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Università degli studi di Napoli “Federico II”Facoltà di Ingegneria

TESI DI LAUREA

Diffusione da superfici frattali :Il metodo delle condizioni al contorno

estese

di DE ROSA NICOLA

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SOMMARIOSOMMARIO

Diffusione da superfici frattali Diffusione da superfici frattali monodimensionalimonodimensionali

Diffusione da superfici frattali Diffusione da superfici frattali bidimensionalibidimensionali

Geometria frattale

Modello fBm

Modello WM

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Geometria frattaleGeometria frattale

Autoaffinità o autosimilarità: su differenti scale, i frattali deterministici (merletto a trina di Von Koch, curva di Von Koch, etc) saranno identici, mentre i frattali aleatori presenteranno le stesse proprietà statistiche; Dimensione frattale: misura il grado di frastagliatura ed irregolarità di un oggetto; è in generale un numero reale positivo (ad esempio la dimensione della curva di Von Koch è 1.2618).

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Modello fBm (Fractional Brownian motion)Un processo z(x,y) descrive una superficie fBm se per ogni x, x’,y, y’, i suoi incrementi soddisfano tale relazione:

dss

yxzyxzHH 22

2

2exp

2

1,,Pr

dove:

• H:coefficiente di Hurst;

• D=3-H:dimensione frattale; HTs 1

• ;

• T :Topotesia.

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Modello WM (Weierstrass-Mandelbrot)

0 è il numero d’onda della componente fondamentale; , irrazionale, è il passo della progressione geometrica con cui sono spaziate le componenti spettrali;

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a è un fattore di scala dell’altezza del profilo.

nnC , tengono conto del comportamento in’ampiezza e fase di ogni tono.

WM monodimensionale matematica: è una sovrapposizione di infiniti toni sinusoidali;

)sin()( 0

1

0n

nHnM

nn xCaxz

Noi useremo una WM monodimensionale fisica, che si ottiene troncando su M toni la WM matematica, ed è espressa dalla seguente formula analitica:

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Diffusione da superfici frattali monodimensionali

Dall’applicazione del teorema di equivalenza scaturiscono tali equazioni:

).'('

)'('0

ˆˆ

2

2222

xzz

xzz

ggSdS

r

rnrr,rr,nr

)'('0

)'('

ˆˆ

1

1111

xzz

xzz

ggSdSi

r

rnrr,rr,nrr

7

• condizioni al contorno:

rr 21

rnrn 12 ˆˆ

. ,

,

1

2

1

2

TM

TE

in cui:

• rr,rr, 21 , gg sono le funzioni di Green rispettivamente nel mezzo 1 e nel mezzo 2;

• rrr i ,, 21 sono rispettivamente il campo totale nel

mezzo 1, nel mezzo 2 ed il campo incidente che è un’onda piana polarizzata linearmente lungo l’asse y;

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Sfruttando la quasi-periodicità della funzione WM

Espansione in serie di Fourier generalizzata del campo superficiale in termini di M indici q che variano tra - e +

1,..,0

,1~expexp

Miq

Nix

i

xjxjkxdSd Nqr q

1,..,0

,11~expexpˆ

Miq

Dix

i

xjxjkkxdSd Nqrn q

, sono i coefficienti della serie di Fourier.q,N q,D , ;

10 ,...,~ Mqqq ] ,,,[=

~ 1000

M N

+ calcolo di integrali di tipo Neumann e Dirichlet

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Espressione del campo diffuso e trasmesso in termini di M indici l che variano tra - e +

exp)( 1

1,..,0

rkr ll

jb

Mil

s

i

exp)( 2

1,..,0

2 rkr ll

jb

Mili

10

Le ampiezze devono soddisfare tale sistema matriciale : ll bb ,

DDNN

DDNN

DDNN

DDNN

22

22

11

11

QQb

QQ0

QQa

QQb

noto il campo incidente

1

1

2

1

2

aW

QQ

D

DDNN

12

1

211 DDNN QQQQW

2

1

222

12

1

21

DDNND

DDDNN

QQQQb

QQQQb

11

~

exp111

02,1

2,1

2,1,2,1

M

n

Hnnzql

z

mmD aCkJj

k

kQ

nnl

l

qlql φl

~

exp111

02,12

2,1

22,1

,2,1

M

n

Hnnzql

z

xxmmN aCkJj

k

kkkQ

nnl

l

qlqlql φl

~exp4

1,, φqqq jNN

~exp4 ,, φqqq j

jDD

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devono soddisfare tali espressioni :

ll kk 21 ,

zxk lll ˆˆ 2,12,1 zx kk • ;

iix kk sin• .

llll Nl 2211)2,1( sinsin~ kkkkk ixxx

22)2,1( ll xz kkk

• Equazione del reticolo

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E’ possibile avere una soluzione numerica?

Sì, a patto che si tronchino le matrici e si implementi di conseguenza un criterio che non apporti significative degradazioni dei campi

Si fissa l’ordine di interazione massimo dei campi: maxK

Si scelgono gli indici q ed l tali che:

1

0max

M

ii Kl

1

0max

M

ii Kq

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Efficienza del modello

Ragioni di carattereenergetico

Considerazioni sui diagrammi di irradiazione diffusi

Implementazione diun criterio numerico-energetico

Presentazione dei suddettidiagrammi

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Criterio energetico

Legge della conservazione dell’energia

Potenza diffusa Potenza trasmessaNormalizzazione alcampo incidente

,

,

2

1

2

1

12

2

1

2

1

21

TM

TE

r

r

r

r

1coscoscos

1

12

2

11

2

2

Tp N

lll

N

lll

i

bbA

e

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Il criterio che imponiamo è:

,01.01

,01.01

e

ee kk

Ci fornisce anche un criterio per fissare l’ordine di interazione massimo a cui fermare il calcolo dei campi in gioco.maxK

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Presentazione dei risultati ottenuti

Il mezzo 1 è lo spazio libero, mentre il mezzo 2 è un dielettrico omogeneo con permittività ;r

I parametri usati sono:

Faremo variare tali parametri mostrando varie situazioni di interesse.

18

Al variare di la struttura del diagramma si conserva, e c’è solo un cambiamento nell’ampiezza e nella potenza diffusa.

r

4r 16r

80r

19

H: agisce sui gruppi di modi, decrescendo il diagramma si sparpaglia e la sua struttura si conserva.

H=0.3 H=0.7

H=0.9

20

a: abbatte o incrementa tutti i toni, agisce sui modi di un gruppo, cambiandone il rapporto e provocando la non conservazione della struttura del diagramma d’irradiazione.

a=0.01 a=0.03

a=0.05

21

L: un suo aumento provoca un restringimento del diagramma che al limite tende a una delta di Dirac.

L=5 L=10

L=50

22

: provoca una traslazione del diagramma in corrispondenza della direzione speculare.

i

01.0i 6 i

1.2 i

23

Ma la soluzione numerica è affetta da limiti di validità?

Sì, per superfici molto rugose nasce il problema del mal-condizionamento delle matrici, la cui inversione

diventa delicata, le cui cause sono da ricercare:

nei modi evanescenti, legati al calcolo delle correnti superficiali,

per cui le funzioni di Bessel presentano un argomento

immaginario

nel parametro di rugosità nelle funzioni di Bessel che è grande,

dal momento che è grande

lzk 2,1

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Si può controllare il mal-condizionamento?

Sì, aumentando la precisione nei calcoli tramite il comando SetPrecision di

Mathematica 5.0, dove per precisione siintende il numero di cifre significative

con cui vengono svolti i calcoli

Si sposta il mal-condizionamento

Aumentano i tempi di calcolo

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Qualche esempio

Precisione 16a=0.051

e=1.000252 minuti

Precisione 20a=0.059

e=1.000829 minuti

Precisione 30a=0.110

e=1.5166710 minuti

Precisione 25a=0.082

e=1.011949 minuti

+39%

+15.7%

?

+60.8 %

?

Parametri fissati: H=0.5, f=600 MHz, 3max K

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Per precisione 30 il mal-condizionamento nasce prima, visto l’elevato valore di e

Rosso: precisione 30Blu: precisione 25ERRORE

Il vero valore di a varia tra 0.082 e 0.090, accettando un errore su e tra 1.2% e 2.63 % , in circa 10 minuti

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E se aumentassimo ulteriormente la precisione?

Precisione 100a=0.41e=27319311 minuti

il mal-condizionamento nasce prima

Il vero valore di a varia tra 0.082 e 0.090, come per precisione 30, ma in circa11minuti

28

Diffusione da superfici frattali bidimensionali

nnnnHn

M

nn yxCayxz

sincossin, 0

1

0

n tiene in conto il comportamento in direzione di ogni tono.

Modello di superficie: WM bidimensionale fisica:

Modello elettromagnetico:

dAj

A

i )',()'(ˆ)',()'(ˆ)( rrGrEnrrGrHnrE ),(

),(

yxzz

yxzz

0

)(rE

campo magnetico

campo elettrico

funzione di Green

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Caso c.e.p 0)'(ˆ rEn

)'(ˆ rHnL’unica sorgente superficiale è che espandiamo in serie di Fourier

generalizzata in termini di M indici q che variano tra

- e +

1,,0

11 '~'~''exp)'(ˆ

Miq

yxyx

i

yxjykxkj

NqNqαrHn q

];sin,,sin[~

],cos,,cos[~

11

00011

000

M

MyM

Mx NN

è il vettore dei coefficienti di Fourier.qα

+ calcolo di integrale di tipo Dirichlet

30

Espressione del campo diffuso in terminidi M indici l che variano tra - e +

]exp[)(

1,,0

Mil

S

i

j

rkBrE ll

E’ un problema vettoriale:soluzione?

Proiezione delle equazioni sui tre assi cartesiani

Risoluzione di tre problemi scalari

31

Campo incidente: onda piana polarizzata lungo y

Componente del campo diffuso lungo y:

1,,0

)exp()(

Mil

ySy

i

jBE

rkr ll

Calcolo dei coefficienti in’ampiezza:

'

G

D

GDy

qql

qqll

AQA

AQB

')(

')( 1

1

AQQB

AQA

qlqll

qlq

DDy

DG

AA '

32

• A: matrice diagonale delle ampiezze del campo incidente;

• ;)()~

exp()1()1(1

0

)()(

M

n

Hnnzql

mmD CakJj

nnl

qlql φlQ

• ;

)(

)(

)(

)( 1

1

11

bb

b

b NyqN

Nyq

yqN

yq

G

l

l

l

l

Aq

• ).~exp()()1()()2(

)( 223

φql qqql

q jkkkkkk

jzyzyyyxx

z

Gy

Calcolo della corrispondente componente del campo totale

33

Come calcoliamo le altre due componenti del campo diffuso?

Calcolo delle corrispondenti componenti del campo totale

Allo stesso modo della componente lungo y, con una differenza: in tal caso =0, per cui :

),(

),(),(

0AQ

AQB

qql

qqll

GzxD

GzxDzx

'A

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Qualche esempio numerico

Realizzazione del campo diffuso

Riporteremo dei tagli del diagramma 3-D al variare dei parametri.

I parametri usati sono:

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H: legato all’inviluppo del diagramma, ne provoca uno sparpagliamento quanto piu’ è piccolo.

H=0.3 a=0.04 H=0.7 a=0.04

H=0.9 a=0.04

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a: agendo su tutti i toni, provoca un cambiamento del rapporto tra i modi di un gruppo.

a=0.01 a=0.03

a=0.05

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CONCLUSIONICONCLUSIONI La geometria frattale ha dotato la ricerca sulla diffusione da superfici naturali di uno strumento efficiente ed adeguato a descrivere la complessità del mondo naturale;

Il metodo EBCM con l’uso della WM ha permesso di trovare una soluzione del campo diffuso come sovrapposizione modale, in linea di principio valida per qualsiasi superficie:

• il limite di validità è dato dal mal-condizionamento delle matrici per superfici molto rugose, che ha una sua ragione fisica ed è quindi ineliminabile;

• è possibile controllarlo aumentando la precisione nell’inversione delle matrici;

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• è sufficiente fermarsi a precisione 30;

Anche per il caso 2-D il campo diffuso è scritto come sovrapposizione modale:

• il problema è vettoriale;

• proiettiamo le equazioni ottenute sui tre assi e risolviamo problemi scalari;

I risultati ottenuti in entrambi i casi sono il linea con le aspettative teoriche.

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FINEPRESENTAZIONE

40

Approfondimento sulla geometria frattale

Parametri superficiali:

M=1

M=2

M=3

M=4

41

M=5

M=6

42

Approfondimento sulla generazione dei modi radiativi

Parametri superficiali:

0max K

campo diffusocampodiffuso

43

1max K

2max K

3max K

campodiffuso

campodiffuso

campodiffuso

44

x

z

E i

H i

i

H H

r

r'

^ n

s

)H(r'n ˆ

Campo diffuso + campo incidente=0

Approfondimento del teorema di equivalenza

ˆˆ 11111 rrnrr,rr,nrr EEggESdESi

Campo diffusodiverso da zero

45

x

z

r

r'

^ n

s

)H(r'n ˆ

ˆˆ 22222 rrnrr,rr,nr EEggESdS

Campo diffuso nullo