I FRATTALII FRATTALI

OvveroOvvero

““Quanto è lunga la costa della Bretagna?”Quanto è lunga la costa della Bretagna?”

Che cosa sono?Che cosa sono?

Termine coniato nel 1975 da Termine coniato nel 1975 da B. B. MandelbrotB. B. Mandelbrot per indicare una vasta categoria di oggetti per indicare una vasta categoria di oggetti

matematici di dimensione geometrica matematici di dimensione geometrica frazionaria (da cui frazionaria (da cui frattalefrattale, dal latino , dal latino frangerefrangere))

I frattali sono figure geometriche caratterizzate I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all’infinito di uno stesso dal ripetersi sino all’infinito di uno stesso

motivo su scala sempre più ridottamotivo su scala sempre più ridotta

Le prime curve vengono studiate già a fine Le prime curve vengono studiate già a fine ‘800 da Koch e Peano, ma vengono ‘800 da Koch e Peano, ma vengono

considerate pure stranezze matematicheconsiderate pure stranezze matematiche

Con la pubblicazione del libro Con la pubblicazione del libro The fractal The fractal geometry of naturegeometry of nature (Mandelbrot – 1977) i (Mandelbrot – 1977) i

frattali diventano uno strumento frattali diventano uno strumento matematico per studiare il matematico per studiare il

comportamento di fenomeni naturali comportamento di fenomeni naturali complessicomplessi

AutosimilaritàAutosimilarità Struttura fineStruttura fine Risoluzione indefinitaRisoluzione indefinita Dimensione frazionaria Dimensione frazionaria

La definizione di frattale non è unica. Esiste una grande varietà di oggetti che vengono definiti frattali ed ognuno ha caratteristiche proprie.

Le principali proprietà di una figura frattale F sono:

AutosimilaritàAutosimilarità

F è unione di un numero di parti che , ingrandite di un F è unione di un numero di parti che , ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F certo fattore, riproducono tutto F

In altri termini se dettagli vengono osservati a scale In altri termini se dettagli vengono osservati a scale differenti, si nota sempre una certa somiglianza differenti, si nota sempre una certa somiglianza

approssimativa con il frattale originaleapprossimativa con il frattale originale

Nella figura accanto sono Nella figura accanto sono evidenziati i primi tre passi di evidenziati i primi tre passi di questo confronto. La parte questo confronto. La parte evidenziata in evidenziata in rossorosso è la è la copia in piccolo dell'intera copia in piccolo dell'intera

foglia. La parte evidenziata in foglia. La parte evidenziata in blublu a sua volta è la copia a sua volta è la copia

ridotta della parte in rosso. ridotta della parte in rosso. Infine la parte Infine la parte celesteceleste è la è la

copia ridotta della parte blu. copia ridotta della parte blu.

Si è sviluppata una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi.Uno dei frattali biomorfi più riusciti è la foglia di felce i cui dettagli riproducono sempre la stessa figura

Struttura fineStruttura fine

F rivela dettagli ad ogni ingrandimento:

ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e

complesso del precedente

Risoluzione indefinitaRisoluzione indefinita

Non è possibile definire in modo netto ed assoluto i Non è possibile definire in modo netto ed assoluto i confini dell'insieme (i bordi dell'immagine) confini dell'insieme (i bordi dell'immagine)

F non si può descrivere come luogo di punti che F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o soddisfano semplici condizioni geometriche o

analitiche. analitiche.

La funzione è ricorsiva: La funzione è ricorsiva: F = {Z | Z = f(f(f(...)))} F = {Z | Z = f(f(f(...)))}

Per esempio usiamo come formula generatrice del frattale la seguente:  Z=z*z+c; si tratta di una parabola traslata rispetto all'origine in base al termine noto c.

Quello che interessa è come si comporta, dato un punto di partenza, reimpostando nell'equazione i risultati della

elaborazione precedente (z=Z) e proseguendo generando una successione di numeri reali il cui comportamento dipende dalla scelta del punto di

partenza, nonché di c.

E' proprio questo che genera l'indefinitezza, ovvero la possibilità di iterare virtualmente all'infinito per ciascun

punto prima di passare al successivo.

Questa immagine mostra l'insieme di Mandelbrot ottenuto con un numero crescente di iterazioni massime:

la precisione del disegno dei confini diventa sempre più accurata

Dimensione frazionariaDimensione frazionaria

Sebbene i frattali possano essere rappresentati Sebbene i frattali possano essere rappresentati (se non si pretende di rappresentare infinite (se non si pretende di rappresentare infinite iterazioni, cioè trasformazioni per le quali si iterazioni, cioè trasformazioni per le quali si conserva il particolare motivo geometrico) in conserva il particolare motivo geometrico) in

uno spazio convenzionale a due o tre uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera. dimensioni, la loro dimensione non è intera.

La lunghezza di un frattale "piano" non può La lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamene, ma dipende essere misurata definitamene, ma dipende

strettamente dal numero di iterazioni al quale si strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale. sottopone la figura iniziale.

Ricordiamo che un oggetto è Ricordiamo che un oggetto è autosimileautosimile quando può essere quando può essere diviso in un certo numero di parti simili alla figura intera. diviso in un certo numero di parti simili alla figura intera.

Un Un segmentosegmento può essere diviso in può essere diviso in NN parti simili al segmento parti simili al segmento intero, ciascuna parte di lunghezza intero, ciascuna parte di lunghezza 1/ N1/ N..

Un Un quadratoquadrato può essere diviso in può essere diviso in NN22 parti simili al quadrato parti simili al quadrato intero; ciascuno di questi quadratini più piccoli avrà area pari intero; ciascuno di questi quadratini più piccoli avrà area pari

a a 1/N1/N22 del quadrato grande. del quadrato grande.

Un Un cubocubo può essere diviso in può essere diviso in NN33 cubi più piccoli; ciascuno avrà cubi più piccoli; ciascuno avrà volume pari ad volume pari ad 1/N1/N33 del cubo iniziale. del cubo iniziale.

In questi casi la In questi casi la dimensionedimensione è data dall'esponente di N. è data dall'esponente di N.

Supponiamo di considerare un frattale in cui Supponiamo di considerare un frattale in cui possiamo distinguere possiamo distinguere N N copie autosimili. copie autosimili.

Ciascuna di queste copie si ottiene tramite Ciascuna di queste copie si ottiene tramite un'omotetia di rapporto un'omotetia di rapporto KK. .

log1

log

ND

k

La La dimensione frattaledimensione frattale DD viene definita da: viene definita da:

Nei tre esempi visti (segmento, quadrato, cubo) K = 1/NDi conseguenza otteniamo:

Dsegmento= log N / log(N)=1

Dquadrato= log(N2) / log(N)=2

Dcubo= log(N3) / log (N)=3

La dimensione di un frattale ci dà un'idea di quanto esso riempia il piano.

Frattali di dimensione prossima ad 1 saranno simili ad una curva, frattali di dimensione prossima a 2, tenderanno ad

occupare tutto il piano.

Triangolo di Sierpinski Triangolo di Sierpinski

Il triangolo di Sierpinski può Il triangolo di Sierpinski può essere diviso in essere diviso in 33 parti simili parti simili all'intero triangolo. Ciascuna all'intero triangolo. Ciascuna di esse si ottiene grazie ad di esse si ottiene grazie ad

un'omotetia di rapporto un'omotetia di rapporto K=1/2K=1/2

log log31,585

1 log 2log

ND

k

Merletto di KochMerletto di Koch

Il merletto di Koch può essere Il merletto di Koch può essere diviso in diviso in 44 parti simili parti simili

all'intero frattale. Ciascuna di all'intero frattale. Ciascuna di esse si ottiene grazie ad esse si ottiene grazie ad un'omotetia di rapporto un'omotetia di rapporto

K=1/3K=1/3. .

log log 4

1,2621 log3

log

ND

k

Fiocco di neveFiocco di neve

Non è possibile suddividere Non è possibile suddividere la figura in un numero di la figura in un numero di copie nella figura stessa: copie nella figura stessa: ovvero non è autosimile. ovvero non è autosimile.

D'altra parte è possibile, però D'altra parte è possibile, però dividere la figura in tre dividere la figura in tre

copie del merletto di Koch copie del merletto di Koch Risulta quindi non autosimile, Risulta quindi non autosimile,

ma ma autosimile in senso autosimile in senso generalizzatogeneralizzato

Costruzione del Merletto Costruzione del Merletto di Kochdi KochSi prende un segmento, lo si Si prende un segmento, lo si

taglia in 3 parti e si taglia in 3 parti e si sostituisce quella centrale sostituisce quella centrale con due segmenti uguali a con due segmenti uguali a

quello eliminato quello eliminato

Si ripete l'operazione con Si ripete l'operazione con ciascuno dei quattro ciascuno dei quattro

segmenti così ottenuti e si segmenti così ottenuti e si continua a ripeterla per un continua a ripeterla per un numero infinito di volte.  numero infinito di volte. 

Costruzione del Fiocco di Costruzione del Fiocco di neveneve

Il Fiocco di neve si ottiene applicando il Il Fiocco di neve si ottiene applicando il procedimento appena descritto ai lati di un procedimento appena descritto ai lati di un

triangolo. triangolo.

CaratteristicheCaratteristiche

Le curve frattali pur essendo continue Le curve frattali pur essendo continue non ammettono una tangente unica in non ammettono una tangente unica in alcun punto alcun punto

Presi due punti della curva, anche Presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre (misurata lungo la curva) è sempre infinita infinita

Lunghezza del Merletto Lunghezza del Merletto di Kochdi Koch

Ad ogni iterazione la lunghezza della curva cresce di Ad ogni iterazione la lunghezza della curva cresce di un fattore 4/3: se il segmento di partenza ha un fattore 4/3: se il segmento di partenza ha

lunghezza pari a 1, il secondo misura 4/3, il terzo lunghezza pari a 1, il secondo misura 4/3, il terzo 16/9, il quarto 64/27 e così via.  16/9, il quarto 64/27 e così via. 

Questa successione è chiaramente divergente, cioè Questa successione è chiaramente divergente, cioè tende all’tende all’infinitoinfinito.  . 

Inoltre ogni pezzo del merletto, anche piccolissimo, Inoltre ogni pezzo del merletto, anche piccolissimo, gode della proprietà dell'autosimilitudine cioè gode della proprietà dell'autosimilitudine cioè

contiene in sé un'infinita ricchezza di particolari e contiene in sé un'infinita ricchezza di particolari e quindi anch'esso è di lunghezza infinita.quindi anch'esso è di lunghezza infinita.

Quanto è lunga la costa Quanto è lunga la costa della Bretagna?della Bretagna?

La lunghezza è diversa se considerata da un La lunghezza è diversa se considerata da un satellite, da un aereo a bassa quota o dal satellite, da un aereo a bassa quota o dal suolo, perché si devono utilizzare unità di suolo, perché si devono utilizzare unità di

misura diverse e i diversi dettagli contano in misura diverse e i diversi dettagli contano in misura differente.misura differente.

Se tenessimo conto dei dettagli troveremmo che Se tenessimo conto dei dettagli troveremmo che la lunghezza tende rapidamente all’infinito: la lunghezza tende rapidamente all’infinito:

infatti infatti un tratto di costa può essere un tratto di costa può essere approssimato dalla curva di Kockapprossimato dalla curva di Kock (autosimilarità in senso statistico)(autosimilarità in senso statistico)

Teoria del caosTeoria del caos"Una goccia d'acqua che si spande nell'acqua, le fluttuazioni delle popolazioni animali, la linea frastagliata di una costa, I ritmi della fibrillazione cardiaca, l'evoluzione delle condizioni meteorologiche, la forma delle nubi, la grande macchia rossa di Giove, gli errori dei computer, le oscillazioni dei prezzi sono fenomeni apparentemente assai diversi, che possono suscitare la curiosità di un bambino o impegnare per anni uno studioso, con un solo tratto in comune: per la scienza tradizionale, appartengono al regno dell'informe, dell'imprevedibile dell'irregolare. In una parola al caos. Ma da due decenni, scienziati di diverse discipline stanno scoprendo che dietro il caos c'è in realtà un ordine nascosto, che dà origine a fenomeni estremamente complessi a partire da regole molto semplici.“ (J.Gleick, pioniere di una nuova scienza, Chaos)

Teoria del caosTeoria del caosNella scienza classica, il caos era per definizione ,assenza di ordine. Oggi è considerato una dimensione retta da leggi non definibili; infatti, il concetto di disordine è inteso come complessità.

E' fondamentale sottolineare che il caos non è sinonimo di caso e non si può parlare di completo disordine, in quanto i sistemi caotici, alla luce delle nuove scoperte della teoria del caos, sono sistemi dinamici sempre prevedibili a breve termine e, quindi, riconducibili ad una logica nuova più o meno complessa. Si può, dunque, paradossalmente affermare, in base a precise scoperte scientifiche, che nel caos c'è ordine.

Studi con frattali e teoria Studi con frattali e teoria del caosdel caos

Configurazioni delle nuvole – Scariche elettriche nei Configurazioni delle nuvole – Scariche elettriche nei mezzi mezzi (per es. fulmini)(per es. fulmini)

Distribuzione delle galassieDistribuzione delle galassie

Distribuzione di un minerale sulla crosta terrestreDistribuzione di un minerale sulla crosta terrestre

Crescita e diffusione delle coltivazioni Crescita e diffusione delle coltivazioni

TerremotiTerremoti

Studi con frattali e teoria Studi con frattali e teoria del caosdel caos

Ramificazioni dei vasi sanguigni – Struttura dei polmoniRamificazioni dei vasi sanguigni – Struttura dei polmoni Ritmi della fibrillazione cardiacaRitmi della fibrillazione cardiaca Insorgenza di tumori Insorgenza di tumori (in relazione alla variazione della dimensione (in relazione alla variazione della dimensione

frattale di particolari strutture fisiologiche)frattale di particolari strutture fisiologiche)

Analisi della sequenza del DNAAnalisi della sequenza del DNA Analisi della struttura delle proteineAnalisi della struttura delle proteine

Distribuzione della popolazione su un territorioDistribuzione della popolazione su un territorio

Sistemi economici Sistemi economici (mercato, borsa, vita di un’azienda …)(mercato, borsa, vita di un’azienda …)

ApplicazioniApplicazioni

Arte Arte (produzione di immagini mescolando una scelta oculata di (produzione di immagini mescolando una scelta oculata di colori con la complessità della forma)colori con la complessità della forma)

Musica Musica (essendo funzioni matematiche è possibile associare (essendo funzioni matematiche è possibile associare ai frattali una rappresentazione sonora: l'altezza e la durata di ai frattali una rappresentazione sonora: l'altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità) alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità)

Cinema e videogiochiCinema e videogiochi (strutture complesse e (strutture complesse e ramificate come alberi, coralli o paesaggi, vengono simulati con ramificate come alberi, coralli o paesaggi, vengono simulati con algoritmi frattali)algoritmi frattali)