Viaggio nel mondo dei…

frattali !!!

PREMESSA:Ciao ragazzi, volevo dirvi che siete stati molto bravi a seguirecon tanta attenzione la lezione sui frattali, che era piuttostodifficile.Dalle domande che mi avete fatto, durante e dopo, mi sembrache abbiate capito molte cose, bravi!Vi scrivo sotto l’indirizzo al quale potete scaricaricare ilprogramma Xaos, che e’ un sofware libero che dovrebbefunzionare su qualunque computer:http://fractalfoundation.org/resources/fractal-software/

Se avete dei problemi potete scrivermi all’indirizzo:maricarla.tesi@unibo.itVi auguro un anno scolastico interessante e divertente, e…arrivederci al prossimo anno!

Maria Carla

Cosae’ un frattale?

I frattali sono figure geometriche, come i rettangoli, i cerchi, i quadrati; pero’i frattali hanno proprieta’specialiche le altre figure non possiedono.

Frattale matematicosuper-famoso:

insieme di Mandelbrot.

Proprieta’ strane?

Si’, per esempio se si fa lo zoom di una figurafrattale si trova la stessa forma…

… all’infinito !

Broccolo:

Dove si trovanoi frattali ?

In natura: In matematica:

foglia di felce triangolo di Sierpinski

Movie: introduzione1

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Perche’ ci interessano?

Si da’ il caso che le nuvole NON siano sfere, e lemontagne NON siano coni…

La maggior parte deglioggetti in naturanon ha la forma di quadrati, triangoli, sfere o coni, ma di figure geometrichepiu’ complicate.

felci,

coralli,

coste,

hanno forma frattale.

Molti oggetti naturali, come:

Movie: introduzione2

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Inoltre…Euclide…La geometria che studiamo a scuola su cerchi, quadrati

e triangoli e’ stata organizzata attorno al 300 A.C.

da un matematico greco chiamato Euclide, che

ha scritto 13 libri chiamati ELEMENTI.

… i frattali sonomoderni!La maggior parte della geometria frattale invece e’molto piu’ recente.E’ stata organizzata intorno al 1970 dal ProfessorBenoit Mandelbrot (1924 - 2010).

Movie sullamatematicaclassica

Mandelbrot ha detto:“Il concetto di base che unisce lo studio dei frattali allediscipline come la biologia e la medicinaparte dalla convinzione di un necessario superamentodella geometria euclidea nella descrizione dellarealta’ naturale. Volendo essere molto sintetici, i frattaliservono a trovare una nuova rappresentazione cheparta dall'idea di base cheil piccolo in natura non e’ nient'altro che una copia del grande.”

I ricercatori in matematica, fisica e ingegneria stannolavorando tutt’ora sui frattali.

… e inoltre…

Anche se i frattali sono estremamente complicati, a volte infinitamente complicati…

… alcuni di essi possono essere pero’ estremamentefacili da costruire ! (come vedremo)

… e inoltre ci sono alcune proprieta’ matematichesemplici riguardo ai frattali che anche noi giovanistudenti siamo in grado di capire!

… e inoltreinoltre…

ci sono diverse applicazioni pratiche dei frattalinella nostra vita quotidiana, per esempio: 1) In medicina;2) Nelle antenne;3) Nei telefoni cellulari;4) Nelle previsioni del tempo;5) In alcuni film (che voi probabilmente avete

visto!).

Chestranonome…

… deriva dal latinofractus(rotto, spezzato),cosi’ come il terminefrazione; infatti gli oggetti frattalisono considerati in matematica oggetti didimensionefrazionaria(cioe’ non intera).

Su questo concetto torniamo dopo, per ora notiamo chegli oggetti naturaliche hannoforme frattalisono oggettimolto rugosi, frastagliati, non lisci.

FRATTALI IN MATEMATICA

Helge von Koch (1870-1924)Curva di Koch

Triangolo di Sierpinski Waclaw Sierpinski (1882-1969)

Costruiamola curvadi Koch

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… piu’ lentamente…

1) dividiamo un lato del triangolo in tre parti uguali e rimuoviamo la parte centrale;

2) sostituiamo il pezzo mancante con due pezzi della stessalunghezza del pezzo rimosso;

3) facciamo la stessa operazione su tutti i lati del triangolo;

… perimetrochecresce…

Iterazione 0:lungh = 1 metro

Iterazione 1:lungh = 4/3 = 1.33 metri

Curvadi Koch dopola prima iterazione

3 segmentilungh segm= 1

12 segmentilungh segm= 1/3

… e quindi proseguendo…

…12 segmenti

lungh segm= 1/348 segmenti

lungh segm= 1/9192 segmenti

lungh segm= 1/81

… calcolopiu’ preciso…

768/81 ~ 9.5 m1/81 cm4x192=7684

192/27 ~ 7.1 m1/27 m4x48=1923

48/9 ~ 5.3 m1/9 m4x12 = 482

12/3 = 4 m1/3 m4x3 = 121

3 m1 m30

perimetrolungh

segm

num

segmenti

iterazione

PerimetroINFINITO !

Proseguendo la procedura tante tante volte, il PERIMETRO della curva diventa ENORME,grande quanto vogliamo, in matematica si diceINFINITO !

Perimetroinfinito, e l’area?

DOMANDA:Cosa fa l’AREAracchiusa dalla curva ?

Di solito, quando si aumenta il perimetro di una figurageometrica aumenta anche la sua area:

Area dellacurvadi Koch:

L’area e’ sempre racchiusa da uno STESSO CERCHIO che circonda il triangolo di partenza. Non importa quanto grande diventa il perimetro dellacurva, l’area dentro alla curva rimane dentro al cerchio, quindi e’ piu’ piccola dell’area del cerchio.

E quindi… l’ AREA e’ FINITA!!!

Movie: curvadi Koch

StoriasuBenoit e le coste

La curva di Koche’ interessante perche’ e’ similead alcunifrattali che si trovano in natura.

Mandelbrot ha osservato che le rientranzesempre piu’ fini della curva di Koch sono proprioquello che ci vuole per descrivere le costedella Gran Bretagna.

Quantoe’ lungala costadellaGran Bretagna?

…dipende…

Unita’ = 200 km

Lunghezza = 2400 kmUnita’ = 100 km

Lunghezza = 2800 km

Unita’ = 50 km

Lunghezza = 3400 km

…dal tipodi metro cheusiamoper misurare!

RISPOSTA: dipende dal metro con cui facciamole misure!

Con un metro che ha solo i DECIMETRI (poco preciso) si perdonomolto particolari, e si ottiene una certa lunghezza del perimetro.

Con um metro che ha anche i CENTIMETRI (piu’ preciso) siincludono piu’ particolari, ed il perimetro risulta piu’grande.

Se potessimo misurare ogni roccia, ciottolo o granello di sabbiail perimetro risulterebbe grandissimo!

Movie sumisurazionecosta

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Quindi la domandae’ sbagliata!

La domanda piu’ appropriata sarebbe:

QUANTO E’ RUGOSA LA COSTA DELLA GRAN BRETAGNA ?

Risposta: la diamo tra un poco…

Perche’ le costesonofrattali ?

Le coste sono formate attraversosemplici processiripetitivi, che si ripetono per centinaia di milioni di anni.

L’infrangersi delle onde erode lentamente le linee costiere.La marea che sale e scende erode allo stesso modo, e fa accumularesassolini.Anche le tempeste giganti erodono e portano sassolini.

La forma delle coste e’ molto piu’ irregolare della forma dellacurva di Koch, ma entrambe sono formate in maniere simili,iterando (cioe’ ripetendo) all’infinito un processo semplice.

Intermezzo: fioccodi neve

I fiocchi di neve crescono espandendosi verso l’esterno dal centro,e ramificandosi in continuazione. Il processo non e’ uguale a quelloche ci ha portato alla curva di Koch, pero’ sono molto simili !

Costruiamoil triangolodiSierpinski

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… piu’ lentamente…

1) disegniamo un triangolo interno unendo i punti di mezzodei tre lati del triangolo di partenza;

2) anneriamo il triangolo interno, e’ come se fosse un buco;

3) ripetiamo la stessa operazione su ognuno dei triangolipiu’piccoli, non anneriti, che abbiamo ottenuto;

4) continuiamo cosi’ all’infinito.

0) disegniamo un triangolo equilatero;

Esempiodi frattali in 3D

Curioseproprieta’ dei frattali:

1) Auto-similarita’;

2) Dimensione frazionaria;

3) Formazione per iterazione.

PROPRIETA’ 1:

AUTO-SIMILARITA ’

Figure simili in geometria:DUE figure geometriche sono SIMILI se una diesse, dopo essere stata ingrandita o rimpicciolitaallo stesso modo in tutte la direzioni, si puo’sovrapporre all’altra (sono ammesse rotazionie riflessioni).

Primi esempi di figure simili:

QUADRATI

RETTANGOLI

TRIANGOLI

Esempi di figure NON simili:

RETTANGOLI

OVALI

TRAPEZI

Altri esempi di figure simili:

Le figure con lo STESSO COLORE sono SIMILI.

Simili o non simili ???

GIRAFFE !!!

DOMANDE PER VOI :

1) DUE CERCHI SONO SEMPRE SIMILI ?

2) DUE QUADRATI SONO SEMPRE SIMILI ?

3) DUE TRIANGOLI EQUILATERI SONO SEMPRE SIMILI ?

4) DUE TRIANGOLI RETTANGOLI SONO SEMPRE SIMILI ?

Figure auto-simili in geometria:

UNA figura geometrica e’ AUTO- SIMILEse e’ possibile formarne una piu’ grande, similea quella di partenza, usando delle copie diquella di partenza.

Auto-similarita’ in geometria:

il quadrato e’ auto-simile !

trapezio: questo e’ auto-simile,ma in generale ?

Esempi di figure auto-simili:

ALTRE DOMANDE PER VOI :

3) UN CERCHIO E’ AUTOSIMILE ? (NO, MAI)

1) UN QUADRATO E’ AUTOSIMILE ? (SI’)

2) UN RETTANGOLO E’ AUTOSIMILE ? (SI’)

4) UN QUALUNQUE TRIANGOLO E’ AUTOSIMILE ? (NO, DIPENDE DA COME E’ FATTO…)

Auto-similarita’ in natura:

scarica elettrica

pianta

foglia di felce

Auto-similarita’ nei frattali 1:

Auto-similarita’ nei frattali 2:

Movie sullaself-similarity

PROPRIETA’ 2:

DIMENSIONE FRAZIONARIA

Cosae’ la dimensionedi un oggettogeometrico?

. P Un puntoha dimesione0 (no lungh, no largh, no alt)

Unalineaha dimensione1 (lunghezza)

Un pianoha dimensione2 (lunghezza e larghezza)

Un cuboha dimensione3 (lungh, largh e altezza)

L

… ancora sulla dimensione…

Prendiamo delle figure autosimilari (segmento, quadrato e cubo)e raddoppiamole loro misure: quante copie dell’originale otteniamo ?

segmento: 2 copie

quadrato: 4 copie

cubo: 8 copie

(2 = 2x1=2 1̂)

(4 = 2x2=2 2̂)

(8 = 2x2x2=23̂)

Regola generale:

Numero copie = fattore di dilatazione ^ DIMENSIONE

Segmento: 2 copie = 2 ^ 1

Quadrato : 4 copie = 2 ^ 2

Cubo: 8 copie = 2 ^ 3

…cosa succede ad un frattale ?

raddoppiando la lunghezza dei lati otteniamo… 3 COPIE !

3 = 2 ^ 1.584…

Dimensione frazionaria:

38 = 2 3̂cubo

24 = 2 2̂quadrato

1.584…3 = 2 1̂.584…Triangolo di

Sierpinsky

12 = 2 1̂segmento

DimensioneNum copieFigura

E quindi ?E quindi il triangolo di Sierpinsky ha

dimensione compresa tra 1 e 2(ha dimensione 1.584…)!

Questo e’ il motivo per cui si dice che i frattali hanno dimensione frazionaria (o frattale), cioe’ non intera !

DOMANDA: che dimensione avra’ la curva di Koch ?

PROPRIETA’ 3:

FORMAZIONE PER ITERAZIONE

Formazione per iterazione:I frattali matematici sono formati tramite un PROCESSO ITERATIVO(cioe’ che si ripete).

Forme frattali in natura (formate da un processo che si ripete): coste (erosione), coralli e alberi (ramificazione).

Frattali matematici: curva di Koch, triangolo di Sierpinski ( liabbiamo costruiti!).Siamo partiti da una figura geometrica familiare, tipo un triangoloo un segmento, e abbiamo eseguito una semplice proceduraper ottenere una figura piu’ complicata.Poi si procede cosi’, all’infinito, e si ottiene una figura complicatissima!

Montagna frattale in costruzione:

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Montagna frattale finale:

Movie su montagna frattale:

A cosa servono i frattali ?

Come dicevamo all’inizio della chiaccherata,ci sono diverse applicazioni pratiche dei frattalinella nostra vita quotidiana, per esempio: 1) In medicina;2) Nelle antenne;3) Nei telefoni cellulari;4) Nelle previsioni del tempo;5) In alcuni film (che voi probabilmente avete

visto!).

Movie su… “Star Trek II”

Movie su… “Star Wars III”

Movie su: antenna frattale

Movie su: antenna cellulare

Movie su: frattali e medicina

Movie finale