GEOMETRIA

TRIANGOLI E PARALLELOGRAMMI

CONGRUENZA DEI TRIANGOLI

E SUE CONSEGUENZE

FIGURE CONGRUENTI

• Due triangoli sono congruenti se esiste un moviemnto rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere.

• Questo movimento farà coincidere i vertici, i lati e gli angoli del primo triangolo con i vertici e gli angoli corrispondenti del secondo triangolo.

C C1

A B B1 A1

• ABC A1B1C1 AB A1B1, AC A1C1, lati omologhi o corrispondenti BC C1B1, A A1, B B1, angoli corrispondenti C C1

Due triangoli sono congruenti se hanno i sei elementi (3lati e 3 angoli) rispettivamente congruenti (angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e viceversa).

Ma bastano 3 di queste relazioni di congruenza per dire che i triangoli sono congruenti.

PROPRIETA’

• L’inverso di un teorema è una proprietà

PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA

• Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra loro compreso, essi sono congruenti.

• OSSERVAZIONE: ad angoli congruenti stanno opposti lati congruenti, e viceversa, a lati congruenti sono opposti angolicongruenti.

C C1

A B B1 A1

• IPOTESI: AC A1C1 lato AB A1B1 lato CABC1A1B1 angolo

• TESI: ABCA1B1C1 triangolo

Bastano queste 3 relazioni (2 lati ed un angolo congruenti) per dimostrare che i due angoli sono uguali.

DIMOSTRAZIONE (verifica sperimentale)

• Si parte dall’angolo: CABC1A1B1• Se con un movimento rigido sovrappongo i due angoli,

anche le due semirette (lati dei triangoli) si sovrapporranno.

• La semiretta che contiene AC si sovrappone a quella che contiene A1C1.

• AB si sovrappone ad A1B1.• Poiché AC è congruente ad A1C1 ed AB ad A1B1,

Ccoincide con C1, il vertice B coincide con B1, è chiaro che il lato BC coincide e si sovrappone con B1C1.

• Anche l’angolo in C1 coincide con C e B coincide con B1.• Quindi il triangolo ABC coincide con il triangolo

A1B1C1.

TEOREMA

• In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. C

IPOTESI: ACBC

TESI: CABCBA

A E B

DIMOSTRAZIONE

• Si considera la bisettrice dell’angolo al vertice CE.

• Consideriamo i due triangoli ACE e CBE, essi hanno:

CE in comune

CA CB per ipotesi

ACEBCE per costruzione, poiché ho creato e tracciato la bisettrice

• I due triangoli sono congruenti per il 1° criterio dei congruenza, perché hanno 3 elementi congruenti, 2 lati ed un angolo.

Il triangolo ACE CBE, quindi l’angolo CAB ABC,

C.V.D.(come volevasi dimostrare)

ANGOLI SUPPLEMENTARI

• Gli angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti, sono congruenti tra loro.

1. Angoli supplementari di uno stesso angolo.

i due angoli supplementari sono uguali π -

π - π -

2. Angoli supplementari di angoli congruenti, sono complementari tra loro.

a b a1 b1

o o

Angoli

Anche gli angoli supplementari π - π - saranno congruenti

PROPRIETA’

• Somme o differenze di angoli rispettivamente congruenti, sono congruenti.

1. + + 2. - -

TEOREMA• Angoli opposti al vertice sono congruenti

A B

OAngolo AOB

Da dimostrare 1. e sono supplementari dello stesso angolo AOB

π- AOB= π- AOB= per la definizione di angoli supplementari

2. π π AOB AOB

π-AOB π- AOB perché sono differenze di angoli congruenti

SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA

• Se due triangoli hanno rispettivamente due angoli e il lato tra loro compreso congruenti, essi sono congruenti.

C C1

D

A B A1 B1

IPOTESI:

Angolo A A1 Angolo B B1 AB A1B1

TESI:

Triangolo ABC A1B1C1

DIMOSTRAZIONE per assurdo

• IPOTESI: vera

• (Nego la TESI) non TESI: vera

• Se ottengo una contraddizione o un assurdo…non potendo essere vera la non TESI, non TESI: falsa

• Vuol dire che la TESI è vera

• TESI: vera

DIMOSTRAZIONE

1. IPOTESI: lato AB A1B1 angolo CAB C1A1B1 angolo ABC A1B1C1

TESI: triangolo ABC A1B1C12. Nego la TESI: ABC non congruente a A1B1C1

ACA1C1 supponiamo che i leti siano diversiACA1C1 supponiamo che uno dei due angoli sia maggiore dell’altro; esisterà un punto di AC, detto D, tale che AD sia congruente ad A1C1: AD A1C1

Consideriamo il triangolo ABD e quello A1B1C1, essi hanno:AB A1B1 per ipotesiCAB C1A1B1 per ipotesiAD A1C1 per costruzione

Hanno due lati ed un angolo compreso congruenti: per il 1° criterio di congruenza.I rispettivi angoli opposti devono essere congruenti:

angolo ABD A1B1C1 perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti.

• Angolo CBA C1B1A1 ABD A1B1D1

per la proprietà transitiva della congruenza.

3. Ma angolo ABD CBA è un ASSURDO perché l’angolo ABD è una parte di ABC, preché DB, la semiretta, è interna all’angolo ABC.

4. Resta dimostrata la verità della TESI.

C C1

D

A B A1 B1

2° TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO

• E’ UNA PROPRIETA’ DEI TRIANGOLI

1. In ogni triangolo un angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni ad esso “non adiacenti”.

2. La somma degli angoli interni di un triangolo qualuncue è congruente ad un angolo piatto.

- gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.

- in ogni triangolo equilatero ciascun angolo è congruente a 60°.

- se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti hanno congruenti anche gli angoli rimanenti (per differenze di angoli congruenti)

Pag. 79 n° 17

• IPOTESI: ABC triangolo DAC angolo esterno

• TESI: angolo DAC angoli CAB + ACB• DIMOSTRAZIONE:Traccio un asemiretta di origine A parallela a BC e interna all’angolo

CAD. Considero le rette AH//BC tagliate dalla trasversale BD. Esse formano:

- gli angoli corrispondenti DAH e ABC per la proprietà delle rette parallele.

Considero le rette AH//BC tagliate dalla trasversale AC. Esse formano:- gli angoli alterni interni HAC e BCA per la proprietà delle rette

parallele.Essendo gli angoli DAC= angoli DAH+HAC allora, DAC CBA +

ACB perché somme di angoli congruenti.

LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO È CONGRUENTE A 180°

• La conseguenza è che la somma degli angoli interni di un triangolo è congruente a 180° (pag. 80 n°18):

- gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari, per la proprietà del triangolo rettangolo;

- In ogni triangolo equilatero ciascun angolo è congruente alla 3^ parte di un angolo piatto, per la proprietà del triangolo equilatero;

- Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, hanno congruenti anche gli angoli rimanenti; per differenza di angoli congruenti.

Di conseguenza: abbiamo il 2° criterio generalizzato

2° CRITERIO GENERALIZZATO

• Due triangoli aventi rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, purché ugualmente disposti, sono congruenti.

1° CRITERIO DEL TRIANGOLO ISOSCELE

• Sapendo che un triangolo ha 2 angoli congruenti, il triangolo è isoscele, per il 1° criterio

2° CRITERIO DEL TRIANGOLO ISOSCELE

• Sapendo che un triangolo ha 2 lati congruenti, il triangolo è isoscele, per definizione

2^ PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE

• In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è pure altezza e mediana relativa alla base.

3^ PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE

• In un triangolo isoscele la mediana alla base è pure altezza e bisettrice al vertice.

4° PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE

• In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice dell’angolo al vertice.

SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO

• La somma degli angoli interni di un poligono convesso è congruente a tanti angoli piatti quanti sono i lati del poligono meno 2.

CONGRUENZA DI 2 TRIANGOLI RETTANGOLI

Per essere congruenti devono avere:1. un cateto : secondo il 1° criterio2. un cateto e l’angolo acuto adiacente : per il 2°

criterio3. L’ipotenusa e un angolo acuto: per il 2° criterio

generalizzato4. un cateto e l’angolo acuto opposto: per il 2°

criterio generalizzato5. L’ipotenusa ed un cateto

PARALLELOGRAMMO

• È un quadrilatero avente i lati opposti paralleli

PROPRIETA’ DEL PALALLELOGRAMMO

• In ogni parallelogrammo:

1. Ciascuna diagonale divide il parallelogrammo in 2 triangoli congruenti

2. I lati opposti sono congruenti

3. Gli angoli opposti sono congruenti

4. Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari

5. Le due diagonali hanno lo stesso punto medio

CRITERI DEL PARALLELOGRAMMO

• In ogni parallelogrammo:

1. Se le diagonali hanno lo stesso punto medio

2. Se i lati sono congruenti

3. Se gli angoli opposti sono congruenti

4. Se gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari

5. Se ha due lati opposti congruenti e paralleli

PROPRIETA’ DEL QUADRATO E DEL

RETTANGOLO

• Parallelogramma avente 4 angoli retti

PROPRIETA’ DEL QUADRATO E DEL

RETTANGOLO

• Le diagonali sono congruenti

• Il centro è equidistante dai vertici

CRITERIO DEL RETTANGOLO

• Un parallelogramma, avente le diagonali congruenti, è un rettangolo