I Triangoli e i Criteri Di Congruenza
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I triangoli e i criteri di congruenza 1 Un triangolo è un poligono che ha tre lati e si individua con le lettere dei suoi vertici. A B C ABC per indicare il triangolo di vertici A, B, C Si scrive ad esempio: I triangoli Ogni lato di un triangolo è opposto a uno degli angoli: il lato AB è opposto all’angolo C; il lato AC è opposto all’angolo B; il lato BC è opposto all’angolo A. Poiché anche un angolo si individua con tre lettere, per distinguere il triangolo dall’angolo si pone un simbolo diverso al di sopra delle tre lettere. ACB per indicare l’angolo di vertice C Definizione
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Geometria elementare
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I triangoli e i criteri di congruenza
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Un triangolo è un poligono che ha tre lati e si individua con le lettere dei suoi vertici.
A B
C
ABC per indicare il triangolo di vertici A, B, C
Si scrive ad esempio:
I triangoli
Ogni lato di un triangolo è opposto a uno degli angoli:
il lato AB è opposto all’angolo C;
il lato AC è opposto all’angolo B;
il lato BC è opposto all’angolo A.
Poiché anche un angolo si individua con tre lettere, per distinguere il triangolo dall’angolo si pone un simbolo diverso al di sopra delle tre lettere.
ACB per indicare l’angolo di vertice C
Definizione
I triangoli e i criteri di congruenza
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CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AI LATI
È possibile fare una prima classificazione dei triangoli in base ai lati:
Scaleno: un triangolo che ha tutti i lati disuguali.
Isoscele: un triangolo che ha due lati congruenti. I due lati congruenti si dicono obliqui e il terzo lato si chiama base.
Equilatero: un triangolo che ha tutti i lati congruenti.
Classificazione
I triangoli e i criteri di congruenza
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Si dice inoltre:
bisettrice relativa all’angolo interno del triangolo sia la semiretta bisettrice dell’angolo, sia il segmento di bisettrice che ha un estremo nel vertice dell’angolo e l’altro sul lato opposto
bise
ttric
e
mediana di un triangolo il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato oppostom
edia
na
Bisettrici e mediane
I triangoli e i criteri di congruenza
A’ B’
C’
A B
C
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Primo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso.
I criteri di congruenza
CA ≅ C’A’
CB ≅ C’B’
ABC ≅ A’B’C’
ACB ≅ A’C’B’
I triangoli e i criteri di congruenza
A
B C
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Secondo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e gli angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti.
I criteri di congruenza
BC ≅ B’C’
ABC ≅ A’B’C’
A’
B’ C’ABC ≅ A’B’C’
ACB ≅ A’C’B’
I triangoli e i criteri di congruenza
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Terzo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.
I criteri di congruenza
A
B C
BC ≅ B’C’
ABC ≅ A’B’C’
A’
B’ C’AC ≅ A’C’
AB ≅ A’B’
I triangoli e i criteri di congruenza
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Teorema. In un triangolo isoscele gli angoli adiacenti alla base sono congruenti.
Le proprietà del triangolo isoscele
A C
B
AB ≅ BC
Teorema. Se un triangolo ha due angoli congruenti, esso è isoscele.
Viceversa, si può dimostrare anche che
BAC ≅ BCA
I due teoremi si possono esprimere con un solo enunciato dicendo:condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli congruenti.
I triangoli e i criteri di congruenza
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Teorema. In ogni triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti.
Il teorema dell’angolo esterno
Da ciò consegue che:
un triangolo non può avere più di un angolo retto o di un angolo ottuso;
gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.
δ > α
A
B C S
α
δβ
δ > β
Le proprietà dei triangoli
I triangoli e i criteri di congruenza
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CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AGLI ANGOLI
AcutangoloUn triangolo che ha tutti gli angoli acuti.
OttusangoloUn triangolo che ha un angolo ottuso.
RettangoloUn triangolo che ha un angolo retto.
Classificazione
I triangoli e i criteri di congruenza
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Quarto criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno due angoli e il lato opposto a uno di essi ordinatamente congruenti.
Il quarto criterio di congruenza
Il quarto criterio di congruenza
A
B C
A’
B’ C’
BC ≅ B’C’
ABC ≅ A’B’C’
Il seguente criterio è una conseguenza diretta del teorema dell’angolo esterno.
ABC ≅ A’B’C’
BAC ≅ B’A’C’
I triangoli e i criteri di congruenza
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In ogni triangolo, se due lati sono disuguali, al lato maggiore è opposto l’angolo maggiore.
Relazioni fra lati e angoli
A B
C
In ogni triangolo, se due angoli sono disuguali, all’angolo maggiore è opposto il lato maggiore.
Viceversa:
Se due triangoli hanno due lati ordinatamente congruenti e gli angoli compresi sono disuguali, allora i lati opposti a questi angoli sono anch’essi disuguali nello stesso verso.
A B
C
A’ B’
C’
AB > AC ACB > CBA
AB > A’B’C > C’AC ≅ A’C’ CB ≅ C’B’
I triangoli e i criteri di congruenza
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Disuguaglianze triangolari
Teorema. In ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza.
C
A B
AC – CB < AB < AC + CB
AC – AB < CB < AC + AB
AB – CB < AC < AB + CB
Dalle proprietà elencate precedentemente si può dedurre che:
in ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno dei cateti;
in ogni triangolo ottusangolo, il lato opposto all’angolo ottuso è maggiore di ciascuno degli altri due
lati.
Vale poi il seguente importante teorema:
