Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

TRINOMIO DI II °:TRINOMIO DI II °: fattorizzazione o completamento del quadrato?fattorizzazione o completamento del quadrato?

a x 2 + b x + c

Trovo le radici x1 ≡ x2 dell’equazione associata: a x 2 + b x + c = 0

a x 2 + b x + c = a (x – x1)2

Trovo le radici x1 e x2 dell’equazione associata: a x 2 + b x + c = 0

a x 2 + b x + c = a (x – x1) (x – x2)

Completo il quadrato, cioè riscrivo il trinomio come somma di un quadrato perfetto (tipo a 2 + 2 a b +b 2) e di un termine positivo. Lavoriamo con un esempio per semplificare i passaggi (il metodo servirà nel calcolo integrale)

x 2 + 4 x + 5 --> 16 – 20 = - 4 < 0! completo il quadrato

• Riscrivo i primi due termini x2 + 4 x (corrispondono ad a2 + 2 a b)

• Il ruolo di a è giocato da x, devo individuare quanto vale b. Prendo il coefficiente del termine in x (nel nostro caso 4) e lo divido per 2 (operazioe inversa del doppio è la metà): 4/2 = 2 b=2!!

• Nel quadrato del binimio il terzo termine è b 2, sapendo che b=2 b2 = 22 = 4

• Aggiuno e tolgo ai prinmi due termini questo numero trovato, cioè 4 ed ottengo x2 + 4 x + 4 – 4

• Completo scrivendo l’ultimo termine del trinomio (5) x2 + 4 x + 4 – 4 + 5; i primi tre termini sono lo sviluppo del quadrato, sommo tra loro gli altri due (x + 2) 2+ 1

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Completiamo ancora il quadrato con un Completiamo ancora il quadrato con un esempioesempio

xx22 + 3 x + 12 + 3 x + 12

9 – 48 = - 39 < 0!9 – 48 = - 39 < 0!

Scrivo i primi due terminiScrivo i primi due termini x x22 + 3x + 3x

Divido il 3 per 2 e ottengoDivido il 3 per 2 e ottengo 3/2 3/2

Aggiungo e tolgo (3/2) Aggiungo e tolgo (3/2) 22 == 9 / 4 9 / 4

CompletoCompleto x x22 + 3x + 9/4 + 3x + 9/4 – 9/4 + 12– 9/4 + 12 ((sommo gli ultimi due addendi, facendo il m.c.m.: 4)sommo gli ultimi due addendi, facendo il m.c.m.: 4)

(x(x22 + 3x +9/4) + ( -9 + 12*4) / 4 = x + 3x +9/4) + ( -9 + 12*4) / 4 = x22 + 3x + 9/4 + 39/4 = (x+ 3/2) + 3x + 9/4 + 39/4 = (x+ 3/2) 22 + 39/4 + 39/4

Ma dove servirà la fattorizzazione del trinomio oppure il metodo del completamento del quadrato?Ma dove servirà la fattorizzazione del trinomio oppure il metodo del completamento del quadrato?

Per esempio nel calcolo integrale con integrali di questo tipo:Per esempio nel calcolo integrale con integrali di questo tipo:

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DIVISIONE TRA POLINOMIDIVISIONE TRA POLINOMI

Supponiamo di avere il rapporto tra due polinomi Pm(x) e Pn(x), dove m e n sono i

gradi dei due polinomi ed m ≥ n.

Il rapporto può essere riscritto come somma tra una parte intera, di grado m-n, e una

nuova frazione avente per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore

un polinomio di grado minore di n.

Prendiamo un esempio numerico. La frazione 7/3, con numeratore maggiore di

denominatore, può essere riscritta come somma di un numero intero più una

frazione propria. Infatti:

7| 3

6 2

1

Se divido 7 per 3 in colonna ottengo 2 di quoto e resto 1!!

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Impariamo a dividere i polinomi con un esempioImpariamo a dividere i polinomi con un esempio

Infatti x3 + 0 x2 + 2x + 5 | x – 2

- x3 + 2 x 2 x 2 + 2x + 6

// 2 x2 + 2x + 5

- 2 x 2 + 4x

// + 6x + 5

- 6x + 12

// + 17

quindi il quoto è x 2 + 2x + 6, il resto 17

Dove servirà? Sostanzialmente nel calcolo integrale

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Però.....Però.....Se la divisione è facile... subitoSe la divisione è facile... subito

1: Distribuisco!

2:

3:

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Manipoliamo ancora polinomi: fratti sempliciManipoliamo ancora polinomi: fratti semplici

Andiamo avanti... Andiamo avanti... passiamo dalla passiamo dalla somma di frazioni somma di frazioni semplici ad una semplici ad una frazione solafrazione sola

Osserviamo gli esempio 2 e 3: i due risultati finali hanno lo stesso denominatore, ma il primo è somma di due frazioni, fratti, semplici, l’altro di tre frazioni semplici .

L’ultimo esempio, invece, ha un denominatore finale diverso, pur essendo due fratti iniziali uguali ai precedenti.

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Ancora fratti sempliciAncora fratti semplici

Torniamo indietro!! Torniamo indietro!! Passiamo da una sola Passiamo da una sola frazione, non frazione, non semplicesemplice, , ... alla somma di tante ... alla somma di tante frazioni frazioni semplicisemplici, ad , ad essa equivalentiessa equivalenti

Partendo dalla frazione a primo membro, possiamo pensare che a generarla siano stati due fratti semplici, il primo con denominatore (x-1) e il secondo con (x+1).

Poiché la frazione di origine ha un numeratore di grado minore del denominatore e i fratti semplici hanno un denominatore di I grado, a numeratore non ci possono che essere delle costanti A e B, da determinare.

Per trovare A e B, proviamo ad andare avanti, cioè a manipolare il secondo membro: facciamo il m.c.m.

Metodo identità funzionale

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Fratti semplici: Fratti semplici: mmetodo identità funzionale

Se i due membri sono identici, qualunque valore attribuiamo alla x al primo o al secondo membro, dobbiamo ottenere lo stesso risultato.

Scegliamo due valori (ci sono due incognite A e B) belli, che semplifichino i calcoli:

x = 1 e x = -1

Otteniamo la scrittura della frazione come somma di due fratti semplici

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Ancora fratti sempliciAncora fratti sempliciLavoriamo ancora su un altro esempio: data la frazione seguente, cerchiamo di riscriverla come somma di fratti semplici (ricordiamoci che abbiamo una sola possibilità, cioè esiste un solo modo di scomposizione.

Analizziamo il denominatore: si presenta come prodotto di due fattori (x), con molteplicità semplice (1), e (x-1)2, con molteplicità doppia (2). Non sappiamo se le frazioni generatrici sono due o tre. Ci mettiamo nel caso più completo, al limite troveremo B=0.

Andiamo avanti, cioè facciamo il m.c.m. e dovremo trovare tre variabili: A, B e C, attribuendo tre valori diversi alla x: due sono belli (x=0 e x=1), il terzo lo scegliamo a piacere

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Ancora fratti semplici: terzo esempioAncora fratti semplici: terzo esempio