeri reali dati dalle seguenti espressioni

b b2 4ac2a

b b2 4ac2a

∨

L’espressione Δ = b2 − 4ac è il discriminante dell’equazione e si verifica che:

• se Δ > 0 l’equazione ammette come soluzioni due numeri reali diversi (si dice che le soluzioni sono reali distinte)

• se Δ = 0 l’equazione ammette come soluzione due numeri reali uguali (si dice che le soluzioni sono reali coincidenti)

• se Δ < 0 l’equazione non ammette soluzioni reali.

6


ESEMPI

1. Risolviamo l’equazione

2x2 x 60 nella quale a = 2; b = 1; c = −6

x 1 12 42 6

22 1 49

4 17

4

1 74

2

174

32

23 ,2S

7

Risoluzione equazioni complete


ESEMPI


x2 8x 160 nella quale a = 1; b = 8; c = 16

x 8 82 411621

802

4

S 4


x2 3x 80 nella quale a = 1; b = −3; c = 8

x 3 32 41821

3 232

S

8

Risoluzione equazioni complete


ESEMPIO

Formula risolutiva

Se il coefficiente b dell’equazione ax2 + bx + c = 0 è un numero pari, si può utilizzare la formula ridotta:

x b

2 b

2

2

ac

a

3x2 4x 10

x 2 433

2 73

2 73

9

Le equazioni di secondo grado Equazioni frazionarie

Nel caso di equazione frazionaria seguiamo la seguente procedura:

10

• determinazione del dominio D;

• riduzione dell’equazione alla forma intera;

• applicazione della formula risolutiva se è completa o degli algoritmi specifici se è incompleta.

ESEMPIO

3x x 2 Il dominio dell’equazione è D = R − {0}

Scriviamo l’equazione in forma normale

3 x2 2x

x2 2x 30

x 1 13 12

x 1

x 3

S 1, 3 Applichiamo la formula ridotta:

Le equazioni di secondo grado Equazioni letterali

Quando un’equazione contiene dei parametri è necessario discutere che cosa accade all’insieme delle soluzioni al variare di tali parametri.

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Bisogna stabilire qual è il dominio dell’equazione, cioè l’insieme dei valori che può assumere l’incognita: il dominio è in genere R se l’equazione è intera, è R esclusi i valori che rendono nulli i denominatori se l’equazione è frazionaria.

Procedura risolutiva generale da seguire

Per esempio:

x2 x a2

3a ha dominio R

x ax 2

x 1x a

1 poiché deve essere x ≠ 2 e x ≠ a, ha dominio R − {2, a}


12

Se l’equazione ha dei denominatori letterali, è necessario che questi non siano nulli.

Per esempio nell’equazione

x2 2a1

x 1a 2

a 1 si deve porre a ≠ −1 ∧ a ≠ 2

Attenzione a non confondere il dominio di un’equazione con le condizioni che devono essere imposte al parametro: l’equazione precedente è intera e quindi il suo dominio è R, le condizioni sul parametro sono poste affinché l’equazione non perda significato.


13

Si devono applicare correttamente i principi di equivalenza delle equazioni; per esempio si deve essere certi che, quando si dividono entrambi i membri di un’equazione per una stessa espressione letterale, questa non sia nulla:

Quando si applica la formula risolutiva, si deve essere certi che il coefficiente a di x2 non sia nullo perché, in caso contrario, la formula non si può applicare.

si può dividere per 3

3x2 6ax 9a2 0

x2 2ax 3a0

si può dividere per a solo se a ≠ 0

ax2 4a2x 6a3 0

x2 4ax 6a2 0

Si può applicare la formula (ridotta)

3x2 2ax a2 0

x a a2 3a2

3

1

3a

a

Si può applicare la formula solo se a ≠ 1

a 1 x2 ax 10

x a a2 4 a 1

2 a 1

1

a 1

2


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L’insieme dei ragionamenti che si fanno sul parametro per stabilire quante e quali sono le soluzioni di un’equazione rappresenta la discussione dell’equazione. Uno schema generale su come procedere è il seguente.

Caso dell’equazione intera

Il dominio è R, non ci sono condizioni sull’incognita; possono però esserci condizioni iniziali sul parametro. Arrivati alla forma normale:

si pone il coefficiente di x2 diverso da zero (questa operazione non è necessaria se tale coefficiente è numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve l’equazione;

si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi al punto precedente.

Quando, per risolvere un’equazione letterale, si applica la formula, il discriminante è di solito letterale; occorre quindi che sia Δ ≥ 0.

Esempio:

x2 2x a0

x 1 1 a e deve essere 1 − a > 0


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ESEMPIO

bx2 13x2 8

D R

Riscriviamo l’equazione in forma normale:

b 3 x2 90

L’equazione è incompleta e per risolverla ricaviamo l’espressione di x2:

• se b ≠ 3

x2 9b 3

x2 3

b 33 b 3

b 3

Le soluzioni sono reali se b − 3 > 0, cioè b > 3

• se b = 3 l’equazione diventa:

0x2 90 90 che è impossibile


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Caso dell’equazione frazionaria

Il dominio è R, ad esclusione dei valori dell’incognita che annullano i denominatori; possono anche esserci condizioni iniziali sul parametro.

si pone il coefficiente di x2 diverso da zero (questa operazione non è necessaria se tale coefficiente è numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve l’equazione; trovate le soluzioni si procede al confronto con le condizioni imposte dal dominio;

si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi al punto precedente.


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ESEMPIO

5 x 2 2

b2 b

x0

L’equazione è frazionaria e deve essere x ≠ 0 quindi D = R − {0}

Scriviamola in forma normale:

5x x 2 bx 2b0

5x2 10 b x 2b0

Calcoliamo il discriminante:

10 b 2 40b100 b2 20b 10 b 2

Il coefficiente di x2 è numerico, troviamo subito le soluzioni:

x 10 b 10 b

10

2010

2

2b10

b5 continua


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Vediamo se le soluzioni trovate sono accettabili:

• la soluzione −2 appartiene sicuramente al dominio;

• dobbiamo invece confrontare la soluzione con 0: se

b

5

b

50

b 0

Quindi se b = 0 la soluzione non è accettabile e deve essere scartata.

b

5

se b ≠ 0

5

,2 bS

2

Sse b = 0

Riassumendo:

Le equazioni di secondo grado Relazioni tra coefficienti e soluzioni

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Fra le soluzioni x1 e x2 di un’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0 e i suoi coefficienti a,

b e c sussistono le seguenti relazioni:

S: somma delle soluzioni.

x1 x2 ba

S

x1x2 ca

P: prodotto delle soluzioni.

P


20

Mediante l’utilizzo di tali relazioni è possibile risolvere i seguenti problemi:

1. Trovare le soluzioni di un’equazione senza applicare la formula risolutiva.

Per trovare le soluzioni dell’equazione x2 − 4x − 5 = 0 senza utilizzare la formula risolutiva basta calcolare:

x1 x2 ba4

x1x2 ca 5

1 5

x1 = −1 e x2 = 5 infatti −1 + 5 = 4 e −1 5 = −5

Dobbiamo trovare due numeri la cui soma è 4 e il cui prodotto è −5:


21

2. Individuare due numeri conoscendo la loro somma e il loro prodotto.

Per determinare due numeri di cui si conoscono somma s e prodotto p basta risolvere l’equazione

x2 − sx + p = 0

Le sue soluzioni sono i numeri richiesti.

s 115

x2 115

x 215

0Se e

p 215

15x2 x 20

x 1 112030

13

25

I due numeri sono e

13

25


22

3. Scrivere l’equazione che ha per soluzioni due numeri assegnati.

calcoliamo

s x1 x2 13 7

219

6

p x1x2 1372 7

6

x2 196

x 760

6x2 19x 70oppure L’equazione ha quindi la forma

x1 13

x2 72

ese

Indichiamo con x1 e x2 i due numeri; se s è la loro somma e p è il loro prodotto, essi sono soluzione dell’equazione

x2 sx p 0


ESEMPIO

Relazioni tra coefficienti e soluzioni

23

Scomposizione del trinomio di secondo grado

Se ax2 + bx + c è un trinomio di secondo grado con a ≠ 0 e se x1 e x2 sono le eventuali radici (cioè

le soluzioni reali dell’equazione associata ax2 + bx + c = 0), si ha che:

• se Δ > 0 ax2 − bx + c = a (x − x1)(x − x2)

• se Δ = 0 ax2 − bx + c = a (x − x1)2

• se Δ < 0 ax2 − bx + c è irriducibile

273 2 xxScomponiamo:Risolviamo l’equazione associata:

6

24497x31

2

2 132313273 2

xxxxxxSi ha quindi che:


ESEMPI

Interpretazione grafica: zeri di funzione

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Le soluzioni di un’equazione di secondo grado ax2 − bx + c = 0 si possono interpretare come le ascisse dei punti di intersezione della parabola y = ax2 + bx + c con l’asse x (y = 0); esse rappresentano gli zeri della parabola.

1. La parabola

y 2x2 5x 2 ha due zeri di valore

2 e 12

Infatti l’equazione

2x2 5x 20 ha soluzioni

x 5 25 164

534

2

12

Le equazioni di secondo grado Interpretazione grafica: zeri di funzione

25

2. La parabola

y x2 3x 4

non ha zeri perché il delta dell’equazione è negativo.

9 16 7

x 2 4 44

x 12

3. La parabola

y 4x2 4x 1

ha due zeri coincidenti perché l’equazione ad essa associata ha un discriminante uguale a zero.

4x2 4x 10

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