1.1 EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI - … EQUIVALENTI (versione provvisoria) 3 1.2 EQUIVALENZA...

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1. FIGUREFIGUREFIGUREFIGURE EQUIVALENTIEQUIVALENTIEQUIVALENTIEQUIVALENTI

1.1 EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI

TEOREMA:

DueDueDueDue parallelogrammiparallelogrammiparallelogrammiparallelogrammi aventiaventiaventiaventi lelelele basibasibasibasi eeee lelelele altezzealtezzealtezzealtezze congruenticongruenticongruenticongruenti sonosonosonosono equivalentiequivalentiequivalentiequivalenti.

Dimostrazione: dato il parallelogramma ABCD ed il parallogramma ABC'D' , con

D' appartente al lato DC, avente la stessa base AB e la stessa altezza si ha:

- i triangoli DAD' e CAC' sono congruenti tra loro per il primo criterio in quanto

BCBCBCBCADADADAD≅≅≅≅ perchè lati opposti del parallelogramma ABCD, ''''BCBCBCBC''''ADADADAD ≅≅≅≅ perchè lati

opposti del parallelogramma ABC'D' e, inoltre, ''''CCCCBBBBCCCC''''DDDDAAAADDDD∧∧∧∧∧∧∧∧

≅≅≅≅ perchè i lati sono

paralleli a due a due.

- il parallelogramma ABCD è equivalente alla differenza ''''CBCCBCCBCCBCDDDD''''ABCABCABCABC −−−− mentre

il parallelogramma ABC'D' è dato dalla differenza ''''DADDADDADDADDDDD''''ABCABCABCABC −−−− ma, essendo

equivalenti i due triangoli ''''DADDADDADDAD''''CBCCBCCBCCBC ≅≅≅≅ , tale differenza è la stessa, per cui i due

paralleolgrammi sono equivalenti fra loro. Come volevasi dimostrare.


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Supponiamo ora che il parallologramma ABC''D'' sia tale per cui il vertice D'' non

sia compreso nel lato CD, ovvero si trovi o a coincidere con C oppure sul

prolungamento di CD dalla parte di D. In questo caso è sufficiente disegnare

un paralleogramma ABC'D' equivalente ad ABCD con D' appartenente al lato

CD(oppure una seguenza di parallogrammi di cui l'ultimo equivalente ad ABCD)

ed un altro ABC''D'' con C'' appartenente al segmento CC', per concludere che,

per la proprietà transitiva, anche ABC''D'' è equivalente ad ABCD, ovvero: essendo

''''DDDD''''ABCABCABCABCABCDABCDABCDABCD≈≈≈≈ e ''''''''DDDD''''''''ABCABCABCABC''''DDDD''''ABCABCABCABC ≈≈≈≈ segue anche ''''''''DDDD''''''''ABCABCABCABCABCDABCDABCDABCD≈≈≈≈ .


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1.2 EQUIVALENZA TRIANGOLO-PARALLELOGRAMMA

TEOREMA:

OgniOgniOgniOgni triangolotriangolotriangolotriangolo èèèè equivalenteequivalenteequivalenteequivalente adadadad unununun parallogrammaparallogrammaparallogrammaparallogramma chechecheche hahahaha altezzaaltezzaaltezzaaltezza congruentecongruentecongruentecongruente aaaa

quellaquellaquellaquella deldeldeldel triangolotriangolotriangolotriangolo eeee basebasebasebase congruentecongruentecongruentecongruente allaallaallaalla metmetmetmetàààà didididi quellaquellaquellaquella deldeldeldel triangolo.triangolo.triangolo.triangolo.

Dimostrazione: dal punto medio M del lato AB si tracci la retta parallela al lato ACfino ad incontrare nel punto L la retta passante per C e parallela ad AB.CL è congruente ad AM perchè lati opposti del parallelogramma AMLC ed essendo AMcongruente ad MB per costruzione, si ha che CL è congruente ad MB. Inoltre, essendole rette di CL e di MB parallele, sono congruenti le coppie di angoli LCN con NBM eCNL con NMB. Pertanto i due triangoli CNL e MBN sono congruenti ed equivalenti traloro. Il triangolo ABC è dato dalla somma MBNMBNMBNMBNAMNCAMNCAMNCAMNCABCABCABCABC ++++≈≈≈≈ mentre ilparallelogramma AMLC è dato dalla somma CNLCNLCNLCNLAMNCAMNCAMNCAMNCAMLCAMLCAMLCAMLC ++++≈≈≈≈ che è uguale allaprecedente somma essendo MBNMBNMBNMBNCNLCNLCNLCNL ≈≈≈≈ . Petranto, il parallelogramma AMLC ècongruente al triangolo ABC la cui base è congruente al doppio di quella delllo stessoparallogramma. Come volevasi dimostrare.

CorollarioCorollarioCorollarioCorollario:

Due triangoli che hanno congruenti le basi e le altezze sono equivalenti.

Dimostrazione: sono entrambi congruenti allo stesso parallelogramma.


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1.3 EQUIVALENZA TRIANGOLO-TRAPEZIO

Teorema:Teorema:Teorema:Teorema:

UnUnUnUn trapeziotrapeziotrapeziotrapezio èèèè equivalenteequivalenteequivalenteequivalente adadadad unununun triangolotriangolotriangolotriangolo delladelladelladella stessastessastessastessa altezzaaltezzaaltezzaaltezza eeee

basebasebasebase congruentecongruentecongruentecongruente allaallaallaalla sommasommasommasommadelledelledelledelle suesuesuesue basibasibasibasi ....

Dimostrazione:Dimostrazione:Dimostrazione:Dimostrazione: si prolunghi la base AB di un segmento CDCDCDCDBMBMBMBM ≅≅≅≅ e si

congiunga il vertice D con M per cui sia N il punto di intersezione tra MD ed il latoBC.I triangoli NCD e BMN sono congruenti per il secondo criterio in quanto:

- BMBMBMBMCDCDCDCD ≅≅≅≅ per costruzione;

- angoli∧∧∧∧∧∧∧∧

≅≅≅≅ MBMBMBMBNNNNNNNNDDDDCCCC perchè alterni interni delle rette parallele CD e AMtagliate dalla trasversale DM ;

- angoli∧∧∧∧∧∧∧∧

≅≅≅≅ BMBMBMBMNNNNNNNNCCCCDDDD perchè alterni interni delle rette parallele CD e AMtagliate dalla trasversale BC ;Il trapezio ABCD equivale alla somma del quadrilatero ABND e del triangolo NCD.Il triangolo AMD è dato dalla somma dello stesso quadrilatero ABND e del

triangolo BMN ma, essendo∆∆∆∆∆∆∆∆

≈≈≈≈ NCDNCDNCDNCDBMNBMNBMNBMN , si ha anche∆∆∆∆

≈≈≈≈ AMDAMDAMDAMDABCDABCDABCDABCD .

L' espressione algebrica dell'area di un trapezio è quindi: hhhhbbbbBBBBAAAA ⋅⋅⋅⋅++++

====2222

.


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1.4 EQUIVALENZA TRIANGOLO-POLIGONO CIRCOSCRITTO

Teorema:un poligono circoscritto ad un circonferenza equivale ad un triangolo avente labase congruente al perimetro del poligono e per altezza il raggio dellacirconferenza.

Dimostrazione : dato un qualunque poligono, ad esempio il pentagono ABCDE, si

costruisca il triangolo di base AF congruente alla somma dei lati del poligono e taleche i segmenti che la compongano siano congruenti ai lati stessi:

EAEAEAEAE'F'E'F'E'F'E'F',,,,DEDEDEDE''''EEEE''''DDDD,,,,CDCDCDCDC'D'C'D'C'D'C'D',,,,BCBCBCBC''''CCCC''''BBBB,,,,ABABABAB''''BBBB''''AAAA ≅≅≅≅≅≅≅≅≅≅≅≅≅≅≅≅≅≅≅≅

Detto O il centro della circonferenza di raggio rrrrOHOHOHOH ==== e l'altezza del triangolo

congruente al raggio OHOHOHOH''''HHHH''''OOOO ≅≅≅≅ , il triangolo AOF equivale alla somma di triangoliequivalenti a quelli con cui il poligono si scompone poichè hanno congruenti le basi(lati del poligono) e le altezza (raggio del poligono). Resta così dimostrato che iltriangolo A'0'F' equivale al poligono circoscritto ABCDE.

L'espressione algebrica dell'area (A) del poligono circoscritto è data dal semiprodotto fra il suo perimetro (p) e il raggio (r) della circonferenza iscritta:

rrrrppppAAAA ⋅⋅⋅⋅====22221111


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1.5 POLIGONO EQUIVALENTE CON UN LATO IN MENO

L'esempio illustrato sopra si riferisce ad un esagono da cui viene ricavato un poligono

equivalente con un lato in meno, cioè un pentagono, mediante la costruzione

di due triangoli equivalenti (ECD≅≅≅≅ ECD' nella figura) tra loro ottenuti tracciando,

prima una diagonale (EC nella figura), poi la parallela DD' a tale diagonale

EC passante per il vertice B. Quindi, il prolungamento del lato BC incontra in

D' tale parallela.

Lo stesso ragionamento vale, ovviamente, per un poligono con un qualunque numero

di lati. L'area del poligono equivale alla somma fra l'area interna ABH'EF e l'area

del triangolo ECD che è equivalente a ECD'. Pertanto si ha l'equivalenza fra

l'esagono ABCDEF e il pentagono.


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1.6 PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE

TEOREMA: InInInIn ogniogniogniogni triangolotriangolotriangolotriangolo rettangolorettangolorettangolorettangolo ilililil quadratoquadratoquadratoquadrato costruitocostruitocostruitocostruito susususu didididi unununun catetocatetocatetocateto èèèè

equivalenteequivalenteequivalenteequivalente alalalal rettangolorettangolorettangolorettangolo aventeaventeaventeavente iiii latilatilatilati congruenticongruenticongruenticongruenti all'ipotenusaall'ipotenusaall'ipotenusaall'ipotenusa allaallaallaalla proiezioneproiezioneproiezioneproiezione dellodellodellodello

stessostessostessostesso catetocatetocatetocateto sull'ipotenusa.sull'ipotenusa.sull'ipotenusa.sull'ipotenusa.

IpotesiIpotesiIpotesiIpotesi. Il triangolo ABC è rettangolo con angolo retto nel vertice C.

Dimostrazione.Dimostrazione.Dimostrazione.Dimostrazione.

Detta AH la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa AB, si tracci il rettangolo AFGH

avente il lato AH coincidente con la proiezione di AC su AB ed il lato AF congruente

all'ipotenusa AB.

Costruiti il quadrato ACDE sul cateto AC e tracciato il prolungamento del lato

ED del quadrato, si prolunghino i lati AF e GH fino ad incontrare il prolungamento

di ED nei punti rispettivi M e N.


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Notiamo che:

- AEAEAEAEACACACAC ≅≅≅≅ per costruzione (essendo ACDE un quadrato).

-∧∧∧∧∧∧∧∧

≅≅≅≅ EEEECCCC in quanto angoli retti.

- ''''αααααααα ≅≅≅≅ perchè complementari dello stesso angolo MMMMAAAACCCC∧∧∧∧

====ββββ :

MMMMAAAAEEEE''''PPPPBBBBAAAACCCC∧∧∧∧

∧∧∧∧∧∧∧∧

========−−−−======== ααααββββαααα2222

Quindi, i triangoli ABC e AME sono congruenti per il secondo criterio di congruenza

e, in particolare, il lati AM e AB conguenti

Il rettangolo AFGH è congruente al parallelogramma ACNM in quanto hanno i

lati AM e AB congruenti e la stessa altezza AH.

Il parallelogramma ACNM ed il quadrato ACDE sono equivalenti avendo in comune

la stessa base AC e la stessa altezza AE.

Pertanto, essendo ACNMACNMACNMACNMAFGHAFGHAFGHAFGH ≅≅≅≅ e ACDEACDEACDEACDEACNMACNMACNMACNM ≅≅≅≅ , per la proprietà transitiva

si ha: ACDEACDEACDEACDEAFGHAFGHAFGHAFGH ≅≅≅≅ . Come volevasi dimostrare.

* * *

L'espressione algebrica del primo teorema di Euclide per l'area è:

zzzzqqqqyyyy22222222 ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅==== ,zzzzppppxxxx , essendo x=ACx=ACx=ACx=AC ,,,, y=BC,y=BC,y=BC,y=BC, z=ABz=ABz=ABz=AB ,,,, p=AH,p=AH,p=AH,p=AH, q=HBq=HBq=HBq=HB .


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1.7 TEOREMA DI PITAGORA

Teorema:Teorema:Teorema:Teorema:

ilililil quadratoquadratoquadratoquadrato costruitocostruitocostruitocostruito sull'ipotenusasull'ipotenusasull'ipotenusasull'ipotenusa didididi unununun triangolotriangolotriangolotriangolo rettangolorettangolorettangolorettangolo èèèè equivalenteequivalenteequivalenteequivalente allaallaallaalla

sommasommasommasomma deideideidei quadratiquadratiquadratiquadrati costruiticostruiticostruiticostruiti suisuisuisui cateti.cateti.cateti.cateti.

1.8 SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE

Teorema: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza equivale alrettangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.


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2. POLIGONI IN FORMA ALGEBRICA

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Teorema di Pitagora con dimostrazione alternativa

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