Frattali e caos: fiocchi di neve, conigli, spugne e coralli Giorgio Pidello

Liceo Scientifico “Marie Curie”, Grugliasco (To)

SIS Piemonte

Sommario. I frattali vengono presentati a partire dall’analisi della curva di von Koch

e del fiocco di neve. Dopo aver discusso in dettaglio il concetto di dimensione, si

analizzano alcuni esempi di oggetti frattali.

Successivamente, si esaminano i sistemi dinamici discreti soffermandosi in particolare

sulla crescita malthusiana e sulla crescita logistica. Si evidenzia come la crescita

logistica determini, in particolari condizioni, una situazione caotica ben rappresentata

dal diagramma di biforcazione. Si introduce infine il concetto di attrattore strano.

1. Il fiocco di neve: un primo esempio di frattale

La curva di von Koch è un esempio di curva continua che tuttavia non è differenziabile

in nessun punto. Venne introdotta dal matematico svedese Helge von Koch (1870-

1924) nel processo di revisione dei fondamenti dell’analisi.

Per costruire la curva di von Koch si parte da un segmento c0 (livello 0 della curva), lo

si suddivide in tre parti uguali, si costruisce un triangolo equilatero sul segmentino

centrale e si cancella il segmentino centrale stesso; in questo modo si ottiene la curva

c1 (livello 1).

livello 0 livello 1 livello 2 livello 3

Per passare dalla curva cn (livello n) alla curva successiva c

n+1 si ripete il procedimento

precedente su tutti i segmentini che costituiscono cn.

La curva di von Koch si ottiene facendo tendere n all’infinito:

nn

cc lim

Disegnando a mano o col computer non riusciamo quindi a tracciare la curva di von

Koch vera e propria, ma solo le sue approssimazioni finite.

Costruendo tre curve di von Koch sui lati di un triangolo equilatero si ottiene una

figura che viene chiamata fiocco di neve o anche isola di von Koch, poiché ricorda

vagamente la forma di un fiocco di neve o di un’isola molto frastagliata.

livello 0 livello 1 livello 2 livello 3

Studiamo ora le principali caratteristiche del fiocco di neve.

Calcoliamo innanzitutto il perimetro.

Osserviamo che nel passaggio dalla figura di livello n alla figura di livello n+1 il

perimetro viene moltiplicato per 3

4. Ogni segmento infatti viene diviso in tre parti

uguali, uno dei tre segmentini viene cancellato e altri due vengono aggiunti. Il

perimetro della figura di livello n è quindi n

n al3

43 ,

dove a indica la misura del lato del triangolo

iniziale.

Passando al limite scopriamo che il

perimetro del fiocco di neve è infinito n

nn

nall

3

43limlim

L’area del fiocco di neve è invece

sicuramente finita, poiché la figura è tutta

contenuta all’interno della circonferenza

circoscritta al triangolo iniziale.1

Il fiocco di neve è dunque una figura

geometrica decisamente particolare: è limitata all’interno di una regione finita di

piano, ma ha perimetro infinito.

Siamo di fronte ad un oggetto geometrico di tipo nuovo, tradizionalmente non

considerato dalla geometria euclidea classica. Gli oggetti di questo tipo sono stati

chiamati frattali dal matematico di origine polacca Benoit Mandelbrot nato nel 1924.

I frattali presentano le seguenti caratteristiche:

(a) sono spezzettati in ogni loro punto;

(b) sono autosimili;

(c) hanno dimensione generalmente non intera.

Il termine frattali deriva dal latino fractus che significa per l’appunto rotto, spezzato.

La curva di von Koch è spezzettata in ogni suo punto poiché il procedimento di

dividere ogni segmento in tre parti, cancellare il segmentino centrale e sostituirlo con

altri due è ripetuto infinite volte.

1 Per calcolare in modo esatto l’area del fiocco di neve si parte dal triangolo iniziale, di area 2

4

3a e si

osserva che l’area aggiunta complessivamente ad ogni passo è una progressione geometrica di primo termine

2

12

3a e ragione

9

4. Per calcolare l’area totale si sommano quindi l’area del triangolo iniziale e la somma

degli infiniti termini della progressione geometrica. Il risultato è 23

5

2a .

Una figura viene detta autosimile se è simile ad un suo sottoinsieme proprio. Tale

caratteristica, quando è presente, si ripete automaticamente infinite volte.

Tutta la curva di von Koch è simile alla parte evidenziata in figura; il fattore di

similitudine in questo caso è 3

1k .

La parte di curva evidenziata, a sua volta, è simile ad un suo sottoinsieme proprio e

così via.

Il concetto di dimensione verrà analizzato in dettaglio nel paragrafo successivo.

I frattali permettono di modellizzare molti oggetti naturali non facilmente

rappresentabili con la geometria euclidea classica quali ad esempio alberi, cascate,

coralli, onde che si frangono.

2. La dimensione di un oggetto geometrico.

Intuitivamente sappiamo tutti che un segmento ha dimensione 1, un quadrato ha

dimensione 2, un cubo ha dimensione 3 e che un punto ha dimensione 0.

Il concetto di dimensione di Hausdorff inquadra in un contesto generale l’idea di

dimensione di un oggetto geometrico e può essere applicato anche ai frattali.

Per generalizzare il concetto di dimensione si parte dall’osservazione seguente:

applicando ad un segmento una similitudine con un fattore di scala prefissato, ad

esempio ,3k si ottiene un segmento più grande che è costituito da 331 copie

dell’oggetto iniziale.

Procedendo in modo analogo col quadrato e col cubo si ottengono rispettivamente

932 e 2733 copie dell’oggetto iniziale.

Osserviamo quindi che la dimensione dell’oggetto compare come esponente del fattore

di scala 3k . Sulla scorta di questa considerazione si introduce la definizione di

dimensione di Hausdorff . Si tratta di una definizione di tipo operativo.

Per misurare la dimensione di Hausdorff di un oggetto geometrico:

(a) si sceglie un fattore di scala opportuno 1k ;

(b) si applica all’oggetto la similitudine di rapporto k;

(c) si conta il numero n di copie dell’oggetto iniziale che sono contenute

nell’oggetto trasformato.

La dimensione di Hausdorff d è l’esponente che bisogna dare ad n per ottenere k:

nk d ,

ossia

k

nd

log

log.

Si verifica facilmente che la scelta della base dei logaritmi non influenza il risultato.

Calcoliamo ora la dimensione della curva di von Koch.

Tenendo presente le modalità di costruzione della curva scegliamo come fattore di

scala 3k . Applichiamo la similitudine

Osserviamo ora che la curva trasformata contiene esattamente 4 copie della figura

iniziale; pertanto 4n .

La dimensione della curva di von Koch è allora il numero reale positivo d che verifica

l’uguaglianza 43d . In conclusione 26,13log

4logd .

La curva di von Koch è quindi una curva piuttosto patologica che ha dimensione

maggiore di 1: una curva che, spezzettandosi e ripiegandosi all’infinito, aumenta

leggermente la propria dimensione.

3. Alveoli polmonari, spugne, quadrati.

Analizziamo ora qualche altro tipo di frattale.

A) La curva di von Koch modificata.

Il meccanismo di costruzione della curva di von Koch modificata è analogo a quello

della curva di von Koch: il segmento iniziale viene suddiviso in 7 segmentini uguali; il

segmentino centrale viene cancellato e sostituito da due lati uguali di lunghezza pari a

3 segmentini.

livello 0 livello 1

Il procedimento viene poi ripetuto su ciascuno dei quattro segmenti della nuova curva,

e così via.

livello 2 livello 4

Per calcolare la dimensione della curva di von Koch modificata, scegliamo il fattore di

scala 3

7k ; dopo la similitudine troviamo 4n copie

dell’oggetto iniziale; la dimensione della curva è pertanto

64,1

3

7log

4logd .

La curva di von Koch modificata sembra estendersi

maggiormente nel piano rispetto alla curva originale; il

confronto tra le dimensioni delle due curve conferma la

nostra percezione.

La curva di von Koch modificata ricorda, in sezione, la

struttura dei polmoni umani, con i bronchi che si

suddividono in bronchìoli sempre più piccoli, sino agli

alveoli polmonari in cui avviene il passaggio

dell’ossigeno nel sangue.

B) Il triangolo di Sierpinski

Il polacco Waclaw Sierpinski (1882-1969) inventò numerosi frattali.

Per costruire il triangolo di Sierpinski si parte da un triangolo equilatero, si tracciano i

segmenti che congiungono i punti medi dei lati e si cancella il triangolino ottenuto

all’interno. Il procedimento viene poi ripetuto su ciascuno dei tre triangolini rimasti, e

così via.

livello 0 livello 1 livello 2 livello 5

Per calcolare la dimensione del triangolo di Sierpinski, scegliamo il fattore di scala

2k ; dopo la similitudine troviamo 3n copie dell’oggetto iniziale; la dimensione

del triangolo di Sierpinski è pertanto 58,12log

3logd .

C) Il cubo di Sierpinski

Per costruire il cubo di Sierpinski si parte da un cubo; lo si suddivide in 27 cubetti

uguali tra loro; si tolgono il cubetto che si trova all’interno ed i 6 cubetti centrali di

ogni faccia. Il procedimento viene poi ripetuto su ciascuno dei 20 cubetti rimasti, e

così via.

livello 1 livello 2 livello 3

Per calcolare la dimensione, scegliamo il fattore di scala 3k ; dopo la similitudine

troviamo 20n copie dell’oggetto iniziale; la dimensione

è pertanto 73,23log

20logd .

Il cubo di Sierpinski ricorda la struttura interna delle

spugne marine.

D) La curva di Sierpinski

Per costruire la curva di Sierpinski si parte da un segmento, lo si suddivide in due parti

uguali e si costruiscono i due quadrati che hanno come lato il segmentino centrale. La

curva viene poi percorsa come in figura.

livello 0 livello 1 livello 1

Il procedimento viene ripetuto su ciascuno dei nove segmentini ottenuti, e così via.

livello 2 livello 3 livello 4

Al limite, la curva di Sierpinski sembra ricoprire un intero quadrato.

Per calcolare la dimensione scegliamo il fattore di scala 3k ; dopo la similitudine

troviamo 9n copie dell’oggetto iniziale. La dimensione è pertanto 23log

9logd .

La curva di Sierpinski è quindi una curva continua che arriva a riempire un intero

quadrato.

E) La curva di Peano.

La curva di Peano è un’altra curva che riempie un quadrato. Fu la prima curva di

questo tipo ad essere inventata. Giuseppe Peano la propose nel 1890 come

controesempio ad una definizione di curva piana non del tutto corretta.

livello 0 livello 1 livello 2 livello 3

Per costruire la curva di Peano si parte da un quadrato, lo si suddivide in 4 quadratini

uguali e si congiungono i centri di tali quadratini. Il procedimento viene poi ripetuto

infinite volte.

Per calcolare la dimensione scegliamo il fattore di scala

2k ; dopo la similitudine troviamo 4n copie

dell’oggetto iniziale.

La dimensione è pertanto 22log

4logd .

La curva di Peano compare nel logo dell’Associazione

Subalpina Mathesis.

4. Sistemi dinamici discreti e dinamica delle popolazioni.

Un sistema dinamico discreto è costituito da una condizione iniziale 0x e da una legge

ricorsiva nn xfx 1 . Se gli elementi della successione ix sono numeri reali, il

sistema è detto unidimensionale; se appartengono a kR è detto di dimensione k.

I sistemi dinamici discreti si prestano particolarmente bene a descrivere l’andamento

di una o più popolazioni ad intervalli regolari di tempo.

Vediamo qualche esempio di sistema unidimensionale.

A) Conigli in Australia.

I coloni inglesi portarono in Australia dalla madrepatria dei conigli per allevarli nelle

proprie fattorie. Alcuni animali fuggirono dalle gabbie e iniziarono a vivere in libertà.

I conigli trovarono nella prateria australiana disponibilità pressoché illimitata di cibo

in assenza di predatori e iniziarono a riprodursi … per l’appunto … come conigli.

Supponiamo che in un determinato anno vi fossero 1000 conigli in libertà e che ad

ogni anno la popolazione crescesse del 20%.

Il sistema dinamico corrispondente alla situazione considerata è

nnn xxx

x

100

20

1000

1

0

Il sistema può essere riscritto in forma più compatta

nn xx

x

2,1

1000

1

0

Rappresentando graficamente la successione, osserviamo che la popolazione cresce in

modo esponenziale.

Constatiamo inoltre che, anche modificando il numero iniziale di conigli, l’andamento

rimane sostanzialmente invariato: finché vi è disponibilità di cibo, la popolazione

continua ad aumentare.

B) Le api in Val d’Aosta.

La varroa è una malattia infettiva che colpisce le api e ne riduce fortemente le

popolazioni.

Supponiamo che, prima dell’arrivo di un’epidemia, in tutta la valle d’Aosta vi fossero

2.000.000 di api e che, per causa della malattia, la popolazione si riduca del 30% ogni

anno.

Il sistema dinamico descritto è il seguente nnn xxx

x

100

30

000.000.2

1

0

che equivale a nn xx

x

7,0

000.000.2

1

0

Osservando il grafico ci rendiamo conto che, anche variando le condizioni iniziali, la

popolazione decresce in modo esponenziale.

In assenza di interventi di cura e prevenzione la popolazioni di api tende dunque ad

estinguersi.

I sistemi dinamici considerati sono due esempi del modello di crescita proposto

dall’economista inglese Thomas Malthus (1766-1834)

nnn kxxx

x

1

0

dove k è il tasso di crescita della popolazione.

Durante la rivoluzione industriale, Malthus osservò che la popolazione aumentava in

modo consistente e con un ritmo regolare. Sulla base del suo modello formulò la

previsione che presto non vi sarebbero più state risorse alimentari sufficienti per tutti e

che l’umanità si sarebbe dilaniata in terribili guerre per la sopravvivenza.

5. Alla ricerca dell’equilibrio.

Esaminiamo altri due sistemi dinamici in cui la dinamica della popolazione è

modificata dall’intervento di fattori esterni.

A) Immigrazione e spopolamento.

In un paese di campagna la popolazione diminuisce perché molti giovani si

trasferiscono altrove. Ogni anno arrivano però alcuni nuovi cittadini extracomunitari

che trovano lavoro nell’allevamento e nell’agricoltura.

Supponiamo ad esempio che in quel paese inizialmente vi siano 5000 abitanti, che

ogni anno la popolazione diminuisca del 10% e che ogni anno arrivino 200 nuovi

cittadini

La situazione descritta corrisponde al sistema dinamico 200

100

10

5000

1

0

nxn xxx

x

che equivale a 2009,0

5000

1

0

nn xx

x

Dall’analisi del grafico scopriamo che, indipendentemente dalla condizione iniziale, la

popolazione tende a stabilizzarsi sul valore 2000x .

Il valore 2000x è un punto di equilibrio stabile: variando la condizione iniziale, il

sistema continua a convergere a tale valore. Nel linguaggio dei sistemi dinamici si dice

che 2000x è un attrattore.

B) Il laghetto delle trote.

Il proprietario di un allevamento di trote in montagna constata che la popolazione di

trote cresce con regolarità e decide di prelevare ogni anno un determinato numero di

trote per venderle.

Supponiamo che in quell’allevamento vi siano inizialmente 3800 trote, che ad ogni

anno la popolazione aumenti del 5% e che ogni anno il proprietario prelevi 200 trote.

Il sistema dinamico preso in considerazione è 20005,1

3800

1

0

nn xx

x

In questo caso 4000x è un punto di equilibrio instabile. Se all’inizio vi sono

esattamente 4000 trote, la popolazione rimane costante; se vi sono più di 4000 trote,

cresce in modo esponenziale; se vi sono meno di 4000 trote, decresce in modo

esponenziale. Nel linguaggio dei sistemi dinamici si dice che 4000x è un repulsore.

In generale, le posizioni di equilibrio di un sistema dinamico discreto si ottengono

risolvendo l’equazione

)(xfx ;

tale condizioni infatti garantisce che ad ogni passo il nuovo valore 1nx coincida con il

precedente nx .

L’equazione )(xfx fornisce tutte le posizioni di equilibrio, indipendentemente dalla

loro stabilità. La verifica nei due esempi considerati è immediata.

6. Un modello di nicchia ecologica: la crescita logistica.

Il modello di crescita logistica proposto dal belga Pierre Verhulst (1804-1849)

descrive l’andamento di una popolazione in una nicchia ecologica. Ogni nicchia

ecologica ha una certa dimensione, ossia contiene risorse sufficienti a nutrire un

numero massimo di individui della specie considerata. Pensiamo ad esempio ad una

popolazione di conigli su di un’isola di piccole dimensioni.

Secondo il modello di Verhulst, l’incremento della popolazione è proporzionale sia

alle dimensioni della popolazione stessa che al posto ancora libero nella nicchia

ecologica.

Se indichiamo con a la “capienza” della nicchia ecologica e con k il tasso di crescita

della popolazione in abbondanza di cibo, il modello di Verhulst è descritto

dall’equazione seguente:

nnnn xaxa

kxx 1

Il fattore nxa fa sì che, quando il numero degli individui si avvicina alla capienza

della nicchia, la crescita sia minore. Se ad un certo momento il numero di individui

supera la capienza massima, il fattore nxa diventa negativo e rende negativo tutto

il termine di accrescimento; di conseguenza nell’anno successivo la popolazione

risulterà diminuita. Questo andamento corrisponde al fatto che alcuni individui

muoiono perché non trovano cibo.

Il fattore a

1 nel termine di accrescimento viene introdotto poiché si desidera che, per

valori di nx piccoli rispetto ad a, la crescita sia maltusiana. In tal caso infatti il termine

di accrescimento può essere approssimato dal corrispondente termine maltusiano:

nnnn kxaxa

kxax

a

k.

Per determinare i punti di equilibrio del sistema è sufficiente risolvere l’equazione

xaxa

kxx

I punti di equilibrio sono ax (nicchia ecologica satura) e 0x (nicchia ecologica

vuota).

Supponiamo ad esempio che sull’isola vi siano inizialmente 800 conigli, che la

capienza della nicchia ecologica sia di 10000 individui, e che il tasso di crescita della

popolazione in abbondanza di cibo sia del 50% annuo.

Si ottiene il sistema dinamico nnnn xxxx

x

1000010000

5,0

800

1

0

Esaminando l’andamento del sistema osserviamo che 10000x ( in generale ax ) è

una posizione di equilibrio stabile, ossia un attrattore e che 0x è una posizione di

equilibrio instabile, ossia un repulsore.

7. Dalla crescita logistica al caos.

In questo paragrafo analizzeremo il comportamento del sistema nel caso in cui la

popolazione di conigli sia particolarmente feconda ed il tasso di crescita k sia quindi

piuttosto elevato.

Ci proponiamo innanzitutto di determinare quali siano i valori di k compatibili con la

legge di crescita logistica della popolazione nnnn xaxa

kxx 1 .

Esamineremo in dettaglio il caso 0k . Il caso 0k infatti è banale e nel caso 0k il

modello è scarsamente significativo.

La legge ricorsiva può essere riscritta come segue

nnn xkxa

kx 1

2

1 .

Il tasso di crescita k deve essere scelto in modo che tutti i termini della successione

ix siano non negativi. Dato un generico termine nx della successione, richiedere che

il termine successivo 1nx sia positivo o nullo equivale a richiedere che sia verificata la

condizione

012

nn xkxa

k

Risolvendo una semplice disequazione di secondo grado in nx otteniamo

ak

kxn

1;0

Per garantire inoltre che 2nx sia positivo o nullo, bisogna imporre che anche 1nx

appartenga all’intervallo ak

k 1;0 .

Osserviamo ora che 1nx si ottiene applicando a nx la funzione

xkxa

kxf 1)( 2

e che il grafico di tale funzione è una parabola con la concavità rivolta verso il basso di

vertice ak

ka

k

kV

4

1;

2

12

.

Affinché 2nx sia positivo o nullo, basta quindi richiedere che l’ordinata del vertice

della parabola appartenga all’intervallo ak

k 1;0 . Imponendo tale condizione si

ottiene che k deve appartenere all’intervallo 3;0 .

Analizzando in dettaglio anche il caso (scarsamente significativo) 0k , si trova che

l’intervallo 3;0 può essere esteso a 3;1 .

In definitiva, per garantire che tutti i termini della successione ix siano positivi o

nulli, il tasso di crescita k deve appartenere necessariamente all’intervallo 3;1 .

Ritorniamo ora ai nostri 800 conigli che vivono su di un’isola che ne può contenere al

massimo 10000.

Analizziamo il sistema dinamico

nnnn xxk

xx

x

1000010000

800

1

0

al variare di k nell’intervallo 3;0 .

Per facilitare l’interpretazione dei risultati osserviamo che il valore massimo 3k

significa un tasso di crescita del 300% all’anno: si tratta indubbiamente di conigli

molto fecondi!

I grafici seguenti riportano l’andamento del sistema in corrispondenza ad alcuni valori

di k.

Per 1k il sistema si stabilizza gradualmente sull’attrattore 10000x .

Per 95,1k il sistema si stabilizza sull’attrattore con una oscillazione smorzata: la

maggior fertilità fa sì che ad un certo punto la capacità della nicchia venga superata e

che da quel punto in avanti si alternino un valore superiore ed uno inferiore alla

capacità della nicchia.

Per 05,2k l’oscillazione diventa periodica senza più smorzarsi: la successione

oscilla alternativamente tra due valori limite, uno superiore ed uno inferiore alla

capacità della nicchia.

Per 5,2k i valori limite diventano 4.

Per 8,2k la situazione diventa caotica. Il comportamento del sistema a lungo

termine non è più prevedibile: la successione oscilla all’interno di un intervallo in

modo apparentemente casuale alternando un valore superiore ed uno inferiore alla

capacità della nicchia. La fertilità ulteriormente accresciuta fa sì che il sistema diventi

estremamente reattivo e si determini una situazione di instabilità totale.

Per 3k il caos si estende a tutto l’intervallo dei valori possibili ak

k 1;0 . Nel

nostro esempio si tratta dell’intervallo 13333;0 .

Il grafico seguente rappresenta, al variare di k, i valori limite assunti dal sistema.

Si noti in particolare la biforcazione che avviene per 2k seguita da altre biforcazioni

intorno ai valori 4,2k e 6,2k .

La situazione caotica inizia a presentarsi quando k vale circa 2,7.

Poco oltre il valore 8,2k osserviamo la presenza di una zona in cui i valori limite

sono di nuovo pochi e ritorna una certa regolarità, per certi versi analoga alla struttura

della zona corrispondente all’intervallo 7,2;2 .

Effettuando ingrandimenti successivi della zona caotica si scopre una vera e propria

struttura frattale: all’interno del caos il comportamento non è del tutto casuale, ma

segue la filigrana di un frattale.

Al crescere di k, l’attrattore subisce dapprima una biforcazione e si sdoppia in due

attrattori distinti, poi in quattro, poi in otto. A un certo punto, quando il sistema

diventa caotico, gli attrattori non sono più un numero finito, ma diventano gli infiniti

punti di un frattale che viene detto attrattore strano del sistema dinamico.

8. Passeggiando in un triangolo: un sistema dinamico bidimensionale.

Consideriamo, per concludere, un sistema dinamico bidimensionale.

Il sistema è costituito da un punto che si sposta in modo “casuale” all’interno di un

triangolo equilatero ABC.

La posizione iniziale 0P è un qualsiasi punto del triangolo ABC.

La legge ricorsiva è di tipo aleatorio. Per determinare 1nP a partire da nP , si lancia un

dado e ci si comporta nel modo seguente:

- se esce 1 o 2, 1nP è il punto medio del segmento nAP ;

- se esce 3 o 4, 1nP è il punto medio del segmento nBP ;

- se esce 5 o 6, 1nP è il punto medio del segmento nCP .

Si tratta ovviamente di un sistema non deterministico.

Simulando il sistema dinamico per un numero crescente di punti, si ottengono le figure

seguenti.

Il triangolo di Sierpinski risulta essere l’attrattore strano del sistema dinamico

considerato.

Questo esempio conferma quanto già intuito nel paragrafo precedente: i frattali

permettono di ritrovare un po’ d’ordine nel caos prodotto da un sistema dinamico.

Bibliografia

IMPEDOVO, MICHELE 2003, Sistemi dinamici discreti, Progetto Alice, 12, 525-582.

ISRAEL, GIORGIO 1986, Modelli matematici, Roma, Editori riuniti.

MANDELBROT, BENOIT 1987, Gli oggetti frattali, Torino, Einaudi.

STEWART, IAN 1993, Dio gioca a dadi, Torino, Bollati Boringhieri.

VON KOCH, HELGE 1906, Une méthode géométrique élémentaire pour l’étude de

certaines questions de la théorie des courbes planes, Acta Mathematica, Stockholm,

30, 145-174.

Ivrea, 8 aprile 2005

Per gentile concessione di Kim Williams Books. Pubblicato in Associazione Subalpina MATHESIS, Seminario di Storia delle matematiche “Tullio Viola”, Conferenze e Seminari 2004-05, 2005, Torino, Kim Williams Books