Auto-interazioni ed oscillazioni di neutrini in una ... di neutrini ed antineutrini di qualsiasi...

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI BARI

Facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Fisica

Auto-interazioni ed oscillazioni di neutrini

in una supernova con collasso del nucleo

TESI DI LAUREA SPECIALISTICA

LAUREANDA: Irene Tamborra

RELATORE CORRELATORE

Chiar.mo Prof. Gianluigi Fogli Dott. Eligio Lisi

———————————————

ANNO ACCADEMICO 2006-07

Indice

1 Introduzione 1

2 Supernovae con collasso del nucleo 7

2.1 Esplosione di una supernova di tipo II . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Modello di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Spettri di energia dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Geometria di emissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Profilo di densita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Equazioni di evoluzione in due generazioni 17

3.1 Equazioni di evoluzione per i neutrini . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Propagazione nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.2 Propagazione in presenza di materia . . . . . . . . . . 19

3.1.3 Propagazione in presenza di un fondo di neutrini . . . . 21

3.2 Matrice densita per due famiglie di neutrini . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Matrice densita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.2 Hamiltoniana di auto-interazione . . . . . . . . . . . . 22

3.2.3 Equazioni di Liouville e di Bloch . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Probabilita di oscillazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

i

ii INDICE

4 Oscillazioni sincronizzate e bipolari (2ν) 29

4.1 Oscillazioni sincronizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Oscillazioni bipolari in ipotesi di simmetria . . . . . . . . . . . 32

4.2.1 Equazioni di evoluzione dei vettori caratteristici ed en-ergia del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.2 Analogia con il pendolo classico . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Effetti di materia e sistema corotante . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Coefficiente di auto-interazione adiabatico . . . . . . . . . . . 40

4.5 Oscillazioni bipolari in ipotesi di asimmetria . . . . . . . . . . 42

4.5.1 Conservazione del numero leptonico . . . . . . . . . . . 43

4.5.2 Approssimazione di allineamento . . . . . . . . . . . . 44

4.5.3 Analogia con il pendolo giroscopico . . . . . . . . . . . 46

4.6 Risultati numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Equazioni di evoluzione in tre generazioni 57

5.1 Riduzione agli autostati ν ′µ e ν ′τ . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Decomposizione tramite le matrici di Gell-Mann . . . . . . . . 58

5.2.1 Proprieta delle matrici di Gell-Mann . . . . . . . . . . 59

5.2.2 Matrice densita in tre generazioni di neutrini . . . . . . 61

5.2.3 Matrice hamiltoniana in tre generazioni . . . . . . . . . 62

5.3 Equazioni di evoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3.1 Equazioni di Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.2 Evoluzione nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4 Probabilita di oscillazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.5 Limiti di due generazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6 Oscillazioni sincronizzate e bipolari (3ν) 71

INDICE iii

6.1 Grandezze caratteristiche del sistema . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Approssimazione di allineamento . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3 Quantita conservate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.4 Analogia con il pendolo in tre generazioni . . . . . . . . . . . 77

6.5 Risultati numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.5.1 Differenze tra oscillazioni sincronizzate e bipolari indue e tre generazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.5.2 Differenze tra oscillazioni sincronizzate e bipolari indue e tre generazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.5.3 Spettri di energia e limite di due generazioni di neutrini 85

7 Conclusioni 91

Bibliografia 94

iv INDICE

Capitolo 1

Introduzione

Il Modello Standard Elettrodebole postula che i tre neutrini, νe, νµ e ντ (ei rispettivi antineutrini) siano particelle prive di massa. In realta, recentievidenze sperimentali implicano che i neutrini abbiano massa, al pari deglialtri fermioni fondamentali. L’introduzione di una matrice di mescolamentoleptonica per i neutrini massivi, analoga a quella di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM) usata per i quark, si e resa necessaria per spiegare le oscil-lazioni di neutrini, per la prima volta ipotizzate da Pontecorvo [1] e da Maki,Nakagawa e Sakata [2].

I tre autostati di sapore νe, νµ, ντ sono legati ai tre autostati di massaν1, ν2, ν3 attraverso una matrice unitaria U : νe

νµντ

= U

ν1

ν2

ν3

. (1.1)

Per gli antineutrini vale un’equazione analoga alla precedente, con la sosti-tuzione U → U∗.

La matrice U e usualmente parametrizzata nel modo seguente:

U =

1 0 00 c23 s23

0 −s23 c23

c13 0 s13e

−iδ

0 1 0−s13e

iδ 0 c13

c12 s12 0−s12 c12 0

0 0 1

, (1.2)

ove sij = sin θij e cij = cos θij, con θij ∈ [0, π/2]. La fase δ ∈ [0, 2π] eassociata ad un’eventuale violazione di CP. Indicando ciascuna delle matriciprodotto in (1.2) con Rij e definendo Γδ = diag(1, 1, eiδ), si ottiene

U = R23ΓδR13Γ+δ R12. (1.3)

1

2 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Gerarchia normale Gerarchia inversa

ν3

+∆m2

2 2ν 2

ν ν νe µ τ

mν2 δm2

ν1

2

−∆m2

1

∆m

νν3

Figura 1.1: Spettro di massa dei neutrini, in gerarchia normale (a sinistra) ed ingerarchia inversa (a destra). Per ciascun autostato e indicata la composizione intermini di sapore (blu: νe, giallo: νµ, verde: ντ ).

Si osservi che e necessario avere θ13 6= 0 affinche sia possibile rivelare unaviolazione di CP.

Gli esperimenti di oscillazione sono sensibili alle differenze di massa alquadrato m2

i − m2j , ma non alle masse assolute. Pertanto, la matrice di

massa

M2 =

m21 0 0

0 m22 0

0 0 m23

, (1.4)

puo essere convenientemente riscritta come:

M2 =m2

1 +m22

2+

−δm2

20 0

0 + δm2

20

0 0 ±∆m2

, (1.5)

rendendo esplicita la differenza δm2 = m22−m2

1 > 0 fra gli autostati di massaν1 e ν2. Sperimentalmente, tale differenza si rivela molto piu piccola rispettoa ∆m2 = |m2

3 − (m21 + m2

2)/2|. Gli esperimenti attuali non consentono disapere, pero, se ν3 sia piu pesante rispetto a ν1 e ν2 (gerarchia normale,

3

+∆m2) o piu leggero (gerarchia inversa, −∆m2), come mostrato in Fig. 1.1.Il passaggio da una gerarchia all’altra e ottenuto attraverso la sostituzione+∆m2 → −∆m2.

Dati relativi alle oscillazioni di neutrini solari e da reattori forniscono,con un livello di confidenza (confidence level, C.L.) del 95% [3], le seguentistime:

sin2 θ12 = 0.314 (1+0.18−0.15) , (1.6)

δm2 = 7.92 (1± 0.09)× 10−5 eV2 . (1.7)

Dati relativi alle oscillazioni di neutrini atmosferici e da acceleratori indicano,sempre al 95% C.L. [3]:

sin2 θ23 = 0.45 (1+0.35−0.20) , (1.8)

∆m2 = 2.6 (1+0.14−0.15)× 10−3 eV2 . (1.9)

L’insieme di tutti i dati relativi ai neutrini pone un limite superiore a θ13 che,al 95% C.L., risulta essere [3]:

sin2 θ13 < (0.8+2.3−0.8)× 10−2 . (1.10)

Pertanto, restano ancora da determinare:

• la gerarchia delle masse dei neutrini,

• l’angolo θ13,

• la fase δ legata alla violazione di CP.

Un importante contributo alle prime due questioni potrebbe provenire dallostudio dei neutrini emessi da supernovae galattiche con collasso del nucleo.Tali supernovae sono paragonabili a corpi neri che emettono circa 1058 neu-trini di tutti i sapori, con energie tipiche E ∼ O(10) MeV, su una scalatemporale di ∼ 10 s. La propagazione dei neutrini nel denso ambiente del-la supernova e sensibile a θ13 ed alla gerarchia di massa, come descritto inseguito.

L’esplosione di una supernova galattica e, tuttavia, un evento partico-larmente raro. Si stima che, in media, ne esplodano da 1 a 3 ogni secolo.Tra le piu importanti esplosioni, osservate vicino alla nostra galassia, vi e


quella del 1987. Il 23 Febbraio 1987, alle ore 7.35 a.m. (tempo universale),l’esperimento Kamiokande II [4] rivelo 11 neutrini attraverso la reazione

νep→ ne+ . (1.11)

Contemporaneamente, i rivelatori Cherenkov dell’esperimento IMB (IrvineMichigan Brookhaven) [5] registrarono 8 eventi, mentre a Baksan furonoosservati 5 eventi [6]. Tali neutrini possono essere associati all’esplosionedella supernova SN 1987A nella Nebulosa della Tarantola, all’interno dellaGrande Nube di Magellano, galassia nana distante dalla Terra approssimati-vamente 51.4 kpc. Circa tre ore dopo, fu visibile dalla Terra l’esplosione ditale supernova, attraverso la convenzionale astronomia ottica.

Nonostante il numero esiguo, i neutrini della SN 1987A rivelati hannopermesso di mettere alla prova le teorie esistenti circa il collasso di una stellamassiva, aprendo l’era dell’astronomia neutrinica. Con i moderni rivela-tori, l’esplosione di una supernova galattica darebbe luogo a 103− 104 eventirivelati, consentendo studi molto piu approfonditi di quanto non sia statopossibile con gli eventi della SN 1987A.

L’interpretazione degli eventi di neutrini da supernova richiede la com-prensione sia del processo di collasso stellare che dei fenomeni che coinvolgonogli stessi neutrini prima dell’emissione dalla supernova. Bisogna considerare,quindi, gli effetti indotti dalla materia che i neutrini incontrano attraversandoil mantello della stella progenitrice. Nel Modello Standard, i neutrini intera-giscono con i costituenti fondamentali della materia (protoni, neutroni edelettroni) sia tramite correnti neutre, con scambio del bosone vettore neutroZ0, sia tramite correnti cariche, con scambio dei bosoni vettori W±. Tut-tavia, poiche le tipiche energie dei neutrini in una supernova [O(10) MeV]sono inferiori alle masse dei leptoni µ e τ , i neutrini muonici e tauonici hannoesclusivamente interazioni da correnti neutre. Tali interazioni influenzano leoscillazioni di sapore dei neutrini specialmente a grande raggio (r∼> 150 km),e sono sensibili all’angolo di mescolamento θ13 ed alla gerarchia di massa [7, 8].

A brevi distanze dal nucleo di una supernova (r ∼ 10 − 150 km), ladensita di neutrini prodotti e talmente alta da rendere importanti le intera-zioni neutrino-neutrino. Recenti studi delle auto-interazioni suggerisconoeffetti molto interessanti. Per esempio, una completa comprensione delleauto-interazioni potrebbe spiegare il meccanismo di acquisizione di ener-gia da parte dell’onda d’urto responsabile dell’esplosione della supernova,e modificare le attuali conoscenze circa la formazione dei nuclei pesanti nellasupernova.

5

A differenza delle interazioni neutrino-materia (ove la materia e pratica-mente in quiete) nel caso delle auto-interazioni le particelle coinvolte sonoentrambe in moto ultra-relativistico, e l’intensita delle interazioni dipendedall’angolo fra gli impulsi dei neutrini incidenti. Cio rende le equazionidi evoluzione particolarmente complesse, per cui spesso si usa un’approssi-mazione di angolo medio, al fine di semplificarle. In ogni caso, le equazionirisultano non lineari e fortemente accoppiate. L’accoppiamento neutrino-neutrino da luogo a fenomeni collettivi (che coinvolgono cioe una larga frazionedi neutrini ed antineutrini di qualsiasi direzione ed energia) a corto raggio,completamente diversi dalle ordinarie oscillazioni di sapore nella materia enel vuoto, che diventano, invece, importanti a grande raggio.

Attualmente, tali fenomeni collettivi sono stati studiati solo in una par-ticolare approssimazione con due famiglie di neutrini, equivalente a porreδm2 = 0. Sono stati identificati effetti peculiari (per esempio le cosiddetteoscillazioni sincronizzate e bipolari, e lo scambio degli spettri) con caratteri-stiche sorprendenti e controintuitive. E’ dunque importante studiare questieffetti in uno scenario piu generale con tre famiglie di neutrini e δm2 6= 0.Attualmente non esistono, in letteratura, studi in tal senso, e lo scopo dellapresente tesi e quello di portare un contributo originale in questa direzione.La tesi si articola come schematizzato di seguito.

• Nel Capitolo 2 e descritto il collasso e l’esplosione di una supernova conemissione di neutrini durante le varie fasi. Viene, inoltre, illustrato ilmodello specifico di supernova adottato per i calcoli analitici e numerici.

• Nel Capitolo 3 sono ricavate le equazioni di evoluzione nel caso di duegenerazioni di neutrini, tenendo conto del potenziale di materia e delleauto-interazioni dei neutrini. Quindi si mostra come l’introduzione delformalismo della matrice densita consenta di esprimere tali equazioniin modo formalmente analogo a quelle che descrivono la precessione dispin in campi magnetici.

• Nel Capitolo 4 sono descritte le oscillazioni sincronizzate e bipolariin due generazioni di neutrini, all’interno di una supernova. Vieneesplicitata l’analogia formale con le equazioni che descrivono un pendologiroscopico.

• Il Capitolo 5 apre la parte originale del lavoro di tesi. Viene esteso ilformalismo della matrice densita al caso di tre generazioni di neutrini, evengono ricavate le equazioni di evoluzione nel caso generale, attraversoproiezioni sulle matrici di Gell-Mann.


• Nel Capitolo 6 sono trattate, per la prima volta, le oscillazioni bipolarie sincronizzate in tre generazioni di neutrini. Sono analizzati, inoltre, irisultati ottenuti attraverso l’impiego di programmi numerici, apposi-tamente creati ai fini di questa tesi. Si ricava l’importante risultato chela generalizzazione in tre famiglie di neutrini rappresenta una piccolaperturbazione rispetto al limite di due generazioni.

• Il Capitolo 7 presenta un breve riepilogo delle tematiche affrontate edei risultati ottenuti.

Capitolo 2

Supernovae con collasso delnucleo

In questo capitolo sono analizzate le fasi di esplosione di una supernova apartire dal collasso di una stella massiva. E’ descritto, inoltre, il modello disupernova di riferimento (spettri iniziali di energia, geometria e potenziale dimateria), essenziale per poter impostare dei calcoli analitici e numerici.

2.1 Esplosione di una supernova di tipo II

Le supernovae sono comunemente classificate in due tipi, I e II. Lo spettrodi emissione di tipo II si distingue da quello di tipo I per la presenza di righedi idrogeno e di elio.

Una supernova di tipo I ha origine da una stella di massa ∼ 2 − 3 M(ove M = 1.116 × 1057 GeV e la massa solare). Terminata la combustionedi elio ed idrogeno, la stella ha un nucleo degenere composto da carbonioed ossigeno. Data la piccola massa, non si ha combustione di tali elementi,e la stella diventa una nana bianca. Tuttavia, se la nana bianca fa partedi un sistema binario, essa puo accrescere la sua massa a spese della stellacompagna [9]. Cio rende possibile la combustione di carbonio ed ossigeno e,quando sono raggiunte densita tali da consentire il collasso, la supernova ditipo I esplode.

Le supernovae di tipo II, invece, hanno origine da stelle massive (M > 6−8 M), come per l’esplosione della SN 1987A [6, 10]. Nelle stelle progenitrici,

7

8 CAPITOLO 2. SUPERNOVAE CON COLLASSO DEL NUCLEO

dopo la combustione di elio, si innesca la combustione del carbonio, e conquesta la produzione di elementi piu pesanti. Tale processo termina con lafusione del ferro, poiche quest’ultima avviene senza rilascio di energia. Lastella presenta una struttura a strati con un nucleo di ferro circondato dastrati di elementi via via piu leggeri (Fe, Si, Mg, Ne, O, C, He, H). Dopo lacombustione dell’idrogeno tali stelle possono diventare giganti rosse oppuregiganti blu, come nel caso della stella progenitrice della SN 1987A [9].

In Fig. 2.1 e schematizzata, in sei fasi distinte, l’esplosione di una super-nova.

• Fase 1: inizio del collasso stellare (immagine in alto a sinistra). Ladinamica del collasso stellare e sensibile al numero di leptoni per ba-rione Ye [11] (Ye,iniziale ∼ 0.5). Essendo gli elettroni catturati dai nu-clei, Ye decresce. Questo riduce la pressione esercitata dagli elettroniaccelerando il collasso gravitazionale.

• Fase 2: formazione del nucleo omologo (immagine in alto a destra).Un’ulteriore accelerazione del collasso della stella, tramite riduzionedella densita di elettroni, si realizza attraverso cattura di elettroni edecadimento β. Quest’ultimo, inizialmente poco importante, diventacompetitivo con la formazione di nuclei ricchi di neutroni. Quando ladensita raggiunge il valore ρc ∼ 1012 g/cm3 si crea un nucleo omologo(homologous core, hc) di raggio Rhc ∼ 100 km. I neutrini sono essen-zialmente intrappolati nel nucleo omologo data l’intensa diffusione suinuclei pesanti.

• Fase 3: formazione dell’onda d’urto (immagine al centro a sinistra).Quando la densita raggiunge il valore critico ρ0 ∼ 1014 g/cm3, nellazona piu interna e presente solo materia nucleare. In questa zona lapressione esercitata dal gas degenere di elettroni non bilancia piu laforza gravitazionale e si genera un’onda d’urto. Intanto gli strati piuesterni continuano a collassare verso l’interno.

• Fase 4: propagazione dell’onda d’urto ed emissione di neutrini elet-tronici (immagine al centro a destra). L’onda d’urto, propagandosiverso l’esterno, dissipa parte della sua energia dissociando nuclei pe-santi in nucleoni. I protoni, liberati in questo modo, catturano elet-troni (e−p → nνe). Ha luogo la cosiddetta fase di neutronizzazione.Una grande frazione dei neutrini elettronici cosı generati diffonde libe-ramente superando la neutrino-sfera, di raggio Rν ∼< 100 km. Tali neu-trini abbandonano la stella trasportando con se gran parte dell’energia.

2.1. ESPLOSIONE DI UNA SUPERNOVA DI TIPO II 9

0.5

R [km]

eν

e

ν

1.00.5

Si

M(r) [M ]

eν

eν

eν

M(r) [M ]

eν

eν

eν

eν

eν

Fe, Ni

M(r) [M ]

R ~ 3000

eν

eν

eν

ν

e

ChM(r) [M ]~ M

Fe, Ni

Si

0.5 1.0

R [km]

Si

R [km]

M(r) [M ]

Fe, Ni

0.5 1.0

Si

R [km]

R [km]

R [km]

Si

1.0M(r) [M ]

Si−burning shell Si−burning shell

Si−burning shellSi−burning shell

νe,µ,τ ,νe,µ,τ

R ~ 100g

Fe

,µ,τe,ν,µ,τeν

α,n

,µ,τe,ν,µ,τeν

RFe

RFe

( δ>∼

δ

ο)

RFe

δ

c o)2∼

δ<

formationshock

radius of

gR ~ 100

α,nα,n,

seed12

9Be,C,

eν

RFe

position ofshock

formation

RFe

ν

Neutrino Trapping

Shock Stagnation and Heating,

,µ,τe,ν,µ,τeν

~ 10

free n, p

ννe

e

1.3 1.5

R ~ 50ν

p

n

sR ~ 200

FeR

10

10

10

10

2

3

4

5

R ~ 10ns

R31.4

ν

He

Ni

α

Si

PNS

r−process?

n, p

O

pfree n,

Fe

Ni

Rν

hcM

~ 100

Bounce and Shock Formation

nuclear matter

~ 10

nuclei

(t ~ 0.11s,

1.3 1.5

R ~ 50ν

Explosion (t ~ 0.2s)sR ~ 200

PNS gain layercooling layer

R ~ 10ns

R1.4

ν

Neutrino Cooling and Neutrino−

PNS

Driven Wind (t ~ 10s)

n, p

nuclear matternuclei

Shock Propagation and Burst

R ~ 100 kms

Rν

(t ~ 0.12s)

heavy nucleihcM

δ

c(t ~ 0.1s, ~10¹² g/cm³)(t ~ 0)Initial Phase of Collapse

Figura 2.1: Rappresentazione schematica degli stadi di evoluzione di una superno-va con collasso del nucleo. Le immagini mostrano nella meta superiore le condizionidinamiche, ove le frecce rappresentano i vettori velocita. Nella meta inferiore sonoindicati i processi deboli e la composizione nucleare. L’asse orizzontale fornisceinformazioni sulle masse: MCh indica la massa limite di Chandrasekhar, raggiuntain corrispondenza della densita ρ0, mentre Mhc indica la massa del nucleo omologo.Sull’asse verticale sono riportati i raggi caratteristici: RFe e il raggio del nucleo diferro, Rs e il raggio dell’onda d’urto, Rns e il raggio della stella di neutroni, Rν e ilraggio della neutrino-sfera. PNS sta ad indicare la proto-stella di neutroni. Figuratratta da [12].


Si ha, pertanto, un breve ma intenso flusso di neutrini di energia totalepari a 1051 erg.

• Fase 5: stagnazione dell’onda d’urto e formazione della proto-stella dineutroni (immagine in basso a sinistra). L’onda d’urto perde vigore eha luogo una fase di accrescimento (∼ 300 ms). Al centro della stellache sta collassando si crea una proto-stella di neutroni (proto-neutronstar, PSN). La proto-stella diventera una stella di neutroni o un buconero a seconda che la sua massa sia minore o maggiore di 25 M. Laproto-stella e ricca di protoni, elettroni degeneri e neutrini. Questiultimi, durante la fase di raffreddamento del nucleo della proto-stella,diffondono liberamente abbandonando la neutrino-sfera (Rν ∼ 50 km) etrasportando il 99% dell’energia rilasciata nel collasso della stella. Partedi tale energia e depositata negli strati tra la proto-stella ed il frontedell’onda d’urto che ha perso energia, attraverso le reazioni nνe → e−p epνe → e+n. Questo consentirebbe all’onda d’urto di rigenerarsi secondoquanto previsto dallo scenario di esplosione ritardata [13], confermatodall’analisi condotta da Loredo e Lamb [14].

• Fase 6: rigenerazione dell’onda d’urto (immagine in basso a destra).Gli strati riscaldati iniziano ad espandere creando tra il fronte dell’ondad’urto e la superficie della stella di neutroni una regione a bassa den-sita e ad alta temperatura, denominata bolla calda. La crescita dellapressione in questa zona permette all’onda d’urto di riacquistare vigoredando luogo all’esplosione. Il raggio della neutrino-sfera decresce finoa Rν ∼ 10 km.

Si intende, ora, dare una stima approssimativa del numero di neutriniprodotti durante l’esplosione. L’energia cinetica media 〈Ek〉 di un nucleone,di massa mN , sulla superficie di una stella di neutroni, e:

〈Ek〉 '1

2

GNMnsmN

Rns

' 25 MeV , (2.1)

ove con GN e indicata la costante di gravitazione universale, Rns ' 15 kme il raggio della stella di neutroni (neutron star, ns) e Mns ' 1.4 M e lamassa della stella di neutroni.

Poiche densita e temperatura sono tali da portare, approssimativamente,i neutrini all’equilibrio termico entro alcuni secondi, per la legge di equipar-tizione dell’energia ci si aspetta:

Tν '2

3〈Ek〉 . (2.2)

2.2. MODELLO DI RIFERIMENTO 11

Applicando il teorema di Gauss, si dimostra che l’energia gravitazionalerilasciata durante il collasso di una stella di neutroni e [15]:

Eg ≈3

5

GNM2ns

Rns

= 1.7× 1059 MeV . (2.3)

Poiche solo l’1% di Eg si trova sotto forma di energia cinetica legata all’e-splosione, i neutrini complessivamente generati durante l’esplosione sono innumero circa pari a Eg/Tν ∼ 1058.

2.2 Modello di riferimento

In questo paragrafo si descrivono gli spettri di energia dei neutrini, il modelloa bulbo per l’emissione di neutrini da una supernova ed il profilo di densita dimateria cui i neutrini sono soggetti entro una supernova. Fra le varie sceltepossibili, si identifica un modello di riferimento per poter effettuare calcolinumerici ed analitici.

2.2.1 Spettri di energia dei neutrini

I valori specifici delle energie medie dei neutrini, cosı come la luminosita Lν(energia emessa per unita di tempo), sono dipendenti dal particolare modelloimpiegato. In generale, νµ, ντ e i rispettivi antineutrini, avendo solo intera-zioni da correnti neutre, hanno energie medie piu grandi rispetto a quelledei neutrini elettronici, mentre νe e νe hanno anche interazioni con correnticariche del tipo: νen→ pe− e νep→ ne+. Inoltre, dopo la neutronizzazione,l’atmosfera della proto-stella di neutroni e ricca di neutroni, e i νe interagi-scono piu frequentemente degli νe. Questi ultimi, quindi, sono tipicamentepiu energetici [16]. Le energie medie sono ordinate come segue:

〈Eνe〉 < 〈Eνe〉 < 〈Eνµ,τ , νµ,τ 〉 . (2.4)

Le simulazioni riportate in letteratura mostrano che, durante le fasi di ac-crescimento e raffreddamento, l’emissione di neutrini e caratterizzata daun’approssimata equipartizione delle luminosita. Nel seguito si assumeraLν = 1051 erg/s per tutte le specie di neutrini, con la seguente gerarchiadelle energie medie [17]:

〈Eνe〉 ' 10− 12 MeV , 〈Eνe〉 ' 14− 17 MeV , 〈Eνµ,τ , νµ,τ 〉 ' 24− 27 MeV .(2.5)


Per quanto concerne lo spettro di energia ϕ(E, t) (normalizzato in modoche

∫dE ϕ = 1), all’istante iniziale i, si puo ragionevolmente assumere una

distribuzione termica di tipo Fermi-Dirac [18]:

ϕi(E) =2 β

3 ζ3

(βE)2

eβE + 1, (2.6)

ove β = 1/T , ζ3 ' 1.202. In tal modo i valori medi di E e E−1 sono:

< E±1 >=∫dE ϕi(E)E±1 = c±T

±1 = c±β∓1 , (2.7)

con c+ = 7π4/180 ζ3 ' 3.151 e c− = π2/18 ζ3 ' 0.4561. Nei calcoli numericisi assumera: 〈Ee〉 = 10 MeV, 〈Ee〉 = 15 MeV e 〈Eµ,τ 〉 = 〈Eµ,τ 〉 = 24 MeV,ossia βe = 0.219 MeV−1, βe = 0.146 MeV−1 e βµ,τ = βµ,τ = 0.091 MeV−1.

2.2.2 Geometria di emissione

Nel seguito si fara uso del cosiddetto modello a bulbo per l’emissione di neu-trini [18]. Tale modello serve a semplificare la geometria del problema ed ebasato sulle seguenti assunzioni:

• i neutrini di tutti i sapori vengono emessi isotropicamente ed uniforme-mente dalla superficie di un’unica neutrino-sfera di raggio Rν ;

• tutti i punti a distanza r dal centro della stella di neutroni hanno lestesse proprieta (simmetria sferica);

• i neutrini vengono emessi dalla neutrino-sfera come autostati di sapore.

Tale modello e illustrato graficamente in Fig. 2.2. Data la simmetriasferica del modello a bulbo, fasci di neutrini con lo stesso angolo di emissionee con analoghe proprieta fisiche iniziali (energia, sapore, etc.), avranno lostesso tipo di evoluzione. La simmetria sferica di emissione si riduce aduna simmetria cilindrica lungo un qualunque asse radiale di osservazione, adesempio quello indicato in figura con z (asse polare).

Tutte le proprieta geometriche del fascio di neutrini possono essere defi-nite in termini della distanza r e dell’angolo di emissione ϑ0. Per esempio, itre angoli riportati in Fig. 2.2 sono collegati dalla seguente identita:

sinϑ

Rν

=sin Θ

l − l0=

sinϑ0

r, (2.8)


Neutron

StarP

Rν

Θ zϑ

ν

ϑ0

Figura 2.2: Modello a bulbo per l’emissione dei neutrini. La linea continuamostra un fascio di neutrini emesso dalla neutrino-sfera con angolo polare Θ. Talefascio interseca in P l’asse z formando un angolo ϑ. Un ipotetico osservatore in Pvede solo i neutrini che viaggiano entro il cono delimitato dalle linee tratteggiate.L’angolo di emissione e ϑ0 = ϑ+ Θ. Figura tratta da [18].

dove l − l0 = (r cosϑ − Rν cosϑ0) e la distanza totale di propagazione diun fascio di neutrini. Fissato un punto a distanza r, i fasci di neutrini sonoracchiusi in un cono di semi-apertura massima:

ϑmax = arcsin(Rν/r) . (2.9)

La densita numerica differenziale dnp di neutrini a distanza r, con impulsocompreso tra p e p + dp, risulta essere (c = 1):

dnp =jν(E) cosϑ0 R

2ν d(cos Θ) dφ

(l − l0)2, (2.10)

ove φ e l’angolo azimutale, jν(E) e il flusso numerico di neutrini emessi inuna qualunque direzione con energia E, R2

ν d(cos Θ) dφ e l’area differenzialesulla neutrino-sfera dalla quale sono emessi neutrini in direzione compresatra p e p + dp, mentre (l − l0)−2 tiene conto della diminuzione del flussodi neutrini con il quadrato della distanza. L’equazione (2.10), sfruttando ilfatto che (cosϑ0 Rν) dΘ = (l − l0) dϑ, puo essere riscritta come

dnp = jν(E)d(cosϑ)dφ (2.11)

con ϑ ∈ [0, ϑmax].

Il numero di neutrini con energia E emessi, nell’unita di tempo, dallaneutrino-sfera e:

jν(E)4πR2ν = 4πR2

ν

∫ 1

02πjν(E) cosϑ0 d(cosϑ0) . (2.12)


Figura 2.3: Flussi iniziali alla neutrino-sfera (r = 10 km), in unita arbitrarie,per i differenti sapori di neutrini (νe e νe in blu, νµ,τ e νµ,τ in rosso), in funzionedell’energia, nel modello di riferimento adottato.

Ovvero, in termini degli spettri di energia,

Lν〈E〉

ϕi(E) = 4πR2ν

∫ 1

02πjν(E) cosϑ0d cosϑ0 . (2.13)

Uguagliando i primi membri delle due precedenti equazioni si ha [18]:

jν(E) =Fν2π

ϕi(E)

〈E〉, (2.14)

con

Fν =Lν

2πR2ν

. (2.15)

Dalla (2.14) risulta che tutti i flussi numerici di neutrini sono proporziona-li a ϕi(E)/〈E〉. In Fig. 2.3 sono riportati i flussi iniziali per neutrini ed an-tineutrini, in unita arbitrarie (arbitrary units, a.u.), in funzione dell’energia.Si osservi che i flussi per νµ e ντ , cosı come gli spettri e le sezioni d’urto,sono formalmente gli stessi, poiche non c’e modo di distinguere νµ da ντ sia


alla sorgente che al rivelatore (entrambi i sapori sono soggetti alle stesse in-terazioni di corrente neutra, e solo a quelle). Per tale ragione questi sono,talvolta, indicati con νx e νx, ove x = µ, τ . Nei punti di uguaglianza tra glispettri, Eug ' 19 MeV per i neutrini e Eug ' 24 MeV per gli antineutrini (siveda Fig. 2.3), eventuali trasformazioni di sapore non hanno effetti osserva-bili. Confontando gli spettri di neutrini ed antineutrini e evidente, inoltre,la asimmetria tra νe e νe e la simmetria tra νx e νx.

Come gia anticipato, l’intensita di auto-interazione tra due neutrini e, ingenerale, funzione dell’angolo θpq formato tra gli impulsi dei neutrini inci-denti tramite un fattore (1− cosϑpq). L’ approssimazione di singolo angolo,adottata per semplicita nei calcoli numerici, consiste nel mediare tale fattoreangolare lungo l’asse polare (asse z in Fig. 2.2). In questo caso la densitanumerica effettiva per unita di volume e di energia per tutte le specie dineutrini diventa [18]:

n(r, E) = 2πD(r)jν(E) = FνD(r)ϕi(E)

〈E〉, (2.16)

ove

D(r) =1

2

1−√

1−(Rν

r

)22

. (2.17)

A grande raggio, n(r, E) decresce come ∼ r−4.

2.2.3 Profilo di densita

Gli effetti di materia sulle conversioni di sapore dipendono dal profilo didensita. Se si trascurano eventuali effetti generati dall’onda d’urto, il profilostatico di densita di neutrini in una supernova segue approssimativamenteuna legge di potenza del tipo [19]:

ρ(r) ' ρ0

(r

R

)−3

, (2.18)

ove r indica la distanza dal nucleo della supernova, espressa convenzional-mente in unita di raggi solari (R = 6.96× 1018 m).

In presenza di onde d’urto, previste dalle simulazioni di esplosione, ilprofilo di densita diventa una funzione del tempo. In Fig. 2.4, per t = 0, eillustrato il profilo di densita statico (2.18). L’onda d’urto, propagandosi avelocita supersonica, per t > 0 lascia dietro di se una zona a bassa densita.


Figura 2.4: Profili radiali della densita elettronica (λ =√

2GFNe) in istantidifferenti (t ≤ 0 s, t = 1, 2, 4, 8, 16 s). Il grafico superiore tiene conto solo dell’ondad’urto che si propaga in avanti. Nel grafico in basso e inclusa l’onda d’urto che sipropaga indietro. La parte tratteggiata delimita la zona in cui sono rilevanti glieffetti di materia. Figura tratta da [20].

Tale zona termina con un fronte ad alta densita, in prossimita del frontedell’onda d’urto, che poi si ricongiunge con il profilo statico. Studi recenti [21]hanno prospettato la possibilita che all’onda d’urto in avanti (forward) siaassociata un’onda d’urto di reazione la cui propagazione dovrebbe aver luogocon velocita inferiore ed in direzione opposta (reverse) rispetto alla prima.Il secondo grafico della Fig. 2.4 tiene conto della propagazione di questaulteriore onda d’urto. Nei calcoli numerici si e impiegato un potenziale dimateria analogo a quello illustrato in Fig. 2.4 (grafico in alto), scelto ad unistante rappresentativo (t = 5 s). In futuri studi si intende estendere i calcolia tempi arbitrari per esaminare l’effetto combinato delle auto-interazioni edell’onda d’urto.

Capitolo 3

Equazioni di evoluzione per duegenerazioni di neutrini

In questo capitolo sono ricavate le equazioni di evoluzione per i neutrini e gliantineutrini, tenendo conto degli effetti di materia e delle auto-interazioni.Mediante il formalismo della matrice densita introdotto per due generazionidi neutrini, tali equazioni saranno espresse in modo formalmente analogo aquelle che descrivono il moto di precessione di vettori di polarizzazione inpresenza di un campo magnetico. Sfruttando tale formalismo, inoltre, siricavera l’espressione esplicita per le probabilita di oscillazione in termini deivettori di polarizzazione.

3.1 Equazioni di evoluzione per i neutrini

Scrivendo l’equazione di Dirac dei neutrini nella base di Weyl, emerge chele conversioni di chiralita (νL → νR) hanno ampiezza proporzionale a mi/E.Per i neutrini, tipicamente, si hami E. Pertanto, ai fini della propagazione,e lecito trascurare tali conversioni e trattare i neutrini come se fossero par-ticelle scalari (senza momento angolare intrinseco). Identificando ν = νL eν = νR, l’equazione di evoluzione e del tipo di quella di Schroedinger [22]:

i∂

∂t|ψ〉 = H|ψ〉 , (3.1)

ove, nella base di sapore, |ψ〉 = ce|νe〉+ cµ|νµ〉+ cτ |ντ 〉, con c2e + c2

µ + c2τ = 1.

Inoltre, essendo i neutrini ultra-relativistici, t ' x e p ' E, ove con t si eindicato il tempo, con x lo spazio percorso, e con p l’impulso.

17

18CAPITOLO 3. EQUAZIONI DI EVOLUZIONE IN DUE GENERAZIONI

L’hamiltoniana H puo essere decomposta, in generale, nel modo seguente:

H = Hv +Hm +Hsi , (3.2)

ove Hv indica l’hamiltoniana nel vuoto (vacuum, v), Hm permette di analiz-zare gli effetti che la materia ordinaria (matter, m) ha sulla propagazione deineutrini, e Hsi e il termine di auto-interazione (self-interaction, si) che tieneconto delle interazioni neutrino-neutrino.

3.1.1 Propagazione nel vuoto

Indicando con Ei l’energia relativa a ciascun autostato di massa νi, perneutrini ultra-relativistici e valida la seguente approssimazione:

Ei =√p2 +m2

i ' p+m2i

2p, (3.3)

ove p e l’impulso del fascio. L’hamiltoniana nella base di massa (mass basis,mb) e semplicemente Hmb = diag(E1, E2, E3). Trascurando i termini pro-porzionali all’identita1, l’hamiltoniana nella base di sapore (flavor basis, fb)diventa:

Hfb = UHmbU+ = U

M2

2EU+ = U

−δm2

20 0

0 + δm2

20

0 0 ±∆m2

U+ . (3.4)

ove M2 e la matrice di massa definita mediante la (1.5). Si noti che, nellabase di sapore, l’hamiltoniana non e piu diagonale. Le transizioni di saporetra neutrini sono legate proprio alla non diagonalita dell’hamiltoniana.

Nel caso piu semplice, in cui si assuma l’esistenza di due famiglie dineutrini νe e νx (νx = νµ, ντ ), gli autostati di sapore sono espressi in funzionedegli autostati di massa nel modo seguente 2:(

νeνx

)=

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)(ν1

ν2

), (3.5)

1D’ora in avanti saranno trascurati tutti i termini proporzionali all’identita presentinell’hamiltoniana. Infatti questi danno luogo ad una fase che, in quanto identica perciascun neutrino, e inosservabile [22].

2Il limite di due generazioni di neutrini puo essere ottenuto ponendo δm2 = 0, oppureassumendo θ13 = 0. Questi due metodi, peraltro, non sono fra loro equivalenti.

3.1. EQUAZIONI DI EVOLUZIONE PER I NEUTRINI 19

ove, ai nostri fini, vale l’identificazione θ = θ13. In tal caso, l’hamiltoniananella base di sapore diventa:

Hfb =

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)(−∆m2

4E0

0 +∆m2

4E

)(cos θ − sin θsin θ cos θ

). (3.6)

L’operatore di evoluzione S(x, 0) consente di conoscere il generico statoal tempo t ' x, noto quello all’istante iniziale t = 0:

|ψ〉x = S(x, 0)|ψ〉0 . (3.7)

Essendo Hfb nel vuoto indipendente dal tempo, banalmente si ottiene peresponenziazione S(x, 0) = e−iHfbx.

Se si calcola l’operatore di evoluzione esplicitamente nel limite di duegenerazioni di neutrini e si definisce |ψ〉0 = |νe〉 = (1, 0)T e |ψ〉x = |νx〉 =(0, 1)T (con l’apice T si indica la matrice trasposta), la probabilita che visia una transizione da uno stato iniziale di neutrino elettronico ad uno statofinale νx e:

P (νe → νx) = | x〈ψ|S(x, 0)|ψ〉0 |2 = sin2 2θ sin2

(∆m2x

4E

). (3.8)

La probabilita di transizione da un sapore all’altro oscilla, nel vuoto, conun’ampiezza pari a sin2 2θ e con frequenza proporzionale a ∆m2/E.

3.1.2 Propagazione in presenza di materia

I neutrini che si propagano in un mezzo materiale possono subire interazionicon i fermioni costituenti il mezzo stesso con una frequenza (numero di intera-zioni nell’unita di tempo) proporzionale a G2

F , ove GF indica la costante diFermi. Un contributo non banale alle fasi delle funzioni d’onda dei neutrinideriva dalle diffusioni in avanti, cioe da quei neutrini che, dopo l’urto, sitrovano nella direzione iniziale. L’ampiezza di tale processo, come sara chiarotra breve, e proporzionale a GF .

L’hamiltoniana nella base di sapore, oltre al termine gia presente nel vuo-to, contiene un termine di corrente neutra (neutral current, NC ) HNC che,essendo diagonale, non contribuisce alle oscillazioni di neutrini. Hfb possiedeanche un termine di corrente carica (charged current, CC ) HCC , ottenutoconsiderando diffusioni del tipo νee → νee. Questo termine e caratteristico


dei neutrini elettronici, mentre non compare per νµ e ντ , poiche la materiaordinaria contiene e± ma non µ± o τ±. L’hamiltoniana effettiva di Fermi,dopo aver applicato il teorema di Fierz, ha la seguente espressione [22]:

HCC =GF√

2eγµ(1− γ5)e νeγµ(1− γ5)νe , (3.9)

ove e e νe indicano i campi spinoriali rispettivamente associati ad elettroni eneutrini, mentre e e νe sono i campi relativi alle anti-particelle.

La materia ordinaria, con buona approssimazione, non e polarizzata e glielettroni sono non relativistici rispetto ai neutrini: e ' (ξ, 0)T . Pertantonella rappresentazione di Dirac si ha:

eγµ(1− γ5)e ' (ξ+ξ,−→0 ) ' Ne(x)δµ0 , (3.10)

ove Ne(x) indica la densita di elettroni. Il contributo dinamico, da sommareal termine cinetico dato dalla (3.4), e pertanto [22]:

Hm = diag(λ(x), 0, 0) , (3.11)

con λ(x) =√

2GFNe(x). Per gli antineutrini si ha un risultato analogo macon segno opposto: Ne → −Ne.

Nel caso semplificato di due generazioni, l’hamiltoniana completa, riscrit-ta in modo da avere traccia nulla, e:

Hfb = Hv +Hm =∆m2

4E

(A

∆m2 − cos 2θ sin 2θsin 2θ − A

∆m2 + cos 2θ

), (3.12)

con A = 2λE. Pertanto, nel caso Ne = cost, la formula di oscillazione (3.8)puo essere ottenuta nuovamente, dopo aver diagonalizzato la matrice di Hfb

ed aver sostituito nella (3.8) a ∆m2 → ∆m2:

∆m2 = ∆m2

√(cos 2θ − A

∆m2

)2

+ sin2 2θ (3.13)

e a θ → θ, definito in modo che:

sin 2θ =sin 2θ√

(cos 2θ − A∆m2 )2 + sin2 2θ

, (3.14)

cos 2θ =cos 2θ − A

∆m2√(cos 2θ − A

∆m2 )2 + sin2 2θ. (3.15)

3.1. EQUAZIONI DI EVOLUZIONE PER I NEUTRINI 21

In questo modo si ottiene, per A/∆m2 = cos 2θ, un effetto di oscillazionerisonante nella materia (sin2 2θ = 1, cioe massima ampiezza di oscillazione)denominato effetto Mikheev-Smirnov-Wolfestein (MSW) [23]. Si noti cheθ e ∆m2 dipendono entrambi dall’energia, e sono diversi per neutrini edantineutrini (A→ −A).

3.1.3 Propagazione in presenza di un fondo di neutrini

Nel nucleo di una supernova e presente un gas di neutrini estemamente den-so. Acquisiscono, pertanto, rilevanza anche collisioni di neutrini su neutrini(tramite correnti neutre).

Ci si aspetta un termine di auto-interazione simile a quello presente nella(3.11) con la sostituzione Ne → (Nν+Nν), ove Nν indica la densita per unitadi volume cosı definita:

Nν = Nνe +Nνµ +Nντ =∫dp (ne + nµ + nτ ) , (3.16)

con un’analoga definizione per Nν , associata agli antineutrini. Il termine diauto-interazione nell’hamiltoniana e:

µ(x) =√

2GF (N(x) +N(x)) . (3.17)

Se si tiene conto anche dell’angolo θpq formato tra gli impulsi p e q deineutrini in collisione, il termine di auto-interazione completo diventa: µ(1−cos θpq). Per una trattazione completa e rigorosa si rimanda a [24].

Se un νe, con impulso p, collide con νµ o ντ con impulso q, integrando sututti i possibili impulsi q l’hamiltoniana diventa:

Hννee =

µ

N +N

∫dq (2ne(q) + nµ(q) + nτ (q))(1− cos θpq) . (3.18)

Il fattore 2, nel primo addendo, tiene conto della possibile collisione di unνe su un altro νe con impulsi conservati o scambiati, dopo l’urto, rispetto aquelli iniziali. Analogamente per Hνν

µµ e Hννττ si trova il fattore 2 accanto alle

corrispondenti densita di neutrini nµ e nτ .

Nel caso di sole due generazioni di neutrini la (3.18) assume la formaseguente:

Hννee =

µ

N +N

∫dq [2ne(q) + nx(q)](1− cos θpq) , (3.19)

Hννxx si ricava dalla precedente scambiando ne con nx. Al fine di ottenere una

notazione piu compatta per l’hamiltoniana completa di auto-interazione, sirende necessaria l’introduzione della matrice densita.


3.2 Matrice densita per due famiglie di neu-

trini

Dopo aver introdotto la matrice densita, a partire dall’equazione di Liouvillesi ricavano le equazioni di evoluzione di neutrini ed antineutrini in terminiformalmente analoghi a quelle di evoluzione per vettori di polarizzazione(equazioni di Bloch).

3.2.1 Matrice densita

Nella base di sapore lo stato generico e espresso come:

|ψi〉 = ai|νe〉+ bi|νx〉 , (3.20)

con |ai|2 + |bi|2 = 1. Per un insieme composto da N neutrini, la matricerappresentativa dell’operatore densita nella base di sapore e:

ρ =1

N

∑i

|ψi〉〈ψi| =1

N

∑i

(|ai|2 aib

∗i

bia∗i |bi|2

). (3.21)

L’operatore densita gode delle seguenti proprieta:

• tr(ρ) = 1,

• ρ e hermitiano,

• ρ e definito positivo.

3.2.2 Hamiltoniana di auto-interazione

L’hamiltoniana completa Hνν di auto-interazione si ottiene riscrivendo Hννee ,

definita mediante la (3.19), e Hννxx in termini della matrice densita. Infatti

e possibile riesprimere le densita dei singoli sapori in termini della densitatotale di neutrini, nq = ne(q) +nx(q), con impulso compreso tra q e q + dq,ponendo:

ne(q) =nq

N

∑i

|ai|2 , (3.22)

nx(q) =nq

N

∑i

|bi|2 , (3.23)

3.2. MATRICE DENSITA PER DUE FAMIGLIE DI NEUTRINI 23

ove i termini che moltiplicano nq rappresentano le rispettive probabilita chesi possano avere νe o νx. Pantaleone [26] osservo che, al fine di ripristinare lanecessaria invarianza delle correnti neutre sotto U(2), e necessario includerenell’hamiltoniana termini relativi a collisioni con scambio di impulsi tra neu-trini con sapori differenti. Questo implica che si prendano in considerazione,nella matrice densita, i termini fuori dalla diagonale. Pertanto, trascurandola parte proporzionale all’identita ed introducendo una matrice densita perciascun impulso, l’hamiltoniana completa di auto-interazione per i neutrinidiventa:

Hsi =µ

N +N

∫dq nqρ(q)(1− cos θpq) . (3.24)

3.2.3 Equazioni di Liouville e di Bloch

Poiche ogni stato obbedisce alla (3.1) con H = Hfb, moltiplicando la (3.1) per〈ψi| e sottraendo a questa la complessa coniugata, a sua volta moltiplicataper |ψi〉, si ottiene l’equazione di Liouville [25]:

id

dtρ = [H, ρ] . (3.25)

Nel caso di due generazioni di neutrini, qualunque sia la base impiegata,vengono utilizzate matrici 2× 2, pertanto e conveniente una decomposizionemediante le matrici di Pauli (generatori dell’algebra associata ad SU(2)):

σ1 =

(0 11 0

)σ2 =

(0 −ii 0

)σ3 =

(1 00 −1

). (3.26)

Le matrici di Pauli godono delle ben note proprieta:

• σi = σ+i ,

• tr(σi) = 0,

• σ21 + σ2

2 + σ23 = 1,

• [σi, σj] = 2iεijkσk,

• σi, σj = 2δij1,

ove 1 indica la matrice identita 2×2, mentre εijk (con i, j, k = 1, 2, 3) sono lecomponenti del tensore completamente antisimmetrico [costanti di strutturadi SU(2)], definito in modo che ε123 = 1.


Una generica matrice hermitiana puo essere decomposta facendo uso dellematrici di Pauli:

M =

(Mee Mex

Mxe Mxx

)=

1

2

(m0 +mz mx − imy

mx + imy m0 −mz

)

=1

2(m01 + m · σ) , (3.27)

ove m0 = tr(M), σ = (σ1, σ2, σ3), e m e un vettore con componenti reali:

m =

mx

my

mz

=

2 Re(Mxe)2 Im(Mxe)Mee −Mxx

. (3.28)

Assegnati due vettori m e n di questo tipo, si definiscono le note operazioni:

• prodotto scalare: m · n = δijminj;

• prodotto vettoriale: (m× n)i = εijkmjnk.

Sfruttando la (3.27) e le operazioni appena definite, si ricava un’utile pro-prieta: assegnate due matrici M e N , il loro commutatore e [M,N ] =i2σ · (m× n).

Facendo riferimento alla (3.12) e, definendo ωE = ∆m2/2E, se A = 0 siottiene dalla (3.27) [27]:

Hfb =ωE2

B · σ , (3.29)

ove

B = (sin 2θ, 0,− cos 2θ)T , (3.30)

e θ = θ13. Si osservi che il passaggio da gerarchia normale a gerarchia in-versa puo essere anche ottenuto con la sostituzione sin θ → cos θ, lasciandoinvariato il segno di ∆m2; nel seguito si fara uso di questa convenzione. Per-tanto, per piccoli θ, il vettore B e allineato con l’asse z in gerarchia inversa,e anti-allineato con lo stesso asse in gerarchia normale.

Se A 6= 0, poiche Hfb si ottiene da Hv mediante la sostituzione cos 2θ →− A

∆m2 + cos 2θ, si ricava:

ωEB→ ωEB + λz , (3.31)

con z = (0, 0, 1)T e λ =√

2GFNe.

3.2. MATRICE DENSITA PER DUE FAMIGLIE DI NEUTRINI 25

A sua volta la matrice densita puo essere decomposta nel seguente mo-do [27]:

ρ =1

2(P01 + P · σ) , (3.32)

con P0 = 1 in modo da garantire che tr(ρ) = 1, e

P =

ρex + ρxei(ρex − ρxe)ρee − ρxx

. (3.33)

Si osservi che |P| = 1. Il vettore P e definito di polarizzazione, per motiviche diventeranno presto evidenti.

L’equazione di Liouville (3.25) puo essere riscritta in termini vettoriali,in modo da ottenere le cosiddette equazioni di Bloch:

P0 = 0 , (3.34)

P = (ωEB + λz)×P , (3.35)

ove con il punto e indicata la derivata rispetto al tempo.

Trascurando il termine di materia, la (3.35) descrive appunto la preces-sione di un vettore di polarizzazione P (definito nello spazio di sapore), inun campo magnetico effettivo B, con frequenza di precessione ωE [25], comerappresentato in Fig. 3.1. Durante il moto, la proiezione di P su B restacostante. Essendo P interpretabile come un momento angolare, ωEP giocail ruolo di momento di dipolo magnetico associato a P, con ωE rapportogiromagnetico.

In presenza di antineutrini si introduce l’operatore ρ ed il rispettivo vet-tore di polarizzazione P. Tuttavia la convenzione di Raffelt e Sigl [24, 29],utilizzata in questa tesi, comporta che per gli antineutrini venga usata ρ∗ in-vece di ρ. Questo implica un cambio di segno nella seconda componente delvettore P, definito analogamente alla (3.33). Quindi l’equazione di evoluzioneper gli antineutrini e:

P = (−ωEB + λz)×P , (3.36)

ossia neutrini e antineutrini hanno un moto di precessione in senso opposto,come indicato in Fig. 3.1.


z z

B BB B

P Pω E -ω E

2 θ 2 θ

x x

y y

Figura 3.1: Rappresentazione geometrica delle equazioni di Bloch. Precessionedei vettori di polarizzazione P (neutrini, a sinistra) e P (antineutrini, a destra)nel campo magnetico B, rispettivamente con frequenza ωE e −ωE . I vettori dipolarizzazione rappresentati indicano le seguenti condizioni iniziali: ν = νe e ν =νe. Il campo magnetico, in figura, si riferisce al caso di gerarchia inversa.

Tenendo conto della presenza di neutrini ed antineutrini, ed includendole auto-interazioni, per ciascun impulso p, si ottiene l’equazione completa dievoluzione per i vettori di polarizzazione Pp in due generazioni:

∂tPp =ωpB + λz +

µ

N + N

∫dq (1− cos θpq)(nqPq − nqPq)

×Pp ,

(3.37)e analogamente per gli antineutrini:

∂tPp =−ωpB + λz +

µ

N + N

∫dq (1− cos θpq)(nqPq − nqPq)

×Pp .

(3.38)

D’ora in avanti la matrice densita sara, per comodita, ridefinita in modoche, per ciascun impulso p, la sua traccia sia uguale a np. La (3.32), pertanto,diventa:

ρp =np

2(P01 + Pp · σ) . (3.39)

3.3. PROBABILITA DI OSCILLAZIONE 27

Questa convenzione non modifica la forma delle equazioni di evoluzione ot-tenute.

In definitiva, e comodo descrivere il sistema oggetto di studio mediante ilformalismo della matrice densita. In due generazioni di neutrini questo per-mette, nel vuoto, di ottenere delle equazioni di Bloch formalmente analoghe aquelle che descrivono la precessione di vettori di polarizzazione in un campomagnetico. Tale precessione avviene in senso opposto per neutrini ed an-tineutrini. Il termine di materia da luogo ad una precessione rispetto all’assez con frequenza λ, mentre quello di auto-interazione introduce nelle equazionila dipendenza dall’angolo formato tra gli impulsi dei neutrini che collidono.

3.3 Probabilita di oscillazione

Una grandezza molto importante per la comprensione del comportamentodel sistema oggetto di studio e la probabilita di oscillazione di un neutrinoda un sapore all’altro, Pαβ = P (να → νβ).

Per t = 0, la matrice densita, per ciacun impulso p, assume formadiagonale :

ρp(0) = diag(nie, nix) , (3.40)

ove nie e nix sono le densita iniziali di νe e νx. La densita di νe al tempo t edunque:

ne(t) = niePee(t) + nixPex(t) = niePee(t) + nix(1− Pee(t)) . (3.41)

Esplicitando la precedente rispetto a Pee e sfruttando la (3.39), si trova che

Pee(t) =1

2

(1 +

P3(t)

P3(0)

). (3.42)

Questa equazione e valida in generale, cioe sia in presenza che in assenza diauto-interazioni.

In assenza di auto-interazioni, come e noto, la probabilita Pee non dipendedalle condizioni iniziali: le equazioni di evoluzione sono lineari, e la funzionePee(t) non dipende dallo specifico valore di nie (o di nix = n−nie). In presenzadi auto-interazioni, invece, le equazioni diventano non lineari (contenendoforme quadratiche nella densita di neutrini) e, quindi, la funzione Pee(t) ac-quista una dipendenza da nie. Ove non diversamente specificato, si intendeche Pee(t) e calcolata assumendo come condizioni iniziali quelle del modellodi supernova di riferimento descritto nel Capitolo 2.

Capitolo 4

Oscillazioni sincronizzate ebipolari in due generazioni

Le interazioni neutrino-neutrino, oggetto di questo capitolo, danno luogo aconversioni collettive di sapore caratterizzate da un comportamento simileper neutrini ed antineutrini, indipendentemente dall’energia. Esse si mani-festano sotto forma di due tipi di oscillazioni, denominate sincronizzate ebipolari. Queste ultime, in particolare, vengono dapprima introdotte in uncaso ideale di simmetria tra densita di neutrini ed antineutrini. Poi sono trat-tate nel caso realistico di asimmetria tra neutrini ed antineutrini, con coeffi-ciente di auto-interazione variabile adiabaticamente. E’ mostrata l’analogiadelle equazioni di evoluzione con quelle di un pendolo giroscopico. Sfruttan-do questa analogia, e possibile studiare la transizione da un regime all’altroin una supernova.

4.1 Oscillazioni sincronizzate

Si consideri dapprima il caso semplificato in cui esistano esclusivamenteneutrini (N = 0). Facendo l’ipotesi semplificativa di isotropia 1:

〈1− cos θpq〉 = 1 , (4.1)

l’equazione del moto (3.37) diventa:

∂tPp = (ωpB + µJ + λz)×Pp , (4.2)

1Approssimazione assunta, d’ora in avanti, ove non diversamente specificato.

29

30 CAPITOLO 4. OSCILLAZIONI SINCRONIZZATE E BIPOLARI (2ν)

BBω syncsync

JJωω prec

PpP

Figura 4.1: Moto di precessione dei singoli Pp intorno a J con frequenza ωprec. Ilvettore J, a sua volta, ruota intorno a B con frequenza ωsync.

ove il vettore di polarizzazione totale J e:

J =1

N +N

∫dq nqPq . (4.3)

L’evoluzione di Pp e nota risolvendo la (4.2) e tenendo conto che, all’istanteiniziale i, il vettore di polarizzazione assume l’espressione seguente:

Pip =

ne − nxn

z . (4.4)

Se le auto-interazioni sono dominanti (µ|J| ωp, λ), si ricava il primoesempio di comportamento collettivo. Infatti ciascun Pp ha un moto diprecessione, intorno al vettore J, con frequenza ωprec = µ|J|:

∂tPp ' ωprec J×Pp , (4.5)

ove J = J/|J|. Dalla precedente si ricava che la proiezione di Pp su J econservata, mentre, essendoci una veloce precessione, le componenti trasversedanno contributo medio nullo.

Il termine dominante di auto-interazione accoppia i singoli modi analoga-mente al caso degli spin con forti campi magnetici interni [28]. Dunque, il

4.1. OSCILLAZIONI SINCRONIZZATE 31

vettore risultante J, a sua volta, ha un moto di precessione intorno a B, comerappresentato in Fig. 4.1. L’equazione di evoluzione di J si ricava dividendoambo i membri della (4.2) per (N + N) ed integrando su tutti i modi p,ciascuno con peso np:

∂tJ = B×W + λz× J , (4.6)

ove

W =1

N +N

∫dp ωpnpPp . (4.7)

Se le auto-interazioni sono dominanti e si trascura il termine di materia, siricava, dalla (4.6), che J ha un moto di precessione intorno a B con unafrequenza cosiddetta di sincronizzazione (synchronization, sync) ωsync [28]:

∂tJ ' ωsyncB× J . (4.8)

ωsync e ricavata tenendo conto che le componenti di J trasverse rispetto alvettore W danno contributo medio nullo:

ωsync =Wi · Ji

|J|. (4.9)

Ji, cioe J all’istante iniziale, si ottiene sostituendo la (4.4) nella (4.3), mentreWi si ricava inserendo la (4.4) nella (4.7). Si noti che ωsync gioca il ruolo dirapporto giromagnetico nel caso dell’analogia con la precessione degli spin, eche l’evoluzione di J e non dissipativa: |J| = cost.

Si consideri ora il caso in cui ci siano sia ν che ν. Le equazioni (3.37) e(3.38) assumono la forma seguente:

∂tPp = (+ωpB + λz + µD)×Pp , (4.10)

∂tPp = (−ωpB + λz + µD)×Pp , (4.11)

ove si e introdotto il vettore ausiliario

D = J− J . (4.12)

Il vettore J si esprime in forma analoga a J, con le sostituzioni np → np ePp → Pp.

Procedendo analogamente a quanto fatto per i neutrini, le equazioni dievoluzione per i vettori totali di polarizzazione, J e J, sono:

∂tJ = +B×W + (µD + λz)× J , (4.13)

∂tJ = −B×W + (µD + λz)× J , (4.14)


con W ottenuto sostituendo nella (4.7) np → np e Pp → Pp.

Ora il vettore D assume un ruolo analogo a quello che ha J nell’ipotesidi esistenza di soli neutrini. Infatti, nel caso di auto-interazioni dominantie termine di materia trascurabile, e D che ha un moto di precessione confrequenza ωsync intorno a B, mentre J e J ruotano intorno a D. L’equazioneper D si ottiene sottraendo membro a membro le (4.13) e (4.14). Se ωp, λµ, si trova l’equazione che descrive la precessione di D:

∂tD = ωsyncB×D , (4.15)

ove la frequenza di sincronizzazione ωsync ha adesso la seguente espressione:

ωsync =(Wi + W

i) ·Di

|D|, (4.16)

e Di si ricava dalla (4.12) sostituendo Ji e Ji. La precessione dei vettori

totali di polarizzazione intorno a D e descritta da:

∂tJ = ωprecD× J , (4.17)

∂tJ = ωprecD× J , (4.18)

ossia i vettori di polarizzazione totale per neutrini ed antineutrini hanno unmoto di precessione con una frequenza comune ωprec data da:

ωprec = µ|D| . (4.19)

Nel regime sincronizzato, neutrini ed antineutrini, di qualunque energia, sicomportano allo stesso modo per effetto delle forti auto-interazioni. Per talemotivo, il loro comportamento e descritto dai vettori totali di polarizzazioneJ e J che hanno un moto di precessione con frequenza ωprec intorno a D.Quest’ultimo, a sua volta, ruota intorno a B con frequenza ωsync. Si noti ladifferenza con le ordinarie oscillazioni di neutrini nella materia (Sez. 3.1.2),ove il comportamento non e affatto collettivo ed e differente per neutrini edantineutrini.

4.2 Oscillazioni bipolari in ipotesi di simme-

tria tra neutrini e antineutrini

Dopo aver introdotto le grandezze fondamentali per la descrizione del si-stema, si mostra l’analogia formale tra le oscillazioni bipolari ed un pendoloclassico.

4.2. OSCILLAZIONI BIPOLARI IN IPOTESI DI SIMMETRIA 33

Figura 4.2: Oscillazioni bipolari. Grafico di P3 in funzione della distanza, inipotesi di gerarchia inversa con θ = 0.01 rad, ω = 0.5 km−1 e µ = 10 km−1,in assenza di materia. In questo caso (simmetria neutrini-antineutrini) P3 e P 3

coincidono.

4.2.1 Equazioni di evoluzione dei vettori caratteristicied energia del sistema

Si consideri dapprima un caso semplificato in cui il sistema presenti la stessadensita di neutrini ed antineutrini, ad una fissata energia. Nell’ipotesi che ilsistema sia inizialmente composto da νe e νe in uguale misura (Pi = (0, 0, 1)T

e Pi

= (0, 0, 1)T ), in Fig. 4.2, si mostra la componente P3 = P 3 in funzionedella distanza. La dominanza del termine di auto-interazione porta a con-versioni di sapore simultanee per neutrini ed antineutrini. Questo compor-tamento e la sua periodicita si spiegano a partire dalle equazioni (4.10) e(4.11). Infatti inizialmente P e P coincidono (Di = 0), poi iniziano a ruotarein direzioni opposte dando luogo a D 6= 0. Se il temine di auto-interazionee dominante, P e P hanno un moto di precessione intorno a D con la stes-sa frequenza µ. Questo determina, periodicamente, complete conversioni disapore in gerarchia inversa (come mostrato in Fig. 4.2) e piccole oscillazioni


in gerarchia normale. La ragione per cui non e sempre possibile avere con-versioni complete di sapore (corrispondenti a P3 = −1) sara chiarita nelprossimo paragrafo mediante l’analogia con il pendolo classico. A tal fine eutile introdurre il vettore ausiliario

Q = S− ω

µB , (4.20)

con S = P + P. Nel limite ω/µ → 0 l’evoluzione di Q e quella di D sonodescritte dalle seguenti equazioni:

∂tQ = µD×Q , (4.21)

∂tD = ωB×Q . (4.22)

Si noti che |Q| = cost, mentre |D| non e conservato.

Una grandezza importante legata a questi vettori e l’energia totale delsistema che, nel caso piu generale, e cosı definita:

Etot = Eν + Eν =∫

dp [tr(ρpHp) + tr(ρpHp)] . (4.23)

Nel calcolo dell’energia totale, e necessario includere un fattore 12

davanti altermine di auto-interazione per evitare un doppio conteggio (infatti questotermine e simmetrico rispetto allo scambio dei due impulsi). L’energia totalein funzione dei due vettori ausiliari D e Q, a fissato impulso, risulta essere:

Etot =1

2

(ωB ·Q +

µ

2D2)

=1

2

(ωB ·Q +

1

2µ

|Q|2

|Q|2

), (4.24)

ove si e utilizzata l’identita:

D =1

µ

Q× Q

|Q|2, (4.25)

che si ricava sostituendo la (4.21) nel prodotto vettoriale Q × Q ed esplici-tando l’uguaglianza ottenuta rispetto a D.

4.2.2 Analogia con il pendolo classico

Si supponga di avere una massa m all’estremita di un braccio di lunghezzal sotto l’azione del campo gravitazionale terrestre. La lagrangiana L delsistema e:

L(ϕ, ϕ) =ml2ϕ2

2+mgl cosϕ , (4.26)


ove la coordinata generalizzata ϕ indica l’angolo di scostamento del bracciodalla verticale e g e il modulo dell’accelerazione gravitazionale. Il momentogeneralizzato si definisce derivando L rispetto a ϕ: pϕ = ml2ϕ. In tal modo, epossibile ricavare le equazioni che regolano il moto del pendolo nel formalismohamiltoniano:

ϕ =∂H

∂pϕ=

pϕml2

, (4.27)

pϕ = −∂H∂ϕ

= −mgl sinϕ , (4.28)

ove

H(ϕ, pϕ) =p2ϕ

2ml2−mgl cosϕ . (4.29)

Grandezza caratteristica del pendolo e il suo periodo, pari a quattro volteil tempo impiegato per andare da 0 a ϕmax, angolo di massimo scostamentodalla verticale:

T = 2

√l

g

∫ ϕmax

0

dϕ√sin2 ϕmax

2− sin2 ϕ

2

. (4.30)

Nel limite di piccole oscillazioni (sinϕmax/2 ≈ ϕmax/2 1) vale la formulaclassica:

T = 2π

√l

g

(1 +

ϕ2max

16

)≈ 2π

Ω, (4.31)

ove Ω =√g/l. Per grandi oscillazioni (|ϕmax| prossimo a π) si ha invece [30]:

T ' 4

Ωln

(4

cos ϕmax

2

). (4.32)

Questa espressione e ovviamente divergente per ϕmax = ±π (pendolo inver-tito).

Riguardo al sistema oggetto di studio, il vettore ausiliario Q, sotto l’azionedel campo B, ha un comportamento analogo a quello di un pendolo. Infatti,tenendo conto che in gerarchia normale il vettore Q, all’istante iniziale, giacenel piano (x, z):

Qi = Q

(− ω

µQsin 2θ, 0,

1

Q(2 +

ω

µcos 2θ)

)T, (4.33)

ove Q = |Qi| = 2+ω/µ+O(θ2). Considerando l’equazione di evoluzione di Q,si ricava che esso continua ad evolvere nello stesso piano (Q = 0). Analogo


e il comportamento di Q in gerarchia inversa. In questo caso, all’istanteiniziale, tale vettore assume l’espressione:

Qi = Q

(− ω

µQsin 2θ, 0,

1

Q(2− ω

µcos 2θ)

)T. (4.34)

Pertanto e utile parametrizzare Q mediante l’angolo ϕ che questo forma conl’asse z: Q = (sinϕ, 0, cosϕ).

Introducendo la variabile α = ϕ + 2θ, la (4.24), in gerarchia normale edin funzione delle variabili coniugate α e pα = α/µ = |D| = D, diventa:

H(α, pα) = −ωQ cosα +µp2

α

2. (4.35)

In tal modo si ottengono le equazioni di Hamilton che regolano il moto delsistema:

α = µD , (4.36)

pα = −ωQ sinα . (4.37)

Si osservi che tali equazioni coincidono con le (4.27) e (4.28) se si effettuanole sostituzioni:

1

µ→ ml2 , (4.38)

ωQ→ mgl , (4.39)

ωµQ→ g

l. (4.40)

E’ possibile, dunque, ricondurre lo studio delle oscillazioni bipolari all’analisidelle condizioni di equilibrio di un pendolo.

In gerarchia normale, nell’ipotesi che θ = θ13 sia piccolo, dalla (4.33)si ricava che Qi forma un angolo 2ωθ/µQ con l’asse z, mentre B forma unangolo 2θ con −z. Essendo l’energia potenziale minima, il pendolo (Q) oscillasimmetricamente rispetto a −B con angolo massimo pari a quello formato traB e Q (θmax = θBQ). Si hanno pertanto esclusivamente piccole oscillazioni

con periodo pari a T = 2π/Ω ' 2π/√µωQ.

In gerarchia inversa dalla (4.34) si evince che Qi forma un angolo−2ωθ/µQcon l’asse z, mentre B forma, con lo stesso asse, un angolo 2θ. Se θ e piccolo,cioe Qi ' (2θ, 0, 2− ω/µ)T , si presentano due possibilita:

• 2− ω/µ < 0: Qi e B sono anti-allineati e, come in gerarchia normale,hanno luogo piccole oscillazioni;


Figura 4.3: Oscillazioni bipolari in ipotesi di simmetria. Grafico di P (νe → νe) =P (νe → νe) in funzione della distanza per diversi valori di θ = θ13 (θ = 10−2 radin verde, θ = 10−3 rad in rosso e θ = 10−5 rad in blu). In ipotesi di gerarchiainvertita e di assenza di materia si e assunto µ = 10 km−1, ω = 0.5 km−1. Ilperiodo delle oscillazioni bipolari aumenta al decrescere di θ.

• 2−ω/µ > 0 (ossia µ molto grande): B e Qi sono allineati. In tal caso,l’energia potenziale e vicina al massimo, e l’evoluzione del sistema versouna condizione di equilibrio da luogo alle oscillazioni bipolari.

Il pendolo, infatti, si trova in una posizione di equilibrio instabile con

θmax = 2θ

(1 +

ω

µQ

). (4.41)

Il suo periodo, sfruttando la (4.32), diventa:

T ' − 4

Ωln

[1

4θ

(1 +

ω

µQ

)]. (4.42)

Si osservi che il periodo, data la dipendenza caratteristica da − ln θ, aumen-


ta al decrescere di θ, come mostrato in Fig. 4.3. Prendendo approssimativa-mente Q ' 2, dalla Fig. 4.3 si osserva che il primo minimo delle probabilita,al variare di θ13, cade in corrispondenza di T/4.

Il risultato ottenuto e valido solo se il sistema inizialmente e composto daνe e νe; viceversa, se il sistema fosse stato costituito da νµ e νµ, ci sarebberostate grandi conversioni di sapore in gerarchia normale. In generale, il casoinstabile si verifica quando l’insieme iniziale e principalmente costituito dalsapore composto dall’autostato di massa piu pesante [29]. Nonostante taliconversioni descrivano un passaggio di un ugual numero di νe e νe in νµ e νµ,resta conservato il numero leptonico νe− νe. Si tratta, infatti, di un processodi coppia del tipo νeνe → νµνµ. Anche nel caso asimmetrico che, come inseguito sara approfondito, si realizza nelle supernovae, il numero leptoniconetto, esprimibile come (D ·B), e conservato.

Le oscillazioni bipolari, quindi, danno luogo a conversioni simultanee e pe-riodiche di neutrini ed antineutrini, con uguale frequenza. Infatti il compor-tamento del sistema e descritto da una combinazione lineare (Q) dei vettoridi polarizzazione totale associati a neutrini ed antineutrini.

4.3 Effetti di materia e sistema di riferimento

corotante

Per generiche condizioni iniziali, il termine di materia introduce una preces-sione di P e P intorno a z, con frequenza λ. E’ comodo fare uso di unatrasformazione di coordinate in modo da portarsi nel cosiddetto sistema diriferimento corotante [18, 31], che ruota, cioe, con velocita angolare λ rispet-to a z. L’importanza di tale sistema e legata al fatto che, in esso, la derivatarispetto al tempo acquisisce un fattore −λz× che cancella, nelle equazioni dievoluzione, il termine di materia, mentre gli altri termini restano formalmenteinvariati e anche la probabilita di oscillazione resta la stessa. Nel sistemacorotante la terza componente di ogni vettore e immutata. Per esempio, ilcampo magnetico diventa:

B′(t) = (sin 2θ cosλt,− sin 2θ sinλt,± cos 2θ)T , (4.43)

cioe le componenti x e y variano periodicamente con frequenza λ. Nel caso digrande frequenza λ, tuttavia, B′ resta orientato lungo l’asse z e le componentitrasverse danno contributo medio nullo.

4.3. EFFETTI DI MATERIA E SISTEMA COROTANTE 39

Figura 4.4: Effetto di materia sul periodo delle oscillazioni bipolari nel caso sim-metrico. Grafico di P3 = P3 in funzione della distanza al variare del potenzialedi materia (λ = 102 km−1 in blu, λ = 103 km−1 in rosso, λ = 1.5 · 103 km−1 inverde). La gerarchia e invertita con θ = θ13 = 0.01 rad, ω = 0.5 km−1 e µ = 10km−1. Il periodo delle oscillazioni bipolari aumenta al crescere di λ.

Definendo Q′ come in (4.20):

Q′ = µD′ ×Q′ − ω

µB′ , (4.44)

si ha ora |Q′| 6= cost. In generale, se λ ω, µ si verifica una situazioneanaloga a quella di un pendolo soggetto ad una perturbazione ad alta fre-quenza. Se il pendolo si trova in una posizione di equilibrio stabile, restain tale posizione, sebbene sia soggetto a piccole oscillazioni. Se, invece, ein equilibrio instabile, la sua posizione puo parzialmente stabilizzarsi sottoopportune condizioni [32, 33], come sara chiarito in seguito. Tale stabiliz-zazione estende logaritmicamente il periodo delle oscillazioni bipolari che, nellimite di grandi angoli, diventa [29]:

T = − 4

Ωln

[1

4θ

(1 +

ω2

Ω2

)]+

2

Ωln

(1 +

λ2

Ω2

). (4.45)


Al crescere di λ aumenta, dunque, il periodo T di oscillazione. Questo com-portamento e illustrato in Fig. 4.4 ove si e riportata, al variare di λ, la terzacomponente di P e P. Valutando T (λ), con θ fissato, si nota che i minimi diP3 e P 3 cadono esattamente a T (λ)/4.

Nel sistema corotante, inoltre, cambiano anche la matrice densita e l’hamil-toniana. Tuttavia l’equazione di Liouville resta formalmente invariata e, conessa, l’equazione di Bloch. Una situazione analoga vale per gli antineutrini.

4.4 Coefficiente di auto-interazione lentamente

variabile

In una supernova l’intensita µ delle auto-interazioni decresce approssima-tivamente come µ ∼ r−4 [34]. Nell’analogia con il pendolo, essendo µ−1

l’equivalente di ml2, cio equivale all’aumento della massa inerziale del pen-dolo che, ad ogni oscillazione, non ritorna piu nella posizione di partenza, mainverte il suo moto sempre piu in basso. Per il modello di supernova adottatol’andamento di µ in funzione della distanza e riportato in Fig. 4.5, insieme aquello di λ che, approssimativamente, decresce come λ ∼ r−3.

Trascurando, per semplicita, gli effetti di materia (λ = 0), si puo studiarefacilmente l’effetto che µ ha sulle oscillazioni bipolari [35]. Si ipotizzi cheµ vari lentamente (adiabaticamente) in un periodo T del moto del sistema(dµ/dt µ/T ). Anche l’energia, essendo funzione di µ, varia nel tempo.La dipendenza di E da µ puo essere rappresentata sotto forma di una com-binazione di E e µ costante durante il moto. Tale combinazione e definitainvariante adiabatico del sistema.

Nel caso del sistema in analisi l’invariante adiabatico, espresso in funzionedelle coordinate generalizzate α e pα, e [32]:

I =1

2π

∫dα pα . (4.46)

Per attribuire un significato fisico ad I bisogna tener conto che la tra-iettoria descritta nello spazio delle fasi da un sistema soggetto ad un mo-to periodico e una curva chiusa. Nel caso del pendolo l’equazione di talecurva e espressa dalla legge di conservazione dell’energia: H(α, pα) = E.Pertanto l’integrale in (4.46), valutato lungo la traiettoria di fase del pen-dolo, non e altro che l’area sottesa dalla curva. Il valore dell’area si ricava,approssimativamente, tenendo conto che il moto del pendolo e quasi armonico

4.4. COEFFICIENTE DI AUTO-INTERAZIONE ADIABATICO 41

Figura 4.5: Profili radiali, in due generazioni, per il potenziale di materia, λ(r)(in verde), e quello di auto-interazione, µ(r) (in blu), in un intervallo r ∈ [10, 200]km.

per oscillazioni non troppo ampie. Poiche la traiettoria di fase per un oscil-latore armonico e un’ellisse di area pari a 2πE/ω, con ω la frequenza dioscillazione [32], in definitiva si ha:

I ' H

Ω=−ωQ cosαmax

Ω. (4.47)

Per piccoli θ, P3 ∝ − cosαmax ∝ Ω/(ωQ). Se si verifica che µ/ω 1, siottiene l’importante dipendenza di P3 dal coefficiente di auto-interazione:

P3 ∝√µ

ω. (4.48)

La decrescita di µ con la distanza porta, per la (3.42), ad una decrescita diP (νe → νe) e determina una conversione completa di sapore, come e mostratoin Fig. 4.6.


Figura 4.6: Oscillazioni bipolari in ipotesi di simmetria. Grafico di P (νe → νe)per condizioni iniziali simmetriche in funzione della distanza. Si e assunta unagerarchia inversa, in assenza di materia, con θ = θ13 = 0.01 e E = 15 MeV.

Le auto-interazioni possono dunque portare a significative conversioni disapore dei neutrini nelle supernovae, e non possono essere trascurate, comecomunemente si pensava fino a qualche anno fa.

4.5 Oscillazioni bipolari in ipotesi di asimme-

tria tra neutrini e antineutrini

In una situazione realistica con asimmetria tra neutrini ed antineutrini, leequazioni del pendolo acquistano un termine equivalente ad un momento an-

4.5. OSCILLAZIONI BIPOLARI IN IPOTESI DI ASIMMETRIA 43

golare intrinseco associato alla massa posta all’estremita del braccio. Formal-mente, cio rende possibile l’analogia con un pendolo giroscopico, che consentedi descrivere la transizione dal regime sincronizzato a quello bipolare in unasupernova in termini classici.

4.5.1 Conservazione del numero leptonico

Si consideri il caso asimmetrico ne 6= ne, ma con nx = nx, come accaderealisticamente in una supernova. Si supponga che gli spettri di energie perneutrini ed antineutrini siano quelli riportati in Fig. 2.3. Tenendo contodella (2.16), le densita numeriche di νe, νx e dei rispettivi antineutrini, nelparticolare modello di supernova adottato, sono:

Nνe =∫dE ne = Fν

D(r)

〈Ee〉=Fνc+

D(r)βe , (4.49)

Nνe =∫dE ne = Fν

D(r)

〈Ee〉=Fνc+

D(r)βe , (4.50)

Nνx = N νx =∫dE nx = Fν

D(r)

〈Ex〉=Fνc+

D(r)βx . (4.51)

Di conseguenza le condizioni iniziali per i vettori di polarizzazione diventano:

Pi =ne − nx

nz , (4.52)

Pi

=ne − nx

nz . (4.53)

Dalle precedenti discendono le condizioni iniziali per i vettori totali dipolarizzazione:

Ji =Nνe −Nνx

N +Nz =

βe − βxβe + βe + 2βx

z , (4.54)

Ji

=N νe −N νx

N +Nz =

βe − βxβe + βe + 2βx

z . (4.55)

Sommando e sottraendo membro a membro e possibile ricavare Si e Di.Note le condizioni iniziali, mediante le (4.13) e (4.14) scritte nel sistema diriferimento corotante2, si conosce l’evoluzione dei singoli vettori.

2Per semplificare la notazione, d’ora in poi saranno omessi gli apici.


In particolare dall’equazione di evoluzione per D, nel sistema corotante,si ricava:

D ·B = cost ' Di · z =Nνe −Nνe

N +N, (4.56)

il che implica che il numero leptonico e conservato.

Si osservi come i vettori W e W evolvono in modo da garantire la con-servazione del numero leptonico. L’ energia media per ogni coppia neutrino-antineutrino puo essere riscritta in funzione di tali vettori:

Eνν =Etot

(N +N)/2= B · (W + W) +

µ

2D2 , (4.57)

ove il primo termine rappresenta formalmente un’energia potenziale ed ilsecondo un’energia cinetica del sistema. Tale energia, essendo µ ' 0, e con-servata. Tenendo conto che, a grandi distanze, µ ω il termine cineticoe trascurabile e generalizzando quanto considerato nel caso simmetrico, ingerarchia normale il sistema si trova nella condizione di equilibrio ed e ba-nalmente conservato il numero leptonico. In gerarchia inversa, invece, W eW sono anti-allineati con il campo magnetico, e l’energia potenziale e mas-sima. Tuttavia una completa inversione di W e W, al fine di minimizzarel’energia potenziale, comporterebbe una violazione massimale della conser-vazione del numero leptonico. Si ha, pertanto, un’inversione completa di Wed un’inversione solo parziale di W. Piu precisamente solo il flusso iniziale dineutrini al di sopra di una certa energia critica Ec cambia sapore, mentre laparte restante non e modificata [36]. In termini vettoriali, questo comportal’inversione solo di una parte (W>) di W lasciando invariata W< = W−W>.

L’energia critica Ec e determinata sfruttando la conservazione del numeroleptonico (Di

z = Dfz ) con le precedenti condizioni di inversione∫ Ec

0dE(ne − nx)−

∫ ∞Ec

dE(ne − nx) +∫ ∞

0dE(ne − nx) = (4.58)∫ ∞

0dE(ne − nx)−

∫ ∞0

dE(ne − nx) ,

da cui approssimativamente, nel modello di supernova impiegato, si ricavaEc ' 7 MeV [37]. Questa energia critica e, in linea di principio, misurabilecon osservazioni degli spettri di energia dei neutrini.

4.5.2 Approssimazione di allineamento

Come gia osservato, se µ|D| ω, allora J e J, avendo un moto di preces-sione intorno a D, restano paralleli all’asse z. Man mano che µ decresce il


comportamento dei due vettori totali di polarizzazione si differenzia poiche lefrequenze nel vuoto ±ωE, non piu trascurabili, hanno segno opposto. Finche∆ω/µ 1 (ove con ∆ω si e indicato l’intervallo di variazione delle fre-quenze), con buona approssimazione, i singoli vettori di polarizzazione sonoparalleli a J e lo stesso accade per J. Pertanto, vale l’approssimazione diallineamento [37]:

W ' wJ , (4.59)

W ' wJ , (4.60)

con w e w cosı definite:

w =|∫dE nωP||dE nP|

=|∫dE ω(ne − nx)|Nνe −Nνx

, (4.61)

w =|∫dE nωP||dE nP|

=|∫dE ω(ne − nx)|Nνe −Nνx

. (4.62)

Si osservi che w e w sarebbero coincidenti solo in caso di simmetria traneutrini ed antineutrini elettronici, essendo nx = nx. Inoltre, essendo ne >ne, si ha |W| > |W|.

Riscrivendo, con l’approssimazione di allineamento, le equazioni (4.13) e(4.14) e evidente la conservazione di |J| e |J|. Di conseguenza, sono conservatianche |W| e |W|. Si osservi che tali leggi di conservazione non sono piuvalide quando si realizza la parziale inversione di W. Quest’ultima non puoessere, dunque, descritta dall’analogia con il pendolo giroscopico illustratanel paragrafo successivo.

Si introducono ora due nuove frequenze, combinazioni lineari delle prece-denti:

ω+ =w + w

2, (4.63)

ω− =w − w

2. (4.64)

Nel caso in cui tutti i modi siano uguali ω+ = w mentre ω− = 0. Sfruttandole (4.63) e (4.64), le equazioni di evoluzione per S e D assumono la formaseguente:

∂tS = B× (ω−S + ω+D) + µD× S , (4.65)

∂tD = B× (ω+S + ω−D) . (4.66)


4.5.3 Analogia con il pendolo giroscopico

Si verifica ora che il sistema in oggetto presenta equazioni di evoluzione for-malmente analoghe a quelle di un pendolo giroscopico [29, 35], caratterizzatoda una massa m munita di momento angolare intrinseco σ. L’energia, inquesto caso, e:

E = −mgr · z +m

2r2 +

σ2

2m, (4.67)

ove si considera, per semplicita, |r| = 1 (lunghezza unitaria). Le equazioniche ne regolano la dinamica sono:

L = mr× r + σr = Lorb + Lspin , (4.68)

L = mr× g , (4.69)

ove con L si e indicato il momento angolare risultante somma di quelloorbitale e di quello dovuto al momento angolare intrinseco (spin). Oltreall’energia, si conservano il momento angolare, la sua componente assiale(Lz = L · z) e quella radiale (Lr = σ = L · r).

Tale pendolo e soggetto ad un moto composto. Infatti, oltre alla preces-sione intorno a z, gia analizzata nel caso del pendolo classico, ha luogo unanutazione rispetto allo stesso asse dovuta allo spin della massa m.

E’ possibile parametrizzare la posizione del pendolo attraverso gli angoliβ e ξ, definiti come mostrato in Fig. 4.7. Il vettore unitario r, in questomodo, diventa:

r = (sin β cos ξ, sin β sin ξ, cos β)T . (4.70)

Inizialmente il pendolo e orientato parallelamente all’asse z: ru = (0, 0, 1)T ,essendo nella posizione piu alta (upper, u) βu ' 0. In questa posizione, ilpendolo ruota su se stesso e la conservazione del momento angolare impedisceallo stesso di cadere (pendolo dormiente) [33]. Essendo m variabile, perun dato valore di m non e piu garantito l’equilibrio. Il pendolo, cadendocon ru = (0, 0, 0)T , inizia ad oscillare. Per descrivere l’inizio del regimeoscillatorio, bisogna applicare le leggi di conservazione dell’energia e dellacomponente assiale (L · z) del momento angolare nella posizione piu altaed in quella piu bassa, quindi effettuare il rapporto tra le due identita chene derivano. Tenendo conto che la posizione piu bassa (lower, l) e rl =(sin βl, 0, cos βl)

T con rl = (0, sin βl, 0)T ξl (ove si e scelto convenzionalmenteξl = 0) si ricavano due soluzioni per βl. La prima e cos βl = 1, e descrive ilpendolo nella posizione stabile piu alta (βl = 0). Invece la seconda, poiche


x x

z z

y y

Figura 4.7: A sinistra, pendolo giroscopico nella posizione di equilibrio instabile,soggetto al solo moto di precessione. A destra, pendolo giroscopico con moto diprecessione (attorno all’asse z) e nutazione (rispetto all’asse z).

−1 ≤ cos βl ≤ 1, porta alla seguente disuguaglianza:

σ2

4gm2> 1 . (4.71)

Quando questa condizione non e piu soddisfatta, il pendolo inizia ad oscillare.Ovviamente al crescere della massa il pendolo non torna piu, ad ogni oscil-lazione, nella sua posizione di partenza (ma in una posizione gradualmentepiu bassa).

Al fine di ricavare l’analogia con il pendolo giroscopico si introducono duenuovi vettori Q′ e D′:

Q′ = S− ω+

µ

(1−

ω2−ω2

+

)B +

ω−ω+

D , (4.72)

D′ = D + 2ω−µ

B . (4.73)

Si osservi che, portandosi in un sistema di riferimento rotante con frequenzaω− intorno all’asse z, D′ e Q′ si riconducono a quelli introdotti in ipotesi disimmetria. Sfruttando le (4.65) e (4.66), l’evoluzione di tali vettori e descritta


dalle seguenti equazioni:

∂tQ′ = µD′ ×Q′ , (4.74)

∂tD′ = ω+B×Q′ . (4.75)

Dalla (4.74) si ricava che |Q′| si conserva, mentre non si conservano |D| e |S|.Tali non-conservazioni sono responsabili del disallineamento di J e J duranteil moto bipolare. Si conservano anche D′ · B e D′ ·Q′. Inoltre, nonostanteciascun modo oscilli con frequenza diversa, dalla (4.75) emerge la dipendenzada un’unica frequenza ω+. Valutando quest’ultima nell’istante iniziale, nelmodello di supernova adottato e con ∆m2 = 2× 10−3 eV2, si ha:

ω+ =1

2

(W iz

J iz+W iz

J iz

)=

∆m2c−4

(βe + βe + 2βx) ' 0.9 km−1 . (4.76)

Si osservi, ora, che effettuando le seguenti sostituzioni:

D′ → L , (4.77)

Q′

Q′→ r , (4.78)

µ−1 → m , (4.79)

ω+µQ′B→ −g , (4.80)

D ·Q′

Q′→ σ , (4.81)

le (4.74) e (4.75) assumono proprio la forma delle (4.68) e (4.69). Il sistemain analisi e dunque analogo ad un pendolo giroscopico per cui inizialmente(µ → ∞) D′i ' Di e Q′i sono paralleli a z. Poiche la (4.74) descrive laprecessione di Q′ intorno a D, con buona approssimazione risulta

Q′(t) =Q′iz|D|

D(t) . (4.82)

Sostituendo la precedente nella (4.75), si ricava l’equazione fondamentaleche descrive la precessione di D intorno a B:

∂tD = ωsyncB×D , (4.83)

con frequenza di sincronizzazione:

ωsync = ω+Q′iz/|D| . (4.84)


20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r (km)

P ee

Figura 4.8: Passaggio da oscillazioni sincronizzate (r∼< 67 km) a bipolari (r∼> 67km), in ipotesi di asimmetria. Grafico di P (νe → νe) in funzione della distanzacon i parametri standard tipici del modello di supernova adottato. La curva diprobabilita e stata ottenuta selezionando l’energia rappresentativa E = 15.4 MeV.

Pertanto D e, di conseguenza, Q′ hanno un moto di precessione intorno a B:il pendolo e nella posizione piu alta e ci sono oscillazioni sincronizzate.

In Fig. 4.8 e riportata3 la probabilita di sopravvivenza Pee in funzionedella distanza r. Il regime di oscillazioni sincronizzate, in Fig. 4.8, e cor-rispondente alla prima parte del grafico (ossia per Pee ' 1), quindi si innescail regime di oscillazioni bipolari e la Pee oscillando decresce fino ad annullar-si. Dalla (4.71), tenendo conto che σ ' Dz e g = µωsyncDz e nell’ipotesiω+/µ→ 0, ci si aspetta che le oscillazioni sincronizzate abbiano luogo finche:

µ >4ωsyncS

iz

Diz

2 = 4ω+(βe + βe)

2 − 4β2x

(βe − βe)2' 67 km−1 , (4.85)

ossia per r∼< 55 km. Quando tale disuguaglianza non e piu verificata dovreb-

3Ove non diversamente specificato, nei calcoli numerici si e posto ∆m2 = 2× 10−3 eV2

e θ = θ13 = 0.01 rad.


bero innescarsi le oscillazioni bipolari. In realta, dalla Fig. 4.8, si osservache la transizione dal regime sincronizzato a quello bipolare e ritardata ar ' 67 km. Tale ritardo si spiega tenendo conto degli effetti di materia cheprolungano il periodo della prima oscillazione bipolare, come previsto dalla(4.45).

Quando la (4.71) non e piu verificata [σ2/(4gm2) < 1] il pendolo cade perla prima volta e si innescano le oscillazioni bipolari, gia descritte median-te l’analogia con il pendolo classico in ipotesi di simmetria. L’asimmetriaνe− νe aggiunge il moto di nutazione dovuto allo spin. In Fig. 4.8 questo cor-risponde alle oscillazioni di ampiezza progressivamente decrescente. Il fattoche, durante le oscillazioni bipolari, la probabilita decresca con la distan-za, garantendo una completa conversione di sapore, e spiegato dalla (4.48):P3 ∝

√µ. Ci si aspetta che il regime di oscillazioni bipolari sia valido finche

gli effetti del vuoto e quelli generati dalle auto-interazioni diventano con-frontabili (ω+ ∼ µD ·B) invalidando, in tal modo, l’ipotesi di allineamento.In altre parole si hanno oscillazioni bipolari per:

µ ≥ µinf =ω+

Diz

= ω+βe + βe + 2βx

βe − βe= 6.7 km−1 , (4.86)

il che avviene, come si vede in Fig. 4.8, per r∼< 100 km. Tenendo contoche gli effetti collettivi hanno fine per µ ∼ ω+, per ω+ ≤ µ ≤ µinf questihanno sempre meno vigore e, essendo gradualmente invalidata l’ipotesi diallineamento, ha luogo la parziale inversione di W.

In conclusione, in gerarchia inversa, il comportamento tipico della proba-bilita di sopravvivenza P (νe → νe) in Fig. 4.8, governato dalle auto-interazionidi neutrini, e analogo a quello di un pendolo giroscopico con massa lentamentecrescente. Inizialmente il pendolo e nella posizione piu alta di equilibrio insta-bile, e ha un moto di precessione quasi verticale (oscillazioni sincronizzate,intervallo ∼ [10, 67] km in Fig. 4.8). Ad un certo punto la massa e suffi-cientemente grande da farlo cadere. Il pendolo inizia ad oscillare con motocomposto di precessione e nutazione, e con punti di inversione sempre piubassi (oscillazioni bipolari, intervallo ∼ [67, 120] km in Fig. 4.8). Il pendolosi stabilizza, infine, in una posizione bassa di equilibrio stabile dove, come ingerarchia normale, non ci sono ulteriori significative variazioni di sapore.

4.6. RISULTATI NUMERICI 51

50 55 60 65 700.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

65 70 750.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.05

r (km)

Pee

λ = 0

λ ≠ 0

θ = 10−2 rad

θ = 10−4 rad

θ = 10−5 rad

θ = 0 rad

Pee

r (km)

Figura 4.9: Oscillazioni bipolari in ipotesi di asimmetria e gerarchia inversa.Grafico della Pee in funzione della distanza, per E ' 15.4 MeV. A sinistra: oscil-lazioni sincronizzate e bipolari con θ13 = 0.01 rad e λ = 0 (in verde) e per λ > 0,come da Fig. 4.5 (in blu). Si noti il ritardo nella transizione per λ > 0. A destra:effetto di variazione di θ13 per λ 6= 0 (ciano per θ = 0 rad, magenta per θ = 10−5

rad, verde per θ = 10−4 rad e blu per θ = 10−2 rad). Si noti il ritardo nellatransizione per θ13 piccolo.

4.6 Risultati numerici

Quanto teoricamente previsto e stato verificato mediante simulazioni nu-meriche, realizzate attraverso programmi scritti in Fortran, nell’intervallor ∈ [10, 200] km. In gerarchia normale, si e verificato che non sono osservabilieffetti significativi di trasformazioni di sapore. Effetti importanti emergono,invece, in gerarchia inversa, come mostrato in Fig. 4.9 (grafico di Pee in fun-zione della distanza). Dal grafico a sinistra si osserva che per λ = 0 il regimebipolare ha inzio per r ∼ 55 km, mentre, adottando il potenziale di materiariportato in Fig. 4.5, si ha un ritardo dell’inizio delle oscillazioni bipolari per


Figura 4.10: Per cinque energie differenti e rappresentata P3 per neutrini edantineutrini in funzione della distanza, per θ13 = 0.01 rad e λ 6= 0 come in Fig. 4.5.

r ∼ 68 km, come gia anticipato. Il grafico a destra della Fig. 4.9 evidenziala crescita del periodo delle oscillazioni bipolari al decrescere dell’angolo dimescolamento.

Riportando P3 e P 3 in funzione di r a varie energie, come in Fig. 4.10,si osserva che l’inizio delle oscillazioni bipolari e identico per neutrini edantineutrini, ad ogni energia. Neutrini ed antineutrini hanno, inoltre, glistessi periodi di nutazione, confermando la dipendenza dall’unica frequenzacaratteristica del sistema ω+ stimata con la (4.76). Per i neutrini, nello statofinale, si ha che P3 → P3 per Ei > Ec ' 7 MeV, con i = 2, 4, 5. Si ha, invece,una completa inversione di P3 per E1 < Ec. Un’eccezione e rappresentatada E3 ' Eug ' 19 MeV, dove non ci sono effetti evidenti di conversione disapore. Per gli antineutrini, tutte le curve mostrano l’inversione P3 → −P3

a grandi distanze, anche quella prossima a Eug ' 24 MeV. Cio conferma ilfenomeno di inversione totale (per gli antineutrini) e parziale (per i neutrini)dei vettori di polarizzazione, discusso nella Sez. 4.5.1.


Figura 4.11: In funzione della distanza sono riportati |J| = J (in rosso) e Jz (inblu) per i neutrini e |J| = J e Jz per gli antineutrini.

In Fig. 4.11, riportando i moduli di J e J in funzione di r, si osserva che,per r ∈ [10, 68] km, J coincide con Jz e J con Jz, come ci si aspetta nelregime di oscillazioni sincronizzate. Con l’inizio delle oscillazioni bipolari, Jze Jz decrescono. Al termine di questo regime si ha l’inversione completa deivettori di polarizzazione per gli antineutrini: J→ −J e Jz = −J , sebbene siosservi una parziale non conservazione del modulo di J. Per i neutrini, invece,si ha asintoticamente J → Jz. Pertanto, nello stato finale, J e allineato con−z mentre J e allineato con +z. Si osservi che, poiche la parziale inversionedel vettore W comporta la non conservazione di J , essa non e prevedibileattraverso l’analogia con il pendolo giroscopico. I vettori di polarizzazioneevolvono, pero, in modo che il numero leptonico sia strettamente conservato.Infatti, come evidente dalla Fig. 4.12, Dz = Jz − Jz e costante.


20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

r (km)

Dz

Dz

Jz (neutrini)

Jz (antineutrini)

Figura 4.12: Jz (in ciano), Jz (in magenta) e Dz = Jz −Jz (in verde) in funzionedella distanza.

In Fig. 4.13 sono rappresentati i flussi finali in funzione dell’energia,ottenuti tenendo conto che

ϕie(E)

〈Ee〉→ ϕie(E)

〈Ee〉Pee(E) +

ϕix(E)

〈Ex〉(1− Pee(E)) , (4.87)

e analogamente per gli antineutrini. E’ evidente, dal grafico a sinistra che,intorno a Ec ' 7 MeV si verifica una inversione tra i flussi di νe e νx inizialie finali (si confronti Fig. 4.13 con Fig. 2.3), corrispondente all’inversione delvettore W>. Anche per gli antineutrini, dal grafico a destra, si osserva unacompleta inversione rispetto ai flussi iniziali per energie E∼> 4 MeV. Proprioquesto effetto, non ancora del tutto chiaro dal punto di vista teorico, potrebbespiegare la parziale non conservazione di |J|, e quindi un comportamento diW analogo a quello di W.

In conclusione, nel caso di due famiglie di neutrini, le equazioni di evoluzio-ne della matrice densita possono essere poste in forma di equazioni di Blochche descrivono la dinamica di vettori tridimensionali, la cui terza componente


Figura 4.13: Gerarchia inversa: flussi finali per νe (in blu) e νx (in rosso) e pergli antineutrini rispettivi in funzione dell’energia. Le linee tratteggiate indicanoi flussi iniziali. Si noti l’inversione degli spettri nel grafico a sinistra, per Ec ' 7MeV e nel grafico a destra per Ec ' 4 MeV.

e legata alla probabilita di conversione di sapore. La dinamica e formalmenteanaloga a quella di un sistema di spin immersi in un campo magnetico. In pre-senza di forti auto-interazioni di neutrini, gli spin sono fortemente accoppiatied emergono fenomeni collettivi. In larga misura, tali fenomeni conduconoad equazioni analoghe a quelle di un pendolo (giroscopico) classico. In gerar-chia normale, tale pendolo oscilla vicino alla posizione di equilibrio stabile(in basso). In gerarchia inversa, il pendolo cade dalla posizione di equilibrioinstabile (in alto), eseguendo complessi moti di precessione e nutazione che,in termini di neutrini, corrispondono a fenomeni collettivi di conversione disapore. L’effetto finale osservabile delle trasformazioni collettive e la quasitotale (per gli antineutrini) e parziale (per i neutrini) inversione degli spet-tri di energia (cfr. Fig. 4.13 e Fig. 2.3). Si e mostrato che tali fenomenisono largamente compresi sia analiticamente che numericamente. Nei prossi-mi Capitoli si studia l’estensione al caso generale in tre famiglie di neutrini(δm2 6= 0), che costituisce il contributo originale di questa tesi.

Capitolo 5

Equazioni di evoluzione per tregenerazioni di neutrini

Si intende ora estendere il formalismo della matrice densita a tre generazionidi neutrini. Questo e, attualmente, un obiettivo importante per la compren-sione dei complessi fenomeni associati all’esplosione di una supernova [38].Infatti, la trattazione con due generazioni di neutrini, pur descrivendo inmodo soddisfacente gli effetti collettivi cui i neutrini sono soggetti prima diessere emessi dalla supernova, costituisce un caso semplificato ed ideale, cheva implementato con calcoli via via piu realistici.

Introdotta la matrice densita in tre generazioni, esistono due modi dianalizzare il problema. Si puo risolvere l’equazione di Liouville, in mododa conoscere l’evoluzione della matrice densita, oppure e possibile studiarecome cambiano nel tempo le componenti del vettore di Bloch. In questa tesisi e preferito ricorrere a quest’ultimo approccio, in modo da perseguire (ovepossibile) l’analogia con il caso a due generazioni.

Si osservi che il problema di analizzare generiche matrici densita in di-mensioni superiori a due e, attualmente, di grande interesse in diversi ambiti,tra cui l’Informazione Quantistica [39, 40] e la Fisica Matematica [41]. Peresempio le matrici densita in tre dimensioni sono, oggi, impiegate per lostudio dei cosiddetti qutrit, gli analoghi dei bit quantistici (qubit) in tre com-ponenti. Tale estensione e non banale. Infatti, mentre in due dimensioniogni stato fisico e descritto da un punto nella sfera di Bloch, in dimensionisuperiori a due non tutti i punti della sfera di Bloch hanno corrispondentefisico [39]. Proiettando, per esempio, in un piano (N-1)-dimensionale si osser-va che gli stati permessi possono occupare zone asimmetriche della sfera [39].

57

58CAPITOLO 5. EQUAZIONI DI EVOLUZIONE IN TRE GENERAZIONI

Un altro problema aperto e legato al fatto che, per N > 2, non esiste unaparametrizzazione del vettore di Bloch analoga a quella con coordinate polariper matrici densita di dimensione N = 2 [39, 40, 41]. Quindi l’estensione daN = 2 a N = 3 (nel caso in analisi, da due a tre sapori) va fatta con cautelae puo comportare complicazioni non banali.

5.1 Riduzione agli autostati ν ′µ e ν ′τ

Una semplificazione notevole e suggerita dal fatto che, in una supernova, glispettri inziali di νµ e ντ sono praticamente identici, come illustrato in Fig. 2.3,essendo il loro comportamento con i costituenti della materia identico alleenergie in gioco. Tenendo conto che i tre autostati di sapore sono collegati aquelli di massa mediante la (1.1), e possibile, moltiplicando ambo i membridella (1.1) per R−1

23 , eliminare la dipendenza dall’angolo θ23 definendo duenuovi autostati ν ′µ e ν ′τ : νe

ν ′µν ′τ

=

c13c12 c13s12 s13

−s12 c12 0−s13c12 −s13s12 c13

ν1

ν2

ν3

, (5.1)

ove, per semplicita, si e omessa la fase δ legata alla violazione di CP. D’orain avanti, si fara uso di questi nuovi autostati che rimpiazzano formalmenteνµ e ντ , ma saranno omessi gli apici al fine di non appesantire la notazione.

Tale semplificazione e resa possibile dalla particolare posizione della ma-trice R23 nella (1.2) e dalla bassa energia (E ∼ O(10) MeV) dei neutrini νµe ντ , sotto soglia per la produzione di µ e τ . In altri contesti, le energiein gioco possono essere tali da permettere che νµ e ντ interagiscano tramitecorrenti cariche (per esempio, neutrini da acceleratore con E ∼ O(10) GeV).In questi casi, che esulano dall’argomento di tesi, la semplificazione discussasopra non e applicabile.

5.2 Decomposizione tramite le matrici di Gell-

Mann

Introdotte le matrici di Gell-Mann e le loro proprieta, si mostra come lamatrice densita e quella hamiltoniana possano essere decomposte in terminidi tali matrici.

5.2. DECOMPOSIZIONE TRAMITE LE MATRICI DI GELL-MANN 59

5.2.1 Proprieta delle matrici di Gell-Mann

Per due generazioni di neutrini si e visto come le matrici 2×2 possano esseredecomposte utilizzando quelle di Pauli. In tre generazioni di neutrini si fa usodi matrici 3× 3, ed e conveniente una decomposizione mediante le matrici diGell-Mann. Queste, nella rappresentazione fondamentale, sono i generatoridell’algebra di Lie di SU(3):

λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

λ8 =1√3

1 0 00 1 00 0 −2

(5.2)

Tali matrici godono delle proprieta:

• λi = λ+i ,

• tr(λi) = 0,

• tr(λiλj) = 2δij,

• [λi, λj] = 2ifijkλk,

• λi, λj = 43δij1 + 2dijkλk,

ove 1 indica la matrice identita 3×3, mentre fijk e dijk sono tensori di rangotre. I primi, completamente antisimmetrici, sono le costanti di strutturadell’algebra di SU(3). Tutte le costanti di struttura non nulle si ottengonopermutando gli indici di quelle riportate in Tab. 5.1. Invece i tensori dijksono completamente simmetrici; le componenti non nulle sono riportate inTab. 5.2.


Tabella 5.1: Componenti non nulle delle costanti di struttura di SU(3).

f123 1

f458 = f678

√3/2

f147 = f246 = f257 = f345 = −f156 = −f367 1/2

Tabella 5.2: Componenti non nulle dei tensori completamente simmetrici diSU(3).

d118 = d228 = d338 = −d888

√3/3

d448 = d558 = d668 = d778 −√

3/6d146 = d157 = d256 = d344 = d355 = −d247 = −d377 1/2

Una matrice hermitiana, definita nella base di sapore (νe, νµ, ντ ), edecomposta mediante le matrici di Gell-Mann nella forma:

M =

Mee Meµ Meτ

Mµe Mµµ Mµτ

Mτe Mτµ Mττ

= (5.3)

1

2

2m0

3+m3 + m8√

3m1 − im2 m4 − im5

m1 + im22m0

3−m3 + m8√

3m6 − im7

m4 + im5 m6 + im72m0

3− 2m8√

3

,

ovvero, utilizzando una notazione piu compatta:

M =m01

3+ m · λ

2, (5.4)

ove con m si e indicato il vettore con otto componenti reali mi, mentrem0 = tr(M). Le componenti del vettore m sono espresse in funzione diquelle della matrice M , sfruttando il carattere hermitiano di M e tenendoconto che mi = tr(Mλi):

m =(

2Re(Meµ),−2Im(Meµ),Mee −Mµµ, 2Re(Meτ ),−2Im(Meτ ),

2Re(Mµτ ),−2Im(Mµτ ),Mee −Mµµ − 2Mττ√

3

)T. (5.5)

Assegnati due vettori, m e n, ciascuno con otto componenti reali, epossibile definire le seguenti operazioni:


• prodotto scalare: m · n = δijminj;

• prodotto vettoriale: (m× n)i = fijkmjnk;

• prodotto stella: (m ? n)i = dijkmjnk.

Ne consegue una proprieta utile nei calcoli: (m · λ)(n · λ) = i(m× n) · λ +2/3 (m · n) + (m ? n) · λ. Inoltre assegnati due vettori M e N, decompostimediante la (5.4), il loro commutatore e: [M,N] = i(m× n) · λ/2.

5.2.2 Matrice densita in tre generazioni di neutrini

Nella base di sapore il generico stato, |ψi〉, e cosı definito:

|ψi〉 = ai|νe〉+ bi|νµ〉+ ci|ντ 〉 , (5.6)

con |ai|2 + |bi|2 + |ci|2 = 1. La matrice densita di un insieme di N neutrinicon impulso compreso tra p e p + dp, analogamente alla (3.21), assume laforma seguente:

ρp =np

N

∑i

|ψi〉〈ψi| =np

N

∑i

|ai|2 aib

∗i aic

∗i

bia∗i |bi|2 bic

∗i

cia∗i cib

∗i |ci|2

, (5.7)

con np = ne(p) + nµ(p) + nτ (p).

Questa matrice puo essere decomposta sfruttando la (5.4):

ρp = np

(1

3+ Pp ·

λ

2

), (5.8)

dove con Pp si e indicato il vettore di polarizzazione associato all’insieme dineutrini con impulso p:

Pp =1

np

(2Re(ρeµ),−2Im(ρeµ), ρee − ρµµ, 2Re(ρeτ ),−2Im(ρeτ ),

2Re(ρµτ ),−2Im(ρµτ ),ρee − ρµµ − 2ρττ√

3

)T. (5.9)

Si osservi che, a differenza del caso semplificato di due generazioni di neutrini,ora |Pp| 6= 1. Infatti poiche ci si limita a considerare stati puri [tr(ρ2

p) = 1],

si trova che |Pp| = 2/√

3.


Ponendo per comodita np = 1, e utile ricavare i vettori di polarizzazionenell’ipotesi che vi siano rispettivamente solo νe, νµ o ντ . Cio equivale a direche la matrice densita e inizialmente coincidente con uno dei proiettori nellabase di sapore:

Πe = diag(1, 0, 0) , Πµ = diag(0, 1, 0) , Πτ = diag(0, 0, 1) . (5.10)

A tal fine, si introduce una base ortonormale completa di vettori con ottocomponenti ei, per i ∈ [1, 8]. Si trova che i vettori di polarizzazione, ossia gliautostati di sapore nello spazio otto-dimensionale, sono:

Pe = ue = e3 +1√3e8 , (5.11)

Pµ = uµ = −e3 +1√3e8 , (5.12)

Pτ = uτ = − 2√3e8 . (5.13)

I proiettori, in funzione di tali autostati, diventano:

Πe =1

3+

1

2ue · λ , (5.14)

Πµ =1

3+

1

2uµ · λ , (5.15)

Πτ =1

3+

1

2uτ · λ . (5.16)

5.2.3 Matrice hamiltoniana in tre generazioni

Per decomporre la matrice associata all’hamiltoniana nel vuoto Hv, si epreferito riscrivere la (1.5) in modo da renderla a traccia nulla:

M2 =

−13

0 00 −1

30

0 0 +23

∆m2 +

−12

0 00 +1

20

0 0 0

δm2 . (5.17)

Essendo la matrice di massa composta da due termini, si definiscono duefrequenze di oscillazione:

• quella associata alla piu piccola differenza di massa (low, L):

ωL,E = δm2/2E ; (5.18)


• quella corrispondente alla differenza di massa piu grande (high, H ):

ωH,E = ∆m2/2E . (5.19)

Al fine di riprodurre l’analogia con la precessione di spin, questo comportal’introduzione di due campi magnetici, uno in corrispondenza di ciascunafrequenza. Infatti, sfruttando la (5.4), la hamiltoniana Hv diventa:

Hv =UM2U+

2E=

1

2(h · λ) , (5.20)

con

h = ωL,EBL + ωH,EBH . (5.21)

I campi magnetici BL e BH , in funzione degli angoli di mescolamento θ12 eθ13, sono:

BL =(

2c13s12c12, 0,−1 + c2

13

2(c2

12 − s212), s13c13(c2

12 − s212), 0,

−2s13s12c12, 0,

√3

2s2

13(c212 − s2

12))T

, (5.22)

BH =(

0, 0, s213, 2s13c13, 0, 0, 0,−

2√3

+√

3s213

)T. (5.23)

Si osservi che, essendoci due angoli di mescolamento non nulli, il passaggioda una gerarchia all’altra puo essere esclusivamente effettuato attraverso lasostituzione +∆m2 → −∆m2, e non piu mediante θ13 → π/2− θ13.

In presenza di materia l’hamiltoniana totale e H = Hv + Hm, ove Hm

e definita dalla (3.11). Quest’ultima assume la forma seguente, se resa atraccia nulla:

Hm = λ(x)

23

0 00 −1

30

0 0 −13

. (5.24)

Hm, come Hv, puo essere decomposta mediante le matrici di Gell-Mann.Questo implica che l’hamiltoniana totale nella base di sapore possa esprimersinella forma

Hfb =1

2(h + v) · λ , (5.25)

con

v = λ(x)ue . (5.26)


Per quanto concerne l’hamiltoniana di auto-interazione Hsi, questa si ot-tiene sommando alla (3.18) i termini, analogamente definiti, relativi a νµ eντ . Infatti, supponendo valida l’ipotesi di isotropia, si ha:

Hννµµ =

µ

N +N

∫dq [2nµ(q) + ne(q) + nτ (q)] . (5.27)

Hννττ =

µ

N +N

∫dq [2nτ (q) + ne(q) + nµ(q)] . (5.28)

Tuttavia, per poter esprimere Hsi in termini della matrice densita, e neces-sario definire le densita numeriche dei singoli sapori sfruttando la (5.7):

ne(q) =nq

N

∑i

|ai|2 , (5.29)

nµ(q) =nq

N

∑i

|bi|2 , (5.30)

nτ (q) =nq

N

∑i

|ci|2 . (5.31)

Si osservi che le precedenti sono analoghe alle (3.22) e (3.23).

Poiche si deve tener conto dei contributi relativi a collisioni con scambiodi impulsi tra i neutrini, devono essere inclusi nell’espressione di Hsi terminicorrispondenti a quelli fuori dalla diagonale nella matrice densita, in modo daottenere un’espressione invariante sotto U(3). Percio l’analogo della (3.24) e:

Hsi =µ

N +N

∫dq ρ(q) . (5.32)

In definitiva, in tre generazioni l’hamiltoniana totale tiene conto del con-tributo di due campi magnetici e di due frequenze, una per ogni differenza dimassa. Il termine di materia nell’hamiltoniana introduce una dipendenza daue, a differenza del caso di due generazioni dove, invece, era proporzionalea z. Il contributo relativo alle auto-interazioni e dipendente dalla matricedensita e si presenta, in modo formalmente analogo, a quello ricavato in duegenerazioni.

5.3 Equazioni di evoluzione

Si ricavano le equazioni generali di evoluzione per i neutrini e gli antineutrini.Si analizza, quindi, il caso piu semplice di precessione nel vuoto.

5.3. EQUAZIONI DI EVOLUZIONE 65

5.3.1 Equazioni di Bloch

Come gia detto, l’equazione di Liouville (3.25) permette di studiare l’evoluzio-ne della matrice densita nel tempo. Sfruttando la relazione di commutazionedefinita in precedenza per due matrici decomponibili in termini di quelledi Gell-Mann, si deduce l’equazione che descrive l’evoluzione del vettore dipolarizzazione Pp:

Pp = [+(ωL,pBL + ωH,pBH) + λue + µD]×Pp , (5.33)

mentre il vettore di polarizzazione Pp evolve nel modo seguente:

Pp = [−(ωL,pBL + ωH,pBH) + λue + µD]×Pp . (5.34)

Il vettore di polarizzazione totale J, come per due generazioni, e:

J =1

N +N

∫dq nqPq , (5.35)

e J si ottiene, analogamente, sostituendo le quantita associate agli antineu-trini. Come per due generazioni, e possibile introdurre i vettori ausiliariD = J− J e S = J + J.

Le equazioni di evoluzione per i vettori P permettono di fissare un’analo-gia con vettori di polarizzazione che hanno un moto di precessione rispettoa due campi magnetici BH e BL con frequenze ωH e ωL. L’esistenza di unpotenziale di materia non nullo induce una precessione, con frequenza λ, in-torno alla direzione individuata da ue, mentre le auto-interazioni determinanola precessione, con frequenza µ, intorno al vettore ausiliario D.

5.3.2 Evoluzione nel vuoto

Le equazioni (5.33) e (5.34), in assenza di materia e di auto-interazioni,diventano:

Pp = +(ωL,pBL + ωH,pBH)×Pp , (5.36)

Pp = −(ωL,pBL + ωH,pBH)×Pp . (5.37)

Con sole due generazioni di neutrini, per ogni impulso p, si ha Pp ·B =cost. Nel caso piu generale di tre famiglie di neutrini, la precedente relazionediventa: Pp · (BH/ωL,p +BL/ωH,p) = cost. Se BH = 0, Pp ·BL non e l’unica


Tabella 5.3: Componenti costanti del vettore di polarizzazione per un campomagnetico avente una sola componente diversa da zero.

BLk Pi1 1, 82 2, 83 3, 84 45 56 67 78 1, 2, 3, 8

quantita costante. E’ possibile che esistano alcune componenti del vettore dipolarizzazione Pp che restano costanti durante il moto.

Per valutare tali componenti, si consideri dapprima un caso semplificatoin cui BL abbia una sola componente non nulla, BLk. Le componenti costantidi Pp (Pi) saranno quelle il cui indice i non compare nelle costanti di strut-tura fkjl aventi un indice coincidente con quello della componente del campomagnetico. Le Pi che, al variare della componente BLk non nulla si conser-vano, sono riportate in Tab. 5.3. Ne consegue che, se il campo magneticoha piu di una componente non nulla, le componenti costanti del vettore dipolarizzazione sono date dall’intersezione delle soluzioni ammesse per cias-cuna componente non nulla. Questo e vero anche nel caso in cui esistanodue campi magnetici. Infatti, come si vedra nella Sez. 5.5, ci saranno alcunecomponenti che hanno un moto di precessione con entrambe le frequenze,altre con una sola delle due frequenze, ed altre che rimangono costanti.

5.4 Probabilita di oscillazione

Ci si propone di definire la probabilita di oscillazione Pee = P (νe → νe) intre generazioni di neutrini. Se inizialmente l’insieme di neutrini fosse com-posto esclusivamente dalla famiglia νe (ρ(0) = Πe), al tempo t la probabilitaP (νe → νe) sarebbe semplicemente:

Pee(t) = tr(ρ(t)Πe) =1

3+

1

2P(t) · ue . (5.38)

In generale, pero, all’istante t = 0 sono presenti tutti e tre i sapori νe, νµ

5.5. LIMITI DI DUE GENERAZIONI 67

e ντ . Se si sfrutta l’indistinguibilita di νµ e ντ ponendo, all’istante iniziale,niµ = niτ = nix, la matrice densita, per ciascun impulso, ha come terminidiversi da zero solo quelli lungo la diagonale principale:

ρ(0) = diag(nie, nix, n

ix) . (5.39)

Per determinare la probabilita Pee(t) e utile tenere conto che la densita di νe,al tempo t, assume l’espressione seguente:

ne(t) = niePee(t) + nix(Peµ(t) + Peτ (t)) . (5.40)

Da cui, sfruttando il fatto che Pee+Peµ+Peτ = 1 ed esplicitando la precedenterispetto a Pee, si ricava:

Pee(t) =ne(t)− nixnie − nix

. (5.41)

In pratica, pero, si fa uso della probabilita Pee(t) espressa in funzione dellecomponenti del vettore di polarizzazione al tempo t. Indicando con n ladensita totale, si possono esprimere le densita ne e nx in termini del vettoredi polarizzazione, come si ricava sfruttando la (5.3), e la (5.41) diventa:

Pee(t) =P3(t) + P8(t)/

√3 + 2P8(0)/

√3

2√

3P8(0). (5.42)

Si osservi che la combinazione lineare (P3 +P8/√

3) assume un ruolo analogoa quello che P3 ha in due generazioni [si veda la (3.42)]. Come nel caso didue famiglie di neutrini (Capitolo 3), la probabilita Pee dipende, in presenzadi auto-interazioni, dalle condizioni iniziali.

L’evoluzione del sistema, nel seguito, sara studiata mediante la proba-bilita di transizione Pee ricavata con la (5.42). Tale quantita, infatti, permettedi effettuare un confronto diretto con il limite di due generazioni.

5.5 Limiti di due generazioni

Come gia discusso, esistono due sottocasi non equivalenti, corrispondenti adue sole famiglie di neutrini, il primo si ottiene per δm2 = 0, il secondo perθ13 = 0. Ci si propone di verificare che il formalismo sviluppato consenta, inentrambi i casi, di riprodurre quanto gia noto.


• Limite δm2 = 0.

La matrice hamiltoniana, fissato p, nel vuoto diventa:

Hv = ωH

−13

+ s213 0 s13c13

0 −13

0s13c13 0 +2

3− s2

13

=1

2h · λ , (5.43)

dove il campo magnetico h e funzione di θ13, e non piu di θ12:

h = ωH

(0, 0, s2

13, 2s13c13, 0, 0, 0,−2√3

+√

3s213

)T. (5.44)

Si osservi che, data la definizione di δm2, questo limite consente di porreθ12 = 0. Dalla Tab. 5.3 si deduce che tutte le componenti evolvono neltempo e resta costante solo P · h.

Si supponga che inizialmente vi siano solo neutrini elettronici (P(0) =ue) e che ni = 1. Sostituendo le componenti del vettore di polariz-zazione valutate al tempo t nella (5.42), questa diventa:

Pee = 1− sin2 2θ13 sin2(ωHt

2

), (5.45)

che non e altro che la formula di oscillazione (3.8).

• Limite θ13 = 0.

La matrice hamiltoniana nel vuoto assume la forma seguente, fissatop:

Hv =ωH3

−1 0 00 −1 00 0 +2

+ωL2

− cos 2θ12 sin 2θ12 0sin 2θ12 cos 2θ12 0

0 0 0

=

1

2h · λ . (5.46)

ove, questa volta, compaiono entrambe le frequenze ed il vettore h tieneconto di entrambi i campi magnetici:

h = ωH

(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,− 2√

3

)T+ωL

(sin 2θ12, 0,− cos 2θ12, 0, 0, 0, 0, 0

)T.

(5.47)Dalla Tab. 5.3, si deduce che P8 resta costante mentre P1, P2, P3 han-no un moto di precessione solo rispetto al campo magnetico BL. Laprecessione delle altre componenti avviene con entrambe le frequenze.Porre θ13 = 0, tuttavia, non e equivalente a considerare ∆m2 = 0.

5.5. LIMITI DI DUE GENERAZIONI 69

Ipotizzando P(0) = ue e ni = 1, si ricava:

Pee = 1− sin2 2θ12 sin2(ωLt

2

). (5.48)

Si osservi che la (5.45) e la (5.48) possono essere, in modo equivalente,ottenute ponendo rispettivamente θ12 = 0 e θ13 = 0 nella formula seguentedi oscillazione nel vuoto, ottenuta per tre famiglie di neutrini:

Pee = 1− 4c413s

212c

212 sin2

(ωLt

2

)− 4c2

13s213s

212 sin2

(ωH − ωL/2

2t

)

−4c213s

213c

212 sin2

(ωH + ωL/2

2t). (5.49)

Tale espressione e stata ricavata in modo analogo alle precedenti considerandoBL e BH definiti dalle (5.22) e (5.23). I limiti a due generazioni sono, dunque,correttamente riprodotti.

Capitolo 6

Oscillazioni sincronizzate ebipolari in tre generazioni

Le oscillazioni collettive, in una supernova, coinvolgono tre famiglie di neu-trini. In questo capitolo saranno analizzate le oscillazioni sincronizzate ebipolari in tre generazioni e sara verificato un comportamento molto simileal caso di due generazioni.

6.1 Grandezze caratteristiche del sistema

D’ora in avanti, si assumera che gli spettri iniziali di νe, νµ e ντ siano ugualia quelli riportati in Fig. 2.3. Pertanto la matrice densita, all’istante iniziale,e data dalla (5.39). Valutando il vettore di polarizzazione per t = 0, ci siaccorge che l’analogo dell’asse z e, in tre generazioni, la direzione individuatada ue:

Pi =ne − nx

nue , (6.1)

Pi

=ne − nx

nue . (6.2)

Assegnate le precedenti condizioni iniziali, e possibile analizzare numerica-mente le (5.33) e (5.34), in modo da conoscere il comportamento del com-plesso sistema oggetto di studio. In Fig. 6.1 e riportata la probabilita Peevalutata secondo la (5.42). Si osserva che il sistema ha un comportamentoanalogo a quello osservato in due generazioni. Nella prima fase (r∼< 67 km),hanno luogo le oscillazioni sincronizzate, poi le oscillazioni bipolari originano

71


Figura 6.1: Oscillazioni sincronizzate e bipolari in tre generazioni di neutrini pergerarchia inversa. Grafico della Pee in funzione della distanza per E ' 14.7 MeV.

conversioni significative di sapore1. Ci si propone di analizzare le piccoledifferenze indotte da δm2 6= 0.

Integrando la (6.1) e dividendo per il numero totale di neutrini ed an-tineutrini, seguono le condizioni iniziali per il vettore di polarizzazione totaleJ:

Ji =Ne −Nx

N +Nue , (6.3)

e, analogamente, sono definite quelle per J. Tenendo conto di queste ultime,al fine di conoscere l’evoluzione dei vettori totali di polarizzazione, si molti-plicano le (5.33) e (5.34) per le densita numeriche di neutrini ed antineutrini(rispettivamente np e np) e si divide per (N +N):

J = +(BL ×WL + BH ×WH) + (v + µD)× J , (6.4)

1Ove non specificato diversamente, nei calcoli numerici si e assunto: δm2 = 7.92×10−5

eV2, ∆m2 = 2×10−3 eV2, θ13 = 0.01 rad, θ12 = 0.59 rad. Il potenziale di materia e quellolegato alle auto-interazioni sono ancora quelli riportati in Fig. 4.5. Infatti le variazioni cuie soggetto µ =

√2GF (N + N), dovute al cambiamento del numero totale di particelle,

non ne modificano in modo significativo l’andamento. Il potenziale di materia, invece, nonsubisce modifiche.

6.1. GRANDEZZE CARATTERISTICHE DEL SISTEMA 73

Figura 6.2: Vettori totali di polarizzazione in funzione della distanza per trefamiglie di neutrini. Nel grafico in alto sono riportate le grandezze associate aineutrini: J (in rosso) e J3 + J8/

√3 (in blu). Nel grafico in basso e illustrato

l’andamento di J e J3 + J8/√

3.

J = −(BL ×WL + BH ×WH) + (v + µD)× J . (6.5)

In tre generazioni, quindi, compaiono due vettori W, uno per ciascunafrequenza:

WL =1

N +N

∫dp ωL,pnpPp , (6.6)

WH =1

N +N

∫dp ωH,pnpPp . (6.7)

I vettori, associati agli antineutrini (WL,H), sono definiti in modo analogocon le opportune sostituzioni.

Come mostrato in Fig. 6.2, i vettori globali di polarizzazione hanno unandamento simile a quello ricavato nel limite di due generazioni (Fig. 4.11).


Si osservi che il modulo del vettore totale J, a piccole distanze dal nucleodella supernova, non coincide con la combinazione lineare (J3 + J8/

√3),

come in due generazioni si aveva per J e Jz. Infatti, pur essendo l’asse zcorrispondente a ue, quest’ultimo e una combinazione lineare di u3 e u8.

Se le auto-interazioni sono dominanti, ossia ωL,H , λ µ|D|, si otten-gono le equazioni di precessione dei vettori totali di polarizzazione rispettoal vettore ausiliario D:

J = µD× J , (6.8)

J = µD× J . (6.9)

Queste riproducono, da un punto di vista formale, le equazioni ricavate nelcaso delle oscillazioni sincronizzate in due generazioni (4.17) e (4.18).

Grandezza caratteristica del sistema e l’energia totale. Questa si ottienecalcolando, come illustrato a proposito della (4.23), la traccia della matricedensita per l’hamiltoniana ed integrando su tutti i possibili impulsi. L’energiamedia per ogni coppia neutrino-antineutrino e funzione di quella totale edassume l’espressione seguente:

Eνν =Etot

(N +N)/2= (WL + WL) ·BL + (WH + WH) ·BH + v ·D +

µ

2D2 .

(6.10)Si osservi che, ponendo δm2 = 0, la precedente assume una forma analogaalla (4.57).

6.2 Approssimazione di allineamento

Finche l’intervallo di variazione delle frequenze ∆ωH,L e trascurabile rispet-to al coefficiente di auto-interazione µ, i singoli vettori di polarizzazione sipossono ritenere allineati con quelli totali. Pertanto i vettori WL,H e WL,H ,nell’approssimazione di allineamento, sono:

WL,H = wL,HJ , (6.11)

WL,H = wL,HJ , (6.12)

ove

wL,H =|WL,H ||J|

=

∫dE ωL,H(ne − nx)

Ne −Nx

, (6.13)

e analogamente sono definite wL,H .

6.2. APPROSSIMAZIONE DI ALLINEAMENTO 75

Figura 6.3: Grafico di Pee in funzione della distanza per valori diversi del poten-ziale di materia λ adottato nel modello di supernova prescelto e E ' 14.7 MeV.Le curve si riferiscono al potenziale di materia λ mostrato nel profilo in Fig. 4.5(ciano), ridotta di un fattore 10 (magenta) e pari al doppio (blu).

Se si introducono le frequenze combinazioni lineari delle precedenti, ω+L,H

e ω−L,H :

ω+L,H =(w + w)L,H

2, (6.14)

ω−L,H =(w − w)L,H

2. (6.15)

e possibile riscrivere la (6.4) e la (6.5), e verificare che |J|, |WL,H |, e leanaloghe grandezze definite per gli antineutrini, si conservano.

Le (6.14) e (6.15) sono utili anche perche permettono di esprimere leequazioni di evoluzione per i vettori ausiliari nel modo seguente:

S = (ω+LBL + ω+HBH)×D + (ω−LBL + ω−HBH)× S + µD× S , (6.16)

D = (ω+LBL + ω+HBH)× S + (ω−LBL + ω−HBH)×D . (6.17)


Nelle precedenti equazioni, si e eliminato il termine di materia definito nella(5.26), portandosi in un sistema corotante con frequenza λ rispetto a ue. Taletrasformazione e giustificata perche, come si osserva in Fig. 6.3, a meno di pic-cole variazioni indotte dall’aver considerato δm2 6= 0 (analizzate tra breve),si ha un comportamento analogo a quello discusso nel limite di due genera-zioni. In quest’ultimo caso, infatti, al crescere del potenziale di materia, siha solo una correzione logaritmica al periodo delle oscillazioni bipolari.

6.3 Quantita conservate

In due generazioni di neutrini si e visto come fosse possibile effettuare l’ap-prossimazione adiabatica (µ ' 0). Questa ha permesso, attraverso l’impiegodegli invarianti adiabatici, di spiegare la decrescita della Pee con la distanza,riprodotta anche in Fig. 6.1. Tale approssimazione e utile anche per di-mostrare che l’energia media per coppia neutrino-antineutrino e ancora unaquantita conservata.

Sfruttando le equazioni di evoluzione per i vettori ausiliari S e D si ricavache

∂

∂t

(D · S

|S|

)= 0 . (6.18)

Tale legge di conservazione permette di ritrovare la legge di conservazionedel numero leptonico che, in due generazioni, si ottiene dal prodotto scalareD ·B. All’istante iniziale, infatti, si trova che(

Di · Si

|Si|

)=Ne −N e

N +N. (6.19)

Osservando il comportamento del sistema a diverse energie riportato inFig. 6.4 per neutrini ed antineutrini, emerge un comportamento analogo aquello che, in due generazioni, porta alla parziale inversione del vettore W.Come in Fig. 4.10, si osserva che la Pee torna al suo valore iniziale per energieinferiori a quella critica, mentre tende a zero per energie superiori a Ec. Per-tanto se, applicando la conservazione del numero leptonico, si vuole valutarel’energia critica Ec, si trova la seguente identita:

(N +N)Dfs =

∫ Ec

0dE (ne − nx)−

∫ ∞Ec

dE (ne − nx) +∫ ∞

0dE (ne − nx) =

(N +N)Dis =

∫ ∞0

dE (ne − nx)−∫ ∞

0dE (ne − nx) , (6.20)

6.4. ANALOGIA CON IL PENDOLO IN TRE GENERAZIONI 77

Figura 6.4: Oscillazioni sincronizzate e bipolari in tre generazioni di neutrini.Grafico della Pee in funzione della distanza a diverse energie per i neutrini (inalto) e per gli antineutrini (in basso).

ove con Ds si e indicata la proiezione di D su S, all’istante iniziale (i) e aquello finale (f). Formalmente questa relazione e analoga alla (4.58), tuttaviain questo caso entrambi i vettori coinvolti nel prodotto scalare sono funzionedel tempo. Dalla stessa uguaglianza si trova che l’energia critica per i neutrinie ancora Ec ' 7 MeV, come per due generazioni (anche per gli antineutrinisi e verificata l’esistenza di un’energia critica Ec ' 4 MeV, sebbene questonon sia evidente dalla Fig. 6.4).

6.4 Analogia formale con il pendolo nel caso

di tre generazioni di neutrini

Per semplicita si consideri il caso, non realistico, di simmetria tra neutrinied antineutrini elettronici (ω−L = ω−H = 0). In due generazioni di neutrini


si e visto come il moto del vettore ausiliario Q, nel campo magnetico B,riproduca formalmente l’analogia con il pendolo classico. Per verificare seanche in tre generazioni esista un’analogia con un sistema fisico semplice, siintroduce l’analogo di Q in tre generazioni, dipendente oltre che dal vettoreS, da entrambi i campi magnetici:

Q = S− ω+L

µBL −

ω+H

µBH , (6.21)

Nell’ipotesi che le auto-interazioni siano dominanti, nelle equazioni (6.16),(6.17) compare il vettore ausiliario appena introdotto. Infatti risulta:

D = (ω+LBL + ω+HBH)×Q , (6.22)

Q = µD×Q . (6.23)

Da queste ultime equazioni si ricava che |Q| = Q si conserva, mentre nonvale lo stesso per |D|.

Se si effettuano le seguenti sostituzioni:

Q

Q→ r , (6.24)

D → L , (6.25)1

µ→ m , (6.26)

ω+LµBLQ → −gL , (6.27)

ω+HµBHQ → −gH , (6.28)

si osserva che le (6.22, 6.23) danno luogo alle seguenti equazioni:

mr× r = r× (L× r) , (6.29)

L = −m(gL + gH)× r . (6.30)

Queste sono le analoghe delle (4.68), (4.69) nell’ipotesi che σ = 0, comeci si attende avendo assunto condizioni iniziali simmetriche tra neutrini edantineutrini elettronici. Dalla (6.30) emerge, in tre generazioni, l’analogiacon un pendolo soggetto a due campi gravitazionali (uno per ogni frequenza).Tuttavia, per quanto concerne la (6.29), non e piu possibile ricavare, come indue generazioni, un’espressione analoga alla (4.68) per la somma dei momentiangolari. Infatti, essendo il prodotto scalare definito mediante le costanti distruttura di SU(3) e non di SU(2), non e piu valida l’identita a× (b× c) =b(a · c)− c(a · b), ove a,b, c sono tre generici vettori assegnati.


Cio implica che, in tre generazioni di neutrini, esiste ancora un’analogiaformale con un pendolo classico, ma non e possibile sfruttare quest’ultimaper la comprensione dei processi di auto-interazione, viste le complicazioni in-dotte dall’impiego di uno spazio otto-dimensionale. Le cose si complichereb-bero ulteriormente nel caso asimmetrico. Tuttavia e possibile analizzare qua-litativamente l’evoluzione del sistema considerando l’energia media per cop-pia neutrino-antineutrino. In generale (cioe assumendo ω−L,H 6= 0) si trovache l’energia media, nell’approssimazione di allineamento, diventa:

Eνν = (ω+LS + ω−LD) ·BL + (ω+HS + ω−HD) ·BH +µ

2D2 . (6.31)

Se si effettua un’approssimazione al primo ordine in θ13, tale energia assumel’espressione seguente, all’istante iniziale ed in gerarchia diretta:

Eνν =Ne +N e − 2Nx

N +N

[− ω+L cos 2θ12 + 2ω+H(θ13 −

1

3)]

+Ne −N e

N +N[− ω−L cos 2θ12 + 2ω−H

(θ13 −

1

3

)]+

2

3µ(Ne −N e

N +N

)2

. (6.32)

Tenendo conto che il passaggio dalla gerarchia normale a quella inversa cor-risponde a ω±H → −ω±H (mentre resta invariata ω±L), si ricava che il sistemain gerarchia normale e prossimo al minimo dell’energia, mentre in gerarchiainversa l’energia e quasi massima. Al crescere di δm2 il sistema, in gerarchiainversa, e sempre piu lontano dal punto di minimo dell’energia quindi, nel-l’analogia con il pendolo, questo, vicino al punto di equilibrio instabile, perpiu tempo sara soggetto al solo moto di precessione.

In definitiva, si e constatato che il sistema oggetto di studio ha un com-portamento analogo a quello ben noto nell’approssimazione di due famiglie dineutrini. Tuttavia, date le complicazioni indotte dallo spazio 8-dimensionaleutilizzato per descrivere il sistema, non e possibile trovare una completaanalogia formale con un sistema fisico semplice, anche ipotizzando simme-tria tra neutrini ed antineutrini elettronici. Pertanto, si e preferito procederetramite calcoli numerici in modo da rilevare le eventuali differenze rispettoal caso di due sole generazioni di neutrini.

6.5 Risultati numerici

Al fine di analizzare gli effetti prodotti da δm2 6= 0, si sono messi a punto deiprogrammi in Fortran e si sono studiate quantita confrontabili con quelle


Figura 6.5: Probabilita Pee in funzione della distanza, per diversi valori di δm2 eE ' 14.7 MeV. Il grafico rappresenta la Pee nell’intervallo analizzato r ∈ [10, 200]km, per δm2 = 0 (verde), δm2 = 7.92 × 10−5 eV2 (blu, valore sperimentale) eδm2 = 7.92× 10−4 eV2 (magenta).

analoghe del caso di due generazioni, quali la P (νe → νe) e gli spettri dienergia (in principio osservabili).

Sebbene gli esperimenti indichino che δm2 ' 7.92× 10−5 eV2, sono staticonsiderati altri valori fittizi di δm2, al fine di studiare la dipendenza fun-zionale da questo parametro. In particolare, oltre al valore sperimentaleδm2 = 7.92 × 10−5 eV2, si e anche usato un valore ipotetico dieci volte piugrande (per esaltare gli effetti di δm2) e il valore δm2 = 0 (per studiare illimite a due generazioni). Non essendo, invece, determinato il valore di θ13,si e anche analizzato il comportamento del sistema al variare di θ13 entro ilimiti sperimentali utilizzando i valori rappresentativi 10−1, 10−2, 10−3 rad.


54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 800.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

r (km)

P ee

δ m2 = 0 eV2

δ m2 = 7.92 ⋅ 10-5 eV2

δ m2 = 7.92 ⋅ 10-4 eV2

Figura 6.6: Probabilita Pee in funzione della distanza, per diversi valori di δm2 eE ' 14.7 MeV (particolare). La Pee e rappresentata nell’intervallo r ∈ [55, 80] km,per δm2 = 0 (verde), δm2 = 7.92·10−5 eV2 (blu) e δm2 = 7.92·10−4 eV2 (magenta),al fine di evidenziare i diversi punti di transizione dal regime sincronizzato a quellobipolare. Al crescere di δm2 e ritardata la transizione dal regime sincronizzato aquello bipolare.

6.5.1 Differenze tra oscillazioni sincronizzate e bipolariin due e tre generazioni al variare di δm2

Al fine di rilevare l’effetto che δm2 6= 0 ha sulle oscillazioni sincronizzate ebipolari di neutrini, si e realizzato un confronto tra le P (νe → νe) ottenuteper δm2 = 0 eV2, δm2 = 7.92 × 10−5 eV2 e δm2 = 7.92 × 10−4 eV2, avendofissato θ13 = 10−2 rad.

In Fig. 6.5 si e riportata la probabilita Pee, per i diversi valori di δm2. Siosserva che, al crescere di δm2, la transizione dal regime sincronizzato a quellobipolare e ritardata, come previsto dalla (6.32). Le differenze osservate sonopiu evidenti in Fig. 6.6, dove sono rappresentate le Pee, al variare di δm2, inun intorno del punto di transizione dal regime sincronizzato a quello bipolare(particolare della Fig. 6.5). Di conseguenza, in un intorno di tale punto,


Figura 6.7: Differenza tra la Pee ottenuta per i diversi valori di δm2 6= 0 e quellaricavata con δm2 = 0 in funzione della distanza (E ' 14.7 MeV). La curva dicolore blu rappresenta la differenza tra la Pee ottenuta con δm2 = 7.92×10−5 eV2,quella magenta e stata ottenuta confrontando la Pee con δm2 = 7.92× 10−4 eV2.∆Pee aumenta al crescere di δm2.

sono rilevabili dei cambiamenti rispetto al caso δm2 = 0, come si osservadalla Fig. 6.7.

Dal grafico emerge che, al variare di δm2, cambia il punto di transizioneda un regime all’altro, e che la Pee subisce delle variazioni a media nul-la. Tali variazioni diventano piu evidenti al crescere di δm2, e tendonoasintoticamente a zero quando gli effetti collettivi perdono vigore.

Il risultato principale e che i due casi di interesse, δm2 = 0 (limite duegenerazioni) e δm2 = 7.92 × 10−5 eV2 (per tre generazioni) hanno una dif-ferenza ∼< 10% in termini di Pee. In gerarchia normale, per gli stessi valori diδm2, si e verificato che la Pee non ammette variazioni significative.

Fissato r ' 200 km e θ13 = 0.01 rad si e poi studiato l’andamento della Peein funzione dell’energia (non mostrato). Anche in questo caso le differenzetra due e tre generazioni di neutrini sono ∼< 10% in termini della Pee. Si


Figura 6.8: Grafico della Pee in funzione della distanza per diversi valori dell’an-golo di mescolamento θ13, con δm2 = 7.92× 10−5 eV2 e E ' 14.7 MeV. La curvadi colore verde e stata ottenuta per θ13 = 10−3 rad, quella blu per θ13 = 10−2 rade quella magenta per θ13 = 10−1 rad.

conclude che il passaggio da δm2 = 0 (2ν) a δm2 = 7.92 × 10−5 eV2 (3ν)comporta solo piccole variazioni in Pee.

6.5.2 Differenze tra oscillazioni sincronizzate e bipolariin due e tre generazioni al variare di θ13

In due generazioni, la transizione dal regime sincronizzato a quello bipolaree anticipata a raggi piu piccoli al crescere di θ13. Si intende verificare se, perδm2 6= 0, esiste un comportamento analogo.

A tal fine, si e studiato l’andamento della Pee in funzione della distanzaper diversi valori di θ13 e con δm2 = 7.92 × 10−5 eV2 (Fig. 6.8). Si osservaun comportamento simile a quello ricavato in due generazioni, con variazionidell’ordine del km per la prima nutazione (il che rende le curve quasi coinci-


Figura 6.9: Grafico della Pee in funzione della distanza per diversi valori dell’an-golo di mescolamento θ13 (particolare). La transizione dal regime sincronizzato aquello bipolare e anticipata al crescere di θ13.

denti). Le differenze esistenti si rendono maggiormente visibili in Fig. 6.9,dove si osserva che la transizione da un regime all’altro e anticipata intornoa r ∼ 67 km per θ13 crescente.

Per studiare le variazioni indotte da δm2 6= 0 rispetto al limite di duegenerazioni, in Fig. 6.10, fissato δm2, si e riportata la differenza, al variaredi θ13, tra le P (νe → νe) rispetto al caso δm2 = 0. Si osserva che la per-turbazione indotta da δm2 6= 0 e tanto piu grande quanto piu θ13 e piccolo.Questo si spiega perche, per θ13 → 0, in due generazioni, nell’approssimazionedel pendolo B e Q sono perfettamente anti-allineati e l’energia potenziale emassima. Invece, in tre generazioni, per θ13 → 0, l’energia potenziale crescema non e mai raggiunta la condizione di completo anti-allineamento tra icampi magnetici e i vettori ausiliari. Tuttavia dal carattere della pertur-bazione, si puo affermare che, indipendentemente dal valore dell’angolo θ13,la descrizione semplificata con due generazioni di neutrini descrive il compor-tamento medio del sistema in tre generazioni. In particolare per θ13 = 0.01


Figura 6.10: Differenza tra la Pee ottenuta per δm2 = 7.92 × 10−5 eV2 e quellaricavata per δm2 = 0, in funzione della distanza. Tali curve sono state ottenuteal variare di θ13: verde per θ13 = 10−3 rad, blu per θ13 = 10−2 rad e magenta perθ13 = 10−1 rad. La ∆Pee aumenta per θ13 che decresce.

rad si trova che la massima variazione della Pee (∆Pee) e dell’ordine del 10%.

Fissato δm2 = 7.92 × 10−5 eV2, il grafico della Pee, al variare di θ13, infunzione dell’energia (non mostrato), non evidenzia significative differenzese non in un intorno dell’energia critica. Tali differenze sono un ordine digrandezza inferiori rispetto a quelle rilevate al variare di δm2. Tali risultaticonfermano che la generalizzazione da due a tre generazioni di neutrini inducevariazioni di Pee dell’ordine del percento o al massimo del 10%.

6.5.3 Spettri di energia e limite di due generazioni dineutrini

Per ciascuna famiglia di neutrini e possibile esprimere i flussi all’istante finale(f) in funzione di quelli iniziali (i) e delle probabilita di oscillazione nel modo


Figura 6.11: Spetti finali per neutrini ed antineutrini in tre generazioni. Nelgrafico a sinistra e riportato lo spettro finale di νe (blu) e di (νµ + ντ )/2 (rosso), lelinee tratteggiate indicano gli spettri iniziali. Nel grafico a destra, sono riportatele stesse quantita per gli antineutrini.

seguente:

ϕfe (E)

〈Ee〉=

ϕie(E)

〈Ee〉Pee(E) +

ϕiµ(E)

〈Eµ〉Pµe(E) +

ϕiτ (E)

〈Eτ 〉Pτe(E) , (6.33)

ϕfµ(E)

〈Eµ〉=

ϕie(E)

〈Ee〉Peµ(E) +

ϕiµ(E)

〈Eµ〉Pµµ(E) +

ϕiτ (E)

〈Eτ 〉Pτµ(E) , (6.34)

ϕfτ (E)

〈Eτ 〉=

ϕie(E)

〈Ee〉Peτ (E) +

ϕiµ(E)

〈Eµ〉Pµτ (E) +

ϕiτ (E)

〈Eτ 〉Pττ (E) . (6.35)

Relazioni analoghe valgono per gli antineutrini. E’ utile esprimere i flussifinali solo in funzione della Pee e di quelli iniziali. In tal caso, tenendo contoche Pαe + Pαµ + Pατ = 1 con α = e, µ, τ , e necessario considerare una com-binazione lineare degli spettri associati a νµ e a ντ . Sfruttando il fatto cheϕiµ = ϕiτ = ϕix e le energie medie di νµ e ντ sono uguali, si definisce lo spettro


finale medio tra νµ e ντ :

ϕfx =ϕfµ + ϕfτ

2. (6.36)

Di conseguenza i flussi finali assumono le espressioni seguenti:

ϕie(E)

〈Ee〉→ ϕie(E)

〈Ee〉Pee(E) +

ϕix(E)

〈Ex〉(1− Pee(E)) , (6.37)

ϕix(E)

〈Ee〉→ ϕie(E)

〈Ee〉1− Pee(E)

2+ϕix(E)

〈Ex〉1 + Pee(E)

2. (6.38)

Tramite le precedenti relazioni sono stati ottenuti gli spettri di energiariportati in Fig. 6.11, per neutrini ed antineutrini. Si osservi che per i νe egli νe e ancora evidente lo scambio degli spettri con quelli iniziali di νx e νx.Questo non e piu vero per i νx e gli νx finali.

Utilizzando le (6.37), (6.38), in Fig. 6.12 si e riportata la differenza tragli spettri finali in tre generazioni ed il limite di due generazioni per neutrinied antineutrini. Si nota una differenza tra i due spettri solo in prossimitadell’energia critica, risultato che rispecchia quanto gia evidenziato a propositodell’andamento della Pee in funzione dell’energia al variare di δm2. In ognicaso la differenza tra gli spettri e trascurabile, essendo al massimo circa paria 10−3 nelle stesse unita arbitrarie di Fig. 6.11.

Dalle differenze tra gli spettri emerge, inoltre, un comportamento asim-metrico tra neutrini ed antineutrini. Si e constatato che tale asimmetriadipende dall’angolo di mescolamento θ12. Infatti per valori ipotetici di θ12

piu piccoli (θ12 ' 0.31 rad) il comportamento tra neutrini ed antineutrini esimmetrico e le differenze tra gli spettri sono dell’ordine dell’1%.

Nel discutere la Fig. 4.13 si e osservato che gli spettri finali mostranouna completa inversione rispetto a quelli iniziali. Tale inversione e evidenteperche si e trattato un caso ideale di esistenza di due sole famiglie di neutrini.Infatti la matrice densita all’istante iniziale, se posta sotto forma di matrice3 × 3, assume la forma seguente: ρi = diag(nie, n

ix, 0). In realta, nel caso

piu generale, si deve ipotizzare che la matrice densita, all’istante iniziale,sia uguale a ρi = diag(nie, n

ix, n

ix). Il limite a due generazioni consiste nel

porre Pττ = 1, ossia nel considerare l’evoluzione di due delle tre famiglie dineutrini. Sotto questa ipotesi, in due generazioni, si ricava che lo spettrofinale dipende da quelli iniziali nel modo seguente:

ϕfx(E)

〈Ex〉=ϕfµ(E) + ϕfτ (E)

2〈Ex〉= ϕie(E)

1− Pee(E)

2〈Ee〉+ ϕix(E)

1 + Pee(E)

2〈Ex〉, (6.39)


0 5 10 15-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10-3

E (MeV)

∆ (F

luss

o fin

ale

neut

rini)

(a.u

.)

0 2 4 6 8-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10-3

E (MeV)

∆ (F

luss

o fin

ale

antin

eutri

ni) (

a.u.

)

νe

(νµ + ν

τ)/2

anti-νe

anti-(νµ + ν

τ)/2

Figura 6.12: Differenza tra gli spetti finali ottenuti con δm2 = 7.92× 10−5 eV2 equelli con δm2 = 0. Nel grafico a sinistra e riportata la differenza tra gli spettrifinali di νe (blu) e di (νµ + ντ )/2 (rosso), le linee tratteggiate indicano gli spettriiniziali. Nel grafico a destra, sono riportate le stesse quantita per gli antineutrini.

ove si e sfruttato il fatto che ϕfτ = ϕix. Questo limite e quello che si riproducein tre generazioni ponendo δm2 = 0. Cio spiega perche non e osservata lacompleta inversione tra gli spettri sia per δm2 = 0 che per δm2 6= 0.

In gerarchia normale le differenze tra gli spettri finali per i νe e i (νµ+ντ )/2per δm2 = 0 e δm2 6= 0 sono trascurabili per il valore sperimentalmenteassociato a δm2.

In definitiva, si e constatato che la massima perturbazione, indotta daδm2 6= 0, e dell’ordine del 10% relativamente alle curve di probabilita Pee inprossimita del punto di transizione dal regime sincronizzato a quello bipolare.Per quanto concerne gli spettri di energia, in prossimita dell’energia critica,la massima variazione osservata e dell’ordine di ∼ 10−3 in termini relativi.Tali piccole differenze sono dovute al fatto che δm2 ∆m2 e che θ13 1.


Si ricava, dunque, l’importante conclusione che il limite di due generazioni(δm2 = 0) rappresenta una buona approssimazione del caso piu generale intre generazioni, molto piu complesso sia analiticamente che numericamente.L’approssimazione in due generazioni puo, quindi, essere utilmente impiegatain tutti i casi in cui non sia necessaria un’accuratezza superiore al 10% nelcalcolo della probabilita di sopravvivenza Pee.

Capitolo 7

Conclusioni

I neutrini hanno un ruolo fondamentale nella dinamica di una supernova concollasso del nucleo. L’analisi del loro comportamento potrebbe, infatti, co-stituire un valido contributo per la comprensione dei processi che regolano ilcollasso di una stella massiva, attualmente non del tutto chiari e non corret-tamente compresi tramite le simulazioni numeriche. Tuttavia, le esplosionidi supernovae di secondo tipo sono eventi relativamente rari, pertanto, laquantita di informazioni sperimentali a disposizione e esigua. L’unica esplo-sione importante per la Fisica dei neutrini e quella della SN 1987A: ciascunodei rivelatori allora a disposizione osservo circa 10 eventi. Attualmente gliapparati sperimentali a disposizione dovrebbero essere in grado di rivelare,per la prossima esplosione galattica, circa 104 neutrini e, dunque, potrebberomettere alla prova le teorie attualmente esistenti in modo dettagliato.

Il meccanismo di esplosione non e ancora del tutto chiaro, e si ritiene pos-sa essere compreso soprattutto analizzando il comportamento dei neutrini.Nella supernova, infatti, data l’alta densita di neutrini, acquisiscono un ruo-lo determinante i processi di auto-interazione tra gli stessi. Tali fenomenimostrano caratteristiche del tutto diverse e inattese rispetto alle comunioscillazioni di neutrini nel vuoto o nella materia ordinaria. Per esempioi neutrini, indipendentemente dalla loro energia, possono oscillare con lastessa frequenza a causa degli effetti delle auto-interazioni. Poiche il poten-ziale di auto-interazione decresce con la distanza dal nucleo della supernova(µ ∼ r−4), le conversioni di sapore hanno caratteristiche non periodiche epossono diventare complete.

Le oscillazioni collettive finora studiate possono essere classificate in oscil-lazioni sincronizzate ed oscillazioni bipolari. Per analizzare le caratteristiche

91

92 CAPITOLO 7. CONCLUSIONI

di tali auto-interazioni ed i loro effetti, si fa uso del formalismo della ma-trice densita. L’evoluzione del sistema si studia risolvendo l’equazione diLiouville, oppure studiando le variazioni del vettore di Bloch associato allamatrice densita. In quest’ultimo caso, ipotizzando l’esistenza di due sole ge-nerazioni di neutrini, il vettore di Bloch e formalmente analogo ad un vettoredi polarizzazione che ha un moto di precessione in un campo magnetico confrequenza pari a quella di oscillazione (nel vuoto).

Anche nel limite semplificato di due generazioni, le equazioni differenzialiche descrivono l’evoluzione del sistema sono non lineari. Tali equazioni, sor-prendentemente, possono essere ricondotte a quelle di un pendolo con massavariabile nel tempo e munito di momento angolare intrinseco. In gerarchianormale, il pendolo, all’istante iniziale, si trova in una posizione di equilibriostabile (in basso), e vi rimane a meno di piccole oscillazioni. In corrisponden-za non si osservano conversioni significative di sapore. Invece, in gerarchiainversa, il pendolo si trova, inizialmente, nella posizione di equilibrio insta-bile (in alto) ed il momento angolare intrinseco, corrispondente per i neutrinialla asimmetria tra νe e νe, origina un moto di precessione. Essendo la massadel pendolo variabile nel tempo, ad un certo istante, il pendolo abbandonala posizione iniziale, cominciando ad oscillare. Il suo moto diventa, dunque,un moto composto da precessione e nutazione. Nel caso delle oscillazionidi neutrini, questo comportamento corrisponde al regime di oscillazioni sin-cronizzate e, successivamente, bipolari. E’ possibile studiare in dettaglioquesti due regimi e la transizione dall’uno all’altro. Inoltre, si verifica comelo stato finale corrisponda a spettri di energia parzialmente invertiti tra νe eνµ,τ .

In letteratura, attualmente, sono presenti analisi dettagliate dei fenomenicollettivi in due sole generazioni effettive di neutrini: νe e νx. Il presentelavoro di tesi ha avuto come obiettivo quello di estendere l’analisi delle oscil-lazioni sincronizzate e bipolari, e dello scambio degli spettri, nel caso realisti-co con tre generazioni di neutrini (νe, νµ e ντ ). Essendo le energie medie deineutrini νµ e ντ tali da rendere possibili solo interazioni da correnti neutre,si e effettuata una rotazione al fine di semplificare la trattazione eliminandol’angolo di mescolamento θ23. Si sono, dunque, analizzati gli effetti prodottida δm2 6= 0.

L’introduzione della matrice densita in tre dimensioni ha richiesto unadecomposizione della stessa e della hamiltoniana attraverso le matrici di Gell-Mann. La decomposizione di matrici densita 3 × 3 con quelle di Gell-Manncomporta l’introduzione di vettori di Bloch 8-dimensionali ed e oggetto direcenti analisi in Informazione Quantistica, in Fisica Matematica e non solo.

93

Le matrici di Gell-Mann hanno permesso di ottenere delle equazioni dievoluzione per il vettore di Bloch che, nel vuoto, riproducono la precessionedi un vettore di polarizzazione rispetto a due campi magnetici in uno spazio8-dimensionale. La precessione avviene, con frequenza diversa, per ciascuncampo magnetico. Infatti una delle due frequenze dipende da ∆m2 e l’altra efunzione di δm2. Si e verificato come il formalismo sviluppato riproduca cor-rettamente il caso noto di due generazioni di neutrini, in due modi possibili:ponendo θ13 = 0, oppure ipotizzando, come piu utile nell’ambito dell’analisicondotta, δm2 = 0.

Includendo il termine di materia e quello di auto-interazione, ci si e pro-posti di verificare l’esistenza di un’analogia formale con un semplice sistemafisico che potesse permettere di comprendere meglio il comportamento deineutrini in una supernova. Si e ricavato che le auto-interazioni di neutrini, intre generazioni, riproducono formalmente le equazioni di un pendolo sogget-to all’azione di due campi gravitazionali, uno per ogni differenza di massa.Tuttavia, data la complessita del sistema, questa analogia non semplificaparticolarmente la descrizione, anche nel caso piu semplice in cui si ipotizzasimmetria tra neutrini ed antineutrini elettronici.

Si sono messi a punto dei programmi numerici in Fortran per analizzarenumericamente l’effetto indotto dalla differenza di massa δm2 6= 0. A tal fine,si sono presi in considerazione valori di δm2 anche diversi da quello sperimen-talmente misurato (δm2 = 7.92× 10−5 eV2), per valutare i cambiamenti nelcomportamento del sistema al crescere di δm2. Confrontando le P (νe → νe)ottenute per δm2 6= 0 con quella ricavata ponendo δm2 = 0, si e rilevato cheil caso δm2 6= 0 agisce come una perturbazione rispetto al caso noto di duegenerazioni. Inoltre, al crescere di δm2, il punto di transizione da un regimeall’altro e ritardato. Questo si spiega perche il sistema e sempre piu lontanodal punto di equilibrio stabile e tende, per piu tempo, ad essere soggetto alregime di sola precessione. L’esistenza di punti diversi di transizione implica,in un intorno di questi, una differenza massima delle curve di probabilita(rispetto la caso δm2 = 0) dell’ordine dell’10%. Si puo concludere che illimite semplificato di due generazioni descrive con buona approssimazione ilsistema oggetto di studio.

Sempre confrontando le P (νe → νe) nei vari casi, si e verificato se ilsistema con δm2 6= 0 avesse, come e lecito attendersi, un comportamentoanalogo a quello osservato per δm2 = 0, al variare di θ13. Si e constatato che,al crescere di θ13, la transizione da un regime all’altro e anticipata. Anche inquesto caso, per δm2 = 7.92 × 10−5 eV2, la differenza osservata rispetto alcaso δm2 = 0 e dell’ordine del 10% nelle probabilita di oscillazione.

94 CAPITOLO 7. CONCLUSIONI

Sono stati studiati gli spettri finali ottenuti per δm2 6= 0. E’ stato neces-sario definire uno spettro finale medio tra νµ e ντ in modo da poter esprimerei flussi finali in funzione di quelli iniziali e della Pee. A differenza del caso didue generazioni, mentre per lo spettro finale dei νe si osserva uno scambiorispetto a quello iniziale dei νx, la stessa cosa non e piu evidente per i νx.Inoltre, la differenza relativa fra gli spettri di energia per δm2 = 0 e δm2 6= 0e al piu di O(10−3).

Si puo concludere, pertanto, che l’approssimazione di due famiglie di neu-trini, nell’ambito del modello a bulbo, descrive in modo esauriente il compor-tamento dei neutrini all’interno della supernova entro una approssimazionedel 10% in Pee, e migliore dell’1% negli spettri di energia. Calcoli completiin tre generazioni si rendono necessari solo se si vogliono ottenere preci-sioni migliori. La stabilita dei risultati 2ν rispetto alla generalizzazione 3νrappresenta il maggior risultato di questa tesi.

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