come ti è venuto in - lsgalilei.org · Nietzsche - Filosofia delleterno ritorno Frattali biomorfi...

“Ma come ti è venuto in mente?” è la domanda che mi è stata posta più difrequente nei mesi in cui ho sviluppato questa tesina, la risposta non è così semplice macercherò brevemente di chiarirlo in questa premessa.

La scelta dell’argomento in questione risale a questa estate quandoinaspettatamente mi sono reso conto che alcuni degli interessi scaturiti dai miei studi,apparentemente lontani ed eterogenei tra loro, si trovavano in realtà strettamente legatie avvicinati da una teoria, che fino ad allora avevo considerato esclusivamenteinformatica. Ciò che ha ispirato questa tesina sono un film, ExistenZ di Cronenberg, unlibro, Sei personaggi in cerca d’autore di Pirandello, e un paio di progetti informatici suiquali stavo lavorando, un programma per il calcolo del determinante di una matricequadrata e un programma per il disegno del frattale di Mandelbrot. A questo dovrei forseaggiungere il profondo interesse che da sempre nutro per tutto ciò che è complesso,articolato e che spesso sfugge all’immediata comprensione.

Ma come si legano tra loro questi diversi spunti? Per spiegarlo proverò aricostruire brevemente come il nucleo della tesina si sia formato inizialmente nella miamente. Dovrebbe essere andata all’incirca così: “Bello quel film dell’altra sera! Ma c’èqualcosa che non riesco a cogliere, nel film quei ragazzi iniziavano a giocare ad unvideogioco e nel videogioco iniziavano un altro videogioco e così via…, mi sembra di avergià sentito qualcosa di simile ma non riesco a ricordarlo… Ecco, aspetta... Ma sì sicuroPirandello! Sei personaggi in cerca d’autore! Il teatro nel teatro, ecco cos’era, il teatro cheal suo interno richiama se stesso. Bello, detto così sembra quasi una funzione diinformatica, ricordi?, una funzione che al suo interno richiama se stessa si definiscericorsiva. L’avevo usata in quel programma per il calcolo del determinante e adesso dinuovo nel programma per disegnare il frattale di Mandelbrot… e se si ingrandisce ilfrattale si trova nuovamente una struttura simile a quella di partenza, una figura nellafigura… come nel film!... Come nel libro!...”

Delineato il nucleo principale ho ampliato la tesina documentandomi su internete consultando diversi libri primo tra i quali Gödel, Escher, Bach: un’Eterna GhirlandaBrillante, un volume di Hofstadter che mi ha guidato nello sviluppo della parteriguardante l’autoreferenza permettendo un ampliamento delle tematiche trattate.

Nel percorso da me seguito è risultato inoltre fondamentale l’interesse personaleper una materia studiata nei primi quattro anni di liceo e abbandonata in quest’ultimo,disegno tecnico, che mi ha permesso di conoscere e approfondire le litografie“matematiche” di Escher e i paradossi in esse rappresentati. Essi spesso rientranoperfettamente nelle tematiche da me qui trattate e proprio per questo sono state sceltee da me unite nella copertina della tesina.

In conclusione questo lavoro rispecchia perfettamente tutti gli stimoli culturaliche questo indirizzo di studi è stato in grado di offrirmi in cinque anni e che mi è piaciutoaccogliere e trasformare in interessi personali.

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I due fenomeni appena presentati risultano a mio parere strettamente legati da unacaratteristica comune: sia un procedimento autoreferenziale che uno ricorsivo presentano infattiun richiamo verso se stessi. Attraverso l’autoreferenza il richiamo si genera su uno stesso livellogerarchico mentre con la ricorsività il richiamo è effettuato su più livelli gerarchici.

Ho deciso di caratterizzare ciascuna parte con una figura che ne evidenziasse l’essenza: ilnastro di Möbius per l’autoreferenza e il triangolo di Sierpinski per la ricorsività.

Durante una giornata ci si trova spesso di fronte a problemi logici da risolvereo fenomeni da analizzare con attenzione e quello che si tende il più delle volte a fareè di costruire un procedimento lineare da seguire che, come una retta, partendo daun punto iniziale giunga ad una conclusione o ad un risultato finale.

Esistono però dei casi particolari in cui questo percorso lineare non puòsussistere ma deve forzatamente deviare piegandosi o ramificarsi insottoprocedure. Per quanto riguarda il primo caso può accadere che, deviando, unprocedimento si ripieghi su se stesso portando inizio e fine a coincidere in unostesso punto. Cercando così di utilizzare tale procedura nella risoluzione di unproblema ci si troverebbe in un dato istante del tutto inaspettatamente di fronteal problema di partenza rendendo evidente il fatto che la procedura o il problemastesso contengano un richiamo più o meno esplicito verso il proprio inizio,essendo dunque autoreferenziali.

Anche se ci si trovasse di fronte ad un procedimento ramificato ,che sisuddivide cioè in sottoprocedure di ordini gerarchici via via inferiori, potrebbeverificarsi un altro fenomeno altrettanto particolare. Potrebbe infatti accadereche le sottoprocedure siano esatte copie della procedura di partenza dalla quale siramificano generando così quel fenomeno definito come ricorsività. Utilizzandotale procedura ricorsiva nella risoluzione di un problema ci si ritrova più volte difronte a sottoproblemi del tutto identici al problema di partenza ma in essocontenuti.

Autoreferenza Ricorsività

Procedure autoreferenziali

Autoreferenza nel pensiero

Processi chimico – biologici autoreferenziali

Figure e strutture autoreferenziali

Processi e algoritmi ricorsivi

Figure e strutture ricorsive

Frattali

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Procedure autoreferenzialiAutoreferenza nel pensiero



Metabolismi cellulari

Pensiero filosofico

Autoreferenza nell’arte

Procedure logiche

Autoreferenza

Paradosso di Epimenide

Schopenhauer - Autoreferenza della volontà

Pavese - Feria d’agosto

Procedure matematiche

Nietzsche - Filosofia dell’eterno ritorno

Frattali biomorfi

Frattali non biomorfi

Ricorsività

Programmazione ricorsiva

Frattali


Pirandello

M.C. Escher

Effetto Droste

Calcolo matriciale (Programma VB)

Calcolo fattoriale (Programma Java)

Frattale di Mandelbrot (Programma VB)

Strutture ricorsive presenti in natura

Alberi

Montagne

Nuvole

Beckett - Waiting for Godot

Shakespeare - Hamlet

Figure e strutture ricorsiveRicorsione nell’arte

Strutture ricorsive in letteratura


Derivazione ex

Magritte - L’uso della parola I

Wittgenstein

Metabolismo DNA - proteine

Meccanismi di autoregolazione

Strutture autoreferenziali in letteratura

Triangolo di Sierpinski

Sei personaggi in cerca d’autore

Il fu Mattia Pascal

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Automatizzazione procedure di calcolo matematiche con funzioni ricorsive

Calcolo del determinante di una matrice quadrata

Calcolo del fattoriale di un numero n

Inizio

Dimensione matrice > 2

Scomposizione in matrici di 1 ordine inferiore

Calcolo dei complementi algebrici di una riga della matrice

Calcolo determinante delle matrici di ordine inferiore

Somma dei prodotti degli elementi della riga scelta per i rispettivi

complementi algebrici

VF

Richiamo ricorsivo alla funzione per il calcolo del determinante

Calcolo determinante della matrice di 2° ordine

Inizio

N <> 0 Il Fattoriale di N è uguale a N per il

fattoriale di N-1VF

Il Fattoriale di 0 è uguale a 1

Richiamo ricorsivo alla funzione per il calcolo del fattoriale

Disegno del frattale di Mandelbrot



Inizio

|OP0| > 2 OR

N > 100

Selezione di un punto P0 del piano

Traslazione del punto P0 in Z

Selezione del colore di P0 in base a N

N = N + 1

Richiamo ricorsivo alla funzione per la traslazione del punto (Z viene passato

alla funzione come P0)

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Programmazione ricorsivaAvendo definito brevemente nell’introduzione il concetto di

ricorsività vediamo ora come esso possa essere applicato efficacementenell’automatizzazione di procedure di calcolo nell’ambito dellaprogrammazione.

Dato un problema risulta essere abbastanza naturale cercarneuna rappresentazione astratta, cioè cercare di assimilare il problemaspecifico ad una categoria più generale di problemi che, una voltaindividuata una procedura di risoluzione adeguata e funzionale, possanoportare alla risoluzione, per analogia, di tutti i casi specifici. In secondoluogo nel creare un algoritmo risolutivo si tenderà il più delle volte amodularizzare il problema di partenza, si cercherà cioè di suddividere ilproblema in sottoproblemi via via più semplici per i quali si possonoindividuare o già si conoscono delle soluzioni facilmente calcolabili.

Scomponendo il problema può capitare in taluni casi che isottoproblemi siano esatte copie del problema di partenza (come è statospiegato nell’introduzione), ciò permette di esprimere un dato problemain funzione di se stesso rendendo possibile lo sviluppo di un algoritmoricorsivo per la sua risoluzione.

Un esempio di un problema che può essere chiaramenteespresso in funzione di se stesso è quello della valutazione della mossamigliore nel gioco degli scacchi, infatti la mossa migliore per un giocatoreè quella che lascia l’avversario nella situazione più difficile. Per valutare labontà di una mossa allora si può pensare di eseguire la mossa e poi divalutare la situazione dal punto di vista dell’avversario che cercherà dicapire quale è la sua mossa migliore generando un richiamo ricorsivo allaprocedura.

In matematica sono molti i problemi e le procedure che possonoessere espressi in maniera ricorsiva e quelli da me presi in esame inquesto percorso sono solo alcuni esempi che mi sono divertito a realizzarenel corso di questi ultimi due anni di liceo. La prima volta che mi sonoimbattuto in una procedura matematica ricorsiva stavo realizzando unprogramma in VisualBasic che fosse in grado di calcolare il determinante diuna qualsiasi matrice quadrata.

Analizziamo ora brevemente il problema:

• data una matrice di 2° ordine:

il suo determinante si calcola:

• data una matrice di ordine superiore (es. 3° ordine):

Il suo determinante si calcola:

Automatizzazione di procedure matematiche tramite funzioni ricorsive

2,21,2

2,11,1

aa

aaA

1,22,12,21,1

2,21,2

2,11,1det aaaa

aa

aaA

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

aaa

aaa

aaa

A

2,31,3

2,21,2

3,1

3,31,3

3,21,2

2,1

3,32,3

3,22,2

1,1

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

detaa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

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Dall’analisi del problema si può facilmente dedurre che perrisolvere il determinante di una matrice di ordine superiore a 2 sarànecessario richiamare ricorsivamente la funzione per il calcolo deldeterminante stesso. Infatti nello sviluppo ogni elemento della prima rigaviene moltiplicato con il suo minore complementare, ovvero ildeterminante della matrice di un ordine inferiore ottenuta eliminando laprima riga e una delle colonne.

Nel programma da me creato in VisualBasic questa procedura èrappresenta dalla seguente funzione:

Public Function Determinante(ByVal matrixA, dimensioneA,) As Long

If (dimensioneA > 2) Then 'risoluzione di matrici di ordini superiori a 2Dim MatrixB() As Long 'matrice temporanea di 1 ordine inferiore a quella dataDim dimensioneB As Long 'ordine della matrice temporanea

Dim ma As Long ‘complemento algebricoDim pos As Long 'posizione dell'elemento di sviluppoDim mtot As Long ‘somma dei prodotti del complemento algebrico per il minore complementare

dimensioneB = dimensioneA - 1ReDim MatrixB(1 To dimensioneB, 1 To dimensioneB) As Long

Dim rB As Long 'contatore righe della matrice temporaneaDim cB As Long 'contatore colonne della matrice temporanea

For i = 1 To dimensioneA 'per ogni elemento della 1a riga della matrice datacB = 1rB = 1For ra = 1 To dimensioneA 'per ogni elemento riga della matrice data

For cA = 1 To dimensioneA 'per ogni colonna della matrice dataIf (ra <> 1 And cA <> i) Then 'se la posizione NON equivale a una posizione nulla

MatrixB(rB, cB) = matrixA(ra, cA) 'composizione della matrice di 1 ordine inferioreIf (cB < dimensioneB) Then

cB = cB + 1 'contatore delle colonne della matrice temporaneaElseIf (cB = dimensioneB) Then

cB = 1rB = rB + 1 'contatore delle righe della matrice temporanea

End IfEnd If

Next cANext ra

pos = 1 + i 'posizione dell'elemento lungo il quale si sta sviluppando

ma = Determinante(MatrixB, dimensioneB) ‘richiamo ricorsivo alla funzioneIf (pos Mod 2 = 0) Then '

ma = ma 'Else 'composizione del minimo algebrico

ma = -ma 'End If '

mtot = mtot + (ma * matrixA(1, i)) 'determinante della matrice dataDeterminante = mtot

Next iEnd If

If (dimensioneA = 2) Then 'risoluzione di matrici di ordine pari a 2Determinante = (matrixA(1, 1) * matrixA(2, 2)) - (matrixA(1, 2) * matrixA(2, 1))

End If

If (dimensioneA = 1) Then 'risoluzione di matrici di ordine 1Determinante = matrixA(1, 1)

End If

End Function

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Un’altra procedura matematica che può essere semplicementeridotta ad una funzione ricorsiva è quella per il calcolo del fattoriale di unnumero (n!) . Il fattoriale di un numero n si calcola infatti nel seguentemodo:

•

che ricorsivamente può essere scritto:•

Che nel programma da me scritto in Java si traduce nellaseguente funzione:

L’ultimo programma da me realizzato e qui preso in esamepermette di disegnare e zoomare un numero indefinito di volte l’insiemedi Mandelbrot. Tale frattale è descritto da una funzione ricorsiva che,preso un punto P sul piano dei numeri complessi, lo eleva al quadrato unnumero n di volte sommandolo ogni volta allo stesso punto P di partenza everificando per ogni iterazione se esso si allontani dall’origine o se essotenda a rimanere confinato in quello che viene detto cerchio critico(circonferenza con centro nell’origine degli assi e di raggio pari a 2).

In questo caso il programma da me realizzato non fa uso di unvero e proprio richiamo ricorsivo a una funzione, sfrutta invece un cicloche ad ogni iterazione eleva al quadrato il numero complesso ottenutodall’iterazione precedente (ciò che si ottiene è in ogni caso una funzionericorsiva del tipo f[f[f[…f[P]]]] ).

121! nnnnnn

!1! nnn

public long fatt (int n){

if(n > 0){

return n * fatt(n-1); //Richiamo ricorsivo alla funzione}else if(n == 0){

return 1; //Il fattoriale di 0 è per definizione uguale a 1}return 0;

}

Public Sub calcola(a, b)

n = 0

az = 0 ‘parte reale del numero complesso P = a + bibz = 0 ‘parte immaginaria del numero complesso P = a + bitz = 0 ‘variabile temporanea utile a fini di calcolo

Dotz = (az ^ 2) - (bz ^ 2) ‘bz = 2 * az * bz ‘elevamento al quadratoaz = tz ‘

az = az + a ‘bz = bz + b ‘Il nuovo punto è sommato a quello di partenza

n = n + 1 ‘numero di iterazioniLoop Until (Sqr(az ^ 2 + bz ^ 2) > 2) Or (n > 100) ‘il ciclo ha termine quando il punto esce dal cerchio critico o quando esso vi rimane

‘perennemente confinato (vengono superate le 100 iterazioni)

If n < 100 Thenn = n Mod 50Picture1.PSet (a - trasX, b - trasY), RGB(255 - 5 * n, 255 - 5 * n, 220)Picture2.PSet (a - trasX, b - trasY), RGB(255 - 5 * n, 255 - 5 * n, 220)

Elsen = 100Picture1.PSet (a - trasX, b - trasY), RGB(0, 0, 0)Picture2.PSet (a - trasX, b - trasY), RGB(0, 0, 0)

End IfEnd Sub

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CaratteristicheFrattali


Autosimilarità strutturale su diversi livelli


Costruzione per sostituzione

Costruzione con metodo IFS

Definizione attraverso una funzione ricorsiva

Insieme di Mandelbrot

Costruzione con funzione ricorsiva

Triangolo lato l

Triangolo lato l/2

Triangolo lato l/2

Triangolo lato l/2

Punto P del piano

Punto P’

Applicazione di una T casuale


Punto P’’


T1

X = 1/2x

Y = 1/2y

T2

X = 1/2x

Y = 1/2y + 1/2

T3

X = 1/2x + 1/2

Y = 1/2y + 1/2


Zn+1 = Zn2 + P0 (applicata n volte su ogni punto P0 del piano dei numeri complessi)

F(z) = z2 + c (0, F(0), F(F(0)), F(F(F(0))), F(F(F(F(0)))), ………)

Se |Z| > 2 la serie divergerà all’infinito

Se |Z|< 2 la serie rimarrà confinata e non divergerà

C non sarà parte dell’insieme

C sarà parte dell’insieme

Per ogni C del piano dei numeri complessi

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Frattali


Caratteristiche

Volendo analizzare in questo percorso quelle che sono leprincipali strutture e figure ricorsive risulta inevitabile imbattersi nellostudio degli oggetti frattali quindi cercherò qui di analizzarne brevementealcune caratteristiche.

Rimanendo nell’ambito della tesina le proprietà che permettonodi assimilare i frattali a quelle strutture qui definite come ricorsive sonoprincipalmente due: l’autosimilarità e la loro definizione tramite funzioniricorsive. Per quanto riguarda la prima di queste due caratteristichepossiamo dire che ingrandendo anche una piccola parte di un oggettofrattale si riproduce su scala inferiore la stessa figura di partenza, o intaluni casi si ritrovano semplicemente, in scala, caratteristiche strutturalisimili. La struttura che si osserva in scala normale è dunque ripetuta unnumero infinito di volte all’interno del frattale stesso ma in scala piùpiccola.

Tale proprietà è fondamentale se si vuole progettare unalgoritmo che sia in grado di disegnare tali figure, infatti sfruttandol’autosimilarità è possibile rappresentare un frattale con poche e sempliciistruzioni da ripetersi più volte, a tal proposito prendiamo ora comeesempio il triangolo di Sierpinski. In accordo con quanto appena dettoinfatti tale frattale è costruibile con due metodi fondamentali chesfruttano l’autosimilarità: per sostituzione e con metodo IFS.

• Sostituzione: Partendo da un triangolo di base di lato l lo sisostituisce con il “generatore” del frattale, in questo casocomposto da tre triangoli ciascuno di lato l/2. La proceduraviene poi ripetuta un numero infinito di volte per ciascuno deitriangoli che si vanno a formare (questo è possibile solo inlinea teorica poiché usando un calcolatore questoprocedimento potrà essere ripetuto solo un numero finito divolte).

• IFS: Analizzando la struttura del triangolo di Sierpinski èfacile dedurre che esso si può ottenere attuando semplicitrasformazioni geometriche. Infatti partendo dal triangolo dipartenza sarà sufficiente ridurlo della metà e poi spostarloprima in alto, poi in basso a sinistra e poi in basso a destra perottenere la figura desiderate. Il metodo IFS consiste proprio inquesto: si sceglie un punto di partenza P0 sul piano esuccessivamente si applica un numero n di trasformazioniscelte a caso tra le tre precedentemente indicate (contrazionedi ½ e spostamento in alto di ½ o in basso a destra di ½ o inbasso a sinistra di ½). In questo modo dopo un numerosufficiente di iterazioni è facilmente riconoscibile la strutturadel triangolo di Sierpinski.

I due metodi di realizzazione appena analizzati possono essereutilizzati soltanto per alcuni tipi di frattali (cioè per quelli che risultanoessere effettivamente autosimili e non per quelli che presentano solosomiglianze strutturali nei diversi ingrandimenti).

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Frattali


Altri frattali, molto più complessi, sono invece descritti ederivano dallo studio di determinate funzioni ricorsive, un esempio di ciò èsicuramente l’insieme di Mandelbrot.

Tale insieme è definito come l’insieme dei numeri complessi cper i quali la successione è limitata e dunque non divergeall’infinito.

• Avendo dove c rappresenta un punto sul pianodei numeri complessi si studia l’andamento della successione

per ogni punto c. Si puòdimostrare inoltre che se il modulo di zn è maggiore di 2 allorala successione divergerà all’infinito e quindi il punto c non faràparte dell’insieme.

In questa parte del percorso ho voluto analizzare semplicementealcune delle caratteristiche dei frattali, quelle utili nell’analisi e nellostudio della ricorsività tralasciandone invece altre non meno importantima non utili ai fini di tale tesina quali ad esempio la dimensione nonintera.

czz nn

2

1

czzfc 2

,0,0),0(,0 cccccc ffffff

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Frattali

Frattali biomorfi


Albero

Nuvole e montagne

Segmento lungo l

Segmento lungo l/kInclinato di α

Segmento lungo l/kInclinato di α

Studio della struttura naturale di un albero

Struttura autosimile

Diramazioni simili dei diversi rami

Similarità di sviluppo di rami e sottorami

Sviluppo di un algoritmo ricorsivo per la modellizzazionedell’albero

Studio della struttura naturale di nuvole e montagne

Struttura autosimile sui diversi ingrandimenti

Struttura caratterizzata da una forte irregolarità

Triangolo di partenza

Giunzione dei punti medi

Nuovo Triangolo

Nuovo Triangolo

Nuovo Triangolo

Nuovo Triangolo

Procedura ricorsiva per la modellizzazione(es. montagne)

Introduzione elementi casuali nella procedura

Es. I punti medi vengono spostati ad ogni iterazione di un valore casuale 13

Frattali

Frattali biomorfi


Come si è visto nella precedente sezione della tesina i frattalisono particolari figure spesso caratterizzate da una struttura che puòessere definita più o meno strettamente ricorsiva. Ciò che più mi haaffascinato nello studio di tali oggetti è come alcuni di essi siano in gradodi descrivere in buona approssimazione determinate strutture presenti innatura come nuvole, montagne, alberi o felci. Si passa così all’analisi deifrattali biomorfi, gli esempi sono moltissimi e ne prenderò qui in esamesolo alcuni:

• Alberi: se analizziamo la struttura di un albero è facile intuirecome si possa costruire un algoritmo in grado di realizzare unfrattale che lo riproduca con buona approssimazione seppurcon qualche limite. La caratteristica fondamentale cheaccomuna e caratterizza gli alberi è la ramificazione: da untronco iniziale si suddividono alcuni rami dai quali a loro voltasi dipartono sottorami e così via. Risulta evidente come giànel descrivere la struttura naturale di un albero si faccia uso diuna definizione “ricorsiva”, si parla infatti di rami, sottorami esottorami di sottorami. Volendo a questo punto realizzare unfrattale si può pensare di iniziare con un segmento di un certospessore (rappresentante il tronco) e da un’ estremità diquesto far ramificare due segmenti inclinati di un determinatoangolo, e con una lunghezza e uno spessore ridotti di un certofattore rispetto al segmento di partenza. Ripetendo poiquesta operazione per ogni segmento ottenuto e definito unnumero massimo di iterazioni si ricaverà la rappresentazionefrattale di un albero naturale.

• Nuvole e Montagne: per quanto riguarda le nuvole o lemontagne bisogna procedere diversamente rispetto a quantoè stato detto per gli alberi; infatti in questi casi non sonopresenti ramificazioni o altri elementi che possano essereiterati semplicemente per ottenere la struttura desiderata.Tuttavia se si ingrandisce una o più volte la fotografia di unanuvola o di una montagna ci si può rendere facilmente contoche ad ogni ingrandimento le immagini presenterannocaratteristiche strutturali del tutto simili. Ecco allora che siritrova in tali strutture naturali una delle caratteristichefondamentali dei frattali, l’autosimilarità. Si può dunqueprocedere associando a nuvole e montagne formegeometriche elementari in grado di approssimarle a seguito dialcune semplici trasformazioni. Il procedimento è lo stesso siaper le nubi che per i rilievi ma per le prime si fa uso diquadrilateri mentre per i secondi di triangoli. Nello specifico siparte costruendo la figura geometrica di base, si individuano ipunti medi su ogni lato e unendoli si costruiscono deisottopoligoni aventi lo stesso numero di lati rispetto allafigura di partenza ma di diverse dimensioni.

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Iterando tale procedimento un numero finito di voltesi otterranno delle griglie che tuttavia non descrivono ancoraadeguatamente le strutture naturali. Nuvole e montagnepresentano infatti elementi di forte irregolarità dovuti aprocessi di formazione e ad altri che ne modificano l’aspettonel corso del tempo. Prendiamo ad esempio le nubi, esse siformano a seguito del raggiungimento del punto disaturazione dell’umidità atmosferica di una massa d’aria e alloro interno si originano moti convettivi che portano legoccioline d’acqua a muoversi in maniera caotica. Per quantoriguarda le montagne invece la forte irregolarità puòdipendere anche da fattori erosivi che modellano il territoriorendendolo vario e difficilmente assimilabile a schemi precisie regolari. I rilievi sono infatti modellati da diversi fattoriesogeni: piogge, ghiacciai, venti ed in particolare fiumi (siparla in questo caso di ciclo di erosione fluviale del rilievo).

Per imitare tali fattori di irregolarità presenti nellestrutture naturali si possono introdurre elementi di casualitàall’interno del procedimento di costruzione del frattale. Adesempio ogni volta che si individua il punto medio su un latodel poligono di base si può pensare di spostarlo traslandolo diun valore casuale. Solo in questo modo si otterranno dellegriglie irregolari che con buona approssimazione riproduconole strutture naturali di nuvole e montagne.

Frattali

Frattali biomorfi

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Oltre a farlo esplodere, creando un’illusione mentale di una vicenda potenzialmente infinita, analoga all’illusione ottica generata da due specchi riflessi uno nell’altro, il Teatro si può far implodere ripiegandolo e facendolo parlare di se stesso. L’esempio moderno più noto di questo metateatro è la triologia di Pirandello composta da Sei personaggi in cerca d’autore, Ciascuno a modo suo e Questa sera si recita a soggetto.” (Odifreddi - varietà differenziale: Matematico e Impertinente)

Il Metateatro – teatro nel teatro

Pirandello – Sei personaggi in cerca d’autore

Shakespeare – Hamlet

“Il modo più sottile di far esplodere il Teatro consiste nell’inserire all’interno dell’opera un richiamo all’opera stessa, provocando così un regresso all’infinito analogo a quello del paradosso di Achille e la tartaruga. L’esempio teatrale più noto di questo procedimento è l’Amleto di Shakespeare, nel quale a un certo punto si mette in scena una tragedia che è pressappoco la stessa dell’Amleto, che deve contenere un Amleto nell’Amleto, che deve contenere un Amleto nell’Amleto nell’Amleto e così via.

The play The Murder of Gonzago as the replica of Hamlet’s father’s murder

The ghost tells about his death

“sleeping within my orchard”

“thy uncle in mine ears did pour the leperous distilment”

Lucianus pours the poison in his ears

The king sleeps

Performance of Murder of Gonzago

“Of life, of crown, and the Queen, at once dispatch’ed”

The king dies

Inscenato da attori

Si stanno eseguendo le prove per: Rappresentato a teatro

Il gioco delle parti

Sei personaggi in cerca d’autore

Inscenato da attori

Rappresentato a teatro



L’opera ha una struttura ricorsiva

L’opera teatrale inizia con le prove di un opera teatrale

Lo spazio rappresentato sul palco del teatro è il palco di un teatro

Gli attori recitano la parte degli attori

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Beckett – Waiting for Godot

Hofstadter – Godel, Escher, Bach: un’eterna ghirlanda brillante

Invenzione a tre voci – Dialogo Achille Tartaruga

Incontro Achille Tartaruga

Arrivo Zenone

Storia narrata da Zenone

Incontro Achille Tartaruga

Arrivo Zenone

Inizio gara

Inizio Gara

Episodes having a recursive pattern

Vladimir’s song at the beginning of the Second Act

A dog came in the kitchen

A cook killed it

All the dogs dug the dog a tomb

A dog came in the kitchen

A cook killed it

All the dogs dug the dog a tomb

They wrote upon the tombstone



Romanzi strutturati in maniera ricorsiva

Pirandello – Il fu Mattia Pascal

Struttura suddivisa in 3 parti

Romanzo di cornice: Racconto trasformazione a fatti avvenuti

1° romanzo interno alla cornice: Parabola negativa dell’eroe degradato

2° romanzo interno alla cornice: Itinerario del mancato riscatto

Premesse 1 e 2

Cap XVII – XVIII e conclusione

Cap III– VII Cap VIII - XVI

Il fu Mattia Pascal

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Il Metateatro – teatro nel teatro

Abbiamo già visto in precedenza come la ricorsività possa essereapplicata a procedure di programmazione o a strutture matematichecomplesse come i frattali, vediamo ora come essa possa essere ancheassimilata ad alcune situazioni o tecniche applicate nella letteratura.

Il primo esempio di ricorsività che si può incontrare inletteratura è senza dubbio rappresentato dal metateatro, il teatro nelteatro. Tale tecnica si ottiene inserendo all’interno di un’ opera teatrale unrichiamo all’opera stessa o più in generale al teatro stesso, si realizza così“un’illusione mentale di una vicenda potenzialmente infinita, analogaall’illusione ottica generata da due specchi riflessi uno nell’altro”, comesostenuto da Odifreddi in Varietà differenziale: Matematico eImpertinente.

Un chiaro esempio di tale struttura può essere individuato in Seipersonaggi in cerca d’autore , un’opera di Luigi Pirandello che fa partedella trilogia del “teatro nel teatro” composta anche da Ciascuno a suomodo e Questa sera si recita a soggetto. In tale raccolta l’autore vuolemettere in scena le problematiche del teatro stesso: il rapporto tra attori epersonaggi, tra attori e spettatori e tra attori e regista.

In Sei personaggi in cerca d’autore è ben evidenziata unastruttura ricorsiva: l’opera si apre infatti con le prove per un’altra operateatrale di Pirandello: “Il gioco delle parti”, gli attori recitano la parte diattori e lo spazio rappresentato sul palco del teatro è il palco di un teatro.Non entreremo qui nel merito della trama della tragedia poiché non èquesto lo scopo di tale percorso.

We can find a very similar pattern in Hamlet by WilliamShakespeare. In the tragedy, a company of actors arrive at Elsinore andthey perform the play The Murder of Gonzago, which is a replica ofHamlet’s father’s murder. So there is a play within the play but whatmakes this device more effective is the similarity between the plots of thetwo plays: as a matter of fact in both the murder of a sleeping king bypoison is performed.

Episodes having a recursive pattern

The play within the play is not the only kind of recursion we canfind in literature. In some works we find episodes having a recursivepattern. Let’s take into consideration two examples:

• The first one can be identified at the beginning of thesecond act of Waiting for Godot, where Vladimir steps on thestage singing a song having a recursive pattern. As a matter offact in the song some dogs , after digging the tomb foranother dog, write on the tomb the same song theprotagonist is singing. Thus there is a song within the songwithin the song and so on.

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• The second episode having a recursive pattern is to be foundin Godel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid., a book byHofstadter , which has been highly useful in the developmentof my work. The book is divided into chapters alternating withshort dialogues between a character named Achilles and aTortoise and it is just in one of them that we can recognize arecursive pattern. In the episode taken into consideration thetwo characters meet in a street and they agree on entering arunning race. Just the moment they are starting the raceanother character, Zenone, joins them and he persuadesthem to listen to a tale which is the exact replica of what ishappening. As a matter of fact Zenone tells about twocharacters, Achilles and the Tortoise, who are stopped by anold man who persuades them to listen to a story just as theyare going to start a running race…



Romanzi strutturati in maniera ricorsiva

L’ultimo esempio di ricorsività applicata alla letteratura che hopreso in esame riguarda quei romanzi la cui struttura può essereconsiderata come l’annidarsi di romanzi e sottoromanzi. Ho quiconsiderato un solo esempio che riguarda nuovamente la produzionepirandelliana: Il fu Mattia Pascal. In tale volume si può infatti riconoscere:

• Un romanzo di cornice costituito dai primi due capitoli edagli ultimi due dove il protagonista presenta la propriatrasformazione a fatti ormai avvenuti.

• Un primo romanzo contenuto in quello di cornice ecorrispondente ai capitoli III-VII dove viene presentata laparabola negativa dell’eroe degradato.

• Un secondo romanzo contenuto in quello di cornice ecorrispondente ai capitoli VIII-XVI dove viene presentatol’itinerario del mancato riscatto di Mattia Pascal.

Appare quindi evidente la struttura ricorsiva del romanzo costituito da tresottoromanzi annidati l’uno dentro l’altro.

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Ricorsione nell’arte

Effetto Droste

M. C. Escher



Effetto Escher-Droste

Gli “strani anelli”

Ripetizione dell’immagine dentro se stessa su scala ridotta (fattore di riduzione costante k)

Zoom x KZoom x nK

Scatola di cacao(Reale)

Scatola cacao(Rappresentata)

Costruzione dell’immagine

A

A’

A’

A

Immagine non distorta

Costruzione griglia distorta

Adattamento dell’ immagine alla griglia

Le caratteristiche della griglia portano l’immagine a replicarsi all’interno di se stessa su scala ridotta e ruotata di un angolo α

Nell’immagine non distorta un punto A’ = A può essere identificato tramite un percorso chiuso quadrato di lato l

Adattando il percorso alla griglia (scegliendo un appropriato valore per l) il punto A’ = A è identificato tramite un percorso aperto, diretto verso il centro della griglia dove risulta essere ruotato di un angolo α e ridotto di un fattore k

Rappresentazione di percorsi lineari deviati fino a ripiegarsi su se stessi portando inizio e fine a coincidere

Mano disegnante Mano disegnataDisegna

Mano disegnante

Mano disegnata

DisegnaDisegna

Portando inizio e fine sullo stesso livello

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Effetto Droste

L’effetto Droste sta ad indicare un particolare tipo di pitturaricorsiva. Esso si ottiene inserendo all’interno di una immagine una copiarimpicciolita dell’immagine stessa che a sua volta ne può contenereun’altra e così via in un processo che può continuare all’infinito.

Tale effetto può essere anche ottenuto inquadrando con unavideocamera uno schermo sul quale vengono visualizzate le immaginicatturate dalla videocamera stessa. A tal proposito espongo qui una fotoda me realizzate sfruttando questa tecnica:

Dall’immagine risulta evidente comel’intera scena sia riprodotta più volteuna dentro l’altra. Inoltre avendoaggiunto l’effetto “negativo” allavideocamera si può notare come nellaprima scena contenuta nel televisoresi abbia un immagine con i colori innegativo, e come nella seconda scenacontenuta nel televisore nel televisorei colori tornino a essere normalipoiché la videocamera esegue ilnegativo del negativo, e così via.

M. C. Escher

Escher è conosciuto principalmente per le sue meraviglioselitografie, esse rappresentano spesso figure impossibili, paradossi ocomplesse strutture matematiche reinterpretate in maniera personale.Non c’è quindi da stupirsi se è proprio nella figura di tale artista che hovoluto identificare un nodo di connessione tra le due grandi areetematiche sviluppate in questo percorso. Studiando le sue litografie ci sipuò infatti rendere conto di come, in una di queste, abbia tentato disviluppare una complessa struttura ricorsiva e in molte altre sia riuscitospesso a rappresentare figure paradossali generate dall’autoreferenza.

• Una litografia ricorsiva: Galleria di stampe è sicuramenteuna delle litografie più complesse tra quelle realizzate dalgrafico olandese, basti pensare che per arrivare alla suarealizzazione finale sono state necessarie numerose prove ediversi studi sulla sua struttura matematica. L’opera è infatti

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realizzata facendo uso di una griglia distorta sulla quale vieneadattata un’immagine disegnata precedentemente su unagriglia lineare. Per progettare tale struttura Escher ricorreall’idea di un’ espansione ciclica ed arriva a disegnare unagriglia distorta dove percorrendo un percorso chiuso intornoal centro si torna al punto di partenza ma con un fattore diingrandimento di 256 volte. Le proprietà di tale distorsionescoperte recentemente sono moltissime ma ci interessa oraanalizzarne solo una in particolare: quella per cui un percorsochiuso realizzato su una griglia non distorta diventa aperto selo si adatta alla griglia distorta. Partendo ad esempio da unpunto A su una griglia lineare e percorrendo un percorsoquadrato chiuso avente come lunghezza di ciascun lato unvalore opportunamente scelto si arriva ad un punto A’ deltutto equivalente al punto A poiché coincidente con esso. Seperò si cerca di adattare tale percorso alla griglia didistorsione ciò che si ottiene sarà un percorso aperto che dalpunto A conduce ad un altro punto A’ posizionato nei pressidel centro della griglia. Il punto A’ così ottenuto non è piùcoincidente con il punto di partenza tuttavia logicamentedeve rimanere ad esso equivalente, abbiamo così dimostratoche nella griglia distorta per qualsiasi punto A ne esiste unacopia identica situata nel centro della griglia stessa. Ѐ dunqueevidente che adattando un’ intera immagine a tale struttura ilrisultato sia un’immagine che al suo interno contiene unacopia di se stessa e così via. Si tratta dell’effetto Escher Drostescoperto recentemente da un gruppo di ricercatori americaniguidati dal professor Lenstra del quale ho avuto il piacere diascoltare una conferenza nel corso del festival dellamatematica 2008 a Roma. Escher lasciò infatti la litografiaincompleta sfumandone la zona centrale, dove avrebbedovuto realizzarsi l’effetto ricorsivo, probabilmente perl’impossibilità di raggiungere un sufficiente grado diprecisione. Gli studiosi americani hanno invece completatol’opera realizzando una griglia di distorsione perfettadisegnata a computer e mostrando l’effetto ricorsivointrinseco alla litografia tramite alcune animazioni.

• Alcune litografie autoreferenziali: Conclusa con l’analisiprecedente la parte della tesina riguardante la ricorsività,passiamo ora all’esame delle figure e delle struttureautoreferenziali. Il concetto di autoreferenza che, durante losviluppo della tesina, ho voluto delineare è, a mio avviso,assimilabile al concetto di “Strano Anello” definito nel volumedi Hofstadter Godel, Escher, Bach: un’eterna ghirlandabrillante. Uno strano anello è ciò che si ottiene quandoseguendo un percorso, che logicamente o apparentementepotrebbe sembrare lineare, ci si ritrova del tuttoinaspettatamente al punto di partenza. Una struttura si puòdunque definire autoreferenziale qualora al suo internocontenga un rimando verso il proprio inizio, o meglio ancoraquando inizio e fine vengono fatti coincidere su uno stessolivello.



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Escher risulta essere di grande interesse a tal propositopoichè spesso nelle sue litografie sono inseriterappresentazioni di percorsi ripiegati dove inizio e finecoincidono formando una struttura autoreferenziale. Unprimo esempio può essere individuato in Mani che disegnano,immaginando un percorso lineare che possa descrivere lalitografia si può pensare a una mano disegnante che con unamatita sta disegnando una mano che può essere definitacome mano disegnata. L’artista tuttavia piega tale linearità erealizza una struttura dove risulta essere impossibile definireuna mano disegnata e una disegnante poiché una manodisegna l’altra che a sua volta sta disegnando la mano che ladisegna. Si perde così la concezione della linearità e dei livelligerarchici, ciò che ne risulta è una sorta di paradossoautoreferenziale che può ripetersi all’infinito. Altri esempipossono essere individuati in Salita e Discesa dove l’inizio e lafine di una scalinata vengono portati su uno stesso piano e inCascata dove il livello di base di un corso d’acqua è portatosullo stesso piano di una cascata dello stesso canalegenerando un paradosso che infrange le leggi della fisica.

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The action is cyclic and circular

L’uomo a contatto con luoghi significativi ritrova se stesso nella propria infanzia

Ragazzo Uomo

Tornando ai luoghi dell’infanzia li contempla

Crescendo si allontana dal mondo, dai luoghi infantili“Neanche sulla vigna il tempo passa;

la sua stagione e settembre e tornasempre, e appare eterna. Solamenteun ragazzo la conosce davvero; sonopassati gli anni, ma davanti alla vignal’uomo adulto contemplandola ritrovail ragazzo”

“Davanti al sentiero che saleall’orizzonte, l’uomo non ritornaragazzo: è ragazzo. Per un attimo […]si trova entro gli occhi la vignaimmobile, istintiva, immutabile, qualeha sempre saputo di avere nel cuore”

“Che il tempo allora si sia fermato loso perché oggi ancora davanti alcampo lo ritrovo intatto. […] Capiscod’avere innanzi una certezza, di averecome toccato il fondo di un lago chemi attendeva, eternamente uguale”

Vladimir and Estragon on the stage in the middle of

nowhere

Pozzo and Lucky’s arrival

“Enter Pozzo and Lucky.Pozzo drives Lucky bymeans of a rope passedround his neck, so that Lukyis the first to appear”

“Enter Pozzo and Lucky.Pozzo is blind […] Rope asbefore, but much shorter, sothat Pozzo may follow moreeasily.”

“BOY. Mr Godot told me to tell you he won’t comethis evening but surely tomorrow”

“VLADIMIR. You have a message from Mr. Godot.BOY. Yes sir.VLADIMIR. He won’t come this evening.BOY. No, sir.VLADIMIR. But he’ll come tomorrow.BOY. Yes, sir.”

The boy announces thatGodot will come tomorrow

“ESTRAGON. Well, shall we go?VLADIMIR. Yes, let’s goThey do not move.”

“VLADIMIR. Well, shall we go?ESTRAGON. Yes, let’s goThey do not move.”

Vladimir and Estragon wantto leave but thay do not

move

The two acts as the parts of an endless series

The symmetry of the play as a way to emphasize its themes

Repetitious nature of existence

Monotony of life

Chance as master of human destiny

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When we talked previously about self-reference we introduced the concept of the strange loop and it is from this idea that I want to start to analyse the basic pattern on which the play Waiting for Godot is built. The tragicomedy is well symbolized by a strange loop since when we reach the end of the first act and we expect an evolution of the story we are plunged back to the starting point. The beginning of the second act is, as a matter of fact, very similar to the first.

We can easily notice how both acts make reference to a more general pattern where some essential facts follow one another:

• Vladimir and Estragon meet in an indefinite place• Pozzo and Lucky arrive• A boy announces that Godot will arrive the following day• The two main characters decide to go but they actuallyremain motionless at the centre of the stage.

We can talk in this case of a self-reference in the pattern as itdoes not refer to the contents but to the way they develop.


Di natura diversa è invece l’autoreferenza che ho individuatonella raccolta Feria d’agosto di Pavese. Qui infatti non si può dire di avereuna struttura autoreferenziale poiché essa si sviluppa a livello deicontenuti trattati in alcuni passaggi del testo.

Pavese sostiene spesso l’importanza dei miti dell’infanzia e cioèdi quei luoghi o avvenimenti che, vissuti nel periodo infantile, lascianosegni indelebili nella personalità di ciascuno. Ciò che emerge da alcunitesti tratti da Feria d’agosto riguardo a tale tema è che l’uomo crescendoabbandona i luoghi e le esperienze dell’infanzia per poi tornarvi, una voltaadulto, e contemplarli ritrovando se stesso nella propria condizione diragazzo. Ecco dunque dove si realizza l’autoreferenza, si trattadell’autoreferenza dell’uomo che contemplando i luoghi significativi (inquesto caso la vigna) ritrova se stesso.

• “Neanche sulla vigna il tempo passa; la sua stagione esettembre e torna sempre, e appare eterna. Solamente unragazzo la conosce davvero; sono passati gli anni, ma davantialla vigna l’uomo adulto contemplandola ritrova il ragazzo”

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Metabolismi cellulari

DNA - proteine


Trascrizione

RNA

Traduzione

Proteine

DNA

Autoreplicazione

Metabolismo “Autoreferenziale” DNA - proteine

Processo di autoreplicazione del DNA

Il DNA codifica per la sintesi di proteine

Le proteine (enzimi) catalizzano la duplicazione del DNA

Struttura DNA

Doppio filamento, con filamenti complementari Possibilità di autoreplicazione

Vie metaboliche regolate per retroazione

A B C D

Inibitore per l’enzima

E E

Vie metabolica, reazioni catalizzate da enzimi (E)

Ciclo di Krebs, regolazione enzimatica

La concentrazione del prodotto finale di una via metabolica può regolare lo svolgimento della via metabolica stessa agendo come repressore per un dato enzima.

Autoreferenza strutturale

Ossalacetato

Citrato

E

α-Chetoglutarato

Succinato

E

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Metabolismi cellulariUn altro Strano Anello che vorrei ora considerare è quello

esistente a livello del metabolismo cellulare che lega tra loro DNA eproteine. Esso si è originato agli albori dell’evoluzione biologica della vitasulla terra e rappresenta forse il primo vero metabolismo instauratosi. Nelbrodo primordiale, a seguito della compartimentazione ad opera dimembrane fosfolipidiche, si instaurarono alcune reazioni specifiche tra lequali quella di maggior importanza risultò essere quella di sintesi delleproteine ad opera dei primi acidi nucleici.

Abbandonando ora quella che è l’origine di tale metabolismopassiamo a una sua analisi dettagliata così come si presenta oggiall’interno delle cellule eucariote:

• Dal DNA attraverso un processo di trascrizione vieneoriginato un filamento di RNA messaggero contenente leinformazioni per la sintesi delle proteine. Questo a seguito dialcuni procedimenti di rielaborazione (eliminazione degliintroni e costruzione di un cappuccio proteico e di unasequenza protettiva di basi azotate) viene poi trasportatoall’esterno del nucleo.• A mezzo dei ribosomi, che si agganciano all’mRNA, edell’RNA transfert (in grado di trasportare i singoliamminoacidi attivati) si realizza poi la traduzione che portaalla sintesi vera e propria delle proteine.• Le proteine vanno infine a costituire gli enzimi che a lorovolta catalizzano le reazioni di replicazione del DNA, ditrascrizione e di traduzione.

Il DNA contiene dunque le informazioni per la sintesi delleproteine che a loro volta sono indispensabili per la replicazione dellostesso DNA. Si tratta dunque di un metabolismo autoreferenziale, unostrano anello chimico-biologico che tra le altre cose impedisce di definirechi sia nato prima: acidi nucleici o proteine?

Studiando il DNA ci si può inoltre rendere conto di un secondotipo di autoreferenza che ne caratterizza la struttura. Esso è infatti formatoda una doppia elica dove i filamenti sono uniti a mezzo dei legami tra lebasi azotate che per loro natura si legano sempre nel seguente modo: A-T,C-G. Essendo dunque due filamenti complementari nel processo direplicazione del DNA è sufficiente separarli per poi ricostruirne due seminuovi sfruttando tale complementarietà. Si parla infatti di autoreplicazionepoiché la struttura stessa dell’acido deossiribonucleico contiene leinformazioni necessarie per la sua stessa duplicazione, possiamo quindiaffermare che esso presenti una struttura autoreferenziale.

DNA - proteine

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Metabolismi cellulariNei processi chimico-biologici si possono inoltre individuare

alcuni altri strani anelli: quelli che si generano a seguito dei meccanismi diautoregolazione. In una via metabolica le reazioni sono spesso catalizzatedall’azione di enzimi che può tuttavia essere limitata se intervengono irepressori (sostanze in grado di inibire per via competitiva o noncompetitiva le funzioni di un dato enzima). Ciò risulta essere di particolareinteresse quando ad agire come inibitore per un enzima che regola la viametabolica è il prodotto finale della via metabolica stessa. Si genera cosìuna sorta di autoreferenza dove l’insieme ordinato di reazioni è in grado diregolare se stesso. Un esempio è dato dal ciclo di Krebs dove la primareazione è catalizzata da un enzima molto sensibile alla concentrazione diossalacetato (prodotto finale del ciclo).

La situazione descritta in precedenza viene definita retroazionee si può individuare oltre che nei processi chimico-biologici anche ininformatica come meccanismo di controllo per sistemi deterministici. In talcaso un segnale in uscita dal sistema viene trasformato in un segnalefruibile come ingresso per mezzo di un trasduttore, un attuatoremodificherà infine gli ingressi in base ai valori assunti da tale segnaletrasdotto.

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Pensiero filosofico

Schopenhauer

Nietzsche

Realizzazione della volontà nella propria autoreferenza

Filosofia dell’eterno ritorno

La volontà non tende a qualcosa didefinito: è assenza di ogni finalità,vuole solo se stessa, eternamente esolo se stessa.

Perenne condizione di dolore dell’uomo

Infinita

Eterna

Priva di finalità

Libera

Volontà Tende eternamente a se stessa

Desiderio

Insoddisfazione

Appagamento desiderio

Noia

La volontà non può cessare di volere

Obbliga l’uomo a persistere nel suo flusso incessante e ripetitivo

L’uomo si illude che la vita sia un bene

La vita è in realtà dolore

“Agisci in modo che tu debbadesiderare di vivere di nuovo, questoè il tuo compito e tanto ciò accadrà inogni caso.”

Due interpretazioni

Cosmologica

Morale

Il mondo è caratterizzato dall’eterno ritorno dell’eguale

L’Oltreuomo ha il compito di creare e ricreare il mondo

Nuova concezione del tempo

Passato e futuro si incontrano nell’attimoFuturoPassato

Passato Futuro

Attimo

Passato e futuro vengono portati su uno stesso livello

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Pensiero filosofico

Schopenhauer

Ѐ possibile individuare alcuni meccanismi autoreferenziali anchenel pensiero di alcuni filosofi quali ad esempio Schopenhauer e Nietzsche.Analizziamo ora il primo dei due filosofi sopracitati, egli sostieneprincipalmente che al di là dell’apparente velo di Maya calato dinnanzi ainostri occhi si nasconde una forza che mantiene tutto in perenne divenire,la Volontà.

Essa ha alcune caratteristiche fondamentali: è infinita, libera,priva di finalità ed eterna; tende sempre e solo a se stessa, alla propriaautoreferenza senza però mai raggiungerla definitivamente poichéaltrimenti cesserebbe di volere e dunque di esistere. La Volontà gettainoltre ognuno di noi in uno Strano Anello al fine di mantenersi in moto edin perenne divenire: l’uomo oscilla infatti continuamente tra noia edesiderio obbligato a persistere in un flusso incessante e ripetitivo dove siillude che la vita sia un bene quando in realtà è puro dolore. Abbiamodunque visto come Schopenhauer faccia spesso uso di struttureautoreferenziali all’interno della sua opera, passiamo ora ad analizzarecome ciò si verifica anche nel pensiero di Nietzsche.

Nietzsche

Nietzsche introduce una struttura assimilabile ad uno StranoAnello in quella che viene definita come la filosofia dell’eterno ritorno delquale si fa portavoce e maestro Zarathustra . Le interpretazioni di talefilosofia sono principalmente due:

• Cosmologica: secondo tale interpretazione il mondo ècaratterizzato dall’eterno ritorno dell’eguale, ciò si presenta innetta opposizione allo Storicismo, non vi è una vera e propriastoria ma tutto si ripete in un incessante divenire, in unoStrano Anello vero e proprio.• Morale: questa interpretazione vede invece comeprotagonista l’Oltreuomo che con una sorta di decisione aritroso vuole quello che è già stato liberandosi dalcondizionamento del passato e potendo così creare e ricreareil mondo in cui vive.

Anche il tempo, in tale concezione, viene ripiegato su se stessoportando futuro e passato a coincidere su uno stesso livello: quellodell’attimo dove è incentrata la vita dell’Oltreuomo. Ѐ questo l’ultimoStrano Anello da me identificato nel pensiero filosofico di Nietzsche.

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Derivazione di ex

Derivando o integrando ex si ottiene nuovamente ex

ex

Lim h→0ex+h - ex

h Lim h→0ex ∙ eh- ex

h

Lim h→0ex ∙ (eh- 1)

h

ex ∙ Lim h→0eh- 1

h

Paradossi generati dall’autoreferenza

Paradosso di Epimenide

D[ex]

Epimenide, un cretese, afferma:“Tutti i cretesi sono mentitori”

“Io sto mentendo”Versione più incisiva dello stesso paradosso (Eubulide)

La frase è autoreferenziale, ciò rende impossibile definire se sia vera o falsa

Vero

Io sto mentendo

Falso

Affermo di mentire, la frase è falsa

Nego di mentire, la frase è vera

Magritte – L’uso della parola I

Ludwig Wittgenstein

La frase scritta si riferisce al quadro stesso generando un richiamo autoreferenziale e un paradosso

Il quadro è la rappresentazione della pipa non la pipa in sè

Superamento paradosso

Tractatus logico - philosophicus

Il linguaggio è rappresentazione del mondo Isomorfismo mondo - linguaggio

Il linguaggio non può essere autoreferenziale Superamento dei paradossi legati all’autoreferenza

“La proposizione […] non puòrappresentare ciò che essa deve avere incomune con la realtà per poterlarappresentare: la forma logica”

“Ciò che si rispecchia nel linguaggio, nonpuò venir rappresentato da esso.Ciò che si esprime nel linguaggio, noi nonpossiamo esprimerlo mediante il linguaggio”

Procedure logiche

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Derivazione di ex

Arriviamo quindi a quella che rappresenta la sezione conclusivadella tesina. In questa seconda parte del percorso ho voluto prendere inesame tutte quelle strutture e figure che a mio avviso potessero essereconsiderate autoreferenziali. Esse come si è visto sono molteplici espaziano in numerosi campi: l’arte, la biologia, la letteratura, la biologia, lafilosofia; non mi sono quindi stupito quando inaspettatamente mi sonotrovato di fronte ad una struttura autoreferenziale nell’ambito dellamatematica.

Studiando la derivazione e l’integrazione di funzionimatematiche ci si trova infatti a fronteggiare un caso del tutto particolare,quello generato da ex. Eseguendo il limite del rapporto incrementale perh→0 di tale funzione si ottiene la stessa funzione di partenza. Si avràdunque: e inoltre: . Risulta quindi evidente come lafunzione stessa sia intrinsecamente autoreferenziale poiché eseguendo laderivata prima, la derivata seconda e così via essa replicherà sempre esolo se stessa.

xx eeD xx edxe

Paradossi generati dall’autoreferenza

Procedure logiche

Analizzata una funzione matematica autoreferenziale vediamoora come applicando l’autoreferenza a una proposizione logica si vada agenerare un paradosso linguistico del tutto particolare. La primaproposizione di questo genere viene attribuita ad Epimenide, un creteseche affermò: “Tutti i cretesi sono mentitori”, creando quel paradosso cheprende il suo nome. Una versione più incisiva di tale paradosso è attribuitaa Eubulide che lo trasformò nella semplice proposizione: “Io stomentendo”. Per l’analisi del paradosso conviene però forse utilizzare laseguente frase più esplicita: “questa frase è falsa”. La proposizione siriferisce dunque a se stessa autonegandosi e generando uno Strano Anellodel tutto particolare che rende impossibile una classificazione come falsao come vera. Se infatti si considera la frase come vera si afferma che lafrase è falsa ma affermando ciò si nega la negazione, si afferma cioè che lafrase sia vera rimandando all’inizio dell’analisi.

Un paradosso del tutto simile è stato realizzato dal pittorefrancese Magritte che nel suo quadro L’uso della parola I inserisce unafrase che si riferisce al quadro stesso negandolo proprio come visto nelparadosso di Epimenide. Il paradosso è però qui risolto dallo stesso pittoreil quale afferma che la pipa rappresentata nel dipinto non è effettivamenteuna pipa ma è solo la rappresentazione di una pipa.

Tale affermazione è in accordo con la filosofia sviluppata daLudwig Wittgenstein nel suo Tractatus Logico-Philosophicus dove sostieneche il linguaggio sia una forma di rappresentazione del mondo e che tramondo e linguaggio debba esistere perciò un perfetto isomorfismo. Adogni fatto deve perciò esistere una sua corrispondente raffigurazione cheè però cosa ben distinta dal fatto in se (proprio come una pipa è differenteda una rappresentazione della stessa).

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Procedure logiche

Wittgenstein cerca inoltre di descrivere un linguaggio perfettodove non siano possibili contraddizioni paradossali generate da struttureautoreferenziali come quella presente nel paradosso di Epimenide. Eglisostiene infatti che con il linguaggio non si può descrivere né il linguaggiostesso né tantomeno la forma logica che lo accomuna con il mondoesterno, poiché per fare questo bisognerebbe spostarsi all’esterno dellinguaggio stesso generando una sorta di metalinguaggio.

• “Ciò che si rispecchia nel linguaggio, non può venirrappresentato da esso.Ciò che si esprime nel linguaggio, noi non possiamo esprimerlomediante il linguaggio”• “La proposizione […] non può rappresentare ciò che essa deveavere in comune con la realtà per poterla rappresentare: la formalogica”

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• BECKETT, Samuel, Waiting for Godot, Genova, Black Cat,1999

• BUSSAGLI, Marco, Escher, Firenze, Giunti, 2004, (Art Dossier n°196)

• HOFSTADTER, Douglas R., Godel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante, Milano, Adelphi,1990

• MANDELBROT, Benoit, Nel mondo dei frattali, Roma, Di Renzo Editore,2005

• ODIFREDDI, Piergiorgio,varietà differenziale Matematico e Impertinente, Bologna, Promo Music Books,2007

• PAVESE, Cesare, Feria d’agosto, in Tutti i racconti, Torino, Einaudi, 2002

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• PIRANDELLO, Luigi, Il fu Mattia Pascal, Milano, Arnoldo Mondadori, 1978

• PIRANDELLO, Luigi, Sei personaggi in cerca d’autore, Milano, Arnoldo Mondadori, 1978

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• STEWART, Ian, Che forma ha un fiocco di neve?, Torino, Bollati Boringhieri, 2003

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• Spettacolo Matematico e impertinente un varietà differenziale con Piergiorgio Odifreddi,regia di Fabio Massimo Iaquone, Milano 3 dicembre 2007

• Conferenza di LENSTRA Hendrik, Zoomando sulla galleria di quadri di Escher, Festival della matematica, Roma 13-16 marzo 2008

• escherdroste.math.leidenuniv.nl

• www.webfract.it

• www.frattali.it

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• ulisse.sissa.it (MASSARUCCI, Mara, “I frattali: la geometria della natura”)

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http://www.webfract.it/

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